古典概型與幾何概型（精編版）

1、.古典概型與幾何概型時間： 45 分鐘分值： 100 分一、選擇題 ( 每小題 6 分，共 48 分)1(2011 ·理， 4) 如圖，矩形 abcd中，點 e為邊 cd的中點若在矩形 abcd部隨機取一個點 q，則點 q 取自 abe部的概率等于( )11a. 4b. 312c. 2d.3【答案】c【解析】本題主要考查幾何概型 e為 cd的中點，則 aeb的面積為矩形面積的一半，1.2所求概率為p11，故選 c. 22. 為了慶祝六一兒童節(jié)， 某食品廠制作了3 種不同的精美卡片，每袋食品隨機裝入一卡片，集齊3 種卡片可獲獎，現(xiàn)購買該種食品5袋，能獲獎的概率為 ()3133a. 81

2、b. 814850c. 81d.81【答案】d【解析】運用對立事件的概率的求法， 可先求不獲獎的概率為p13×2 3535，所以獲獎概率為p 1 p150，選 d.813. 電子鐘一天顯示的時間是從 00： 00 到 23： 59，每一時刻都由四個數(shù)字組成，則一天中任一時刻顯示的四個數(shù)字之和為 23 的概率 為 ( )11a. 180b. 28811c. 360d.480【答案】c【解析】由時間特點知后2 個數(shù)字之和最大為5914，故前 2 個數(shù)字之和不能小于9， 前 2 個數(shù)字只可能為： 09,18,19.只有在 09：59,18 ：59,19 ：58 與 19：49 時，四個數(shù)字

3、之和為23.又一天共有 60×24 1440 分鐘， 即只能顯示 1440 個數(shù)字，41所求概率為.14403604(2011 ·哈六中期末 ) 在區(qū)間 12 ， 2 上隨機取一個數(shù)x，則 cosx 的值介于 0 到2之間的概率為 ()12a. 3b. 12c. 2d.3【答案】a1【解析】0cosx2， x ，22 2 x3 或 3 x 2 ，2× 2所求概率為p 31 ，故選 a.32 25(2011 ·學(xué)普教育中心聯(lián)考版) 在棱長為2的正方體abcda1b1c1d1 中，點 o為底面 abcd的中心， 在正方體 abcd一點 p，則點 p到點 o的

4、距離大于 1 的概率為 ()a1b1c1d1 隨機取a. 12c. 6【答案】bb1 12d. 16143【解析】以點 o為圓心，半徑為 1 的半球的體積為v× r3223 3，正方體的體積為28，由幾何概型知：點 p到點 o的距離大于 1 的概率為23p( a) 1 81，故選 b.126(2010 ·，3) 從1,2,3,4,5中隨機選取一個數(shù)為a，從1,2,3中隨機選取一個數(shù)為b，則 b>a 的概率是 ()43a. 5b. 521c. 5d.5【答案】 d【解析】 設(shè)從1,2,3,4,5 中隨機選取一個數(shù)為 a，從1,2,3中隨機選取一個數(shù)為 b，組成實數(shù)對 a

5、，b ，共有(1,1) ，(1,2) ，(1,3) ， (2,1) ，(2,2) ，(2,3) ，(3,1) ，(3,2) ，(3,3) ，(4,1) ，(4,2) ，(4,3) ， (5,1) ，(5,2) ，(5,3) 共 15 種，其中 b>a 的有 (1,2) ，(1,3) ，(2,3)3種，所以 b>a 的概率為31 . 故選 d.1557 abcd為長方形， ab2，bc1， o 為 ab的中點，在長方形 abcd隨機取一點，取到的點到o的距離大于 1 的概率為 ()a. 4c. 8【答案】bb148d1【解析】要使點到 o的距離大于 1，則點需落在以o為圓心，1 為半

6、徑的圓之外， p2 22 14 ，選 b.8(2011 ·理， 10) 甲乙兩人一起去游“ 2011 世園會”，他們約定，各自獨立地從 1 到 6 號景點中任選 4 個進行游覽， 每個景點參加1 小時，則最后一小時他們同在一個景點的概率是 ( )11a. 36b. 951c. 36d.6【答案】d【解析】本題考查排列與組合及概率的計算4433甲、乙的游覽方式為a6a6，確定一個景點的方式為a5a5，33a5a5 1 p6· 44 .a6a6 6二、填空題 ( 每小題 6 分，共 18 分)9(2011 ·， 13) 盒中裝有形狀、大小完全相同的5 個球，其中紅色球

7、 3 個，黃色球 2 個，若從中隨機取出2 個球，則所取出的 2 個球顏色不同的概率等于 3【答案】5【解析】本題主要考查古典概型概率的計算222.p 1 c3 c21 4 3c510510(2010 ·) 點 a為周長等于 3 的圓周上的一個定點 若在該圓周上隨機取一點b，則劣弧 ab的長度小于 1 的概率為 2【答案】3【解析】圓周上使弧的長度為1 的點 m有兩個，設(shè)為 m1， m2，則過 a的圓弧的長度為2，b點落在優(yōu)弧上就能使劣弧的長度小于1，2所以劣弧的長度小于1 的概率為.311(2012 ·八校聯(lián)考 ) 已知 k z，ab( k, 1) ， ac (2,4)，

8、若| ab| 4，則 abc是直角三角形的概率是 3【答案】7【解析】| ab| k2 14，15 k15， kz， k 3， 2， 1,0,1,2,3，當 abc為直角三角形時，應(yīng)有ab ac，或 abbc，或 acbc，由ab· ac 0 得 2k40， k 2， bcacab(2 k, 3) ，由ab· bc0 得 k(2 k) 30， k 1 或 3，由ac·bc0 得 2(2 k) 12 0，k8( 舍去) ，故使 abc為直角三角形的 k 值為 2， 1 或 3，3所求概率 p .7三、解答題 ( 共 34 分)12(11 分)(2010 ·

9、天津， 18) 有編號為 a1， a2， a10 的 10 個零件，測量其直徑 ( 單位： cm)，得到下面數(shù)據(jù)：a1a2a3a4a5a6a7a8a9a101.51.41.41.51.41.51.41.41.51.41991917637編號直徑其中直徑在區(qū)間 1.48,1.52的零件為一等品(1) 從上述 10 個零件中， 隨機抽取一個， 求這個零件為一等品的概率；(2) 從一等品零件中，隨機抽取2 個用零件的編號列出所有可能的抽取結(jié)果；求這 2 個零件直徑相等的概率【解析】(1) 由所給數(shù)據(jù)可知，一等品零件共有6 個，設(shè)“從.10 個零件中，隨機抽取1 個為一等品”為事件a，則 p( a)

10、6 3105(2) 一等品零件的編號為a1，a2， a3， a4，a5， a6，從這 6 個一等品零件中隨機抽取2 個，所有可能的結(jié)果有： a1，a2 ， a1 ，a3 ， a1，a4 ， a1，a5 ， a1，a6 ， a2，a3 ， a2， a4 ， a2，a5 ， a2，a6 ， a3，a4 ， a3 ，a5 ， a3 ，a6 ， a4 ，a5 ， a4， a6 ， a5， a6 ，共有 15 種，“從一等品零件中，隨機抽取的2 個零件直徑相等” ( 記為事件 b) 的所有可能結(jié)果有： a1，a4 ， a1，a6 ， a4，a6 ， a2，a3 ， a2， a5 ， a3， a5 ，共有

11、 6 種62 p( b) .15513(11 分) 單位正方形 abc，d 在正方形 ( 包括邊界 ) 任取一點 m，求：1(1) amb面積大于等于的概率；4(2) am的長度不小于 1 的概率【解析】(1) 如圖 a，取 bc、ad的中點 e、f，連結(jié) ef，當 m1在 cefd運動時， abm的面積大于等于 4，由幾何概率定義知ps矩形 cdfe12s正方形 .(2) 如圖 b，以 ab為半徑作圓弧， m在陰影部分時， am長度大于等于 1，由幾何概率的定義知s陰影1p 11 1.sabcd 2× 2 ×414(12分) 一個均勻的正四面體面上分別涂有1,2,3,4四個數(shù)字，現(xiàn)隨機投擲兩次，正四面體面朝下的數(shù)字分別為b，c.(1) 記 z( b 3) 2( c3) 2，求 z4 的概率；(2) 若方程 x2bxc 0 至少有一根 a1,2,3,4，就稱該方程為“漂亮方程”，求方程為“漂亮方程”的概率【解析】(1) 因為是投擲兩次，因此基本事件( b，c) 共有 4×4 16 個，當 z4 時， ( b，c) 的所有取值為 (1,3)、(3,1)，21所以 p( z 4) .168(2) 若方程一根為x1，則 1bc 0，即