2018-2019-2學(xué)期高二年級(jí)3月考試試題（精編版）

1、2018-2019-2學(xué)期高二年級(jí) 3 月考試試題一、選擇題（本大題共12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上 .）1.若，則等于（）a. 2b. 1c. 1d. 2【答案】 c【解析】【分析】由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的定義求解【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可知：，則.的值即可 .本題選擇 c 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的定義及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.2. 已知函數(shù) f(x) 的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足（e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則（ ）a.b. ec. -d. - e【答案】 c【解析】【分析】由題意可得：，令可得的值.【詳解】由題意可

2、得：， 令可得： .本題選擇 c 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，方程思想的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3. 等于（）a. 0b. 1c. 2d.【答案】 b【解析】【分析】由題意，利用定積分的幾何意義，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解平面圖形面積的問(wèn)題，據(jù)此確定定積分的值即可.【詳解】如圖所示，由定積分的幾何意義可知表示圖中陰影部分的面積，故： .本題選擇 b 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.4. 已知函數(shù) f (x) = 2x36x2+ m （m 為常數(shù)）在 2，2上有最大值 3，那么 f (x) 在2，2上最小值為（ ）a. -37b. -29c

3、. -5d. -11【答案】 a【解析】因?yàn)橛梢阎?f x（）=6x2-12x ，有 6x2- 12x0得 x2或 x 0，因此當(dāng) x2 ，+），（-，0時(shí) f（x）為增函數(shù)，在 x0 ，2時(shí) f（x）為減函數(shù)，又因?yàn)?x-2，2，所以得當(dāng) x-2，0時(shí) f（x）為增函數(shù)，在x0 ，2 時(shí) f（x）為減函數(shù)，所以 f（x）max=f （0）=m=3 ，故有 f（x）=2x3-6x2+3所以 f（-2）=-37 ，f（2）=-5因?yàn)?f（-2）=-37 f（2）=-5 ，所以函數(shù) f（x）的最小值為 f（-2）=-37 答案為 a5.設(shè) f0(x) sin x ，f1(x) f0 (x)f2，

4、(x) f1 (x)，fn (x)， n n，f2則019(x) （ ）a. sin xb. sin xc. cos xd. cos x【答案】 d【解析】【分析】fn，1(x) 由題意計(jì)算的值確定函數(shù)的周期性，然后結(jié)合周期性確定f2019(x) 的值即可 .【詳解】由題意可得：，據(jù)此可得的解析式周期為， 注意到，故 .本題選擇 d 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，周期性及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.6. 內(nèi)接于半徑為 r 的圓的矩形的周長(zhǎng)的最大值為()a. rb. 2rc. rd. 4r【答案】 c【解析】【分析】由題意可得矩形的邊長(zhǎng)分別為：，據(jù)此得到周長(zhǎng)的

5、表達(dá)式，最后由三角函數(shù)的性質(zhì)可得周長(zhǎng)的最大值.【詳解】由題意可得矩形的邊長(zhǎng)分別為：，則矩形的周長(zhǎng)為：，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值：.本題選擇 c 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，實(shí)際應(yīng)用題的解法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7. 方程-lnx -2=0的根的個(gè)數(shù)為（）a. 0b. 1c. 2d. 3【答案】 c【解析】【分析】令，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定方程根的個(gè)數(shù)即可.【詳解】令，則， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；且：，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，方

6、程-lnx -2=0的根的個(gè)數(shù)為 2.本題選擇 c 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.8. 由曲線 yx2 與曲線 y2x 所圍成的平面圖形的面積為()a. 1b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】首先求得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程：可得：，結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線yx2 與曲線 y2 x 所圍成的平面圖形的面積為：.本題選擇 b 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的概念與計(jì)算，屬于中等題.9. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 a1，a1 上單調(diào)遞減，則實(shí)

7、數(shù)a 的取值范圍是()a. ，2)b. (1 ，2c. (0 ，3d. (4 ，【答案】 b【解析】【分析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由?dǎo)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間 為，單調(diào)遞增區(qū)間為，據(jù)此得到關(guān)于a 的不等式組，求解不等式組可得實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，由函?shù)的解析式可得：， 據(jù)此可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為， 結(jié)合題意有：，解得：，即實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 (1，2.本題選擇 b 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中等題. 10.以初速 40 m/s豎直向上拋一物體， t s 時(shí)刻的速度 v4010t2 ，則此物體達(dá)到最高時(shí)的高度為（ ）

8、a.mb. mc. md. m【答案】 a【解析】由 v4010t2 0?t2 4，t2.h(40 10t2)dt 80 (m) 選 a.11. 甲乙丙三人代表班級(jí)參加校運(yùn)會(huì)的跑步，跳遠(yuǎn)，鉛球比賽， 每人參加一項(xiàng)，每項(xiàng)都要有人參加，他們的身高各不同，現(xiàn)了 解到以下情況：（ 1）甲不是最高的；（ 2）最高的是沒(méi)報(bào)鉛球；（ 3）最矮的參加了跳遠(yuǎn)；（4）乙不是最矮的，也沒(méi)參加跑步可以判斷丙參加的比賽項(xiàng)目是（）a. 跑步比賽b. 跳遠(yuǎn)比賽c. 鉛球比賽d. 不能判定【答案】 a【解析】分析：由（ 1），（ 3），（ 4）可知，乙參加了鉛球，由（2） 可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（1）

9、可 知，甲是最矮的，參加了跳遠(yuǎn)，即可得出結(jié)論.詳解：由（ 1），（ 3），（ 4）可知，乙參加了鉛球，由（2） 可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（ 1）可知，甲是最矮的，參加了跳遠(yuǎn)，所以丙最高，參加了跑步比賽 .故選： a.點(diǎn)睛：本題考查合情推理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力.12. 如圖，直線 l 和圓 c，當(dāng) l 從 l0 開(kāi)始在平面上繞點(diǎn)o 按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)到（轉(zhuǎn)到角不超過(guò)90°）時(shí)，它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積 s 是時(shí)間 t 的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖像大致是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】由題意可知： s 變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢

10、”，據(jù)此確定函數(shù)的大致圖像即可 .【詳解】觀察可知面積s 變化情況為“一直增加，先慢后快， 過(guò)圓心后又變慢”，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知d 符合要求.故選 d.【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖像，函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、選擇題（本大題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分,將答案寫(xiě)在答題卡上 .）13. 曲線在點(diǎn) m(，0)處的切線方程為 【答案】【解析】【分析】由題意可得，據(jù)此可得切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：， 所求切線的斜率為：，由于切點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線方程為：.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及

11、切線的理解應(yīng)注意的問(wèn)題一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積 .14. 在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的過(guò)程中，從 nk 到 nk+1時(shí)，左邊需要增加的代數(shù)式是 . 【答案】【解析】【分析】分別寫(xiě)出和時(shí)左側(cè)對(duì)應(yīng)的代數(shù)式，然后比較兩者的表達(dá)形式即可確定左邊需要增加的代數(shù)式.【詳解】當(dāng)時(shí)，等式左側(cè)為：， 當(dāng)時(shí)，等式左側(cè)為：，據(jù)此可得，左邊需要

12、增加的代數(shù)式是.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，整體思想的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.15.若函數(shù) f(x) x3 x24ax c(a>0) 在(， ) 內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，則 a 的取值范圍是 【答案】【解析】【分析】很明顯，且，結(jié)合題意可知，據(jù)此可得實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .【詳解】很明顯，由函數(shù)的解析式可得：，函數(shù)在(， ) 內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，則：,整理可得： .即 a 的取值范圍是 .【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，二次不等式的解法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16. 定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且滿足，則不等式的解集為 【答案】【解析】令

13、，可得函數(shù)在 r 上為減函數(shù)， 又，故不等式即 .不等式的解集為.點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于 整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中.某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)， 那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作 用.因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用 的技巧和方法，這是非常必要的.根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效 .三、解答題（本大題共6 小題，共 70 分）17. 求證：【答案】見(jiàn)

14、解析【解析】【分析】由題意可知 x>1，構(gòu)造函數(shù) f(x)ex(1x) ，利用函數(shù) f(x) 的最小值可證明 ex 1x構(gòu)造函數(shù) g(x) 1+x ln(1 x)，利用函數(shù) g(x) 的最小值可證明 1x >ln(1 x)【詳解】根據(jù)題意，應(yīng)有 x>1，設(shè) f(x) ex(1x)，則 f (x)ex 1，由 f (x)=0，得x=0.當(dāng) 1< x < 0時(shí)， f (x)<0；x當(dāng)> 0時(shí)， f (x)>0f(x)(在1，0)上單調(diào)遞減，在 (0， ) 上單調(diào)遞增，f(x)min= f(0)=0當(dāng) x>1， f(x)f(0)=0， 即 ex

15、1x設(shè) g(x) 1+x ln(1x) ，則， 由 g (x)=0，得x=0.當(dāng) 1< x < 0時(shí)， g (x)<0；當(dāng)x > 0時(shí)， g (x)>0 g(x)在(1，0) 上單調(diào)遞減，在 (0， ) 上單調(diào)遞增， g(x)min=g(0)=1當(dāng) x>1， g(x) g(0)=1>0 ， 即 1x >ln(1 x)綜上可得： .【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力 .18. 已知函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間a，b 上的圖像是連續(xù)不間斷的曲線，且 f

16、(x) 在區(qū)間a，b 上單調(diào)， f(a)>0 ，f(b)<0. 試用反證法證明：函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間a，b上有且只有一個(gè)零點(diǎn) .【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】由題意可知 y=f(x) 在區(qū)間a，b上一定存在零點(diǎn)x0， 假 設(shè) y=f(x) 在區(qū)間a，b上還存在一個(gè)零點(diǎn)x1 （ x1x0），利用反證法證明假設(shè)不成立即可證得題中的結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) y=f(x) 在區(qū)間a，b上的圖像連續(xù)不間斷，且f(a)>0 ，f(b)<0 ，即 f(a) · f(b)<0. 所以函y=數(shù)f(x) 在區(qū)間a，b上一定存在零點(diǎn) x0，假設(shè) y=f(x) 在區(qū)間a，b

17、上還存在一個(gè)零點(diǎn) x1（ x1x0），即f(x1)=0 ，由函數(shù) f(x) 在區(qū)間a，b 上單調(diào)且 f(a)>0 ，f(b)<0 知 f(x) 在區(qū)間a，b 上單調(diào)遞減；若 x1>x0 ，則 f(x1)< f(x0) ，即 0<0 ，矛盾， 若 x1<x0 ，則 f(x1) > f(x0) ，即 0>0 ，矛盾，因此假設(shè)不成立，故y=f(x) 在區(qū)間a，b上有且只有一個(gè)零點(diǎn) .【點(diǎn)睛】應(yīng)用反證法時(shí)必須先否定結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法所謂矛盾主要指：與已知條件矛

18、盾；與假設(shè)矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾；自相矛盾.19. 如圖所示，在邊長(zhǎng)為60 cm的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體箱 子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多 少？【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】設(shè)箱子的底邊長(zhǎng)為x cm ，則箱子高 hcm. 故其體積 v(x) (0<x<60) v (x)60x x2 0，據(jù)此結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定箱子容積的最大值即可.【詳解】設(shè)箱子的底邊長(zhǎng)為x cm ，則箱子高 hcm.箱子容積 vv(x) x2h (0<x<60) 求 v(x) 的導(dǎo)數(shù)，得 v (x)6

19、0x x2 0，解得 x10(不合題意，舍去 )，x2 40.當(dāng) x 在(0,60) 內(nèi)變化時(shí)，導(dǎo)數(shù)v (x)的正負(fù)如下表：x(40,60(0,40)40)v (x) 0因此在 x40 處，函數(shù) v(x) 取得極大值，并且這個(gè)極大值就是函數(shù) v(x) 的最大值將 x40 代入 v(x) 得最大容積 v 402×16 000(cm3) 所以箱子底邊長(zhǎng)取40 cm時(shí)，容積最大，最大容積為16 000 cm3.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值，實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20. 設(shè)，是否存在關(guān)于自然數(shù)n 的函數(shù)，使等式對(duì)于的一切自然數(shù)都

20、成立？并證明你的結(jié)論【答案】存在，證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：由，得的值，歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明 試題解析：當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)，等式恒成立（1） 當(dāng)時(shí)，由上面計(jì)算可知，等式成立；（2） 假設(shè)且時(shí)，等式成立，即成立， 那么當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，等式也成立由知，對(duì)一切的自然數(shù)n，等式都成立，故存在函數(shù)，使等式成立考點(diǎn)：歸納猜想及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用【方法點(diǎn)晴】本題主要考查了歸納猜想、數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用， 屬于中檔試題，本題中根據(jù)的值，歸納猜想，再用數(shù)學(xué)歸納法 的一般步驟：（ 1）驗(yàn)證時(shí)，命題成立；（2）假設(shè)時(shí)成立，利用假設(shè)和已知條件證明也成立；（3）由上述（ 1

21、）（ 2）得命題成立，其中假設(shè)時(shí)成立，利用假設(shè)和已知條件證明也成立過(guò) 程中，忽視應(yīng)用假設(shè)是解答的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，同時(shí)利用數(shù)學(xué)的遞 推關(guān)系的運(yùn)算，作出合理猜想也是本題的一個(gè)難點(diǎn)21. 若函數(shù) ,當(dāng)時(shí),函數(shù)有極值為 ,(1) 求函數(shù)的解析式；(2) 若有個(gè)解 ,求實(shí)數(shù)的取值范圍 .【答案】（）（）【解析】【分析】由題意可得 f (x)3ax2 b.(1)滿足題意時(shí)有，據(jù)此確定可得a,b 的值，從而確定函數(shù)的解析式；(2)由(1) 可得 f (x)x24(x 2)(x 2)，據(jù)此確定函數(shù)的極大值和極小值，原問(wèn)題等價(jià)于直線yk 與函數(shù) f(x)的圖象有 3 個(gè)交點(diǎn)，據(jù)此可得k 的取值范圍 .【詳解】 f

22、(x)3ax2 b.(1) 由題意得解得故所求函數(shù)的解析式為f(x) x34x 4.(2)由(1) 可得 f (x)x24(x 2)(x 2)，令 f (x)0，得 x2或 x 2.當(dāng) x 變化時(shí)， f (x)f(x，) 的變化情況如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f (x)00f(x)因此，當(dāng) x 2 時(shí)， f(x)有極大值，當(dāng) x2 時(shí)， f(x) 有極小值，所以函數(shù) f(x) x34x 4 的圖象大致如圖所示若 f(x) k 有 3 個(gè)不同的根，則直線yk 與函數(shù) f(x)的圖象有3 個(gè)交點(diǎn)，所以 <k<.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值

23、等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 22.設(shè)函數(shù) f(x)=ax2-a-lnx，其中 a r.（i） 討論 f(x)的單調(diào)性；（ii） 確定 a 的所有可能取值，使得在區(qū)間（1，+）內(nèi)恒成立(e=2.718為自然對(duì)數(shù)的底數(shù) )?！敬鸢浮?(1) 當(dāng) 時(shí)， <0，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，>0 ，單調(diào)遞增 ;(2) .【解析】試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性， 解決恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第（）問(wèn)，對(duì)求導(dǎo)，再對(duì) a 進(jìn)行討論，從而判斷函數(shù)的單調(diào)性；第（）問(wèn)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而證明結(jié)論.試題解析：（）<0 ，在內(nèi)

24、單調(diào)遞減 .由=0，有.此時(shí)，當(dāng) 時(shí)， <0，單調(diào)遞減； 當(dāng) 時(shí)， >0，單調(diào)遞增 .（）令=，=.則=.而當(dāng)時(shí)，>0 ，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增 .又由=0，有>0， 從而當(dāng)時(shí)，>0.當(dāng)，時(shí)，=.故當(dāng)>在區(qū)間內(nèi)恒成立時(shí)，必有.當(dāng)時(shí)，>1.由（）有,從而，所以此時(shí)>在區(qū)間內(nèi)不恒成立 .當(dāng)時(shí)，令，當(dāng)時(shí)，因此，在區(qū)間單調(diào)遞增 .又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，即恒成立.綜上，.【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，解決恒成立問(wèn)題【名師點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào) 性，解決恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生的分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力求函數(shù)的單調(diào)性，基

25、本方法是求，解方程，再通過(guò)的正負(fù)確定的單調(diào)性；要證明不等式，一般證明的最小值大于 0，為此要研究函數(shù)的單調(diào)性本題中注意由于函數(shù)的極小值沒(méi)法確定，因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍比較新穎，學(xué)生不易想到，有一定的難度2018-2019-2學(xué)期高二年級(jí) 3 月考試試題一、選擇題（本大題共12 小題，每小題 5 分，共 60 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確答案涂在答題卡上.）1. 若，則等于（）a. 2b. 1c. 1d. 2【答案】 c【解析】【分析】由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的定義求解的值即可 .【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義可知：，則.本題選擇 c 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考

26、查導(dǎo)數(shù)的定義及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.2. 已知函數(shù) f(x)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足（e 為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）， 則（ ）a.b. ec. -d. - e【答案】 c【解析】【分析】由題意可得：，令可得的值.【詳解】由題意可得：， 令可得： .本題選擇 c 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，方程思想的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3. 等于（）a. 0b. 1c. 2d.【答案】 b【解析】【分析】由題意，利用定積分的幾何意義，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解平面圖形面積的問(wèn)題，據(jù)此確定定積分的值即可 .【詳解】如圖所示，由定積分的幾何意義可知表示圖中陰影部分的面積，故： .本題選擇

27、 b 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.4.已知函數(shù) f (x) = 2x36x2+ m （m 為常數(shù)）在 2，2上有最大值 3，那么 f (x) 在2，2上最小值為（ ）a. -37b. -29c. -5d. -11【答案】 a【解析】因?yàn)橛梢阎?，f x（） =6x2-12x ，有 6x2- 12x0得 x2或 x 0，因此當(dāng) x2 ，+），（-，0時(shí) f（x）為增函數(shù)，在x0 ，2時(shí) f（x）為減函數(shù)，又因?yàn)?x-2，2 ，所以得當(dāng) x-2， 0 時(shí) f（x）為增函數(shù)，在 x0 ，2 時(shí) f（x）為減函數(shù)，所以 f（x）max=f （0）=m=3 ，故有 f（ x）=

28、2x3-6x2+3所以 f（-2 ）=-37 ，f（ 2）=-5因?yàn)?f（-2 ）=-37 f（ 2）=-5，所以函數(shù) f（x）的最小值為 f（ -2）=-37 答案為 a5.設(shè) f0(x) sin x ，f1(x) f0 (x)f2，(x) f1 (x) ，（ ）a. sin xb. sin xc. cos xd. cos x【答案】 d【解析】fn， 1(x) fn (x) ， n n，f2則019(x) 【分析】由題意計(jì)算的值確定函數(shù)的周期性，然后結(jié)合周期性確定f2019(x) 的值即可 .【詳解】由題意可得：，據(jù)此可得的解析式周期為， 注意到，故 .本題選擇 d 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要

29、考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，周期性及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力 .6. 內(nèi)接于半徑為 r 的圓的矩形的周長(zhǎng)的最大值為()a. rb. 2rc. rd. 4r【答案】 c【解析】【分析】由題意可得矩形的邊長(zhǎng)分別為：，據(jù)此得到周長(zhǎng)的表達(dá)式，最后由三角函數(shù)的性質(zhì)可得周長(zhǎng)的最大值.【詳解】由題意可得矩形的邊長(zhǎng)分別為：，則矩形的周長(zhǎng)為：，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，周長(zhǎng)取得最大值：.本題選擇 c 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用，實(shí)際應(yīng)用題的解法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.7. 方程-lnx -2=0的根的個(gè)數(shù)為（）a. 0b. 1c. 2d. 3【答

30、案】 c【解析】【分析】令，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，然后結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定方程根的個(gè)數(shù)即可 .【詳解】令，則， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減； 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增； 且：，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理可知函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)， 方程-lnx -2=0的根的個(gè)數(shù)為 2.本題選擇 c 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)零點(diǎn)存在定理及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力 .8. 由曲線 yx2 與曲線 y2 x 所圍成的平面圖形的面積為()a. 1b.c.d.【答案】 b【解析】【分析】首先求得兩曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)，據(jù)此可確定積分區(qū)間，然后利用定積分

31、的幾何意義求解面積值即可.【詳解】聯(lián)立方程：可得：，結(jié)合定積分的幾何意義可知曲線yx2 與曲線 y2 x 所圍成的平面圖形的面積為：.本題選擇 b 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分的概念與計(jì)算，屬于中等題.9. 設(shè)函數(shù)在區(qū)間 a1，a1上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是 () a. ，2)b. (1 ，2c. (0 ， 3d. (4 ，【答案】 b【解析】【分析】函數(shù)的定義域?yàn)?，由?dǎo)函數(shù)的解析式可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，據(jù)此得到關(guān)于 a 的不等式組，求解不等式組可得實(shí)數(shù) a 的取值范圍 .【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋珊瘮?shù)的解析式可得：， 據(jù)此可得函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間

32、為， 結(jié)合題意有：，解得：，即實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 (1，2.本題選擇 b 選項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，屬于中等題.10. 以初速 40 m/s 豎直向上拋一物體， t s 時(shí)刻的速度 v40 10t2 ，則此物體達(dá)到最高時(shí)的高度為（）a.mb. mc. md. m【答案】 a【解析】由 v40 10t2 0?t2 4，t 2.h(40 10t2)dt 80 (m) 選 a.11. 甲乙丙三人代表班級(jí)參加校運(yùn)會(huì)的跑步，跳遠(yuǎn)，鉛球比賽，每人參加一項(xiàng)，每項(xiàng)都要有人 參加，他們的身高各不同，現(xiàn)了解到以下情況：（1）甲不是最高的；（ 2）最高的是沒(méi)報(bào)鉛球；（ 3）最矮的參加了跳

33、遠(yuǎn)；（4）乙不是最矮的，也沒(méi)參加跑步可以判斷丙參加的比賽項(xiàng)目是（）a. 跑步比賽b. 跳遠(yuǎn)比賽c. 鉛球比賽d. 不能判定【答案】 a【解析】分析：由（ 1），（ 3），（ 4）可知，乙參加了鉛球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（ 1）可知，甲是最矮的，參加了跳遠(yuǎn)，即可得出結(jié)論.詳解：由（ 1），（ 3），（ 4）可知，乙參加了鉛球，由（2）可知乙不是最高的，所以三人中乙身高居中；再由（ 1）可知，甲是最矮的，參加了跳遠(yuǎn)，所以丙最高，參加了跑步比賽.故選： a.點(diǎn)睛：本題考查合情推理，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力.12. 如圖，直線 l 和圓 c，當(dāng) l 從 l0 開(kāi)始在平

34、面上繞點(diǎn)o 按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)到（轉(zhuǎn)到角不超過(guò) 90°）時(shí)，它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積s 是時(shí)間 t 的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖像大致是（）a.b.c.d.【答案】 d【解析】【分析】由題意可知： s 變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢”，據(jù)此確定函數(shù)的大致圖像即可.【詳解】觀察可知面積s 變化情況為“一直增加，先慢后快，過(guò)圓心后又變慢”， 對(duì)應(yīng)的函數(shù)的圖象是變化率先變大再變小，由此知d 符合要求 .故選 d.【點(diǎn)睛】本題主要考查實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)圖像，函數(shù)圖像的變化趨勢(shì)等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.二、選擇題（本大題共4 小題，每小題 5 分，共 20 分,將答

35、案寫(xiě)在答題卡上 .）13. 曲線在點(diǎn) m(，0)處的切線方程為 【答案】【解析】【分析】由題意可得，據(jù)此可得切線的斜率，結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)即可確定切線方程.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：， 所求切線的斜率為：，由于切點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線方程為：.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)運(yùn)算及切線的理解應(yīng)注意的問(wèn)題一是利用公式求導(dǎo)時(shí)要特別注意除法公式中分子的符號(hào)，防止與乘法公式混淆二是直線與曲線公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)不是切線的本質(zhì)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線不一定是曲線的切線，同樣，直線是曲線的切線，則直線與曲線可能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的公共點(diǎn)三是復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的關(guān)鍵是分清函數(shù)的結(jié)構(gòu)形式由外向內(nèi)逐層求導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)為兩層導(dǎo)數(shù)之積.14. 在用數(shù)學(xué)歸納

36、法證明不等式的過(guò)程中，從nk 到 nk+1 時(shí)，左邊需要增加的代數(shù)式是. 【答案】【解析】【分析】分別寫(xiě)出和時(shí)左側(cè)對(duì)應(yīng)的代數(shù)式，然后比較兩者的表達(dá)形式即可確定左邊需要增加的代數(shù)式.【詳解】當(dāng)時(shí)，等式左側(cè)為：， 當(dāng)時(shí)，等式左側(cè)為：，據(jù)此可得，左邊需要增加的代數(shù)式是.【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，整體思想的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力 .15. 若函數(shù) f(x) x3x24ax c(a>0) 在(， ) 內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，則a 的取值范圍是 【答案】【解析】【分析】很明顯，且，結(jié)合題意可知，據(jù)此可得實(shí)數(shù)a 的取值范圍 .【詳解】很明顯，由函數(shù)的解析式可得：，函數(shù)在(，

37、) 內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，則：,整理可得： .即 a 的取值范圍是 .【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的極值點(diǎn)，二次不等式的解法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.16. 定義域?yàn)榈目蓪?dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且滿足，則不等式的解集為 【答案】【解析】令，可得函數(shù)在 r 上為減函數(shù)， 又，故不等式即 .不等式的解集為.點(diǎn)睛：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它的應(yīng)用貫穿于整個(gè)高中數(shù)學(xué)的教學(xué)之中 .某些數(shù)學(xué)問(wèn)題從表面上看似乎與函數(shù)的單調(diào)性無(wú)關(guān)，但如果我們能挖掘其內(nèi)在聯(lián)系，抓住其本質(zhì)，那么運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性解題，能起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用 .因此對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面、準(zhǔn)確的認(rèn)識(shí)，并掌握好使用的技巧和

38、方法，這是非常必要的 .根據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧 .許多問(wèn)題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡(jiǎn)潔明快的思路，有著非凡的功效 .三、解答題（本大題共 6 小題，共 70 分）17. 求證：【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】由題意可知 x>1，構(gòu)造函數(shù) f(x) ex (1 x)，利用函數(shù) f(x) 的最小值可證明ex 1x構(gòu)造函數(shù) g(x) 1+x ln(1 x)，利用函數(shù) g(x) 的最小值可證明1x >ln(1 x)【詳解】根據(jù)題意，應(yīng)有 x> 1，設(shè) f(x) ex(1 x)，則 f (x)ex 1 ，由 f (x)=0

39、，得x=0.當(dāng) 1< x < 0 時(shí)， f (x)<0 ；x當(dāng)> 0 時(shí)， f (x)>0 f(x)(在1，0) 上單調(diào)遞減，在 (0， ) 上單調(diào)遞增，f(x)min= f(0)=0 當(dāng) x>1， f(x)f(0)=0， 即 ex 1x設(shè) g(x) 1+x ln(1 x)，則， 由 g (x)=0 ，得x=0.當(dāng) 1< x < 0 時(shí)， g (x)<0 ；當(dāng)x > 0 時(shí)， g (x)>0 g(x) 在( 1，0)上單調(diào)遞減，在 (0， ) 上單調(diào)遞增，g(x)min=g(0)=1 當(dāng) x>1， g(x) g(0)=1&

40、gt;0 ， 即 1 x >ln(1 x)綜上可得： .【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值，利用導(dǎo)函數(shù)證明不等式的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.18. 已知函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間a， b上的圖像是連續(xù)不間斷的曲線，且f(x) 在區(qū)間a，b上單調(diào)， f(a)>0 ，f(b)<0. 試用反證法證明：函數(shù)y=f(x) 在區(qū)間a，b 上有且只有一個(gè)零點(diǎn) .【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】由題意可知 y=f(x) 在區(qū)間a，b上一定存在零點(diǎn)x0，假設(shè) y=f(x) 在區(qū)間a，b上還存在一個(gè)零點(diǎn)x1（ x1x0），利用反證法證明假設(shè)不成

41、立即可證得題中的結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x) 在區(qū)間a，b上的圖像連續(xù)不間斷，且f(a)>0 ，f(b)<0 ，即 f(a)· f(b)<0.所以函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間a，b上一定存在零點(diǎn)x0，假設(shè) y=f(x) 在區(qū)間a，b上還存在一個(gè)零點(diǎn)x1 （ x1x0），即f(x1)=0 ，由函數(shù) f(x) 在區(qū)間a， b上單調(diào)且 f(a)>0 ， f(b)<0 知 f(x) 在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減； 若 x1>x0 ，則 f(x1)< f(x0) ，即 0<0，矛盾，若 x1<x0 ，則 f(x1) > f(x0) ，即

42、 0>0，矛盾，因此假設(shè)不成立，故y=f(x) 在區(qū)間a， b上有且只有一個(gè)零點(diǎn) .【點(diǎn)睛】應(yīng)用反證法時(shí)必須先否定結(jié)論，把結(jié)論的反面作為條件，且必須根據(jù)這一條件進(jìn)行推理，否則，僅否定結(jié)論，不從結(jié)論的反面出發(fā)進(jìn)行推理，就不是反證法所謂矛盾主要指： 與已知條件矛盾；與假設(shè)矛盾；與定義、公理、定理矛盾；與公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)矛盾；自相矛盾 .19. 如圖所示，在邊長(zhǎng)為60 cm 的正方形鐵片的四角上切去相等的正方形，再把它沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱子的容積最大？最大容積是多少？【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】設(shè)箱子的底邊長(zhǎng)為x cm，則箱子高 hcm. 故其體積 v(

43、x) (0<x<60) v (x)據(jù)此結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性確定箱子容積的最大值即可.【詳解】設(shè)箱子的底邊長(zhǎng)為x cm ，則箱子高 hcm.箱子容積 vv(x) x2h (0<x<60) 60x x2 0，求 v(x) 的導(dǎo)數(shù)，得 v (x) 60x x2 0，解得 x1 0( 不合題意，舍去 )， x240.當(dāng) x 在(0,60) 內(nèi)變化時(shí)，導(dǎo)數(shù)v (x) 的正負(fù)如下表：x(0,40)40(40,60)v (x)0因此在 x40 處，函數(shù) v(x) 取得極大值，并且這個(gè)極大值就是函數(shù)v(x) 的最大值 將 x40 代入 v(x) 得最大容積 v 402×16 000(cm3) 所以箱子底邊長(zhǎng)取40 cm 時(shí)，容積最大，最大容積為16 000 cm3.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值，實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)模型的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.20. 設(shè)，是否存在關(guān)于自然數(shù)n 的函數(shù)，使等式對(duì)于的一切自然數(shù)都成立？并證明你的結(jié)論【答案】存在，證明見(jiàn)解析【解析】試題分析：由，得的值，歸納猜想，再利用數(shù)學(xué)歸納法證明 試題解析：當(dāng)時(shí)，由，得，當(dāng)時(shí)，由，得，猜想，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)，等式恒成立（1） 當(dāng)時(shí)，由上面計(jì)算可知，等式成立；（2） 假設(shè)且時(shí)，等式成立，即成立， 那么當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，等式也成立由知，對(duì)一切