不定積分的典型例題

1、不定積分的典型例題例1 計算x解法1X41 =(Xdx 二-丄 x2x 1)(X2 - 2x 1).而(x?. 2x 1) (x21) = 2(x21)所以2 x2 - . 2x 1dxX2. 2x 1dx)1 1=畀妊2嚴(yán)竹(x”dx)1 d(2x-1)1 d.2x 1)2 (.2x -1)212 (,2x 1)2=丄arcta n( V2x _1) + arcta n(£x +1) +c. 2x21(x2 - ；2x 1). 2x解法2x41(x2 一、2x 1)(x2、2x 1嚴(yán)dx2x4 dxx4 11 1 2: arctan(、2x 1) arctanxc.2 2x2. 2

2、x 1解法3當(dāng) x = 0.x 二d(xJ)1 x2 -1arctan c2 、2xd(x -1)x(x-丄)2 2xlimX0+丄 arcta n32、2xji2、21X2 -1兀lim arctan: ,x -,2.2x 2、2由拼接法可有x21x41dx 二< 21 丄 X1 -=arctan l 寸 2V2x01* x2 -1-=arctan 1.J2J2x兀2.22、2c,x0x = 0. cx0例2.求dx.1)解將被積函數(shù)化為簡單的部分分式3x 2A B Cx D + 十 2 2 2 2 (x 1) (x 1) x 1 (x 1) x 1兩邊同乘以（x 1）2，約去x -

3、1的因子后令X-1得3(-1) 2(-1)2 1兩邊同乘以（X 1）2，對x求導(dǎo)，再令X-1，施以上運(yùn)算后，右端得A,而左端為X32lim 22x 2dx (X 1) (X 1)2(X 1)=lim x心dx3223x 23x (x 1) -2x(x 2)2 = lim22x2 1 x >J(x2 1)2=2.A =2.在分解式（*）中令x=0,得A B D,所以D ；分解式（*）兩邊同乘以x,再令x得1 =A C二.C 一1.故有(x 1)2(x21)dx = jB(x 1)2Cx Dx2 1dx= 2ln x+1 -112c.例3.求(X41)2：x4 X2)dx.解 令u -Xa2

4、2 (u 1)(u u),再用部分分式，則(X41)(x4 X2)dXduB Cu D,兩邊乘以u,-冷.兩邊乘以u,再0 二 A B C,= C.令 u =1,二X 4(x4 1) (x4 x2)dX1D J2du_21 1二u1.In21In2n82 22 (u 1)(u u)1u 一-1 2 2 2(u 1)1 .4-12.42In (x 1) ln(x 1) arcta nx c 4小8X2 u2 1du-I nu +11 2ln(u8111)arctanu c41(X2 1)2(x4 1)81 2 arcta nxc.41582dx =(x 1)r X871 tX8 +1 _1疋亍X

5、 dXj廠8 2 dx1x一廠嚴(yán)(X 1)18""A2 2 2(u 1) (u u) u u 1 u 1令u > 0,得A=1.兩邊乘以U1,再令u1,1Q8(x1)c.1ln( x 1)81 cosx ,例5.求dx.L1 +cosx s inx解 令 tan* t,貝U1 cOSX dx =21+cosxs inx2 21± (1x)(1')亠 112-X JF卜1 ±2 12一 2Hln f1+a-n(f 十)+acfanf+c xH -n(_ksin X) +1 +0-/二(X2 十川)2()l)2d(x2+5' (>

6、!) du-i(u J:(3) )+c畫曲©_kH u49003 | 4 J+ X+dx_ x)dF丄)422/二 xcos ()42c.1x »dx x、x2-1.耳 arcs in t+c d-t2.1 +-arcs in c,xX ：: -1.1 +arcs inc,x例 12.求.(x a)(b x)dx.其中a b.解由配方得(x-a)(b-x) =R2-(x-)2,其中 R 二寧，令x專,則有原式 u =Rsint二R2 -u2duR2 cos2tdt 二 R2t1R2R2=R2(sin 2t) c t sin tcost c2 42212. 2x -(a b)

7、(b-a) arcs in4b - a2x _ (a b).(x -a)(b -a) c.43cos xdx,J 二cosx sin x.3sin x ,dx,cosx sin x1 1解丨 J .(1-2sin2x)dx = x 盲跡汰 c1(cosx-sin x)(1sin 2x)I -J2 dxcosx +sin x2 2(cos x -sin x)(1 sin 2x)2dx(cosx sin x)21(1 si n2x)cos2x 2dx1 sin2x1 1蔦sin2x 4in伽2x ° C.解上面的聯(lián)立方程可得出I,J.(略)*例14.計算I二X.1 x%xI 1 +x12

8、dx -1 -x x 1 xX 3dx,令 Jx3dx.可求出1 xI J=2、3arcta n2、3(x-)c,3322 21 -X X X , dxI - J二1 +x3dx -1 x 1 x2X adx從而可解出I.(略)1 x3=ln(x 1) 一1|n(x3 1) c,3例 15. arcsin二 arcsin -d (x 1)分部積分(x 1) arcsin2ZXf-=(1 x)arcsin2 , x c.例16.求Idxt2 -1.x2x 1 = -x t,= x,dx = 21 +2tt2 t 1(12t)2 dt,t t , 1I _2 t(1 2t)2 dt _2 t 2(

9、2t 1)2(2t 1)23 dt=2In x + Jx2 +x +1 _3In 2x +1 + 2Jx2 +x +1+亍2(2、x2 x 1 2x1)c.例17.設(shè)f(x)有一個原函數(shù) 沁，求.xf (x)dx.解用分部積分法有xf (x)dx 二 xdf (x) = xf (x) - f(x)dx(*)sin x丁 f(x)dx=+&二 f (x) = f f (x)dx"xsi nx x cosxsi nx珂G二x2代入（* ）有sinx sinx xf(x)dx=cosxg，x x2sin x即 xf (x)dx =cosxc.x例18.求 12sinx cosxdx

10、. 5sin x 2cosx5sin x2cosx =5cosx 2sin x.被積函數(shù)的分子是cosx, sin x的線性組合，故有12sin x cosx 二 A(5sin x 2cosx) B(5sin x -2cosx)= (5A 2B)sin x (5B -2A)cosx,二 A = 2, B =1.于是12sinx cosx ,dx 二5sin x -2cosx2(5sinx-2cosx) (5sin x - 2cosx)5si nx 2cosxdx=2x +ln 5sin x 2cosx +c.例19求鵡sin xdx23 sin xd (cosx)cOSXzfc23 1cos

11、x1dx 例20.入1dt lnt -2 t 24tdx1廠(2) cos2 xcos x旦t2 -41. 2-cosx c.2 cosxd (tan x)2 cos x=arctan+d(ta n x)_ 3 tan2 x,tan xc =arctan:c.6、X 2+Vx3 2x3 -6 . x 93 x -18 6 x 18I n(1 6 x) c.2例22.23-x： x-15 - x 、x -1dx =In5-x x-1；5 x-2arctan. : c.V x1* 例 23.dxX J -x2=-arctan x +1n x + 心 - x2 + c.* 例 24.x2dx3x=i

12、a nt1 x22x2c,例25.dxex=fc例26.例27.< 2xxe 3e 2分部積分arcsin xdx 二ex -fxee xdx 二xarcsin x ,1 - x2c-ex xexe (e )dx 匸ec.例28._ d(1 sin xcosx)1 sin xcosx(妙用“ 1”)cos2xdx1 sin xcosx=ln 1+s in xcosx +c例29.l ：(x2 x)ex (x3x 1)exdx-(x2 x)ee =(x2 3x 1)e3二 原式=J J(x2 +x)exd(x2 +x)ex2 - (x2 x)ex2 c.3arcta n1x 1112 dx

13、(arctan-) c.(arctan-)1 x2xx1 x2 1 sin 2x，2 2 、a cosdxx b2 sin2 x例312 2 2 2d (a cos x b sin x)b2 -a2a2 cos2 x b2sin2 x22 v a 1x 2x cos2 x b2 sin2 x c.b -a2 2 2 2 2 2(a cos x b sin x) =(b -a )sin 2x.例32.x21 -In x.dx(X _ln X)2x=-(X _ln X)2d(7cx -1 n x例33.x21dx =d(x)x1:arcta n1x -X、2=arcta nx2 -1+ c.(x

14、= 0)當(dāng)x =0,利用原函數(shù)的連續(xù)性* 例 34.xdx(x21) 1 - x2Llnc.例35.dx例36.例37(1x2)x22x c.-adxxwsectx2-a3a2c.dxxsi ntcost1,11 costcost 一 cos2 tdt2 .1 - cos tarcs in xc.例38.dx例39.例40.x(x72)(1)7 21(-尹 dt(x 2)例41.dxln 2 +x14dx(1 x x2)tdt(1護(hù))dxx9dxx(2 x10)例42.(1 -x7)dxx(1 x7)12lnxc-dx匕）兮2(2x1)c.(x2ex) dx =x -2x10(2x10)討1n

15、x 一丄 ln(x10202)c.(1 -x7)x6dxx7(2 x10)2,47x-ln1 +x+c.In1k)d(xn)n 1.x dx1 / n(x -ln nn nx x -.-dx1 xXn +1) +c.2x3 1例 44. z1001dx.(令 x-1，u2x31(x")100"=19933 (x - 1) 49(x 一1)3dx* 例 45 x 3xx述6（先約分，分子加一減一）例46. 1 yxn dx分子分母同乘(Jx+1 O 'YX+vX+1* 例 47.1 sin xdx.2 x 2 xx x|.si n +cos +2s in cosdx=

16、 L V 2222例48.dxJ 3sin xsin2 x cos2 xdx 二 cscxdx 亠 i cot xcscxdxsin3 x分部積分= cscxdx - cot xd(cscx) =例49.1cscx21sin x , dx 二 1 s inx-cotx : c.2 cotxcscxsin x(1 -s inx)2 d =cos x例50.:dx1 sin x cosx1 sinx cosx =sinx (1 cosx)x x2 x2 x “丄X、= 2sin cos 2cos 2cos (1 tan )2 2 2 2 2xdx = In 1 +ta n例 51. x Sinx' 1 +COSXx+2s in cos dx ： 222cos2-2(分項分部積分)=xta n+c.2*例52.求 'xj f (In x)f(|nx)dx=f(lnx)J f(ln x)d(ln x)d(f(lnx)=2 f(lnx) c. f(lnx)*例 53.求 max( x3 , x2 ,1)dx .3x , 解 令 f (x) =maX x3, x2,1