2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題與解答(B卷)（精編版）

1、. . 1 / 19 2017 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽一試b卷一、填空題：本大題共8 個小題 , 每小題 8 分, 共 64 分. 1. 在等比數(shù)列na中,22a,333a, 則1201172017aaaa的值為 . 2. 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足91022zzi, 則|z的值為 . 3. 設(shè)( )f x是定義在r上的函數(shù) , 若2( )f xx是奇函數(shù) ,( )2xf x是偶函數(shù) , 則(1)f的值為 . 4. 在abc中 , 若sin2sinac, 且三條邊, ,a b c成等比數(shù)列 , 則cosa的值為 . 5. 在正四面體abcd中,e f分別在棱,ab ac上, 滿足3be,4ef, 且ef與平

2、面bcd平行 , 則def的面積為 . 6. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中, 點集(, )| ,1,0,1kx yx y, 在k中隨機取出三個點, 則這三個點兩兩之間距離均不超過2 的概率為 . 7. 設(shè)a為非零實數(shù) , 在平面直角坐標(biāo)系xoy中, 二次曲線2220 xaya的焦距為4, 則a的值為 . 8. 若正整數(shù), ,a b c滿足2017101001000abc, 則數(shù)組( , , )a b c的個數(shù)為 . 二、解答題本大題共 3小題, 共 56 分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟. 9. 設(shè)不等式| 2| |52 |xxa對所有1,2x成立 ,xx 數(shù)a的取值范圍 . 10.

3、設(shè)數(shù)列na是等差數(shù)列 , 數(shù)列nb滿足212nnnnbaaa,1,2,n. . . 2 / 19 1證明：數(shù)列nb也是等差數(shù)列；2設(shè)數(shù)列na、nb的公差均是0d,并且存在正整數(shù), s t, 使得stab是整數(shù) , 求1|a的最小值 . 11. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中, 曲線21:4cyx, 曲線222:(4)8cxy, 經(jīng)過1c上一點p作一條傾斜角為45的直線l, 與2c交于兩個不同的點,q r, 求| |pqpr的取值范圍 . 2017 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽加試b卷一、 本題滿分 40 分. . 3 / 19 設(shè)實數(shù), ,a b c滿足0abc, 令max,dab c, 證明：2(1)(

4、1)(1)1abcd二、 本題滿分 40 分給定正整數(shù)m, 證明：存在正整數(shù)k, 使得可將正整數(shù)集n分拆為k個互不相交的子集12,kaaa, 每個子集ia中均不存在4 個數(shù), , ,a b c d可以相同, 滿足abcdm. 三、 本題滿分 50 分如圖 , 點d是銳角abc的外接圓上弧bc的中點 , 直線da與圓過點,b c的切線分別相交于點. . 4 / 19 ,p q,bq與ac的交點為x,cp與ab的交點為y,bq與cp的交點為t, 求證：at平分線段xy. 四、 本題滿分 50 分設(shè)1220,1,2,5a aa,1220,1,2,10b bb, 集合( , ) 120,()()0ij

5、ijxi jijaabb, 求x的元素個數(shù)的最大值. 一試試卷答案1. 答案：89. . 5 / 19 解：數(shù)列na的公比為33232aqa, 故120111201166720171201118()9aaaaaaqaaq. 2. 答案：5解：設(shè), ,zabi a br, 由條件得(9)10( 1022)abiabi, 比較兩邊實虛部可得9101022aabb, 解得：1,2ab, 故12zi, 進而|5z. 3. 答案：74解：由條件知,2(1)1( 1)( 1) )( 1)1fff,1(1)2( 1)2ff, 兩式相加消去( 1)f, 可知：12(1)32f, 即7(1)4f. 4. 答案：

6、24解：由正弦定理知,sin2sinaacc, 又2bac, 于是:2 :2 :1a b c, 從而由余弦定理得：222222(2)122cos24221bcaabc. 5. 答案：2 33解：由條件知,ef平行于bc, 因為正四面體abcd的各個面是全等的正三角形, 故4aeafef,7adabaebe. 由余弦定理得,222cos60deadaeadae?49162837, 同理有37df. 作等腰def底邊ef上的高dh, 則122ehef, 故2233dhdeeh, 于是12 332defsef dh. 6. 答案：514解：注意k中共有 9 個點 , 故在k中隨機取出三個點的方式數(shù)為

7、3984c種, 當(dāng)取出的三點兩兩之間距離不超過2 時, 有如下三種情況：. . 6 / 19 1三點在一橫線或一縱線上, 有 6 種情況 , 2三點是邊長為1,1, 2的等腰直角三角形的頂點, 有4416種情況 , 3三點是邊長為2,2, 2的等腰直角三角形的頂點,其中 , 直角頂點位于(0,0)的有 4 個,直角頂點位于( 1,0),(0, 1)的各有一個 , 共有 8 種情況 . 綜上可知 ,選出三點兩兩之間距離不超過2 的情況數(shù)為616830, 進而所求概率為3058414. 7. 答案：1172解：二次曲線方程可寫成2221xyaa, 顯然必須0a, 故二次曲線為雙曲線, 其標(biāo)準(zhǔn)方程為

8、22221()()yxaa, 則2222()()caaaa, 注意到焦距24c, 可知24aa, 又0a, 所以1172a. 8. 答案： 574 解：由條件知201721000c, 當(dāng)1c時, 有1020b, 對于每個這樣的正整數(shù)b, 由10201ba知,相應(yīng)的a的個數(shù)為202 10b, 從而這樣的正整數(shù)組的個數(shù)為2010(1022)11(20210 )5722bb, 當(dāng)2c時 ,由201720100b, 知 ,20b, 進而201720020110a, 故200,201a, 此時共有2組( , , )a b c. 綜上所述 ,滿足條件的正整數(shù)組的個數(shù)為5722574. 9. 解：設(shè)2xt,

9、 則2,4t, 于是| | 5|tat對所有2,4t成立 , 由于22| | 5|()(5)tattat,(25)(5)0taa, 對給定實數(shù)a, 設(shè)( )(25)(5)f ttaa, 則( )f t是關(guān)于t的一次函數(shù)或常值函數(shù), 注意2,4t, 因此( )0f t等價于(2)( 1)(5)0(4)(3)(5)0faafaa, 解得35a所以實數(shù)a的取值范圍是35a. . . 7 / 19 10. 解： 1設(shè)等差數(shù)列na的公差為d, 則22123112()()nnnnnnnnbbaaaaaa23111()()()nnnnnnnaaaaaaa212()nnnadaad221(2)3nnnaaad

10、d所以數(shù)列nb也是等差數(shù)列. 2由已知條件及1的結(jié)果知：23dd, 因為0d, 故13d, 這樣2212()(2 )nnnnnnnbaaaadada22329nndada若正整數(shù), s t滿足stabz, 則1122(1)(1)99ststababasdatd122239staz. 記122239stla, 則lz, 且1183(31)1alst是一個非零的整數(shù), 故1|18| 1a, 從而11|18a. 又當(dāng)1118a時, 有1311711818abz, 綜上所述 ,1|a的最小值為118. 11. 解：設(shè)2(,2 )p tt, 則直線l的方程為22yxtt, 代入曲線2c的方程得 ,222

11、(4)(2)8xxtt, 化簡可得：222222(24)(2 )80 xttxtt , 由于l與2c交于兩個不同的點, 故關(guān)于x的方程的判別式為正 , 計算得 , 222222222(24)2(2 )8)(2 )8(2 )162(2 )164tttttttttt222(2 )8(2 )tttt22(2 )(28)tttt(2)(2)(4)t ttt, 因此有( 2,0)(2,4)t, 設(shè),q r的橫坐標(biāo)分別為12,xx, 由知 ,21224xxtt,22121(2 )8)2x xtt, 因此 , 結(jié)合l的傾斜角為45可知 , 2224121212| |2()2()22()2pqprxtxtx

12、xtxxt22224(2 )82(24)2tttttt. . 8 / 19 43243244482482ttttttt4248tt22(2)4t, 由可知 ,22( 2,2)(2,14)t, 故22(2)0, 4)(4,196)t, 從而由得：22| | (2)44,8)(8,200)pqprt注 1：利用2c的圓心到l的距離小于2c的半徑 , 列出不等式242| 222tt, 同樣可以求得中t的范圍 . 注 2：更簡便的計算| |pqpr的方式是利用圓冪定理, 事實上 ,2c的圓心為(4,0)m, 半徑為22r, 故22222242| | |(4)(2 )(22)48pqprpmrtttt.

13、 加試試卷答案一、證明：當(dāng)1d時, 不等式顯然成立以下設(shè)01d, 不妨設(shè),a b不異號 , 即0ab, 那么有(1)(1)11110ababababcd因此222(1)(1)(1)(1)(1)111abcccccd二、. . 9 / 19 證明：取1km, 令(mod1),iax ximxn,1,2,1im設(shè), , ,ia b c da, 則0(mod1)abcdiiiim?, 故1mabcd, 而1mm, 所以在ia中不存在4 個數(shù), , ,a b c d, 滿足abcdm三、證明：首先證明/yxbc, 即證axayxcyb連接,bd cd, 因為acqacqabcabcabpabpssss

14、ss?, 所以111sinsinsin222111sinsinsin222ac cqacqacbcacbacaqcaqabbcabcabbpabpabapbap?, 由題設(shè) ,bp cq是圓的切線 , 所以acqabc,acbabp, 又caqdbcdcbbap注意d是弧bc的中點 , 于是由知abaqcqacapbp?因為caqbap, 所以baqcap, 于是1sin21sin2abqacpabaqbaqsabaqsacapacapcap?而1sin21sin2bcqbcpbccqbcqscqsbpbcbpcbp?由 , , 得abqcbqacpbcpssss, 即abqacpcbqbcp

15、ssss又abqcbqsaxsxc,acpbcpsaysyb故axayxcyb設(shè)邊bc的中點為m, 因為1axcmbyxcmbya?, . . 10 / 19 所以由塞瓦定理知,am bx cy三線共點 , 交點即為t, 故由/yxbc可得at平分線段xy四、解：考慮一組滿足條件的正整數(shù)12201220(,)a aab bb對1,2,5k, 設(shè)120,aa中取值為k的數(shù)有kt個, 根據(jù)x的定義 , 當(dāng)ijaa時,( , )i jx, 因此至少有521ktkc個( , )i j不在x中, 注意到5120kkt, 則柯西不等式, 我們有5555522211111111120()()20 (1)3022525ktkkkkkkkkkctttt?從而x的元素個數(shù)不超過2203019030160c另一方面 ,取4342414kkkkaaaak1,2,5k,6i