《基礎拓撲學試卷》

1、基礎拓撲學試卷試卷2一、 填空題（每小題2分，共20分）1. 設為離散空間的子集, 那么_.2. 設為度量空間的子集, 若, 則準確表示與的關系的式子是_.3. 拓撲空間的每一個有限集是閉集當且僅當是_空間.4. 設為拓撲空間,為的子集, , 如果_, 則稱是的凝聚點.5. 點集拓撲學的中心任務是研究_.6. 對于拓撲空間的一個子空間, 與滿足: .7. 設為滿足第一可數(shù)公理的拓撲空間, 那么每一個有一個的鄰域基具有如下特點:_.8. 設為拓撲空間的積空間, , 是緊拓撲空間, 則每一個為_空間.9. 任何一族連通空間的積空間都是_空間.10. 一個拓撲空間的可分性定義為_.二、單項選擇題 (

2、每小題2分, 共20分)11. 設, 則下面不正確的命題是（ ）a. b. c. d. 12. 設為拓撲空間, , 則下面不正確的命題是( )a. b. c. d. 13. 設為拓撲空間, 是中的收斂序列, 則下面正確的命題是( )a. 對于任何拓撲空間, 的極限唯一.b. 若是hausdorff空間, 則的極限唯一.c. 若是第一可數(shù)的, 則的極限唯一.d. 若是正則空間, 則的極限唯一.14. 設集合, 那么下面不是上的拓撲的集族是( )a. b. c. d. 15. 設為拓撲空間, 下面不正確的命題是( )a. 若是第二可數(shù)的, 則是第一可數(shù)的.b. 若是第二可數(shù)的, 則是可分的.c.

3、若是可分的度量空間, 則是lindelöf的.d. 若是lindelöf的空間, 則是可分的.16. 對任意集合, 下面命題正確的是( )a. 若cardcard y, 則是的子集.b. 若是的子集, 則cardcard y.c. 若是的子集, 則cardcard y.d. 若, 則cardcard.17. 設為拓撲空間, 下面正確的命題是( )a. 若是正規(guī)空間, 則是空間.b. 若是空間且正則, 則是空間.c. 若是正則空間, 則是空間.d. 若是完全正則空間, 則是空間.18. 設為拓撲空間, 是的子集, 下面不正確的命題是( )a. 是列緊的當且僅當是序列緊的.b.

4、 若是序列緊的, 則是可數(shù)緊的.c. 若是可數(shù)緊的, 則是列緊的.d. 若是緊的, 則是列緊的.19. 設, 為拓撲空間, 關于的積拓撲, 分別是到和的投射, 則下面不正確的命題是( )a. 是積拓撲的一個基.b. 是積拓撲的一個子基.c. 是積拓撲的一個基.d. 是積拓撲的一個子基.20. 設為拓撲空間, 為實數(shù)空間, 則為連續(xù)映射的充分必要條件是(). 對任意實數(shù)是的開集. 對任意實數(shù), 集合是的開集. 對任意實數(shù), 集合是的開集. 對任意實數(shù)是的閉集.三、簡答題 (每小題5分, 共20分)21. 證明維實數(shù)空間的每一個子空間都是可分空間.22. 證明:若是空間, 則是空間.23. 證明:在一維實數(shù)空間的子空間中, 是開集.24. 敘述度量的定義.四、反例論證題 (本題10分)25. 舉例說明存在這樣的一個集合和上的兩個拓撲和, 使得不是上的一個拓撲.五、論證題 (每小題15分, 共30分)26. 證明:若