2015年數學建模試題及論文

1、 眾籌筑屋規(guī)劃方案設計摘 要眾籌筑屋是互聯網時代一種新型的房地產形勢，在整個建房規(guī)劃設計中，需考慮諸多因素，研究這些影響因素對筑屋計劃中企業(yè)各方面的核算具有重大重義。針對問題一，利用spss軟件對住房成本、收益、容積率、增值稅額進行統(tǒng)計分析，建立數學統(tǒng)計模型，得出方案i的容積率接近于國家規(guī)定最大容積率要求，使得開發(fā)商的利潤相對增大，卻使得參籌者的滿意度降低。而對于增值稅的計算綜合考慮了增值額和稅率的四級累進計算。針對問題二，設計新方案ii以較大程度的提高參籌者滿意度。對此建立開發(fā)商利潤最大和參籌者滿意度最高為目標的多目標線性規(guī)劃模型，運用matlab軟件編程，并對實驗結果作了進一步差方檢驗，驗

2、證了結果的可行性。針對問題三，采用bt項目模型，將銀行基準投資回報率作為共同因素f，計算資產期望收益，共同因素f的期望收益與方差以及二者的協(xié)方差，進而求得敏感系數，分析得銀行貸款利率的上升，各種市場風險發(fā)生的概率自然較大，投資回報率應相應提高，并在此基礎上分析了投資回報率的確定原則。在銀行貸款基準利率保持不變的情況下，求得投資回報率高于25%，分析得設計的方案二可以被成功實施。最后，針對建模過程中出現的問題，分析了結果的好壞，概括了論文的優(yōu)缺點，認為本文在房屋規(guī)劃建設中具有一定的參考價值。關鍵詞：增值額；容積率；線性規(guī)劃模型；投資回報率；rt模型1. 問題重述眾籌筑屋是互聯網時代一種新型的房地

3、產形式?，F有占地面積為102077.6平方米的眾籌筑屋項目（詳情見附件1）。項目推出后，有上萬戶購房者登記參籌。項目規(guī)定參籌者每戶只能認購一套住房。在建房規(guī)劃設計中，需考慮諸多因素，如容積率、開發(fā)成本、稅率、預期收益等。根據國家相關政策，不同房型的容積率、開發(fā)成本、開發(fā)費用等在核算上要求均不同，相關條例與政策見附件2和附件3。請你結合本題附件中給出的具體要求及相關政策，建立數學模型，回答如下問題：1. 為了信息公開及民主決策，需要將這個眾籌筑屋項目原方案（稱作方案）的成本與收益、容積率和增值稅等信息進行公布。請你們建立模型對方案i進行全面的核算，幫助其公布相關信息。2. 通過對參籌者進行抽樣調

4、查，得到了參籌者對11種房型購買意愿的比例（見附件1）。為了盡量滿足參籌者的購買意愿，請你重新設計建設規(guī)劃方案（稱為方案），并對方案ii進行核算。3. 一般而言，投資回報率達到25%以上的眾籌項目才會被成功執(zhí)行。你們所給出的眾籌筑屋方案能否被成功執(zhí)行？如果能，請說明理由。如果不能，應怎樣調整才能使此眾籌筑屋項目能被成功執(zhí)行？2. 模型假設（1）假設所有房子都如愿按照制定價格賣出。（2）假設題目所提供的數據在誤差允許的范圍內都是真實可靠的。（3）忽略參籌者偏好如有無學校，綠化率，停車位房屋建筑形式等對滿意度的影響。（4）城市的房價等其他情況相對比較穩(wěn)定，全局沒有大起大落的情況。（5）在模型當中不

5、考慮開發(fā)商的惡意炒作。3. 通用符號說明序號符號符號說明1總用地面積2銷售價格3取得土地支付金額4增值稅5投資者利潤6扣除項目金額7滿意度8土地增值稅額9轉讓房地產的有關稅金10房地開費用11房屋類型12房屋套數13單位面積開發(fā)成本 4 問題一：模型的建立及求解4.1問題分析 問題一要求計算房屋的成本及收益，容積率和增值稅等相關數據。對于成本及收益的計算，可以依據附件一提供的相關數據采用簡單的數學計算，收益即等于總開盤收入減去成本；而對于增值稅的求解，需考慮普通宅和非普通宅的面積比例，欲采用稅率累進的方式計算；容積率等于總建筑面積與用地面積的比率。4.2模型準備在解決本題之前，先了解房地產方面

6、的相關術語如下： 容積率：項目用地范圍內總建筑面積與項目總用地面積的比值，是一個小區(qū)的總建筑面積與用地面積的比率。企業(yè)在申請開發(fā)土地時已經申請了容積率。在建設實施時，不能超過企業(yè)申請的容積率。增值稅：對應收入額減除國家規(guī)定的各項扣除項目金額后的余額計算增值稅。目前國家對土地增值稅的核算中，普通宅與非普通宅的計算是分開的，計算土地增值稅是以增值額與扣除項目金額的比率大小按相適應的稅率累進計算征收的。比率越大，適用的稅率越高，繳納的稅款越多。增值額：轉讓房地產取得的收入減去扣除項目金額。4.3模型建立根據本題描述，可以得出：房屋成本的計算等于土地使用權所支付的金額加上開發(fā)成本費用加上欲轉讓房地產有

7、關的稅金再加上財政部規(guī)定的其他扣除項目，即：成本= 收益等于出售房屋所獲得的總收入減去成本，即：收益= 容積率的計算將會直接表現土地的利用程度，其容積率等于總建筑面積與基底面積的比率，即：容積率= / m在計算增值稅時，考慮到有一些項目不參與增值稅計算及增值稅實行四級超率累進稅率計算，建立如下程序圖： 圖1增值稅實行四級超率累進稅率計算程序圖44模型求解對于附件一中的數據，利用spss軟件對各房型進行分析和計算，得出下表：表1 各房型開發(fā)成本和房屋收入的核算其它扣除項目金額=元表2 各住宅類型所利用的面積普通宅面積所占總建筑面積的比例=61300/242225=0.253非普通宅所占比例0.7

8、47綜上所述，房屋的成本及收入，容積率，增值稅的多少如下表：表3 眾籌筑屋項目原方案的信息公示由上表分析，容積率2.275與國家規(guī)定的2.28非常相近，這對于開發(fā)商來說是非常有利的，因為這實現了土地的最大化利用，有利于開發(fā)商的最大化盈利；而對于住戶來說，容積率大說明小區(qū)的綠化公共設施就少，住戶的舒適度就顯著降低。5問題二：模型的建立及求解5.1問題分析 為了滿足參籌者的購買意愿，把得到的參籌者對11種房型購買意愿的比例進行分析，將參籌者對11種房型的購買意愿作為整體劃分比例，得到每種房型的需要比例；同時還要滿足容積率不能超過2.28；又要保證開發(fā)商得到的收益最大；根據申請規(guī)則和城建部門規(guī)定的1

9、1種房型最低套數約束和最高套數約束，擬建立一個新的規(guī)劃方案。5.2模型準備1.最優(yōu)房型構建模型7的確定在計算眾籌筑房所需的房型時，需要利用附件1中所給的土地總面積、花費金額等。由于地形限制和申請規(guī)則，城建部門規(guī)定的11種房型最低套數約束和最高套數約束，必須對每種房型數量進行計算。（1） 對參籌者對每種房型的購買意愿的比例進行重分配因為附件1-4給出的是參籌登記網民對房型的滿意程度，沒法進行單位計算所以要把整個的滿意比例看成一個單位，再將其重新確定每種房型所需的比例設登記網民對房型的滿意度為， （2）不能超過容積率的上限要滿足參籌者的購買意愿，又要不超過國家規(guī)定的最大容積率，根據附件1得知建筑用

10、地不能超過項目總用地的2.28，排除不列入房型9、房型10、房型11，將其他房型設為，套數設為，總的用地面積為 （3） 使投資者的受益最大化在滿足不超過國家規(guī)定的最大容積率，滿足參籌者的購買意愿的條件下，使投資者的效益最大化。就要考慮筑房的成本、售出房的價格、有關稅金等。將成本減到最低，總售價最大，從而使利潤得到最大。就要滿足如下條件：利潤=總售價成本 由此可得要使利潤最大，就要降低成本，增加售價5.3模型建立：針對房型的構建形式，要滿足參籌者的購買意愿，還要考慮地形限制和申請規(guī)則，又不能超過國家規(guī)定的最大容積率，還要達到利潤的最大。對此進行如下計算：（1）本題目標旨在讓開發(fā)商利潤最大且要滿足

11、參籌者的購房意愿，還不能超過國家規(guī)定容積率，根據讓投資者收益最大建立目標函數：在不考慮其他因素的條件下，設房型的序號為，分別表示房型1、房型2等。 （2）約束條件為建房面積與項目總用地的比值小于2.28.,及地形限制和申請規(guī)則，城建部門規(guī)定的11種房型最低套數約束和最高套數約束，得： 5.4模型求解對上述規(guī)劃條件進行l(wèi)ingo編程求解，得到的新的房屋套數如下： 表5 各房型建房套數對于得到的新的房屋套數分別得到如下計算結果： 表6 方案ii的信息公布情況6問題三：模型的建立及求解6.1問題分析基于問題二給出的建房套數，可以求算出投資回報率。由該題目可知，投資回報率達到25%以上的眾籌項目才會被

12、成功執(zhí)行。據此，可能得到問題二中給出的方案可以被順利實施。6.2模型準備 bt項目投資回報率：房地產的開發(fā)上采用bt模式，開發(fā)商的主要目標是獲得質量合格的項目為社會提供社會利益參籌者主要目標是通過投資獲得滿意的回報。在bt項目建設過程中，雙方的收益分配主要是通過回購方案進行確定的?；刭徺Y金主要分為兩部分，一部分是項目的建設費用，另一部分是投資項目得到的利潤。從開發(fā)商的角度來看，投資回報率越高越好，這樣他們獲得的收益也會越高；從參籌者的角度來看，他們總希望用較低的投資獲得合格的項目，但是所給出的投資回報率太低不足以吸引投資者，投資回報率太高，bt模式相對于銀行貸款等融資手段不能顯示出明顯的優(yōu)勢，

13、因此，對于bt模式來講，確定一個合理的投資回報率，既能滿足開發(fā)商的預期回報，又能在參籌者的期望值內，達到一種雙贏的局面，非常重要。6.3模型建立 （1）確定共同因素bt投資回報率通常是在同期銀行貸款基準利率的基礎上上浮幾個百分點，因此，認為同期銀行基準貸款利率是準繩；同期銀行貸款利率包含了購買力、利率期限等風險，為bt項目確定敏感系數帶來方便。因此，在這里選用bt項目建設周期的銀行基準貸款利率作為共同因素f。(2)確定期望收益和敏感系數在房地產開發(fā)項目中，開發(fā)商大都進行了較詳細的可行性分析，根據合同類型選擇模型，基礎設施bt 模式項目采用可調總價合同是比較合理的?？烧{總價合同，一般在不可抗力因

14、素發(fā)生的條件下，以及由于通貨膨脹因素導致物價提升，引起融資成本提高，并且提升的成本達到一定限度時，對合同總價進行調整。基于上述條件，在共同因素選取同期銀行基準貸款利率的條件下，采用bt模式的基礎設施建設的系統(tǒng)風險，主要有兩種：不可抗力與通貨膨脹。通過預測不可抗力，及通貨膨脹發(fā)生概率與開發(fā)商的收益，運用方差及協(xié)方差概念，便可以得到敏感系數 。 （3.1） 在概率論中，我們知道如果某時間發(fā)生的概率是，資產的收益為 ，共同因素的收益為，則可以利用（3.2）（3.3）（3.4）與（3.5）計算資產的期望收益、共同因素f的期望收益與方差、以及二者的協(xié)方差：資產的期望收益 （3.2）共同因素f的期望收益

15、(3.3)協(xié)方差 (3.4)共同因素方差 (3.5)將公式（3.3）（3.4）代入公式（3.1）的到敏感系數 。資產的期望收益可以利用公式（3.2）估計表 3建立不同狀態(tài)下的概率及投資收益如下狀態(tài)發(fā)生概率期望投資回報率銀行貸款基準利息1 2 3 45 6 依據公式（3.2）、（3.3）（3.4）（3.5）計算該項目與共同因素的協(xié)方差和共同因素的方差，代入公式（3.1）便可得到bt項目敏感系數 將期望收益 、敏感性系數 及共同因素的變動幅度代入公式 便可計算出bt項目投資回報率6.4模型求解（1）投資回報率計算將第二問新設計的房屋套數，利用公式（3.2）（3.3）（3.5）可以計算出 、與 ：

16、因此，利用單因素逃離模型計算的bt 項目投資回報率為：所以銀行貸款基準利率不變的話，bt項目的投資回報率為 從上述計算過程看，利用單因素逃離模型不但可以對bt項目投資回報率進行估計，但銀行基準利率變化時，也可對回報率進行調整。而對于計算結果分析的40.44%大于25% ，所以問題而給出的方案可以被成功實施。7.模型評價7.1模型優(yōu)點 本文中對房型的最優(yōu)解問題采用線性規(guī)劃模型，其計算過程簡單易懂，準確率高。bt項目模型綜合的考慮了滿意度這一條件和投資回報率之間的關系，更加切合題目要求 ，求得的結果也是相對客觀準確的。7.2模型缺點本文舍棄了房屋售價的影響，而在現實生活中，房屋的售價是影響滿意度的

17、一個很重要的指標；且在bt項目建設周期長，參籌者眾多，技術要求高，沒有形成統(tǒng)一運作模式，所以提高了模型的不確定性 8參考文獻1孔凡文 發(fā)布房地產開發(fā)與管理 大連理工大學出版社 2006年8月 第27頁 2015年9月11日13:262姜啟源，謝金星，葉俊 數學模型 北京高等教育出版社 2003年 第187頁 2015年9月11日21:533戴新宇，田寶明，周俊生 一種基于潛在語義分析和直推式譜圖算法的文本分類方法lsasgtj,電子學報，2008,36（8）；2015年9月11日22:364 landauer tk,foltzpw,laham d.introduction to latent

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19、型， ，2015年9月12日9:18附錄附錄一：max=(x1*12000*77+x2*10800*98+x3*11200*117+x4*12800*45+x5*12800*156+x6*13600*x7+x7*14000*178+x8*10400*126+x9*6400*103+x10*6800*129+x11*7200*133)-(4263*77*x1+4323*98*x2+4532*117*x3+5288*145*x4+5268*156*x5+5533*167*x6+5685*178*x7+4323*126*x8+2633*103*x9+2791*129*x10+2982*133*x11

20、);x1<=450;x1>=50;x2<=500;x2>=50;x3<=300;x3>=50;x4>=150;x4<=500;x5>=100;x5<=550;x6>=150;x6<=350;x7>=50;x7<=450;x8>=100;x8<=250;x9>=50;x9<=350;x10>=50;x10<=400;x11>=50;x11<250;(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8)/1020

21、77.6<=2.28;(0.4*x1*77*12000)-(77*x1)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*102077.6-4263*77*x1-(77*x1)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)/102077.6+4263*x1*77)*0.1-(0.4*x1*77*12000)*0.0565-(77*x1)/(77*x1+98*x2+117

22、*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*1027077.6+4263*x1*77)*0.2*0.4-(77*x1)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*102077.6-4263*77*x1-(77*x1)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)/102077.6+4263

23、*x1*77)*0.1-(0.4*x1*77*12000)*0.0565-(77*x1)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*1027077.6+4263*x1*77)*0.2)*0.05+(0.6*x2*98*10800)-(98*x2)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*102077.6-4323*98*x2-(98*x2)/(77*x1+98*x

24、2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)/102077.6+4323*x2*98)*0.1-(0.6*x2*98*10800)*0.0565-(98*x2/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*1027077.6+4323*x2*98)*0.2)*0.4-(98*x2/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103

25、*x9+129*x10+133*x11)*102077.6-4323*98*x2-(98*x2/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)/102077.6+4323*x2*98)*0.1-(0.6*x2*98*10800)*0.0565-(98*x2/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*1027077.6+4263*x1*77)*0.2)*0.05)>=

26、0;(145*x4*12800+167*x6*13600+156*x5*12800+178*x7*14600+133*x11*7200)-(145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+133*x11)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*102077.6-(5288*145*x4+5268*156*x5+5533*167*x6+5685*178*x7+7200*133*x11)-(145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+133*x11)/(77*

27、x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)/102077.6+(145*x4*12800+167*x6*13600+156*x5*12800+178*x7*14600+133*x11*7200)*0.1-(0.6*145*x4*12800+0.7*167*x6*13600+0.8*156*x5*12800+0.9*178*x7*14600+0.4*133*x11*7200)*0.0565-(145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+133*x11)/(77*x1+98*x2+

28、117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*1027077.6+(5288*x4*145+5268*156*x5+5533*167*x6+5685*178*x7+2982*133*x11)*0.2*0.4-(145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+133*x11)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*102077.6-(5288*x4*145+5268*156*x5+55

29、33*167*x6+5685*178*x7+2982*133*x11)-(145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+133*x11)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)/102077.6+(5288*x4*145+5268*156*x5+5533*167*x6+5685*178*x7+2982*133*x11)*0.1-(0.6*145*x4*12800+0.7*167*x6*13600+0.8*156*x5*12800+0.9*178*x7*14600+0.

30、4*133*x11*7200)*0.0565-(145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+133*x11)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*1027077.6+(5288*x4*145+5268*156*x5+5533*167*x6+5685*178*x7+2982*133*x11)*0.2)*0.05>=0;(6400*103*x9+6800*129*x10)-(103*x9+129*x10)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+

31、156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*102077.6-(2633*x9*103+2791*129*x10)-(103*x9+129*x10)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)/102077.6+(103*x9*6400+129*x10*6800)*0.1-(0.2*x9*103*6400+0.3*x10*129*6800)*0.0565-(103*x9+129*x10)/(77*x1+98*x2+117*

32、x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*1027077.6+(2633*x9*103+2791*129*x10)*0.2*0.4-(103*x9+129*x10)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)*102077.6-(2633*x9*103+2791*129*x10)-(103*x9+129*x10)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*x9+129*x10+133*x11)/102077.6+(2633*x9*103+2791*129*x10)*0.1-(0.2*x9*103*6400+0.3*x10*129*6800)*0.0565-(103*x9+129*x10)/(77*x1+98*x2+117*x3+145*x4+156*x5+167*x6+178*x7+126*x8+103*