(完整)新人教版七年級上冊數(shù)學(xué)借助方程求解數(shù)軸上動點(diǎn)問題匯編,推薦文檔

1、借助方程求解數(shù)軸上動點(diǎn)問題數(shù)軸上的動點(diǎn)問題離不開數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離。為了便于初一年級學(xué)生對這類問題的分析，不妨先明確以下幾個問題：1 數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，即為這兩點(diǎn)所對應(yīng)的坐標(biāo)差的絕對值，也即用右邊的數(shù)減去 左邊的數(shù)的差。即數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離=右邊點(diǎn)表示的數(shù)一左邊點(diǎn)表示的數(shù)。2.點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動時，由于數(shù)軸向右的方向為正方向，因此向右運(yùn)動的速度看作正速 度，而向作運(yùn)動的速度看作負(fù)速度。這樣在起點(diǎn)的基礎(chǔ)上加上點(diǎn)的運(yùn)動路程就可以直接得到運(yùn)動后點(diǎn)的坐標(biāo)。即一個點(diǎn)表示的數(shù)為a,向左運(yùn)動 b 個單位后表示的數(shù)為 a b;向右運(yùn)動b 個單位后所表示的數(shù)為 a+b。3 數(shù)軸是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)

2、動要結(jié)合圖形進(jìn)行分析，點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn) 動形成的路徑可看作數(shù)軸上線段的和差關(guān)系。例 1.已知數(shù)軸上有 A、B、C 三點(diǎn)，分別代表一 24, 10, 10,兩只電子螞蟻甲、乙 分別從 A、C 兩點(diǎn)同時相向而行，甲的速度為4 個單位/秒。問多少秒后，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個單位？若乙的速度為 6 個單位/秒，兩只電子螞蟻甲、乙分別從A、C 兩點(diǎn)同時相向而行，問甲、乙在數(shù)軸上的哪個點(diǎn)相遇？在的條件下，當(dāng)甲到A、B、C 的距離和為 40 個單位時，甲調(diào)頭返回。問甲、乙還能在數(shù)軸上相遇嗎？若能，求出相遇點(diǎn)；若不能，請說明理由。分析：如圖 1,易求得 AB=14 , BC=20 , AC=34甲

3、乙AC.,- -4-24-10010設(shè) x 秒后，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個單位。此時甲表示的數(shù)為一24+4x。1甲在 AB 之間時，甲到 A、B 的距離和為 AB=14甲到 C 的距離為 10( 24+4x) =34 4x依題意，14+ ( 34 4x) =40,解得 x=22甲在 BC 之間時，甲到 B、C 的距離和為 BC=20，甲到 A 的距離為 4x依題意，20+4x) =40 ,解得 x=5即 2 秒或 5 秒，甲到 A、B、C 的距離和為 40 個單位。是一個相向而行的相遇問題。設(shè)運(yùn)動t 秒相遇。依題意有，4t+6t=34，解得 t=3.4相遇點(diǎn)表示的數(shù)為一 24+4

4、X3.4= 10.4 (或：10 6X3.4= 10.4)甲至 U A、B、C 的距離和為 40 個單位時，甲調(diào)頭返回。而甲到A、B、C 的距離和為40 個單位時，即的位置有兩種情況，需分類討論。甲從 A 向右運(yùn)動 2 秒時返回。設(shè) y 秒后與乙相遇。此時甲、乙表示在數(shù)軸上為同一 點(diǎn)，所表示的數(shù)相同。甲表示的數(shù)為：一24+4X2 4y ;乙表示的數(shù)為：106X2 6y依題意有，一 24+4X2 4y=10 6X2 6y，解得 y=7相遇點(diǎn)表示的數(shù)為：一 24+4X24y= 44 (或：106X2 6y= 44)甲從 A 向右運(yùn)動 5 秒時返回。設(shè) y 秒后與乙相遇。甲表示的數(shù)為：一24+4X5

5、 4y;乙表示的數(shù)為：10 6X5 6y依題意有，一 24+4X5 4y=10 6X5 6y，解得 y= 8 (不合題意，舍去)即甲從 A 點(diǎn)向右運(yùn)動 2 秒后調(diào)頭返回，能在數(shù)軸上與乙相遇，相遇點(diǎn)表示的數(shù)為一44。點(diǎn)評：分析數(shù)軸上點(diǎn)的運(yùn)動，要結(jié)合數(shù)軸上的線段關(guān)系進(jìn)行分析。 點(diǎn)運(yùn)動后所表示的數(shù)， 以起點(diǎn)所表示的數(shù)為基準(zhǔn)， 向右運(yùn)動加上運(yùn)動的距離， 即終點(diǎn)所表示的數(shù)； 向左運(yùn)動減去運(yùn) 動的距離，即終點(diǎn)所表示的數(shù)。例 2 .如圖，已知 A、B 分別為數(shù)軸上兩點(diǎn)，A 點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為一 20, B 點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)為 100。A-2D100求 AB 中點(diǎn) M 對應(yīng)的數(shù)；現(xiàn)有一只電子螞蟻 P 從 B 點(diǎn)出發(fā)，以

6、6 個單位/秒的速度向左運(yùn)動，同時另一只電子 螞蟻 Q 恰好從 A 點(diǎn)出發(fā)，以 4 個單位/秒的速度向右運(yùn)動， 設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C 點(diǎn)相遇，求 C 點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)；若當(dāng)電子螞蟻 P 從 B 點(diǎn)出發(fā)時，以 6 個單位/秒的速度向左運(yùn)動，同時另一只電子螞蟻 Q 恰好從 A 點(diǎn)出發(fā)，以 4 個單位/秒的速度也向左運(yùn)動，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的D 點(diǎn)相遇，求 D 點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)。分析：設(shè) AB 中點(diǎn) M 對應(yīng)的數(shù)為 x，由 BM=MA所以 x( 20) =100 X,解得 x=40 即 AB 中點(diǎn) M 對應(yīng)的數(shù)為 40易知數(shù)軸上兩點(diǎn) AB 距離，AB=140，設(shè) PQ 相向而行 t 秒在 C 點(diǎn)相遇，

7、依題意有，4t+6t=120 ,解得 t=12(或由 P、Q 運(yùn)動到 C 所表示的數(shù)相同，得一 20+4t=100 6t，t=12)相遇 C 點(diǎn)表示的數(shù)為：一 20+4t=28 (或 1006t=28)設(shè)運(yùn)動 y 秒，P、Q 在 D 點(diǎn)相遇，則此時 P 表示的數(shù)為 1006y，Q 表示的數(shù)為一 20 4y。P、Q 為同向而行的追及問題。依題意有，6y 4y=120，解得 y=60(或由 P、Q 運(yùn)動到 C 所表示的數(shù)相同，得一 204y=100 6y，y=60)D 點(diǎn)表示的數(shù)為：一 20 4y= 260 (或 100 6y= 260)點(diǎn)評：熟悉數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離以及數(shù)軸上動點(diǎn)坐標(biāo)的表示方法是解決

8、本題的關(guān)鍵。是一個相向而行的相遇問題；是一個同向而行的追及問題。在、中求出相遇或追及的時間是基礎(chǔ)。例 3 .已知數(shù)軸上兩點(diǎn) A、B 對應(yīng)的數(shù)分別為一 1，3,點(diǎn) P 為數(shù)軸上一動點(diǎn)，其對應(yīng)的 數(shù)為 X。若點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離相等，求點(diǎn) P 對應(yīng)的數(shù)；A10=1，點(diǎn) A2在點(diǎn) A1的右邊，且 A2A1=2，點(diǎn)A3在點(diǎn) A2的左邊，且A3A2=3，點(diǎn) A4在點(diǎn)A3的右邊，且 A4A3=4 ,，依照上述規(guī)律點(diǎn)A2008、A2009所表示的數(shù)分別為()。A 2008,2009B 2008, 2009 C 1004,1005 D 1004,1004數(shù)軸上是否存在點(diǎn) P,使點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn)

9、 B 的距離之和為 5 ?若存在，請求出 x 的值。若不存在，請說明理由？當(dāng)點(diǎn) P 以每分鐘一個單位長度的速度從 0 點(diǎn)向左運(yùn)動時，點(diǎn) A 以每分鐘 5 個單位長 度向左運(yùn)動，點(diǎn) B 一每分鐘 20 個單位長度向左運(yùn)動，問它們同時出發(fā)，幾分鐘后P 點(diǎn)到點(diǎn)A、點(diǎn) B 的距離相等？分析：如圖，若點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離相等，P 為 AB 的中點(diǎn)，BP=PA。AB-J- -1D3依題意，3x=x ( 1)，解得 x=1由 AB=4，若存在點(diǎn) P 到點(diǎn) A、點(diǎn) B 的距離之和為 5，P 不可能在線段 AB 上，只能 在 A 點(diǎn)左側(cè)，或 B 點(diǎn)右側(cè)。1P 在點(diǎn) A 左側(cè)，PA= 1 x，PB=3

10、x依題意，(一 1 x)+ ( 3 x)=5，解得 x= 1.52P 在點(diǎn) B 右側(cè)，PA=x ( 1) =x+1 , PB=x 3依題意，(x+1 ) + (x 3) =5，解得 x=3.5點(diǎn) P、點(diǎn) A、點(diǎn) B 同時向左運(yùn)動，點(diǎn) B 的運(yùn)動速度最快，點(diǎn) P 的運(yùn)動速度最慢。故 P 點(diǎn)總位于 A 點(diǎn)右側(cè)，B 可能追上并超過 A。P 到 A、B 的距離相等，應(yīng)分兩種情況討論。設(shè)運(yùn)動 t 分鐘，此時 P 對應(yīng)的數(shù)為一 t, B 對應(yīng)的數(shù)為 3 20t, A 對應(yīng)的數(shù)為一 1 5t。1B 未追上 A 時，PA=PA，貝 U P 為 AB 中點(diǎn)。B 在 P 的右側(cè)，A 在 P 的左側(cè)。PA= t (

11、 1 5t) =1+4t, PB=3 20t ( t) =3 19t2依題意有，1+4t=3 19t，解得 t=2B 追上 A 時，A、B 重合，此時 PA=PB。A、B 表示同一個數(shù)。依題意有，一 1 5t=3 20t，解得 t=-2_即運(yùn)動 二或-分鐘時，P 到 A、B 的距離相等。點(diǎn)評：中先找出運(yùn)動過程中 P、A、B 在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)，再根據(jù)其位置關(guān)系確定兩 點(diǎn)間距離的關(guān)系式，這樣就理順了整個運(yùn)動過程。例4點(diǎn) A1、A2、A3、 An(n 為正整數(shù))都在數(shù)軸上，點(diǎn) A1在原點(diǎn) 0 的左邊，且分析：如圖,點(diǎn)A1表示的數(shù)為 1；點(diǎn)A2表示的數(shù)為 1+2=1 ；點(diǎn) A3表示的數(shù)為 1+2 3=

12、 2；點(diǎn) A4表示的數(shù)為一 1+2 3+4=2 .點(diǎn) A2008表示的數(shù)為一 1+2 3+4一 2007+2008=1004點(diǎn) A2009表示的數(shù)為一 1+2 3+42007+2008 2009=1005點(diǎn)評：數(shù)軸上一個點(diǎn)表示的數(shù)為a,向左運(yùn)動 b 個單位后表示的數(shù)為a b;向右運(yùn)動 b個單位后所表示的數(shù)為 a+bo運(yùn)用這一特征探究變化規(guī)律時，要注意在循環(huán)往返運(yùn)動過程中 的方向變化。練習(xí)題 ：1.已知數(shù)軸上 A、B 兩點(diǎn)對應(yīng)數(shù)分別為一 2, 4, P 為數(shù)軸上一動點(diǎn)，對應(yīng)數(shù)為xo若 P 為線段 AB 的三等分點(diǎn)，求 P 點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)。數(shù)軸上是否存在 P 點(diǎn)，使 P 點(diǎn)到 A、B 距離和為 10 ?若存在，求出 x 的值；若不存 在,請說明理由。若點(diǎn) A、點(diǎn) B 和 P 點(diǎn)（P 點(diǎn)在原點(diǎn)）同時向左運(yùn)動。它們的速度分別為1、2、1 個單位長度 /分鐘,則第幾分鐘時 P 為 AB 的中點(diǎn)?（參考答案：0 或 2;一 4 或 6 :2）2.電子跳蚤落在數(shù)軸上的某點(diǎn) K0,第一步從 K