第5章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動1(A rigid body about a fixed axis)

1、15.1 剛體的運(yùn)動剛體的運(yùn)動 5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算 5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用 5.5 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能 5.6 剛體的角動量和角動量守恒定律剛體的角動量和角動量守恒定律*5.7 進(jìn)動進(jìn)動 (A rigid body about a fixed axis)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸2本章將介紹一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系本章將介紹一種特殊的質(zhì)點(diǎn)系剛體剛體所遵循的力學(xué)所遵循的力學(xué)規(guī)律。著重討論剛體的定軸轉(zhuǎn)動。規(guī)律。著重討論剛體的定軸轉(zhuǎn)動。5.1 5.1 剛體的運(yùn)動剛體的運(yùn)動一、一、 概概念念什么是剛體什么是剛體? ? 實(shí)際的固體

2、在受力作用時(shí)總是要發(fā)生或大或?qū)嶋H的固體在受力作用時(shí)總是要發(fā)生或大或小的形狀和體積的改變。如果在討論一個(gè)固體的運(yùn)動時(shí)小的形狀和體積的改變。如果在討論一個(gè)固體的運(yùn)動時(shí), ,這種這種形狀或體積的改變可以忽略，我們就把這個(gè)固體當(dāng)作剛體來處形狀或體積的改變可以忽略，我們就把這個(gè)固體當(dāng)作剛體來處理。理。在受外力作用時(shí)在受外力作用時(shí)不改變形狀和體積的物體不改變形狀和體積的物體稱剛體稱剛體。(2)(2)剛體可以看作是由許多質(zhì)點(diǎn)組成剛體可以看作是由許多質(zhì)點(diǎn)組成特殊質(zhì)點(diǎn)系特殊質(zhì)點(diǎn)系, ,每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)叫做剛體的一個(gè)質(zhì)元, ,剛體這個(gè)質(zhì)點(diǎn)剛體這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的特點(diǎn)是系的特點(diǎn)是, ,在外力作用下各質(zhì)

3、元之間的相對位在外力作用下各質(zhì)元之間的相對位置保持不變。置保持不變。1. 剛體定義剛體定義: :mimiN 支持力支持力注意：注意：(1)(1)剛體是固體物件的理想化模型。剛體是固體物件的理想化模型。質(zhì)元質(zhì)元(A rigid body about a fixed axis)32. 2. 剛體的運(yùn)動形式剛體的運(yùn)動形式: : 如果剛體在運(yùn)動中如果剛體在運(yùn)動中, ,連結(jié)體內(nèi)兩連結(jié)體內(nèi)兩點(diǎn)的直線在空間的指向總保持平行點(diǎn)的直線在空間的指向總保持平行, ,這樣的運(yùn)動就叫這樣的運(yùn)動就叫平動。平動。 轉(zhuǎn)動是剛體的基本運(yùn)動形式之一。剛體轉(zhuǎn)動是剛體的基本運(yùn)動形式之一。剛體轉(zhuǎn)動時(shí)各質(zhì)元均做圓周運(yùn)動轉(zhuǎn)動時(shí)各質(zhì)元均做圓

4、周運(yùn)動, ,而且各圓而且各圓 的圓的圓心都在一條固定不動的直線上心都在一條固定不動的直線上, ,這條直線叫這條直線叫轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)軸軸。如果轉(zhuǎn)軸方向不隨時(shí)間變化。如果轉(zhuǎn)軸方向不隨時(shí)間變化, , 則稱則稱定軸定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動。 轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動: :平動：平動：轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸mimi注意：注意： 剛體平動時(shí)剛體平動時(shí), ,剛體內(nèi)各剛體內(nèi)各質(zhì)元的運(yùn)動軌跡都一樣質(zhì)元的運(yùn)動軌跡都一樣, ,而且在而且在同一時(shí)刻的速度和加速度都相等。同一時(shí)刻的速度和加速度都相等。因此因此, ,在描述剛體的平動時(shí)在描述剛體的平動時(shí), ,可以可以用一點(diǎn)的運(yùn)動來代表，通常就用用一點(diǎn)的運(yùn)動來代表，通常就用剛體的質(zhì)心的運(yùn)動來代表整個(gè)剛剛體的質(zhì)心的運(yùn)動來代表整

5、個(gè)剛體的平動。體的平動。4 剛體的一般運(yùn)動都可以認(rèn)為是平動和繞某一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的剛體的一般運(yùn)動都可以認(rèn)為是平動和繞某一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的結(jié)合。如圖結(jié)合。如圖, ,車輪的轉(zhuǎn)動。車輪的轉(zhuǎn)動。5轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述 剛體繞某一固定軸轉(zhuǎn)動時(shí)剛體繞某一固定軸轉(zhuǎn)動時(shí), ,其上各質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平其上各質(zhì)元都在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)作圓周運(yùn)動面內(nèi)作圓周運(yùn)動, ,且所有質(zhì)元的矢徑在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角且所有質(zhì)元的矢徑在相同的時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度相同度相同, ,根據(jù)這一特點(diǎn)根據(jù)這一特點(diǎn), ,常取垂直于轉(zhuǎn)軸常取垂直于轉(zhuǎn)軸 的平面為參考系的平面為參考系, ,這個(gè)這個(gè)平面稱轉(zhuǎn)平面稱轉(zhuǎn) 動平面

6、。動平面。, ,雖然剛體上各質(zhì)元的線速度、雖然剛體上各質(zhì)元的線速度、 加速度一加速度一般是不同的。但由于各質(zhì)元的相對位置保持不變般是不同的。但由于各質(zhì)元的相對位置保持不變, ,所以描述各所以描述各質(zhì)元運(yùn)動的角量質(zhì)元運(yùn)動的角量, ,如角位移、如角位移、 角速度角速度 和角加速度都是一樣的。和角加速度都是一樣的。因此描述剛體的運(yùn)動時(shí)因此描述剛體的運(yùn)動時(shí), ,用角量最為方便。用角量最為方便。Ovimi轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸Zri轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸61.角位移角位移3. 3. 角加速度矢量角加速度矢量)/(222sraddtddtd);/(sraddtd轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面v2.2.角速度矢量角速度矢量: 方向與轉(zhuǎn)動方向成右手螺

7、旋法則方向與轉(zhuǎn)動方向成右手螺旋法則 。當(dāng)減速轉(zhuǎn)動時(shí)當(dāng)減速轉(zhuǎn)動時(shí), ,角加速度與角速度方向相反角加速度與角速度方向相反; ;注意注意: :當(dāng)加速轉(zhuǎn)動時(shí)當(dāng)加速轉(zhuǎn)動時(shí), ,角加速度與角速度方向相同角加速度與角速度方向相同；rpooX轉(zhuǎn)動方向轉(zhuǎn)動方向Z75.當(dāng)角加速度矢量是常矢量時(shí)：當(dāng)角加速度矢量是常矢量時(shí)：)(20202atvv0)(20202xxavv20021attvxxt 02210 )(tt4.質(zhì)元線量與角量的關(guān)系質(zhì)元線量與角量的關(guān)系ra ran2rv8virioiFiOZmi5.2 5.2 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律將剛體看成許多質(zhì)量分別為將剛體看成許多質(zhì)量分別為 m1 ;m2 mi

8、mn的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn); ; 各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為 r1 、r2、ri 、rn1.1.力矩定義力矩定義: :FrM實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn), ,剛體做定軸轉(zhuǎn)動時(shí)剛體做定軸轉(zhuǎn)動時(shí), ,其轉(zhuǎn)動狀態(tài)的改變與外力的其轉(zhuǎn)動狀態(tài)的改變與外力的大小大小 方向及作用點(diǎn)均有關(guān)。方向及作用點(diǎn)均有關(guān)。( (如開門如開門) )9O轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的交點(diǎn)轉(zhuǎn)軸與轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的交點(diǎn)pFrFF/OZF/-表示力表示力F F在轉(zhuǎn)軸方向的投在轉(zhuǎn)軸方向的投影影F-表示力表示力F F在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的投在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的投影影r - O點(diǎn)到力的作用點(diǎn)的矢徑點(diǎn)到力的作用點(diǎn)的矢徑表示表示 F與與 r 的夾角的夾角10oiiriFii

9、iFriMiZiiiiFrFrMiZMiiFri表示表示 Fi與與 r i的夾角的夾角iZMiiiFrsin力矩垂直于力矩垂直于Z軸軸iZiiFFFZpFiFiZiiFr)(amrii)(iiirmr )(2iirm沿轉(zhuǎn)軸方向沿轉(zhuǎn)軸方向, ,并與矢徑并與矢徑 r 及及 F 成右手螺旋法則成右手螺旋法則 。力矩的方向力矩的方向: :2.114. 4. 剛體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣剛體對于轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量量iiimrJ)(25. 5. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律JM 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律剛體對于某一轉(zhuǎn)軸所受的合外力矩等于剛體對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動剛體對于某一轉(zhuǎn)軸所受的合外力矩等于剛體對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動

10、慣量與在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。慣量與在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。3. 3. 整個(gè)剛體受合外力矩沿整個(gè)剛體受合外力矩沿Z Z軸的分量：軸的分量：iZZMM)(2iirm121. 定軸轉(zhuǎn)動慣量定義定軸轉(zhuǎn)動慣量定義: :iiirmJ25.3 5.3 轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算分立剛體分立剛體: :轉(zhuǎn)動慣量等轉(zhuǎn)動慣量等于剛體中每個(gè)于剛體中每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)這一質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離的平軸的距離的平方的乘積的總方的乘積的總和。和。mioiri13連續(xù)剛體連續(xù)剛體: :dmrJ2質(zhì)量體密度質(zhì)量體密度dvr2dsr2dlr2質(zhì)量面密度質(zhì)量面密度質(zhì)量線密度質(zhì)量

11、線密度dmor142. 轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算轉(zhuǎn)動慣量的計(jì)算 例例 1 1 剛性三原子分子其質(zhì)量分布如圖所剛性三原子分子其質(zhì)量分布如圖所示，求繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量示，求繞轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量233222211rmrmrmJ例例 2 2 質(zhì)量為質(zhì)量為m m ，長為，長為 l l 的均勻細(xì)棒，分別求其繞垂直的均勻細(xì)棒，分別求其繞垂直中心轉(zhuǎn)軸和繞一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。中心轉(zhuǎn)軸和繞一端轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。r1r2r3m1m2m3轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)軸15解解: :設(shè)棒單位長質(zhì)量設(shè)棒單位長質(zhì)量: :則按如圖所示建立一維坐標(biāo)系則按如圖所示建立一維坐標(biāo)系, ,繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為則按如圖所示建立一維坐標(biāo)系繞一端的轉(zhuǎn)動慣量則按

12、如圖所示建立一維坐標(biāo)系繞一端的轉(zhuǎn)動慣量為為dmxJ21dmxJ22oX圖圖圖圖Xo=m/l,dxdxdxxll2222121mldxxl02231mldm=dxdm16oRZ例例 3 3 求質(zhì)量為求質(zhì)量為 m m ，半徑為，半徑為 R R 的均勻薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣的均勻薄圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量，軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心。量，軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心。dmdmRJ2mdmR22mR解解: :17RoZ例例 4 4 求質(zhì)量為求質(zhì)量為 m m ，半徑為，半徑為 R R 的均勻薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣的均勻薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量，軸與圓盤平面垂直并通過其圓心。量，軸與圓盤平面垂直并通過其圓心。drr解解 (1)(1)設(shè)圓

13、盤單位面積上的質(zhì)量為設(shè)圓盤單位面積上的質(zhì)量為(2)在圓盤上取半徑為在圓盤上取半徑為r r，寬為，寬為 d dr r 的圓環(huán)，的圓環(huán)， 該圓環(huán)質(zhì)量：該圓環(huán)質(zhì)量：rdrdsdm2dmrJ2rdrrR202221mR2Rm(3) 圓盤轉(zhuǎn)動慣量為圓盤轉(zhuǎn)動慣量為18例例 5 5 求質(zhì)量為求質(zhì)量為 M M ，半徑為，半徑為 R R，厚為，厚為 l l 的的均勻圓柱體均勻圓柱體的轉(zhuǎn)動慣量，軸與圓柱平面垂直并通過其軸心。的轉(zhuǎn)動慣量，軸與圓柱平面垂直并通過其軸心。RoZldl解解 (1)(1)設(shè)圓柱體單位長度上的質(zhì)量為設(shè)圓柱體單位長度上的質(zhì)量為lmlmdd(2)(2)在圓柱體上沿軸向取長為在圓柱體上沿軸向取長為

14、 d dl l 的薄圓盤，該圓盤質(zhì)量：的薄圓盤，該圓盤質(zhì)量：2d21dmRJ lRJJld21d02222121MRlR圓盤轉(zhuǎn)動慣量圓盤轉(zhuǎn)動慣量為為(3)圓柱體轉(zhuǎn)動慣量為圓柱體轉(zhuǎn)動慣量為19Z3. 轉(zhuǎn)動慣量的物理意義及性質(zhì)轉(zhuǎn)動慣量的物理意義及性質(zhì): :轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量類似轉(zhuǎn)動慣量與質(zhì)量類似, ,它是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度它是剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度; ;轉(zhuǎn)動慣量不僅與剛體質(zhì)量有關(guān)轉(zhuǎn)動慣量不僅與剛體質(zhì)量有關(guān), ,而且與剛體轉(zhuǎn)而且與剛體轉(zhuǎn)軸的位置及剛體的質(zhì)量分布有關(guān)軸的位置及剛體的質(zhì)量分布有關(guān); ;轉(zhuǎn)動慣量具有迭加性轉(zhuǎn)動慣量具有迭加性; ;如圖如圖, ,如果三個(gè)剛體繞同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為如果三個(gè)剛

15、體繞同一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量分別為J J1 1,J,J2 2,J,J3 3, ,則該剛體系統(tǒng)繞該軸的轉(zhuǎn)動慣量為則該剛體系統(tǒng)繞該軸的轉(zhuǎn)動慣量為J=JJ=J1 1+J+J2 2+J+J3 320轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動慣量具有相對性動慣量具有相對性; ;同一剛體同一剛體, ,轉(zhuǎn)軸不同轉(zhuǎn)軸不同, ,質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分質(zhì)量對轉(zhuǎn)軸的分布不同布不同, ,因而轉(zhuǎn)動慣量不同。因而轉(zhuǎn)動慣量不同。平行軸定平行軸定理：理： 剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛剛體對任一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對體對通過質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動通過質(zhì)心并與該軸平行的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸間距的二慣量加上剛體質(zhì)量與兩軸間距的二次方的乘次方的乘積。積。2mdJJCZCd

16、Z21轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律實(shí)驗(yàn)指出實(shí)驗(yàn)指出, ,一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體, ,當(dāng)它所受的合外力矩當(dāng)它所受的合外力矩( (對對該轉(zhuǎn)軸而言該轉(zhuǎn)軸而言) )為零時(shí)為零時(shí), ,它將保持原有的角速度不變。該定理反映它將保持原有的角速度不變。該定理反映了任何轉(zhuǎn)動物體都有轉(zhuǎn)動慣性。了任何轉(zhuǎn)動物體都有轉(zhuǎn)動慣性。一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體一個(gè)繞固定軸轉(zhuǎn)動的剛體, ,當(dāng)它所受的合外力矩當(dāng)它所受的合外力矩( (對該轉(zhuǎn)軸而言對該轉(zhuǎn)軸而言) )不為零時(shí)不為零時(shí), ,它將獲得角加速度它將獲得角加速度, ,角加速度的方向與合外力矩的方角加速度的方向與合外力矩的方向相同向相同; ;角加速度的量值與它所受的合外力矩

17、成正比角加速度的量值與它所受的合外力矩成正比, ,并與它的并與它的轉(zhuǎn)動慣量成反比。轉(zhuǎn)動慣量成反比。當(dāng)選用國際單位制時(shí)當(dāng)選用國際單位制時(shí), ,該定律可寫成該定律可寫成JM 5.4 5.4 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用剛體轉(zhuǎn)動的第二定律剛體轉(zhuǎn)動的第二定律: :剛體轉(zhuǎn)動的第一定律剛體轉(zhuǎn)動的第一定律: :22例例6 6 如圖一質(zhì)量為如圖一質(zhì)量為M M 長為長為l l的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞其左端且與桿垂直的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞其左端且與桿垂直的水平軸轉(zhuǎn)動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求桿轉(zhuǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求桿轉(zhuǎn)到與水平方向成到與水平方向成角時(shí)角時(shí), ,桿的角加速

18、度是多少桿的角加速度是多少? ?解解:(1):(1)設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直向里為正設(shè)轉(zhuǎn)軸垂直向里為正, ,系統(tǒng)對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為系統(tǒng)對該轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 231MlJ(2)該系統(tǒng)所受的力矩該系統(tǒng)所受的力矩為為cos2lMgMcos61g(3)(3)由轉(zhuǎn)動定律由轉(zhuǎn)動定律: :M=J可得可得方向方向: :指里指里。mgl23例例7 7 固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水固定在一起的兩個(gè)同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸平對稱軸OOOO轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, ,設(shè)大小圓柱體的半徑分別為設(shè)大小圓柱體的半徑分別為R R和和r r, ,質(zhì)量質(zhì)量分別為分別為M M和和m m, ,繞在兩柱體上的細(xì)繩分別與物體繞在兩柱體

19、上的細(xì)繩分別與物體m m1 1和和m m2 2相相連連, ,m m1 1和和m m2 2則掛在物體的兩側(cè)則掛在物體的兩側(cè), ,如下圖所示。如下圖所示。求求: :柱體轉(zhuǎn)動的角加速度柱體轉(zhuǎn)動的角加速度; ;兩細(xì)繩的張力兩細(xì)繩的張力T T1 1和和T T2 2。設(shè)設(shè) R=0.2m, r =0.1m, m=4kg, M=10kg, m1=m2=2kgmOOm1m2MrR24(4) (4) 由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動第二定律可列方程如由牛頓第二定律和轉(zhuǎn)動第二定律可列方程如下下2222amTgmXoT2m2gT1m1g1111amgmTJrTRT12輔助方程Ra 2222121mrMRJra 1;(3) (3)

20、 隔離物體分析力隔離物體分析力, ,(2) 定性分析定性分析m m1 1 向上向上, , m m2 2 向下向下; ;定轉(zhuǎn)軸正向沿定轉(zhuǎn)軸正向沿oooo, ,從左側(cè)視圖看轉(zhuǎn)軸正向指里從左側(cè)視圖看轉(zhuǎn)軸正向指里; ;設(shè)設(shè)m m2 2 向下為坐標(biāo)正向向下為坐標(biāo)正向; ;解解: :(1).(1).確定研究對象確定研究對象：m、M、m1、m2T2Rro1122; TTTTT1(1)(2)(3)(4)254. 4. 解方程可得結(jié)果如下解方程可得結(jié)果如下: :222212212rad/s13. 62grmgRmRmrmmrMRN83.20)(11rgmTN15.17)(22RgmT26練習(xí)練習(xí)1 1兩個(gè)物體質(zhì)

21、量分別為兩個(gè)物體質(zhì)量分別為m m1 1和和m m2 2 定滑輪的質(zhì)量定滑輪的質(zhì)量 為為 m m ，半徑為，半徑為r r ，可視為均勻圓盤。已知桌面間的滑，可視為均勻圓盤。已知桌面間的滑動摩擦系數(shù)和為動摩擦系數(shù)和為k k。 求求 m m1 1 下落的加速度和兩段繩子中的張力各是多少？設(shè)下落的加速度和兩段繩子中的張力各是多少？設(shè)繩子和滑輪間無相對滑動，滑輪軸受的摩擦力忽略不計(jì)。繩子和滑輪間無相對滑動，滑輪軸受的摩擦力忽略不計(jì)。m1m2rm271122; TTTT輔助方程221mrJ T2T1m1gfT1T2m2aaramTgm111（1 1）ak222mgmT（2 2）JrTT)(21（3 3）r

22、a （4 4）28gmam/2mmm21k21gmmmT121k21m/2m2/)1 (mgmmmT221kk12m/2m2/)1 (m解方程可得結(jié)果如下解方程可得結(jié)果如下:29將剛體看成許多質(zhì)量分別為將剛體看成許多質(zhì)量分別為m1 、m2 mimn的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn);各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為各質(zhì)點(diǎn)距轉(zhuǎn)軸的距離分別為 r1、r2 ri rn221iikivmE整個(gè)剛體的動能整個(gè)剛體的動能kiikEE一、一、 轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動動能221JEk稱剛體的轉(zhuǎn)動動能稱剛體的轉(zhuǎn)動動能5.5 5.5 轉(zhuǎn)動中的功和能轉(zhuǎn)動中的功和能則第則第 i i 個(gè)質(zhì)元的動能個(gè)質(zhì)元的動能 2221iirm221iiivm2221iiir

23、m30O二、力矩的功二、力矩的功-力矩作用于剛體的空間累積效力矩作用于剛體的空間累積效應(yīng)應(yīng)當(dāng)力持續(xù)作用于剛體使其角位置由當(dāng)力持續(xù)作用于剛體使其角位置由1 1到到2 2時(shí)時(shí), ,力矩的功力矩的功為為21MdArdfdArdfcosdfrsinMd如圖力如圖力 f f 作用于作用于P P點(diǎn)使剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過微小角度點(diǎn)使剛體繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過微小角度dd,P P點(diǎn)對應(yīng)的線位移為點(diǎn)對應(yīng)的線位移為dr, dr, 力所作的元功力所作的元功pfdrdr31四、四、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理末態(tài)的角位置和角速度分別為末態(tài)的角位置和角速度分別為2 2和和2 2, ,則在該過程中力則在該過程中力矩的功為

24、：矩的功為：21MdA即即, ,合外力矩對剛體做定軸轉(zhuǎn)動所作的功合外力矩對剛體做定軸轉(zhuǎn)動所作的功, ,等于剛體等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。轉(zhuǎn)動動能的增量。設(shè)剛體上某質(zhì)元初始時(shí)的角位置和角速度分別為設(shè)剛體上某質(zhì)元初始時(shí)的角位置和角速度分別為1 1和和121dJ21dddtJ21222121JJ21222121JJA_定軸轉(zhuǎn)動的動能定理定軸轉(zhuǎn)動的動能定理32m質(zhì)量為質(zhì)量為m m的不太大的整個(gè)剛體的重力勢能的不太大的整個(gè)剛體的重力勢能mygEPdmygdmmymgdcmgyydmycC一個(gè)不太大的剛體的重力勢能和它一個(gè)不太大的剛體的重力勢能和它的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具有的勢能的全部質(zhì)量集中在質(zhì)心時(shí)所具

25、有的勢能一樣。一樣。結(jié)論：結(jié)論：五五 、剛體系統(tǒng)的功能原理、剛體系統(tǒng)的功能原理A外力外力 +A非保守內(nèi)力非保守內(nèi)力=（Ek2 +Ep2 ）-（Ek1 +Ep1）當(dāng)含剛體的系統(tǒng)在運(yùn)動過程中當(dāng)含剛體的系統(tǒng)在運(yùn)動過程中只有保守力內(nèi)力做功時(shí)只有保守力內(nèi)力做功時(shí), , 在該過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒。在該過程中系統(tǒng)機(jī)械能守恒。XYOz2221212121ccmghJmghJ五、剛體勢能五、剛體勢能33例例 3 3： 如圖一質(zhì)量為如圖一質(zhì)量為M M 長為長為l的勻質(zhì)細(xì)桿，中間和右端各的勻質(zhì)細(xì)桿，中間和右端各有一質(zhì)量皆為有一質(zhì)量皆為m m的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿垂直的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿垂直

26、的水平軸轉(zhuǎn)動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求的水平軸轉(zhuǎn)動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求桿轉(zhuǎn)到與水平方向成桿轉(zhuǎn)到與水平方向成角時(shí)角時(shí), ,桿的角速度桿的角速度是多少是多少? ?mgl1. 1. 研究對象研究對象: :桿桿+ +球球+ +地球地球= =系統(tǒng)系統(tǒng)重力重力mgmg保守內(nèi)力保守內(nèi)力; ; 彈力其功為彈力其功為零零2. 2. 分析系統(tǒng)受力及力的功分析系統(tǒng)受力及力的功: :3. 3. 取重力勢能零點(diǎn)取重力勢能零點(diǎn): :水平位水平位置置4. 4. 運(yùn)動過程中系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒的條件運(yùn)動過程中系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒的條件: :解解: :340)312(212222Mlmllmsinsi

27、n2sin2mgllmglMgsin)415()3(12glMmmM35rivimiZoi5.6 5.6 對定軸的角動量守恒定律對定軸的角動量守恒定律二、角動量定理二、角動量定理: :1. 角動量定義角動量定義: :質(zhì)點(diǎn)對質(zhì)點(diǎn)對Z Z軸的角動量軸的角動量: :iiiiizimrvmrL2剛體對剛體對Z Z軸的角動量軸的角動量: :2. 角動量定理角動量定理:dtdLM 轉(zhuǎn)動物體所受合外力矩轉(zhuǎn)動物體所受合外力矩 , ,等于轉(zhuǎn)動物體角動量的變化率。等于轉(zhuǎn)動物體角動量的變化率。意義意義: :JmrmrLiiiiiiZ)(22JLZ36三、角動量守恒定律三、角動量守恒定律: :由角動量定理可知：由角動

28、量定理可知：dtLdM1.1.角動量守恒有兩種情況角動量守恒有兩種情況: :注意注意: :2.2.角動量守恒定律與動量守恒定律、角動量守恒定律與動量守恒定律、 能量守恒定律一樣都是自能量守恒定律一樣都是自然界的規(guī)律。然界的規(guī)律。(1) (1) 是轉(zhuǎn)動慣量是轉(zhuǎn)動慣量J J與與角速度角速度都不變都不變; ;(2) (2) 是兩者都變但二者的乘積是兩者都變但二者的乘積J J不變。不變。當(dāng)剛體所受合力矩為零時(shí)，當(dāng)剛體所受合力矩為零時(shí)，M=0, L=常矢量常矢量37舞蹈中的角動量守恒現(xiàn)象舞蹈中的角動量守恒現(xiàn)象38滑冰中的角動量守恒現(xiàn)象滑冰中的角動量守恒現(xiàn)象 39跳水中的角動量守恒現(xiàn)象跳水中的角動量守恒現(xiàn)

29、象 起跳入水例題例題3 3：人走圓盤轉(zhuǎn)。一個(gè)質(zhì)量為：人走圓盤轉(zhuǎn)。一個(gè)質(zhì)量為M M，半徑為，半徑為R R的水平均勻的水平均勻圓盤可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動。在盤緣上站圓盤可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉(zhuǎn)動。在盤緣上站著一個(gè)質(zhì)量為著一個(gè)質(zhì)量為m m的人，二者最初都相對地面靜止。當(dāng)人在的人，二者最初都相對地面靜止。當(dāng)人在盤上沿盤邊走一周時(shí)，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度多大？盤上沿盤邊走一周時(shí)，盤對地面轉(zhuǎn)過的角度多大？MRxmO1解：解：如圖所示，對盤和人組成的如圖所示，對盤和人組成的系統(tǒng)，在人走動時(shí)系統(tǒng)所受的對豎系統(tǒng)，在人走動時(shí)系統(tǒng)所受的對豎直軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對此直軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對此軸的

30、角動量守恒。以軸的角動量守恒。以J1和和J2分別表分別表示人和盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量，并以示人和盤對軸的轉(zhuǎn)動慣量，并以1 1和和2 2分別表示任一時(shí)刻人和盤分別表示任一時(shí)刻人和盤繞軸的角速度。繞軸的角速度。由于起始角動量為由于起始角動量為零，所以角動量守恒給出：零，所以角動量守恒給出：02211 JJ其中其中222121,MRJmRJ41帶入上式得帶入上式得dtdMRdtdmR22122121220012212112MmdMRdmR212人在盤上走一周時(shí)人在盤上走一周時(shí)帶入上式可得帶入上式可得2222Mmm以以 和和 分別表示人和盤對地面發(fā)生的角位移，分別表示人和盤對地面發(fā)生的角位移，則：則：12d

31、tddtd2211,42例例4 4: :如圖長為如圖長為 l 的均勻直棒其質(zhì)量為的均勻直棒其質(zhì)量為M,上端用光滑水平上端用光滑水平軸吊起而靜止下垂。今有一子彈質(zhì)量為軸吊起而靜止下垂。今有一子彈質(zhì)量為m , ,以水平速度以水平速度vo 射入桿的下端而不復(fù)出。射入桿的下端而不復(fù)出。求：子彈剛和桿開始一起運(yùn)動時(shí)的角速求：子彈剛和桿開始一起運(yùn)動時(shí)的角速度度多大多大? ?mvool43解解: :1. 定轉(zhuǎn)軸正向：定轉(zhuǎn)軸正向：指外指外2. 隔離物體分析力及力矩；隔離物體分析力及力矩；子彈沖入桿的過程中，以子彈和桿子彈沖入桿的過程中，以子彈和桿為系統(tǒng)，則為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的角動量守恒。系統(tǒng)的角動量守恒。)31(

32、22mlMllmvo設(shè)子彈剛沖入桿中，子彈和桿共同設(shè)子彈剛沖入桿中，子彈和桿共同的角速度為的角速度為，則由角動量守恒定律可，則由角動量守恒定律可得得lmMmvo)3(3mvoolfFMgmgf44例例5 5: :如圖長為如圖長為 l ，質(zhì)量為質(zhì)量為 m的均勻直棒靜止在一光滑的水的均勻直棒靜止在一光滑的水平面上。它的中點(diǎn)有一豎直光滑固定軸，一個(gè)質(zhì)量為平面上。它的中點(diǎn)有一豎直光滑固定軸，一個(gè)質(zhì)量為m 的的小球以水平速度小球以水平速度 vo 射垂直于棒沖擊其一端發(fā)生彈性碰撞。射垂直于棒沖擊其一端發(fā)生彈性碰撞。lmvomo求求: :碰撞后球的速度碰撞后球的速度v 和棒的角速度和棒的角速度。45解解:

33、:定轉(zhuǎn)軸正向指上；定轉(zhuǎn)軸正向指上；以子彈和桿為系統(tǒng)，以子彈和桿為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的角動量守恒則系統(tǒng)的角動量守恒動能守恒。動能守恒。mvomovm212122mlvmlvmlolmmvmo) 3(122222121212121mlvmvmo)3()3(mmvmmvoZ46例例 6:如圖長為如圖長為l 的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒, ,一端懸于一端懸于o點(diǎn)點(diǎn), ,另一端自由另一端自由下垂下垂, ,緊靠緊靠o o 點(diǎn)有一擺線長為點(diǎn)有一擺線長為l 的單擺的單擺, ,擺球質(zhì)量為擺球質(zhì)量為m ,現(xiàn)現(xiàn)將單擺拉到水平位置后將單擺拉到水平位置后, ,由靜止釋放由靜止釋放, ,設(shè)擺球在其平衡位設(shè)擺球在其平衡位置與棒做彈性碰撞

34、后擺置與棒做彈性碰撞后擺 球恰好靜止球恰好靜止, ,試求試求: :細(xì)棒的質(zhì)細(xì)棒的質(zhì)量量M;細(xì)棒碰撞后擺動的最大角度細(xì)棒碰撞后擺動的最大角度o47(一一)單擺下落過程單擺下落過程(AB):1.研究對象研究對象: :擺擺 球球+ +地球地球= =系統(tǒng)系統(tǒng)重力重力mg保守力力保守力力; ; 繩的張力繩的張力T其功為零其功為零2.分析系統(tǒng)受力及力的功分析系統(tǒng)受力及力的功: :3.取零點(diǎn)勢能取零點(diǎn)勢能: :B B點(diǎn)點(diǎn)4. AB過程系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒條件過程系統(tǒng)滿足機(jī)械能守恒條件: : 212mvmgl glv2BAmgTC(1)48(二二)單擺與棒碰撞過程單擺與棒碰撞過程( (在在B B點(diǎn)點(diǎn)):):1. 研究對象研究對象: : 擺球擺球+ +棒棒= =系統(tǒng)系統(tǒng)2.