《函數(shù)及其表示》高考一輪基礎(chǔ)強(qiáng)化復(fù)習(xí)(含答案)

1、函數(shù)及其表示強(qiáng)化復(fù)習(xí)【要點(diǎn)梳理】 1函數(shù)的基本概念(1)函數(shù)的定義設(shè)a，b是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合b中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)f：ab為從集合a到集合b的一個(gè)函數(shù)，記作yf(x)，xa (2)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xa中，x叫做自變量，x的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xa叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合b的子集 (3)函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法2映射的概念設(shè)a，b是兩個(gè)非空的集合，如果按

2、某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)元素x，在集合b中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱(chēng)對(duì)應(yīng)f：ab為從集合a到集合b的一個(gè)映射 3函數(shù)解析式的求法求函數(shù)解析式常用方法有待定系數(shù)法、換元法、配湊法、消去法4常見(jiàn)函數(shù)定義域的求法(1)分式函數(shù)中分母不等于零(2)偶次根式函數(shù)被開(kāi)方式大于或等于0.(3)一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域?yàn)閞.(4)yax (a>0且a1)，ysin x，ycos x，定義域均為r.(5)ytan x的定義域?yàn)?(6)函數(shù)f(x)x的定義域?yàn)閤|xr且x0【易錯(cuò)說(shuō)明】1解決函數(shù)的一些問(wèn)題時(shí)，易忽視“定義域優(yōu)先”的原則2易混“函數(shù)”與“映射”的概念：函數(shù)

3、是特殊的映射，映射不一定是函數(shù)，從a到b的一個(gè)映射，a、b若不是數(shù)集，則這個(gè)映射便不是函數(shù)3誤把分段函數(shù)理解為幾個(gè)函數(shù)組成分段函數(shù)在定義域內(nèi)不同部分上，有不同的解析式，像這樣的函數(shù)通常叫做分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域是各段自變量取值集合的并集，值域是各段上函數(shù)值集合的并集【典型講解】題型1函數(shù)的概念例1判斷下列對(duì)應(yīng)是否是從集合a到集合b的函數(shù)(1) abn*，對(duì)應(yīng)法則f：xy|x3|，xa，yb； （ ）(2) a0，)，br，對(duì)應(yīng)法則f：xy，這里y2x，xa，yb； （ ）(3) a1，8，b1，3，對(duì)應(yīng)法則f：xy，這里y3x，xa，yb； （ ）(4) a(x，y)|x、yr，br，對(duì)應(yīng)法

4、則：對(duì)任意(x，y)a，(x，y)zx3y，zb. （ ）解：(1) 對(duì)于a中的元素3，在f的作用下得到0，但0不屬于b，即3在b中沒(méi)有元素與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)(2) 集合a中的一個(gè)正數(shù)在集合b中有兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù)(3) 由y3x，即y，因?yàn)閍1，8，b1，3，對(duì)應(yīng)法則f：xy，符合函數(shù)對(duì)應(yīng)(4) 由于集合a不是數(shù)集，所以此對(duì)應(yīng)法則不是函數(shù)變式訓(xùn)練有以下判斷：f(x)與g(x)表示同一函數(shù)；函數(shù)yf(x)的圖象與直線(xiàn)x1的交點(diǎn)最多有1個(gè)；f(x)x22x1與g(t)t22t1是同一函數(shù)；若f(x)|x1|x|，則f0.其中正確判斷的序號(hào)是_思維啟迪可從函數(shù)的定義、定義域和值域等

5、方面對(duì)所給結(jié)論進(jìn)行逐一分析判斷答案 解析對(duì)于，由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|xr且x0，而函數(shù)g(x)的定義域是r，所以二者不是同一函數(shù)；對(duì)于，若x1不是yf(x)定義域內(nèi)的值，則直線(xiàn)x1與yf(x)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，如果x1是yf(x)定義域內(nèi)的值，由函數(shù)定義可知，直線(xiàn)x1與yf(x)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，即yf(x)的圖象與直線(xiàn)x1最多有一個(gè)交點(diǎn)；對(duì)于，f(x)與g(t)的定義域、值域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均相同，所以f(x)和g(t)表示同一函數(shù)；對(duì)于，由于f0，所以ff(0)1.綜上可知，正確的判斷是.思維升華函數(shù)的值域可由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系唯一確定；當(dāng)且僅當(dāng)定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都相同的函數(shù)才是同一函數(shù)值得

6、注意的是，函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是就效果而言的(判斷兩個(gè)函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，只要看對(duì)于函數(shù)定義域中的任意一個(gè)相同的自變量的值，按照這兩個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系算出的函數(shù)值是否相同) 題型2函數(shù)的解析式例2求下列各題中的函數(shù)f(x)的解析式(1) 已知f(2)x4，求f(x)；解：(1) (解法1)設(shè)t2，則t2，即x(t2)2， f(t)(t2)24(t2)t24， f(x)x24(x2)(解法2) f(2)(2)24， f(x)x24(x2)(2) 已知函數(shù)yf(x)滿(mǎn)足2f(x)f2x，xr且x0，求f(x)；解：(2) 由2f(x)f2x， 將x換成，則換成x，得 2ff，×2，得3f(x)4x

7、，得f(x)x. (3) 已知f(x)是二次函數(shù)，且滿(mǎn)足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)解：(3) f(x)是二次函數(shù)， 設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由f(0)1，得c1.由f(x1)f(x)2x，得a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，整理，得(2a2)x(ab)0，由恒等式原理，知 f(x)x2x1.變式訓(xùn)練求下列函數(shù)f(x)的解析式(1) 已知f(1x)2x2x1，求f(x)；解：(1) (換元法)設(shè)t1x，則x1t， f(t)2(1t)2(1t)12t23t2， f(x)2x23x2. (2) 已知fx2，求f(x)；解：(2) (配湊法) fx222， f(x

8、)x22. (3) 已知一次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(f(x)4x1，求f(x)；解： (3) (待定系數(shù)法) f(x)是一次函數(shù)， 設(shè)f(x)axb(a0)，則f(f(x)f(axb)a(axb)ba2xabb. f(f(x)4x1， 解得或 f(x)2x或f(x)2x1.題型3分段函數(shù)例3已知實(shí)數(shù)a0，函數(shù)f(x)(1) 若a3，求f(10)，f(f(10)的值；(2) 若f(1a)f(1a)，求a的值解：(1) 若a3，則f(x)所以f(10)4，f(f(10)f(4)11.(2) 當(dāng)a>0時(shí)，1a<1，1a>1，所以2(1a)a(1a)2a，解得a，不合，舍去；當(dāng)a<

9、0時(shí)，1a>1，1a<1，所以(1a)2a2(1a)a，解得a，符合綜上可知，a.變式訓(xùn)練已知實(shí)數(shù)a0，函數(shù)f(x)若f(1a)f(1a)，則a的值為_(kāi) 易錯(cuò)分析本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要有兩個(gè)方面：(1)誤以為1a<1,1a>1，沒(méi)有對(duì)a進(jìn)行討論直接代入求解(2)求解過(guò)程中忘記檢驗(yàn)所求結(jié)果是否符合要求致誤解析當(dāng)a>0時(shí)，1a<1,1a>1，由f(1a)f(1a)可得22aa1a2a，解得a，不合題意；當(dāng)a<0時(shí)，1a>1,1a<1，由f(1a)f(1a)可得1a2a22aa，解得a.答案【限時(shí)訓(xùn)練】1下列函數(shù)中，與函數(shù)y定義域相同的函數(shù)為

10、()ay by cyxex dy解析：選d函數(shù)y的定義域?yàn)閤|x0，選項(xiàng)a中由sin x0xk，kz，故a不對(duì)；選項(xiàng)b中x>0，故b不對(duì)；選項(xiàng)c中xr，故c不對(duì)；選項(xiàng)d中由正弦函數(shù)及分式型函數(shù)的定義域確定方法可知定義域?yàn)閤|x02(2014·廣州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)則f的值是()a9 b. c9 d解析：選bflog2log2222，ff(2)32.3(2014·安徽“江南十?！甭?lián)考)函數(shù)y(x1)0ln(x)的定義域?yàn)開(kāi)解析：由題意知，x(，1)(1,0)答案：(，1)(1,0)4已知f(x)x2pxq滿(mǎn)足f(1)f(2)0，則f(1)_.解析：由f(1)f(2)0，得所以故f(x)x23x2.所以f(1)(1)2326.答案：65(2013·上海徐匯一模)已知f(x)x21，g(x)(1)求f(g(2)與g(f(2)；(2)求f(g(x)與g(f(x)的表達(dá)式解：(1)g(2)1，f(g(2)f(1)0；f(2)3，g(f(2)g(3)2.(2)當(dāng)x>0時(shí)，f(g(x)f(x1)(x1)21x22x；當(dāng)x<0時(shí)，f(g(x)f(2x)(2x)21x24x3.所以f(g(x)同理可得g(f(x)6二次函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x1)f(x)2x，且f(0)1.(1)求f(x)的解析式； (2)解不等式f(x)>2x5.解