第一講向量及其線性運(yùn)算PPT課件

1、第一講 向量及其線性運(yùn)算第一講第一講 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示式五、向量的模、方向角和投影第一講第一講 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示式五、向量的模、方向角和投影.a或向量的表示向量的表示:向量的模向量的模 :向量的大小向量的大小,向量向量:1M2M既有大小既有大小, 又有方向的量又有方向的量向徑向徑 (矢徑矢徑):自由向量自由向量: 與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量起點(diǎn)為原點(diǎn)的向量.單位向量單位向量: 模為模為 1

2、 的向量的向量,.a或記作 a零向量零向量:模為模為 0 的向量的向量,.00或，記作.a或有向線段有向線段 M1 M2 , 或或 a ,21MM記作,a或向量的概念向量的概念幾種特殊的向量幾種特殊的向量注注零向量的方向看作是任意的零向量的方向看作是任意的規(guī)定規(guī)定: 零向量與任何向量平行零向量與任何向量平行 ;因平行向量可平移到同一直線上因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行故兩向量平行又稱兩向量共線又稱兩向量共線 .若若 k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 ,則稱此則稱此 k 個(gè)向量共面?zhèn)€向量共面 .向量的關(guān)系向量的關(guān)系向量的相等向量的相等 : 若向量若

3、向量 a 與與 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 則稱則稱 a 與與 b 相等相等, 記作記作 ab ;向量的平行向量的平行 : 若向量若向量 a 與與 b 方向相同或相反方向相同或相反,則稱則稱 a 與與 b 平行平行, ab ;記作記作負(fù)向量負(fù)向量 : 與與a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量稱為但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量的負(fù)向量,記作記作a ;向量的共線向量的共線 :向量的共面向量的共面 :第一講第一講 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示式五、向量的模、方向角和投影第一講第一講 向量及其線性運(yùn)算

4、向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示式五、向量的模、方向角和投影二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1、向量的加法2、向量的減法3、向量與數(shù)的乘法二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1、向量的加法2、向量的減法3、向量與數(shù)的乘法三角形法則三角形法則:平行四邊形法則平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律: :交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律bbabbacba )()(cbacbaabcba cb)(cbacba )(aaba ba 運(yùn)算法則運(yùn)算法則s3a4a5a2a1a54321aaaaas三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .

5、l注注二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1、向量的加法2、向量的減法3、向量與數(shù)的乘法二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1、向量的加法2、向量的減法3、向量與數(shù)的乘法三角不等式三角不等式ab)( ab有時(shí)特別當(dāng),ab aa )( aababaabababa0baba運(yùn)算法則運(yùn)算法則三角形法則三角形法則:運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律: :二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1、向量的加法2、向量的減法3、向量與數(shù)的乘法二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算1、向量的加法2、向量的減法3、向量與數(shù)的乘法aa 是一個(gè)數(shù)是一個(gè)數(shù) ,.a規(guī)定規(guī)定 :時(shí)，0，同向與aa,0時(shí),0時(shí).0a;aa;aa 與與 a 的乘

6、積是一個(gè)新向量的乘積是一個(gè)新向量, 記作記作，反向與aa運(yùn)算律運(yùn)算律結(jié)合律結(jié)合律)(a)(aa分配律分配律a)(aa)(baba, 0a若運(yùn)算法則運(yùn)算法則l注注.1aa則則為單位向量為單位向量a記作：記作：( 為唯一實(shí)數(shù)為唯一實(shí)數(shù))設(shè)設(shè) a 為非零向量為非零向量 , 則則abab定理定理1 1u例例1 1MBACDba,aAB ,bDAABCD 對(duì)角線的交點(diǎn)對(duì)角線的交點(diǎn),設(shè)設(shè)M為為用用a與與b表示表示,.MA MB MC MDl注注定理定理1是建立數(shù)軸的理論根據(jù)是建立數(shù)軸的理論根據(jù)iP點(diǎn)點(diǎn)PO向量向量OP =xi實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x點(diǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)的坐標(biāo)第一講第一講 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算一、向量

7、的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示式五、向量的模、方向角和投影第一講第一講 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示式五、向量的模、方向角和投影xyz由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系.l 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn) l 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸x軸軸(橫軸橫軸)y軸軸(縱軸縱軸)z 軸軸(豎軸豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)過(guò)空間一定點(diǎn) o ,ol 坐標(biāo)面坐標(biāo)面l 卦限卦限(八個(gè)八個(gè))面xoy面yozzox面基本概念基本概念xyzo空間點(diǎn)的坐標(biāo)空間點(diǎn)的坐標(biāo)

8、11坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , C點(diǎn)點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo)特殊點(diǎn)的坐標(biāo) 特征特征:有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC點(diǎn)點(diǎn) M 的坐標(biāo)的坐標(biāo)原點(diǎn)原點(diǎn) O(0,0,0) ;M兩個(gè)坐標(biāo)為零兩個(gè)坐標(biāo)為零一個(gè)坐標(biāo)為零一個(gè)坐標(biāo)為零三個(gè)坐標(biāo)為零三個(gè)坐標(biāo)為零坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸 : 軸x0,0yz軸y軸z坐標(biāo)面坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo坐標(biāo)軸和坐標(biāo)面的坐標(biāo)坐標(biāo)軸和坐標(biāo)面的坐標(biāo) 特征特征:0,0zx0,0 xy向量的坐標(biāo)表示向量的

9、坐標(biāo)表示kzjyixrxoyzMNBCijkA向量向量 r 的坐標(biāo)分解式的坐標(biāo)分解式,xiy j zkrNMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC, ,ij k x，y，z軸上的單位向量軸上的單位向量 , ,x y z點(diǎn)點(diǎn)M的坐標(biāo)的坐標(biāo)任意向量任意向量r向徑向徑OM 向量向量 r 沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量( , )x y z向量向量 r 的坐標(biāo)的坐標(biāo)l注注點(diǎn)點(diǎn)M與向量與向量r的坐標(biāo)記號(hào)相同的坐標(biāo)記號(hào)相同,須根據(jù)上下文區(qū)分須根據(jù)上下文區(qū)分第一講第一講 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示

10、式五、向量的模、方向角和投影第一講第一講 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示式五、向量的模、方向角和投影設(shè)設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,0 時(shí)當(dāng)aabxxabyyabzzab平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例，為實(shí)數(shù)u例例2 2求解以向量為未知元的線性方程組求解以向量為未知元的線性方程組ayx35byx23.211,212），（），（其中ba已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)在在AB直線上求一點(diǎn)直線上求一點(diǎn) M , 使使解解: 設(shè)設(shè) M 的坐標(biāo)為的坐

11、標(biāo)為, ),(zyxABMo11, ),(111zyxA),(222zyxB及實(shí)數(shù)及實(shí)數(shù), 1得得),(zyx11),(212121zzyyxx即即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOB AOOM )(OMOB OMOBOA(u例例3 3定比分點(diǎn)公式定比分點(diǎn)公式,121xx,121yy121zz,1時(shí)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn) M 為為 AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn) ,x,221xx y,221yy z221zz ),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式M 的坐標(biāo)的坐標(biāo) ,第一講第一講 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)

12、表示式五、向量的模、方向角和投影第一講第一講 向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算三、空間直角坐標(biāo)系四、向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示式五、向量的模、方向角和投影五、向量的模、方向角和投影五、向量的模、方向角和投影1、向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式2、方向角和方向余弦3、向量在軸上的投影五、向量的模、方向角和投影五、向量的模、方向角和投影1、向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式2、方向角和方向余弦3、向量在軸上的投影222zyx( , ),rx y z OMr 222OROQOPxoyzMNQRP勾股定理勾股定理),(111zyxA兩點(diǎn)間的距離公式兩點(diǎn)間的距離公式),(121212zzy

13、yxx212212212)()()(zzyyxx, ),(222zyxBOMr OROQOPBABAOAOBBA向量的模向量的模求證以求證以) 3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 , 3,4(321MMM的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形. . 為頂點(diǎn)為頂點(diǎn)u例例4 4在在z軸上求與兩點(diǎn)軸上求與兩點(diǎn))7, 1 ,4(A)2,5,3(B等距離的點(diǎn)等距離的點(diǎn). . u例例5 5已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn))5,0,4(A, )3, 1 ,7(B求求.BAu例例6 6五、向量的模、方向角和投影五、向量的模、方向角和投影1、向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式2、方向角和方向余弦3、向量在軸上的投影五、向量

14、的模、方向角和投影五、向量的模、方向角和投影1、向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式2、方向角和方向余弦3、向量在軸上的投影oyzx設(shè)有兩非零向量設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點(diǎn)任取空間一點(diǎn)O, ,aOA作,bOBOAB稱稱 =AOB (0 ) 為向量為向量 ba,的夾角的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸類似可定義向量與軸, , 軸與軸的夾角軸與軸的夾角. . ,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角與三坐標(biāo)軸的夾角 , , , , rr稱為其為其方向角方向角. .cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向角的余弦稱為其方向余弦方向余弦. . 記作記作),(ba方向角方向角oyzxrcosrx

15、222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性質(zhì)方向余弦的性質(zhì): :的單位向量向量 rrrr)cos,cos,(cos方向余弦方向余弦方向角的余弦稱為其方向余弦方向角的余弦稱為其方向余弦. . 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn))2,2,2(1M和和, )0,3, 1(2M的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角. . 計(jì)算向量計(jì)算向量21MMu例例7 7u例例8 8 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)A位于第一卦限位于第一卦限, ,依次為依次為,43求點(diǎn)求點(diǎn)A的坐標(biāo)的坐標(biāo). . 向徑向徑OA與與x軸及軸及y軸的夾角軸的夾角 ,6AO且五、向量的模、方向角和投影五、向量的模、方向角和投影1、向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式2、方向角和方向余弦3、向量在軸上的投影五、向量的模、方向角和投影五、向量的模、方向角和投影1、向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式2、方向角和方向余弦3、向量在軸上的投影概念概念過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作作u軸垂直的平面交軸垂直的平面交u軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)M記作記作Purj r或或