平面解析幾何知識點歸納

1、平面解析幾何知識點歸納 知識點歸納直線與方程1.直線的傾斜角規(guī)定：當(dāng)直線l 與 x 軸平行或重合時，它的傾斜角為0范圍：直線的傾斜角的取值范圍為 0,)2.斜率： k tan (a) ， kR2斜率公式：經(jīng)過兩點P1( x1 , y1 ) ， P2 (x2 , y2 ) ( x1x2 ) 的直線的斜率公式為kP1P2y2y1x2x13.直線方程的幾種形式名稱方程說明適用條件斜截式y(tǒng)kxbk 是斜率b 是縱截距與 x 軸不垂直的直線點斜式y(tǒng)y0k( xx0 )(x0 , y0 ) 是直線上的已知點兩點式y(tǒng)y1xx1(x1, y1 ), (x2 , y2 ) 是直線上與兩坐標(biāo)軸均不垂直y2y1x2

2、x1的兩個已知點的直線( x1x2 , y1y2 )截距式xya 是直線的橫截距不過原點且與兩坐標(biāo)a1bb 是直線的縱截距軸均不垂直的直線一般式AxByC0當(dāng) B0時，直線的橫截距C( A2B20)為A當(dāng) B0時，所有直線ACC,分別為直線BAB的斜率、橫截距，縱截距能力提升斜率應(yīng)用例 1.已知函數(shù)f (x) log 2 (x 1) 且 ab c 0 ，則 f (a) ,f (b) ,f (c) 的大小關(guān)系abc例 2.已知實數(shù)x, y 滿足 yx22x2( 1x1) ，試求 y3 的最大值和最小值x2兩直線位置關(guān)系兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系平行重合相交垂直設(shè)兩直線的方程分別為：相交，交點坐標(biāo)

3、為方程組直線間的夾角：l1 : y k1 x b1l 1 : A1 x B1 y C10l 2 : y k 2 x b2l 2 : A2 x B2 y C20k1k 2 ，且 b1b2A1B1C1 (A1 B2-A2B1=0)A2B2C2k1k 2 ，且 b1b2A1B1C1A2B2C2k1k2A1B1A2B2k1 k21A1 A2B1B20l1 : yk1 xb1或 l 1 : A1 xB1 yC10；當(dāng) k1 k2或 A1B2A2 B1 時它們l 2 : y k2 x b2l 2 : A2 x B2 y C20yk1 x b1 或A1 x B1 y C10y k2 x b2A2 x B2

4、y C 20若為 l 1 到 l 2的角 ， tank2 k1或 tanA1 B2A2B1 ；1 k2k1A1 A2B1B2為 l 1 和 l 2k2k1A1 B2A2 B1若的夾角 ，則 tan或 tanA1 A2；1 k2 k1B1B2當(dāng) 1 k1 k2 0 或 A1 A2 B1 B20 時，90o ；直線 l1 到 l 2 的角與 l1 和 l 2 的夾角：()2或() ；2距離問題1.平面上兩點間的距離公式P1 (x1, y1 ), P2 (x2 , y2 )則P1P2(x2x1 )( y2 y1 )2.點到直線距離公式點 P( x0 , y0 ) 到直線 l : AxBy C0 的距

5、離為： dAx0By0CA2B 23.兩平行線間的距離公式已知兩條平行線直線l1 和 l 2 的一般式方程為 l1 ： AxBy C10，l2 ： Ax By C20 ，則 l 1 與 l 2 的距離為 dC1C2A2B 24.直線系方程 : 若兩條直線 l1 ： A1 xB1 yC10 ， l 2： A xB yC20 有交點，則過 l1 與 l 2 交點的22直線系方程為 ( A1xB1 yC1)( A xByC)0 或222(A2 x B2 y C2 ) +( A1 xB1 y C1 )0 ( 為常數(shù) )對稱問題x1x2A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，則 A, B

6、中點 H (x, y)x21.中點坐標(biāo)公式：已知點的坐標(biāo)公式為y2y1y2點 P(x0 , y0 ) 關(guān)于 A( a, b) 的對稱點為 Q( 2a x0 ,2b y0 ) ，直線關(guān)于點對稱問題可以化為點關(guān)于點對稱問題。2. 軸 對 稱 ：點 P(a,b)關(guān) 于 直 線AxByc0(B0) 的 對 稱 點 為 P' ( m,n) ， 則 有n - b(A)1m - aB，直線關(guān)于直線對稱問題可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線對稱問題。ambnABC 022（ 1）中心對稱：點關(guān)于點的對稱：該點是兩個對稱點的中點，用中點坐標(biāo)公式求解，點 A(a, b) 關(guān)于 C (c,d ) 的對稱點 ( 2ca,2d

7、b)直線關(guān)于點的對稱：、在已知直線上取兩點，利用中點公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點的坐標(biāo)，再由兩點式求出直線方程；、求出一個對稱點，在利用l 1 / l 2 由點斜式得出直線方程；、利用點到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與已知直線l1 : 2x3 y60 關(guān)于點 P(1, 1) 對稱的直線 l 2 的方程。點關(guān)于直線對稱：、點與對稱點的中點在已知直線上，點與對稱點連線斜率是已知直線斜率的負(fù)倒數(shù)。、求出過該點與已知直線垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點，在利用中點坐標(biāo)公式求解。如：求點 A( 3,5) 關(guān)于直線 l : 3x4y40 對稱的坐標(biāo)。直線關(guān)于直線對稱： （設(shè) a,b

8、關(guān)于 l 對稱）、若 a, b 相交，則 a 到 l 的角等于 b 到 l 的角；若 a / l ，則 b/ l ，且 a, b 與 l 的距離相等。、求出 a 上兩個點 A, B 關(guān)于 l 的對稱點，在由兩點式求出直線的方程。、設(shè) P(x, y) 為所求直線直線上的任意一點，則P 關(guān)于 l 的對稱點 P' 的坐標(biāo)適合 a 的方程。如：求直線a : 2xy40 關(guān)于 l : 3x4 y10 對稱的直線 b 的方程。能力提升例 1. 點 P( 2,1) 到直線 mxy30(mR) 的最大距離為例 2. 已知點 A(3,1) ，在直線yx 和 y0上各找一點M 和 N ，使AMN 的周長最

9、短，并求出周長。線性規(guī)劃問題：（ 1）設(shè)點 P(x0 , y0 ) 和直線 l : AxByC0 ，若點 P 在直線 l 上，則 Ax0By0C0；若點 P 在直線 l 的上方，則 B( Ax0By0 C ) 0 ；若點 P 在直線 l 的下方，則 B(Ax 0By0C) 0；（ 2）二元一次不等式表示平面區(qū)域：對于任意的二元一次不等式AxByC0(0) ，當(dāng) B0 時，則AxByC0 表示直線 l : AxByC0 上方的區(qū)域；AxByC0表示直線l : AxByC0 下方的區(qū)域；當(dāng) B0 時，則 AxByC0 表示直線 l : AxByC0 下方的區(qū)域；AxByC0表示直線 l : AxB

10、yC0 上方的區(qū)域；注意：通常情況下將原點( 0,0) 代入直線AxByC 中，根據(jù)0 或0 來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。（ 3）線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解( x, y) 叫做可行解， 由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當(dāng) B0 時，將直線 AxBy0 向上平移，則 zAx By 的值越來越大；直線 AxBy0 向下平移，則 zAxBy 的值越來越?。划?dāng) B0 時，將直線 Ax By0 向上平移，則 z AxBy 的值越來越??；直線 AxBy0 向下平移，則

11、zAxBy 的值越來越大；如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括周界），目標(biāo)函數(shù)yC(4,2)z xay 取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a 為；（ 1）設(shè)點 P(x0 , y0 ) 和直線 l : AxByC0 ，OA(1,1)B(5,1)x若點 P 在直線 l 上，則 Ax0By0C0 ；若點 P 在直線 l 的上方，則 B( Ax0 By0 C ) 0 ；若點 P 在直線 l 的下方，則 B(Ax 0By0C )0 ；（ 2）二元一次不等式表示平面區(qū)域：當(dāng)對于任意的二元一次不等式B0 時，則 AxByCAxByC0 表示直線l :0( Ax0) ，ByC0 上方的區(qū)域；Ax 當(dāng)

12、By BC0 表示直線0 時，則 AxByl : AxCByC0 表示直線0 下方的區(qū)域； l : Ax By C0 下方的區(qū)域；AxByC0 表示直線 l : AxByC0 上方的區(qū)域；注意：通常情況下將原點( 0,0) 代入直線AxByC 中，根據(jù)0 或0 來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。（ 3）線性規(guī)劃：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿足線性約束條件的解( x, y) 叫做可行解， 由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當(dāng) B0 時，將直線 AxBy0 向上平移，則 zAx By 的值越來越大；

13、直線 AxBy0 向下平移，則 zAxBy 的值越來越??；當(dāng) B0 時，將直線 Ax By0 向上平移，則 z AxBy 的值越來越小；直線 AxBy0 向下平移，則 zAxBy 的值越來越大；如：在如圖所示的坐標(biāo)平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括周界），目標(biāo)函數(shù)yC(4,2)zxay 取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a 為；OA(1,1)B(5,1)x圓與方程2.1 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： ( x a) 2( y b) 2 r 2 圓心C(a, b) ，半徑 r特例：圓心在坐標(biāo)原點，半徑為r 的圓的方程是：x 2 y 2 r 2.2.2 點與圓的位置關(guān)系：1. 設(shè)點到圓心的距離為 d，圓半徑為 r ：(1

14、)點在圓上d=r ； (2) 點在圓外d r ；(3) 點在圓內(nèi)d r 2.給定點 M (x 0 , y 0 ) 及圓 C : ( xa) 2(yb) 2r 2 .M在圓C內(nèi)( x0a) 2( y0b) 2r 2M在圓 C上（ x 0 a) 2 ( y0 b) 2 r 2M在圓C外( x0a) 2( y0b) 2r 22.3 圓的一般方程：x 2y 2DxEyF0.當(dāng) D 2E24F0 時，方程表示一個圓，其中圓心CD ,E，半徑 rD2 E2 4F.222當(dāng) D 2E 24F0 時，方程表示一個點DE,.2 2當(dāng) D 2 E2 4F 0 時，方程無圖形（稱虛圓） .注：（ 1）方程 Ax 2

15、BxyCy 2Dx EyF0 表示圓的充要條件是：B0且A C 0且D2 E24AF 0.圓的直徑系方程：已知AB 是圓的直徑A( x1, y1) B(x2 , y2 )(xx1 )( xx2 ) ( yy1)( yy2 )02.4 直線與圓的位置關(guān)系：直線 AxByC0與圓 (x a)2( yb) 2r 2 的位置關(guān)系有三種，d 是圓心到直線的距離， ( dAaBb CA2B2（ 1）（ 3）drdr相離0 ； (2) dr相切0 ；相交02.5 兩圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓圓心分別為O1， O2，半徑分別為 r1， r2， O1O2d 。（ 1） dr1r2外離4條公切線 ；（ 2） d r1r 2外切3條公切線 ；（ 3）1r2d1r2相交2條公切線 ；（ 4）dr1 r2內(nèi)切1條公切線 ；rr（5） 0dr1r2內(nèi)含無公切線 ；外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含圓的切線方程：1.直線與圓相切：(1)圓心到直線距離等于半徑r；（2）圓心與切點的連線與直線垂直（斜率互為負(fù)倒數(shù)）2.圓 x 2 y2r 2 的斜率為k 的切線方程是y kx 1 k 2 r 過圓 x 2 y 2 Dx Ey F0 上一點 P( x 0 , y 0 ) 的切線方程為： x 0 xxx 0Ey y 0F0 .y 0 y D22一般方程若點(x0 ,y0)在圓上，則 (x a)(x0 a)+(