工程問(wèn)題公式說(shuō)課講解

1、此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除工程問(wèn)題公式（ 1）一般公式：工效×工時(shí) =工作總量；工作總量÷工時(shí) =工效；工作總量÷工效 =工時(shí)。工作效率×工作時(shí)間工作總量工作總量÷工作效率工作時(shí)間工作總量÷工作時(shí)間工作效率（ 2）用假設(shè)工作總量為“1”的方法解工程問(wèn)題的公式：1÷工作時(shí)間 =單位時(shí)間內(nèi)完成工作總量的幾分之幾；1÷單位時(shí)間能完成的幾分之幾=工作時(shí)間。（注意：用假設(shè)法解工程題，可任意假定工作總量為2、 3、4、 5 。特別是假定工作總量為幾個(gè)工作時(shí)間的最小公倍數(shù)時(shí)，分?jǐn)?shù)工程問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的整數(shù)

2、工程問(wèn)題，計(jì)算將變得比較簡(jiǎn)便。 ）1、每份數(shù)×份數(shù)總數(shù)總數(shù)÷每份數(shù)份數(shù)總數(shù)÷份數(shù)每份數(shù)總數(shù)÷總份數(shù)平均數(shù)2、 1 倍數(shù)×倍數(shù)幾倍數(shù)幾倍數(shù)÷ 1 倍數(shù)倍數(shù)幾倍數(shù)÷倍數(shù)1 倍數(shù)3、 速度×時(shí)間路程路程÷速度時(shí)間路程÷時(shí)間速度4、 單價(jià)×數(shù)量總價(jià)總價(jià)÷單價(jià)數(shù)量總價(jià)÷數(shù)量單價(jià)5、加數(shù)加數(shù)和和一個(gè)加數(shù)另一個(gè)加數(shù)6、被減數(shù)減數(shù)差被減數(shù)差減數(shù)差減數(shù)被減數(shù)7、因數(shù)×因數(shù)積積÷一個(gè)因數(shù)另一個(gè)因數(shù)8、 被除數(shù)÷除數(shù)商被除數(shù)÷商除數(shù)商×除

3、數(shù)被除數(shù)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式1、正方形： C-周長(zhǎng)S-面積a-邊長(zhǎng)周長(zhǎng)邊長(zhǎng)× 4C=4a面積 =邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)S=a× a=a22、正方體： V- 體積a-棱長(zhǎng)表面積 =棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)× 6S 表 =a× a× 6=6a2體積 =棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)V=a × a× a=a33、長(zhǎng)方形 : C- 周長(zhǎng)S-面積a-邊長(zhǎng)周長(zhǎng) =(長(zhǎng) +寬 )× 2C=2(a+b)面積 =長(zhǎng)×寬S=ab4、長(zhǎng)方體 :V-體積S-面積a-長(zhǎng)b-寬h-高表面積 (長(zhǎng)×寬 +長(zhǎng)×高 +寬&

4、#215;高 )× 2S=2(ab+ah+bh)體積 =長(zhǎng)×寬×高V=abh5、三角形 :S-面積a-底h-高面積 =底×高÷ 2S=ah÷ 2三角形高 =面積× 2÷底三角形底 =面積× 2÷高6、平行四邊形：S-面積a-底h-高面積 =底×高S=ah7、梯形： S-面積a-上底b-下底h- 高面積 =(上底 +下底 )×高÷ 28、圓形： S-面積C-周長(zhǎng) -圓周率d-直徑r-半徑周長(zhǎng) =直徑×圓周率=2×圓周率×半徑C=d=2 r

5、面積 =半徑×半徑×圓周率S= r2只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除9、圓柱體： V-體積h-高S-底面積r-底面半徑C-底面周長(zhǎng)側(cè)面積 =底面周長(zhǎng)×高S 側(cè)=Ch表面積 =側(cè)面積 +底面積× 2S 表 =S 側(cè)+2 r2體積 =底面積×高V= r2h體積側(cè)面積÷2×半徑10、圓錐體： V-體積h-高S-底面積r-底面半徑體積 =底面積×高÷3和差問(wèn)題的公式（和差 )÷2大數(shù)(和差 )÷ 2小數(shù)和倍問(wèn)題和÷ (倍數(shù) 1)小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)大數(shù)(

6、 或者和小數(shù)大數(shù))差倍問(wèn)題差÷ (倍數(shù) 1)小數(shù)小數(shù)×倍數(shù)大數(shù)(或 小數(shù)差大數(shù)) 植樹(shù)問(wèn)題1、非封閉線路上的植樹(shù)問(wèn)題主要可分為以下三種情形:如果在非封閉線路的兩端都要植樹(shù),那么 :株數(shù)段數(shù)1全長(zhǎng)÷株距1全長(zhǎng)株距×(株數(shù) 1)株距全長(zhǎng)÷(株數(shù) 1)如果在非封閉線路的一端要植樹(shù),另一端不要植樹(shù),那么 :株數(shù)段數(shù)全長(zhǎng)÷株距全長(zhǎng)株距×株數(shù)株距全長(zhǎng)÷株數(shù)如果在非封閉線路的兩端都不要植樹(shù),那么 :株數(shù)段數(shù)1全長(zhǎng)÷株距1全長(zhǎng)株距×(株數(shù) 1)株距全長(zhǎng)÷(株數(shù) 1)2、封閉線路上的植樹(shù)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系如

7、下株數(shù)段數(shù)全長(zhǎng)÷株距全長(zhǎng)株距×株數(shù)株距全長(zhǎng)÷株數(shù)盈虧問(wèn)題（盈虧 )÷兩次分配量之差參加分配的份數(shù)(大盈小盈 )÷兩次分配量之差參加分配的份數(shù)（大虧小虧)÷兩次分配量之差參加分配的份數(shù)相遇問(wèn)題相遇路程速度和×相遇時(shí)間相遇時(shí)間相遇路程÷速度和速度和相遇路程÷相遇時(shí)間追及問(wèn)題追及距離速度差×追及時(shí)間追及時(shí)間追及距離÷速度差速度差追及距離÷追及時(shí)間流水問(wèn)題順流速度靜水速度水流速度逆流速度靜水速度水流速度靜水速度 (順流速度逆流速度)÷ 2水流速度 (順流速度逆流速度)

8、47; 2濃度問(wèn)題溶質(zhì)的重量溶劑的重量溶液的重量只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%濃度溶液的重量×濃度溶質(zhì)的重量溶質(zhì)的重量÷濃度溶液的重量利潤(rùn)與折扣問(wèn)題利潤(rùn)售出價(jià)成本利潤(rùn)率利潤(rùn)÷成本×100% (售出價(jià)÷成本1)× 100%漲跌金額本金×漲跌百分比折扣實(shí)際售價(jià)÷原售價(jià)×100%( 折扣 1)利息本金×利率×時(shí)間稅后利息本金×利率×時(shí)間×(1 20%)長(zhǎng)度單位換算1 千米（ km）

9、=1000 米 (m)1 米(m)=10 分米 (dm)1 分米 (dm)=10 厘米 (cm)1 米(m)=100 厘米 (cm)1 厘米 (cm)=10 毫米 (mm)面積單位換算1 平方千米 (km2)=100 公頃 (ha)1 公頃 (ha)=10000 平方米 (m2)1 平方米 (m2)=100 平方分米 (dm2)1 平方分米 (dm2)=100 平方厘米 (cm2)1 平方厘米 (cm2)=100 平方毫米 (mm2)體( 容)積單位換算1 立方米 (m3)=1000 立方分米 (dm3) 1 立方分米 (dm3)=1000 立方厘米 (cm3) 1 立方分米 (dm3)=1

10、升 (l)1 立方厘米 (cm3) =1 毫升 (ml)1 立方米 (m3) =1000 升 (l)重量單位換算1 噸 (t)=1000 千克 (kg)1 千克 (kg)=1000 克 (g)1 千克 (kg)=1 公斤 (kg)人民幣單位換算1元=10 角1 角=10 分1 元=100 分時(shí)間單位換算1 世紀(jì) =100 年1 年 =12 月大月 (31 天 )有 :135781012 月小月 (30 天 )的有 :46911 月平年 2 月 28 天, 閏年2 月 29 天平年全年365 天, 閏年全年366 天1 日 =24 小時(shí)（h）1 小時(shí)（h）=60 分（ s）1 分（ min ）=

11、60 秒（ s）1小時(shí)（ h）=3600 秒（ s）追擊問(wèn)題公式相向而行）：追及路程 / 追及速度和 =追及時(shí)間（同向而行）：追及路程 / 追及速度差 =追及時(shí)間追及距離除以速度差等于追及時(shí)間.追及時(shí)間乘以速度差等于追及距離.追及距離除以追及時(shí)間等于速度差 . 追及：速度差×追及時(shí)間=追及路程追及路程÷速度差=追及時(shí)間 (同向追及 )只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除甲路程乙路程 =追及時(shí)相差的路程相遇：相遇路程÷速度和 =相遇時(shí)間速度和×相遇時(shí)間=相遇路程速度差×追及時(shí)間=追及路程追及路程÷速度差 =追及時(shí)間

12、 (同向追及 )甲路程乙路程 =追及時(shí)相差的路集合我所搜到的答案基本內(nèi)容工程問(wèn)題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點(diǎn)，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思維能力的重要工具。它是函數(shù)一一對(duì)應(yīng)思想在應(yīng)用題中的有力滲透。工程問(wèn)題也是教材的難點(diǎn)。工程問(wèn)題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來(lái)比較困難。因此，在教學(xué)中，如何讓學(xué)生建立正確概念是數(shù)學(xué)應(yīng)用題的關(guān)鍵。本節(jié)課從始至終都以工程問(wèn)題的概念來(lái)貫穿，目的在于使學(xué)生理解并熟練掌握概念。聯(lián)系實(shí)際談話引入。引入設(shè)懸，滲透概念。目的在于讓學(xué)生復(fù)習(xí)理解工作總量、工作時(shí)間、工作效率之間的概念及它們之間的數(shù)量關(guān)系。初步的復(fù)習(xí)再次強(qiáng)化工程問(wèn)題的

13、概念。通過(guò)比較，建立概念。在教學(xué)中充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，運(yùn)用學(xué)生已有的知識(shí)“包含除”來(lái)解決合作問(wèn)題。合理運(yùn)用強(qiáng)化概念。學(xué)生在感知的基礎(chǔ)上，于只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除頭腦中初步形成了概念的表象，具備概念的原型。一部分學(xué)生只是接受了概念，還沒(méi)有完全消化概念。所以我編擬了練習(xí)題，目的在于通過(guò)學(xué)生運(yùn)用，來(lái)幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解、消化概念，使學(xué)生更加熟練的找到了工程問(wèn)題的解題方法。在學(xué)生大量練習(xí)后，引出含有數(shù)量的工作問(wèn)題，讓學(xué)生自己找到問(wèn)題的答案。從而又一次突出工程問(wèn)題概念的核心。在日常生活中，做某一件事，制造某種產(chǎn)品，完成某項(xiàng)任務(wù)，完成某項(xiàng)工程等等，都要涉及到工作量、工

14、作效率、工作時(shí)間這三個(gè)量，它們之間的基本數(shù)量關(guān)系是工作量 =工作效率×時(shí)間.在小學(xué)數(shù)學(xué)中，探討這三個(gè)數(shù)量之間關(guān)系的應(yīng)用題，我們都叫做“工程問(wèn)題”.舉一個(gè)簡(jiǎn)單例子.：一件工作，甲做10 天可完成，乙做15 天可完成 .問(wèn)兩人合作幾天可以完成？一件工作看成1 個(gè)整體，因此可以把工作量算作 1.所謂工作效率，就是單位時(shí)間內(nèi)完成的工作量，我們用的時(shí)間單位是“天” ，1 天就是一個(gè)單位，再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到所需時(shí)間 =工作量÷工作效率=6（天） ?只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除兩人合作需要6 天 .這是工程問(wèn)題中最基本的問(wèn)題，這一講介紹的許多例子都是

15、從這一問(wèn)題發(fā)展產(chǎn)生的.為了計(jì)算整數(shù)化（盡可能用整數(shù)進(jìn)行計(jì)算），如第三講例3 和例 8 所用方法，把工作量多設(shè)份額.還是上題， 10 與 15 的最小公倍數(shù)是30.設(shè)全部工作量為 30 份 .那么甲每天完成3 份，乙每天完成2 份.兩人合作所需天數(shù)是30÷（ 3+ 2） = 6（天）數(shù)計(jì)算，就方便些. 2.或者說(shuō)“工作量固定，工作效率與時(shí)間成反比例” .甲、乙工作效率的比是1510=3 2.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問(wèn)題，也需時(shí)間是因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書(shū)中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會(huì)使我們的解題思路更

16、靈活一些.一、兩個(gè)人的問(wèn)題標(biāo)題上說(shuō)的“兩個(gè)人” ，也可以是兩個(gè)組、兩個(gè)隊(duì)等等的兩個(gè)集體.只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除例 1 一件工作，甲做9 天可以完成，乙做6 天可以完成 .現(xiàn)在甲先做了3 天，余下的工作由乙繼續(xù)完成 .乙需要做幾天可以完成全部工作？答：乙需要做4 天可完成全部工作.解二： 9 與 6 的最小公倍數(shù)是18.設(shè)全部工作量是 18 份 .甲每天完成2 份，乙每天完成余下工作所需時(shí)間是3 份 .乙完成（ 18- 2 × 3）÷ 3= 4（天） .解三：甲與乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了 3 天，相當(dāng)于乙做了2 天 .乙完

17、成余下工作所需時(shí)間是6-2=4 （天） .例 2 一件工作，甲、乙兩人合作30 天可以完成，共同做了6 天后，甲離開(kāi)了，由乙繼續(xù)做了40天才完成 .如果這件工作由甲或乙單獨(dú)完成各需要多少天？解：共做了6 天后，原來(lái)，甲做24 天，乙做24 天，現(xiàn)在，甲做0 天，乙做 40=（ 24+16 ）天 .這說(shuō)明原來(lái)甲24 天做的工作，可由乙做16 天來(lái)代替 .因此甲的工作效率如果乙獨(dú)做，所需時(shí)間是只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除如果甲獨(dú)做，所需時(shí)間是答：甲或乙獨(dú)做所需時(shí)間分別是75 天和 50 天.例 3 某工程先由甲獨(dú)做63 天，再由乙單獨(dú)做28 天即可完成；如果由甲、乙兩

18、人合作，需48 天完成 .現(xiàn)在甲先單獨(dú)做42 天，然后再由乙來(lái)單獨(dú)完成，那么乙還需要做多少天？解：先對(duì)比如下：甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做 48 天 .就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20 （天），由此得出甲的甲先單獨(dú)做42 天，比 63 天少做了63-42=21 （天），相當(dāng)于乙要做因此，乙還要做28+28= 56 （天） .答：乙還需要做56 天.例 4 一件工程，甲隊(duì)單獨(dú)做10 天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做 30 天完成 .現(xiàn)在兩隊(duì)合作，其間甲隊(duì)休息了2 天，乙隊(duì)休息了8 天（不存在兩隊(duì)同一天休息）.問(wèn)開(kāi)始到完工共用了多少天時(shí)間？解一：甲隊(duì)單獨(dú)做8

19、天，乙隊(duì)單獨(dú)做2 天，共完成工作量只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除余下的工作量是兩隊(duì)共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+ 1= 11 （天） .答：從開(kāi)始到完工共用了11 天.解二：設(shè)全部工作量為30 份 .甲每天完成3 份，乙每天完成1 份 .在甲隊(duì)單獨(dú)做8 天，乙隊(duì)單獨(dú)做2 天之后，還需兩隊(duì)合作（ 30- 3 × 8- 1× 2）÷（ 3+1）= 1（天）.解三：甲隊(duì)做1 天相當(dāng)于乙隊(duì)做3 天.在甲隊(duì)單獨(dú)做8 天后，還余下（甲隊(duì)）10-8= 2（天）工作量 .相當(dāng)于乙隊(duì)要做2× 3=6（天）.乙隊(duì)單獨(dú)做 2 天后，還余下（乙隊(duì)）

20、6-2=4（天）工作量 .4=3+1，其中 3 天可由甲隊(duì)1 天完成，因此兩隊(duì)只需再合作1天.例 5 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做20 天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做 30 天完成 .現(xiàn)在他們兩隊(duì)一起做，其間甲隊(duì)休息了 3 天，乙隊(duì)休息了若干天.從開(kāi)始到完成共用了 16 天 .問(wèn)乙隊(duì)休息了多少天？解一：如果16 天兩隊(duì)都不休息，可以完成的工只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除作量是由于兩隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息期間未做的工作量是乙隊(duì)休息的天數(shù)是答：乙隊(duì)休息了 5 天半 .解二：設(shè)全部工作量為60 份 .甲每天完成3 份，乙每天完成 2 份 .兩隊(duì)休息期間未做的工作量是（ 3+2 ）&

21、#215; 16- 60= 20 （份） .因此乙休息天數(shù)是（ 20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天） .解三：甲隊(duì)做 2 天，相當(dāng)于乙隊(duì)做3天 .甲隊(duì)休息3 天，相當(dāng)于乙隊(duì)休息4.5 天.如果甲隊(duì)16 天都不休息，只余下甲隊(duì)4天工作量，相當(dāng)于乙隊(duì)6 天工作量，乙休息天數(shù)是16-6-4.5=5.5 （天） .例 6 有甲、乙兩項(xiàng)工作，張單獨(dú)完成甲工作要10 天，單獨(dú)完成乙工作要15 天；李單獨(dú)完成甲工作要8 天，單獨(dú)完成乙工作要20 天 .如果每項(xiàng)工作都可以由兩人合作，那么這兩項(xiàng)工作都完成最少需要多少天？解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收

22、集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.設(shè)乙的工作量為60 份（ 15 與 20 的最小公倍數(shù)），張每天完成4 份，李每天完成3 份.8 天，李就能完成甲工作.此時(shí)張還余下乙工作（ 60-4 × 8）份 .由張、李合作需要（ 60-4× 8）÷（ 4+3） =4（天） .8+4=12（天） .答：這兩項(xiàng)工作都完成最少需要12天.例 7 一項(xiàng)工程，甲獨(dú)做需10 天，乙獨(dú)做需15天，如果兩人合作，他要 8 天完成這項(xiàng)工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？解：設(shè)這項(xiàng)工程的工作量為30 份，甲每天完成3 份，乙每天完成2

23、份 .兩人合作，共完成3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2 （份） .因?yàn)閮扇撕献魈鞌?shù)要盡可能少，獨(dú)做的應(yīng)是工作效率較高的甲.因?yàn)橐? 天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是（ 30-3× 8）÷（ 4.2-3） =5（天） .很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同籠”型問(wèn)題.例 8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除的工作效率比單獨(dú)做時(shí)快如果這件工作始終由甲一人單獨(dú)來(lái)做，需要多少小時(shí)？解：乙 6 小時(shí)單獨(dú)工作完成的工作量是乙每小時(shí)完成的工作量是兩人合作 6 小時(shí)，甲完成的工作量是甲單獨(dú)做時(shí)每小時(shí)完成的工作

24、量甲單獨(dú)做這件工作需要的時(shí)間是答：甲單獨(dú)完成這件工作需要33小時(shí).這一節(jié)的多數(shù)例題都進(jìn)行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使所有工程問(wèn)題的計(jì)算簡(jiǎn)便 .例 8 就是如此 .例 8 也可以整數(shù)化，當(dāng)求出乙每有一點(diǎn)方便，但好處不大.不必多此一舉.二、多人的工程問(wèn)題我們說(shuō)的多人，至少有3 個(gè)人，當(dāng)然多人問(wèn)題要比 2 人問(wèn)題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還是差不多 .例 9 一件工作，甲、乙兩人合作36 天完成，乙、丙兩人合作45 天完成，甲、丙兩人合作要60天完成 .問(wèn)甲一人獨(dú)做需要多少天完成？解：設(shè)這件工作的工作量是1.只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除甲、乙、丙三人合

25、作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨(dú)做需要 90 天完成 .例 9 也可以整數(shù)化，設(shè)全部工作量為180 份，甲、乙合作每天完成5 份，乙、丙合作每天完成4 份，甲、丙合作每天完成3 份 .請(qǐng)?jiān)囈辉?，?jì)算是否會(huì)方便些？例 10 一件工作，甲獨(dú)做要 12 天，乙獨(dú)做要 18天，丙獨(dú)做要 24 天 .這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3 倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2 倍，終于做完了這件工作.問(wèn)總共用了多少天？解：甲做 1 天，乙就做 3 天，丙就做3× 2=6（天） .說(shuō)明甲做了2 天，乙做了2× 3=6

26、 （天），丙做2× 6=12( 天），三人一共做了2+6+12=20 （天） .答：完成這項(xiàng)工作用了20 天.本題整數(shù)化會(huì)帶來(lái)計(jì)算上的方便.12， 18， 24這三數(shù)有一個(gè)易求出的最小公倍數(shù)72.可設(shè)全部工作量為 72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除成 3.總共用了例 11 一項(xiàng)工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成 .如果丙休息2 天，乙就要多做4 天，或者由甲、乙兩人合作1 天.問(wèn)這項(xiàng)工程由甲獨(dú)做需要多少天？解：丙 2 天的工作量，相當(dāng)乙4 天的工作量 .丙的工作效率是乙的工作效率的4÷ 2=2 （倍），甲

27、、乙合作1 天，與乙做4 天一樣 .也就是甲做1 天，相當(dāng)于乙做3 天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他們共同做13 天的工作量，由甲單獨(dú)完成，甲需要答：甲獨(dú)做需要26 天.事實(shí)上，當(dāng)我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是 32 1，就知甲做1 天，相當(dāng)于乙、丙合作 1 天 .三人合作需13 天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13 天來(lái)完成 .例 12 某項(xiàng)工作，甲組 3 人 8 天能完成工作，乙組 4 人 7 天也能完成工作 .問(wèn)甲組 2 人和乙組 7 人合作多少時(shí)間能完成這項(xiàng)工作？解一：設(shè)這項(xiàng)工作的工作量是1.甲組每人每天能完成只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)

28、系網(wǎng)站刪除乙組每人每天能完成甲組 2 人和乙組7 人每天能完成答：合作 3 天能完成這項(xiàng)工作.解二：甲組3 人 8 天能完成，因此2 人 12 天能完成；乙組4 人 7 天能完成，因此7 人 4 天能完成 .現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：甲組獨(dú)做 12 天，乙組獨(dú)做4 天，問(wèn)合作幾天完成？小學(xué)算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運(yùn)用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù) .例 13 制作一批零件，甲車(chē)間要 10 天完成，如果甲車(chē)間與乙車(chē)間一起做只要 6 天就能完成 .乙車(chē)間與丙車(chē)間一起做，需要 8 天才能完成 .現(xiàn)在三個(gè)車(chē)間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車(chē)間比乙車(chē)間多制作零件2400 個(gè)

29、.問(wèn)丙車(chē)間制作了多少個(gè)零件？解一：仍設(shè)總工作量為1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車(chē)間制作的零件數(shù)目是答：丙車(chē)間制作了4200 個(gè)零件 .解二： 10 與 6 最小公倍數(shù)是30.設(shè)制作零件全只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除部工作量為30 份 .甲每天完成3 份，甲、乙一起每天完成 5 份，由此得出乙每天完成2 份 .乙、丙一起，8 天完成 .乙完成 8× 2=16（份），丙完成30-16=14 （份），就知乙、丙工作效率之比是16 14=87.已知甲、乙工作效率之比是32= 12 8.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是12 8 7.當(dāng)三個(gè)車(chē)間一起

30、做時(shí)，丙制作的零件個(gè)數(shù)是2400÷（ 12- 8 ） ×7= 4200 （個(gè)） .例 14 搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物，甲需要10 小時(shí)，乙需要 12 小時(shí)，丙需要15 小時(shí) .有同樣的倉(cāng)庫(kù)A 和 B，甲在 A 倉(cāng)庫(kù)、乙在B 倉(cāng)庫(kù)同時(shí)開(kāi)始搬運(yùn)貨物，丙開(kāi)始幫助甲搬運(yùn)，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運(yùn).最后兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)貨物同時(shí)搬完.問(wèn)丙幫助甲、乙各多少時(shí)間？解：設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當(dāng)于三人共同完成工作量2，所需時(shí)間是答：丙幫助甲搬運(yùn)3 小時(shí)，幫助乙搬運(yùn)5 小時(shí) .解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運(yùn)兩個(gè)倉(cāng)庫(kù)的時(shí)間 .本題計(jì)算當(dāng)然也可以整數(shù)化，設(shè)搬運(yùn)一個(gè)倉(cāng)庫(kù)全部工作量為60.甲每小時(shí)搬

31、運(yùn)6，乙每只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除小時(shí)搬運(yùn)5，丙每小時(shí)搬運(yùn)4.三人共同搬完，需要60 × 2÷ （ 6+ 5+ 4）= 8（小時(shí)） .甲需丙幫助搬運(yùn)（ 60- 6× 8）÷ 4= 3（小時(shí)） .乙需丙幫助搬運(yùn)（ 60- 5× 8）÷ 4= 5（小時(shí)） .三、水管問(wèn)題從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來(lái)看，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題是一樣的 .水池的注水或排水相當(dāng)于一項(xiàng)工程，注水量或排水量就是工作量.單位時(shí)間里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的問(wèn)題，不過(guò)是工作量有加有減罷了.因此，水管問(wèn)題與工程問(wèn)題的解題思路基本相

32、同.例 15 甲、乙兩管同時(shí)打開(kāi)， 9 分鐘能注滿水池.現(xiàn)在，先打開(kāi)甲管， 10 分鐘后打開(kāi)乙管，經(jīng)過(guò)3 分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入0.6 立方米水，這個(gè)水池的容積是多少立方米？解：甲每分鐘注入水量是：（ 1-1/9× 3）÷ 10=1/15乙每分鐘注入水量是：1/9-1/15=2/45因此水池容積是：0.6÷（ 1/15-2/45 ）=27 （只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除立方米）答：水池容積是27 立方米 .例 16 有一些水管，它們每分鐘注水量都相等.現(xiàn)在打開(kāi)其中若干根水管，經(jīng)過(guò)預(yù)定的時(shí)間的1/3，再把打開(kāi)的水管

33、增加一倍，就能按預(yù)定時(shí)間注滿水池，如果開(kāi)始時(shí)就打開(kāi)10 根水管，中途不增開(kāi)水管，也能按預(yù)定時(shí)間注滿水池.問(wèn)開(kāi)始時(shí)打開(kāi)了幾根水管？分析：增開(kāi)水管后，有原來(lái)2 倍的水管，注水時(shí)間是預(yù)定時(shí)間的1-1/3=2/3 ， 2/3 是 1/3 的 2 倍，因此增開(kāi)水管后的這段時(shí)間的注水量，是前一段時(shí)間注水量的4 倍。設(shè)水池容量是1，前后兩段時(shí)間的注水量之比為：1： 4，那么預(yù)定時(shí)間的1/3（即前一段時(shí)間）的注水量是 1/（ 1+4 ）=1/5 。10 根水管同時(shí)打開(kāi)，能按預(yù)定時(shí)間注滿水，每根水管的注水量是 1/10，預(yù)定時(shí)間的 1/3，每根水官的注水量是 1/10 × 1/3=1/30要注滿水池的

34、1/5，需要水管1/5 ÷1/30=6 （根）解：前后兩段時(shí)間的注水量之比為：1： （ 1-1/3）÷ 1/3×2=1 ： 4只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除前段時(shí)間注水量是：1÷（ 1+4 ）=1/5每根水管在預(yù)定1/3 的時(shí)間注水量為：1÷ 10× 1/3=1/30開(kāi)始時(shí)打開(kāi)水管根數(shù)：1/5÷1/30=6 （根）答：開(kāi)始時(shí)打開(kāi)6 根水管。例 17 蓄水池有甲、丙兩條進(jìn)水管，和乙、丁兩條排水管 .要灌滿一池水，單開(kāi)甲管需3 小時(shí)，單開(kāi)丙管需要5 小時(shí) .要排光一池水，單開(kāi)乙管需要4 小，丁管需要6

35、 小時(shí)，現(xiàn)在水池內(nèi)有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙 的順序輪流打開(kāi) 1 小時(shí)，問(wèn)多少時(shí)間后水開(kāi)始溢出水池？分析：，否則開(kāi)甲管的過(guò)程中水池里的水就會(huì)溢出.以后（ 20 小時(shí)），池中的水已有此題與廣為流傳的“青蛙爬井”是相仿的：一只掉進(jìn)了枯井的青蛙，它要往上爬30 尺才能到達(dá)井口，每小時(shí)它總是爬3 尺，又滑下2 尺 .問(wèn)這只青蛙需要多少小時(shí)才能爬到井口？看起來(lái)它每小時(shí)只往上爬3- 2= 1（尺），但爬了 27 小時(shí)后，它再爬1 小時(shí)，往上爬了3 尺已到達(dá)井口 .因此，答案是28 小時(shí)，而不是30 小時(shí) .只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除例 18 一個(gè)蓄水池，每分

36、鐘流入4 立方米水 .如果打開(kāi) 5 個(gè)水龍頭， 2 小時(shí)半就把水池水放空，如果打開(kāi) 8 個(gè)水龍頭， 1 小時(shí)半就把水池水放空.現(xiàn)在打開(kāi) 13 個(gè)水龍頭，問(wèn)要多少時(shí)間才能把水放空？解：先計(jì)算1 個(gè)水龍頭每分鐘放出水量.2 小時(shí)半比1 小時(shí)半多60 分鐘，多流入水4 × 60= 240（立方米） .時(shí)間都用分鐘作單位，1 個(gè)水龍頭每分鐘放水量是240 ÷ （ 5× 150- 8 × 90） = 8（立方米），8 個(gè)水龍頭1 個(gè)半小時(shí)放出的水量是8×8×90，其中90 分鐘內(nèi)流入水量是4 × 90，因此原來(lái)水池中存有水8 

37、5; 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米） .打開(kāi) 13 個(gè)水龍頭每分鐘可以放出水8× 13，除去每分鐘流入4，其余將放出原存的水，放空原存的 5400，需要5400 ÷（ 8 × 13- 4） =54 （分鐘） .答：打開(kāi) 13 個(gè)龍頭，放空水池要54 分鐘 .水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除水，就需要分開(kāi)考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中原存有的水 .這在題目中卻是隱含著的.例 19 一個(gè)水池，地下水從四壁滲入池中，每小時(shí)滲入水量是固定的 .打開(kāi) A 管， 8 小時(shí)可

38、將滿池水排空，打開(kāi) C 管， 12 小時(shí)可將滿池水排空 .如果打開(kāi) A ，B 兩管， 4 小時(shí)可將水排空 .問(wèn)打開(kāi) B ，C 兩管，要幾小時(shí)才能將滿池水排空？解：設(shè)滿水池的水量為1.A 管每小時(shí)排出A管4小時(shí)排出因此， B ， C 兩管齊開(kāi)，每小時(shí)排水量是B，C 兩管齊開(kāi)，排光滿水池的水，所需時(shí)間是答： B ， C 兩管齊開(kāi)要4 小時(shí)48 分才將滿池水排完 .本題也要分開(kāi)考慮，水池原有水（滿池）和滲入水量 .由于不知具體數(shù)量，像工程問(wèn)題不知工作量的具體數(shù)量一樣.這里把兩種水量分別設(shè)成“1”.但這兩種量要避免混淆.事實(shí)上，也可以整數(shù)化，把原有水設(shè)為8 與 12 的最小公倍數(shù)24.17 世紀(jì)英國(guó)偉

39、大的科學(xué)家牛頓寫(xiě)過(guò)一本普遍算術(shù)一書(shū)，書(shū)中提出了一個(gè)“牛吃草”問(wèn)題，這是一道饒有趣味的算術(shù)題 .從本質(zhì)上講，與例 18 和只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除例 19 是類(lèi)同的 .題目涉及三種數(shù)量：原有草、新長(zhǎng)出的草、牛吃掉的草.這與原有水量、滲入水量、水管排出的水量，是完全類(lèi)同的.例 20 有三片牧場(chǎng)，場(chǎng)上草長(zhǎng)得一樣密，而且長(zhǎng)得一草； 21 頭牛 9 星期吃完第二片牧場(chǎng)的草.問(wèn)多少頭牛 18 星期才能吃完第三片牧場(chǎng)的草？解：吃草總量=一頭牛每星期吃草量×牛頭數(shù)×星期數(shù) .根據(jù)這一計(jì)算公式，可以設(shè)定“一頭牛每星期吃草量”作為草的計(jì)量單位.原有草 +4 星

40、期新長(zhǎng)的草 =12× 4.原有草 +9 星期新長(zhǎng)的草 =7× 9.由此可得出，每星期新長(zhǎng)的草是（ 7× 9-12× 4）÷（ 9-4） =3.那么原有草是7× 9-3× 9=36（或者 12× 4-3×4） .對(duì)第三片牧場(chǎng)來(lái)說(shuō)，原有草和18 星期新長(zhǎng)出草的總量是這些草能讓90× 7.2÷ 18=36（頭）牛吃 18 個(gè)星期 .答： 36 頭牛 18 個(gè)星期能吃完第三片牧場(chǎng)的草.只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除例 20 與例 19 的解法稍有一點(diǎn)不一樣.例 20 把“新長(zhǎng)的”具體地求出來(lái)，把“原有的”與“新長(zhǎng)的”兩種量