第5章 剛體的定軸轉動1(A rigid body about a fixed axis)

1、15.1 剛體的運動剛體的運動 5.2 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律 5.3 轉動慣量的計算轉動慣量的計算 5.4 剛體定軸轉動定律的應用剛體定軸轉動定律的應用 5.5 轉動中的功和能轉動中的功和能 5.6 剛體的角動量和角動量守恒定律剛體的角動量和角動量守恒定律*5.7 進動進動 (A rigid body about a fixed axis)轉軸轉軸2本章將介紹一種特殊的質點系本章將介紹一種特殊的質點系剛體剛體所遵循的力學所遵循的力學規(guī)律。著重討論剛體的定軸轉動。規(guī)律。著重討論剛體的定軸轉動。5.1 5.1 剛體的運動剛體的運動一、一、 概概念念什么是剛體什么是剛體? ? 實際的固體

2、在受力作用時總是要發(fā)生或大或實際的固體在受力作用時總是要發(fā)生或大或小的形狀和體積的改變。如果在討論一個固體的運動時小的形狀和體積的改變。如果在討論一個固體的運動時, ,這種這種形狀或體積的改變可以忽略，我們就把這個固體當作剛體來處形狀或體積的改變可以忽略，我們就把這個固體當作剛體來處理。理。在受外力作用時在受外力作用時不改變形狀和體積的物體不改變形狀和體積的物體稱剛體稱剛體。(2)(2)剛體可以看作是由許多質點組成剛體可以看作是由許多質點組成特殊質點系特殊質點系, ,每一個質點叫做剛體的一個質元每一個質點叫做剛體的一個質元, ,剛體這個質點剛體這個質點系的特點是系的特點是, ,在外力作用下各質

3、元之間的相對位在外力作用下各質元之間的相對位置保持不變。置保持不變。1. 剛體定義剛體定義: :mimiN 支持力支持力注意：注意：(1)(1)剛體是固體物件的理想化模型。剛體是固體物件的理想化模型。質元質元(A rigid body about a fixed axis)32. 2. 剛體的運動形式剛體的運動形式: : 如果剛體在運動中如果剛體在運動中, ,連結體內兩連結體內兩點的直線在空間的指向總保持平行點的直線在空間的指向總保持平行, ,這樣的運動就叫這樣的運動就叫平動。平動。 轉動是剛體的基本運動形式之一。剛體轉動是剛體的基本運動形式之一。剛體轉動時各質元均做圓周運動轉動時各質元均做圓

4、周運動, ,而且各圓而且各圓 的圓的圓心都在一條固定不動的直線上心都在一條固定不動的直線上, ,這條直線叫這條直線叫轉轉軸軸。如果轉軸方向不隨時間變化。如果轉軸方向不隨時間變化, , 則稱則稱定軸定軸轉動轉動。 轉動轉動: :平動：平動：轉軸轉軸mimi注意：注意： 剛體平動時剛體平動時, ,剛體內各剛體內各質元的運動軌跡都一樣質元的運動軌跡都一樣, ,而且在而且在同一時刻的速度和加速度都相等。同一時刻的速度和加速度都相等。因此因此, ,在描述剛體的平動時在描述剛體的平動時, ,可以可以用一點的運動來代表，通常就用用一點的運動來代表，通常就用剛體的質心的運動來代表整個剛剛體的質心的運動來代表整

5、個剛體的平動。體的平動。4 剛體的一般運動都可以認為是平動和繞某一轉軸轉動的剛體的一般運動都可以認為是平動和繞某一轉軸轉動的結合。如圖結合。如圖, ,車輪的轉動。車輪的轉動。5轉動平面轉動平面 二、剛體定軸轉動的描述二、剛體定軸轉動的描述 剛體繞某一固定軸轉動時剛體繞某一固定軸轉動時, ,其上各質元都在垂直于轉軸的平其上各質元都在垂直于轉軸的平面內作圓周運動面內作圓周運動, ,且所有質元的矢徑在相同的時間內轉過的角且所有質元的矢徑在相同的時間內轉過的角度相同度相同, ,根據(jù)這一特點根據(jù)這一特點, ,常取垂直于轉軸常取垂直于轉軸 的平面為參考系的平面為參考系, ,這個這個平面稱轉平面稱轉 動平面

6、。動平面。, ,雖然剛體上各質元的線速度、雖然剛體上各質元的線速度、 加速度一加速度一般是不同的。但由于各質元的相對位置保持不變般是不同的。但由于各質元的相對位置保持不變, ,所以描述各所以描述各質元運動的角量質元運動的角量, ,如角位移、如角位移、 角速度角速度 和角加速度都是一樣的。和角加速度都是一樣的。因此描述剛體的運動時因此描述剛體的運動時, ,用角量最為方便。用角量最為方便。Ovimi轉軸轉軸Zri轉軸轉軸61.角位移角位移3. 3. 角加速度矢量角加速度矢量)/(222sraddtddtd);/(sraddtd轉動平面轉動平面v2.2.角速度矢量角速度矢量: 方向與轉動方向成右手螺

7、旋法則方向與轉動方向成右手螺旋法則 。當減速轉動時當減速轉動時, ,角加速度與角速度方向相反角加速度與角速度方向相反; ;注意注意: :當加速轉動時當加速轉動時, ,角加速度與角速度方向相同角加速度與角速度方向相同；rpooX轉動方向轉動方向Z75.當角加速度矢量是常矢量時：當角加速度矢量是常矢量時：)(20202atvv0)(20202xxavv20021attvxxt 02210 )(tt4.質元線量與角量的關系質元線量與角量的關系ra ran2rv8virioiFiOZmi5.2 5.2 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律將剛體看成許多質量分別為將剛體看成許多質量分別為 m1 ;m2 mi

8、mn的質點的質點; ; 各質點距轉軸的距離分別為各質點距轉軸的距離分別為 r1 、r2、ri 、rn1.1.力矩定義力矩定義: :FrM實驗發(fā)現(xiàn)實驗發(fā)現(xiàn), ,剛體做定軸轉動時剛體做定軸轉動時, ,其轉動狀態(tài)的改變與外力的其轉動狀態(tài)的改變與外力的大小大小 方向及作用點均有關。方向及作用點均有關。( (如開門如開門) )9O轉軸與轉動平面內的交點轉軸與轉動平面內的交點pFrFF/OZF/-表示力表示力F F在轉軸方向的投在轉軸方向的投影影F-表示力表示力F F在轉動平面內的投在轉動平面內的投影影r - O點到力的作用點的矢徑點到力的作用點的矢徑表示表示 F與與 r 的夾角的夾角10oiiriFii

9、iFriMiZiiiiFrFrMiZMiiFri表示表示 Fi與與 r i的夾角的夾角iZMiiiFrsin力矩垂直于力矩垂直于Z軸軸iZiiFFFZpFiFiZiiFr)(amrii)(iiirmr )(2iirm沿轉軸方向沿轉軸方向, ,并與矢徑并與矢徑 r 及及 F 成右手螺旋法則成右手螺旋法則 。力矩的方向力矩的方向: :2.114. 4. 剛體對于轉軸的轉動慣剛體對于轉軸的轉動慣量量iiimrJ)(25. 5. 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律JM 剛體定軸轉動定律剛體定軸轉動定律剛體對于某一轉軸所受的合外力矩等于剛體對該轉軸的轉動剛體對于某一轉軸所受的合外力矩等于剛體對該轉軸的轉動

10、慣量與在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。慣量與在此合外力矩作用下所獲得的角加速度的乘積。3. 3. 整個剛體受合外力矩沿整個剛體受合外力矩沿Z Z軸的分量：軸的分量：iZZMM)(2iirm121. 定軸轉動慣量定義定軸轉動慣量定義: :iiirmJ25.3 5.3 轉動慣量的計算轉動慣量的計算分立剛體分立剛體: :轉動慣量等轉動慣量等于剛體中每個于剛體中每個質點的質量與質點的質量與這一質點到轉這一質點到轉軸的距離的平軸的距離的平方的乘積的總方的乘積的總和。和。mioiri13連續(xù)剛體連續(xù)剛體: :dmrJ2質量體密度質量體密度dvr2dsr2dlr2質量面密度質量面密度質量線密度質量

11、線密度dmor142. 轉動慣量的計算轉動慣量的計算 例例 1 1 剛性三原子分子其質量分布如圖所剛性三原子分子其質量分布如圖所示，求繞轉軸的轉動慣量示，求繞轉軸的轉動慣量233222211rmrmrmJ例例 2 2 質量為質量為m m ，長為，長為 l l 的均勻細棒，分別求其繞垂直的均勻細棒，分別求其繞垂直中心轉軸和繞一端轉軸的轉動慣量。中心轉軸和繞一端轉軸的轉動慣量。r1r2r3m1m2m3轉軸轉軸15解解: :設棒單位長質量設棒單位長質量: :則按如圖所示建立一維坐標系則按如圖所示建立一維坐標系, ,繞中心軸的轉動慣量為繞中心軸的轉動慣量為則按如圖所示建立一維坐標系繞一端的轉動慣量則按

12、如圖所示建立一維坐標系繞一端的轉動慣量為為dmxJ21dmxJ22oX圖圖圖圖Xo=m/l,dxdxdxxll2222121mldxxl02231mldm=dxdm16oRZ例例 3 3 求質量為求質量為 m m ，半徑為，半徑為 R R 的均勻薄圓環(huán)的轉動慣的均勻薄圓環(huán)的轉動慣量，軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心。量，軸與圓環(huán)平面垂直并通過其圓心。dmdmRJ2mdmR22mR解解: :17RoZ例例 4 4 求質量為求質量為 m m ，半徑為，半徑為 R R 的均勻薄圓盤的轉動慣的均勻薄圓盤的轉動慣量，軸與圓盤平面垂直并通過其圓心。量，軸與圓盤平面垂直并通過其圓心。drr解解 (1)(1)設圓

13、盤單位面積上的質量為設圓盤單位面積上的質量為(2)在圓盤上取半徑為在圓盤上取半徑為r r，寬為，寬為 d dr r 的圓環(huán)，的圓環(huán)， 該圓環(huán)質量：該圓環(huán)質量：rdrdsdm2dmrJ2rdrrR202221mR2Rm(3) 圓盤轉動慣量為圓盤轉動慣量為18例例 5 5 求質量為求質量為 M M ，半徑為，半徑為 R R，厚為，厚為 l l 的的均勻圓柱體均勻圓柱體的轉動慣量，軸與圓柱平面垂直并通過其軸心。的轉動慣量，軸與圓柱平面垂直并通過其軸心。RoZldl解解 (1)(1)設圓柱體單位長度上的質量為設圓柱體單位長度上的質量為lmlmdd(2)(2)在圓柱體上沿軸向取長為在圓柱體上沿軸向取長為

14、 d dl l 的薄圓盤，該圓盤質量：的薄圓盤，該圓盤質量：2d21dmRJ lRJJld21d02222121MRlR圓盤轉動慣量圓盤轉動慣量為為(3)圓柱體轉動慣量為圓柱體轉動慣量為19Z3. 轉動慣量的物理意義及性質轉動慣量的物理意義及性質: :轉動慣量與質量類似轉動慣量與質量類似, ,它是剛體轉動慣性大小的量度它是剛體轉動慣性大小的量度; ;轉動慣量不僅與剛體質量有關轉動慣量不僅與剛體質量有關, ,而且與剛體轉而且與剛體轉軸的位置及剛體的質量分布有關軸的位置及剛體的質量分布有關; ;轉動慣量具有迭加性轉動慣量具有迭加性; ;如圖如圖, ,如果三個剛體繞同一轉軸的轉動慣量分別為如果三個剛

15、體繞同一轉軸的轉動慣量分別為J J1 1,J,J2 2,J,J3 3, ,則該剛體系統(tǒng)繞該軸的轉動慣量為則該剛體系統(tǒng)繞該軸的轉動慣量為J=JJ=J1 1+J+J2 2+J+J3 320轉轉動慣量具有相對性動慣量具有相對性; ;同一剛體同一剛體, ,轉軸不同轉軸不同, ,質量對轉軸的分質量對轉軸的分布不同布不同, ,因而轉動慣量不同。因而轉動慣量不同。平行軸定平行軸定理：理： 剛體對任一轉軸的轉動慣量等于剛剛體對任一轉軸的轉動慣量等于剛體對體對通過質心并與該軸平行的轉動通過質心并與該軸平行的轉動慣量加上剛體質量與兩軸間距的二慣量加上剛體質量與兩軸間距的二次方的乘次方的乘積。積。2mdJJCZCd

16、Z21轉動定律轉動定律實驗指出實驗指出, ,一個繞固定軸轉動的剛體一個繞固定軸轉動的剛體, ,當它所受的合外力矩當它所受的合外力矩( (對對該轉軸而言該轉軸而言) )為零時為零時, ,它將保持原有的角速度不變。該定理反映它將保持原有的角速度不變。該定理反映了任何轉動物體都有轉動慣性。了任何轉動物體都有轉動慣性。一個繞固定軸轉動的剛體一個繞固定軸轉動的剛體, ,當它所受的合外力矩當它所受的合外力矩( (對該轉軸而言對該轉軸而言) )不為零時不為零時, ,它將獲得角加速度它將獲得角加速度, ,角加速度的方向與合外力矩的方角加速度的方向與合外力矩的方向相同向相同; ;角加速度的量值與它所受的合外力矩

17、成正比角加速度的量值與它所受的合外力矩成正比, ,并與它的并與它的轉動慣量成反比。轉動慣量成反比。當選用國際單位制時當選用國際單位制時, ,該定律可寫成該定律可寫成JM 5.4 5.4 剛體定軸轉動定律的應用剛體定軸轉動定律的應用剛體轉動的第二定律剛體轉動的第二定律: :剛體轉動的第一定律剛體轉動的第一定律: :22例例6 6 如圖一質量為如圖一質量為M M 長為長為l l的勻質細桿，可繞其左端且與桿垂直的勻質細桿，可繞其左端且與桿垂直的水平軸轉動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求桿轉的水平軸轉動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求桿轉到與水平方向成到與水平方向成角時角時, ,桿的角加速

18、度是多少桿的角加速度是多少? ?解解:(1):(1)設轉軸垂直向里為正設轉軸垂直向里為正, ,系統(tǒng)對該轉軸的轉動慣量為系統(tǒng)對該轉軸的轉動慣量為 231MlJ(2)該系統(tǒng)所受的力矩該系統(tǒng)所受的力矩為為cos2lMgMcos61g(3)(3)由轉動定律由轉動定律: :M=J可得可得方向方向: :指里指里。mgl23例例7 7 固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱軸平對稱軸OOOO轉動轉動, ,設大小圓柱體的半徑分別為設大小圓柱體的半徑分別為R R和和r r, ,質量質量分別為分別為M M和和m m, ,繞在兩柱體上的細繩分別與物體繞在兩柱體

19、上的細繩分別與物體m m1 1和和m m2 2相相連連, ,m m1 1和和m m2 2則掛在物體的兩側則掛在物體的兩側, ,如下圖所示。如下圖所示。求求: :柱體轉動的角加速度柱體轉動的角加速度; ;兩細繩的張力兩細繩的張力T T1 1和和T T2 2。設設 R=0.2m, r =0.1m, m=4kg, M=10kg, m1=m2=2kgmOOm1m2MrR24(4) (4) 由牛頓第二定律和轉動第二定律可列方程如由牛頓第二定律和轉動第二定律可列方程如下下2222amTgmXoT2m2gT1m1g1111amgmTJrTRT12輔助方程Ra 2222121mrMRJra 1;(3) (3)

20、 隔離物體分析力隔離物體分析力, ,(2) 定性分析定性分析m m1 1 向上向上, , m m2 2 向下向下; ;定轉軸正向沿定轉軸正向沿oooo, ,從左側視圖看轉軸正向指里從左側視圖看轉軸正向指里; ;設設m m2 2 向下為坐標正向向下為坐標正向; ;解解: :(1).(1).確定研究對象確定研究對象：m、M、m1、m2T2Rro1122; TTTTT1(1)(2)(3)(4)254. 4. 解方程可得結果如下解方程可得結果如下: :222212212rad/s13. 62grmgRmRmrmmrMRN83.20)(11rgmTN15.17)(22RgmT26練習練習1 1兩個物體質

21、量分別為兩個物體質量分別為m m1 1和和m m2 2 定滑輪的質量定滑輪的質量 為為 m m ，半徑為，半徑為r r ，可視為均勻圓盤。已知桌面間的滑，可視為均勻圓盤。已知桌面間的滑動摩擦系數(shù)和為動摩擦系數(shù)和為k k。 求求 m m1 1 下落的加速度和兩段繩子中的張力各是多少？設下落的加速度和兩段繩子中的張力各是多少？設繩子和滑輪間無相對滑動，滑輪軸受的摩擦力忽略不計。繩子和滑輪間無相對滑動，滑輪軸受的摩擦力忽略不計。m1m2rm271122; TTTT輔助方程221mrJ T2T1m1gfT1T2m2aaramTgm111（1 1）ak222mgmT（2 2）JrTT)(21（3 3）r

22、a （4 4）28gmam/2mmm21k21gmmmT121k21m/2m2/)1 (mgmmmT221kk12m/2m2/)1 (m解方程可得結果如下解方程可得結果如下:29將剛體看成許多質量分別為將剛體看成許多質量分別為m1 、m2 mimn的質點的質點;各質點距轉軸的距離分別為各質點距轉軸的距離分別為 r1、r2 ri rn221iikivmE整個剛體的動能整個剛體的動能kiikEE一、一、 轉動動能轉動動能221JEk稱剛體的轉動動能稱剛體的轉動動能5.5 5.5 轉動中的功和能轉動中的功和能則第則第 i i 個質元的動能個質元的動能 2221iirm221iiivm2221iiir

23、m30O二、力矩的功二、力矩的功-力矩作用于剛體的空間累積效力矩作用于剛體的空間累積效應應當力持續(xù)作用于剛體使其角位置由當力持續(xù)作用于剛體使其角位置由1 1到到2 2時時, ,力矩的功力矩的功為為21MdArdfdArdfcosdfrsinMd如圖力如圖力 f f 作用于作用于P P點使剛體繞轉軸轉過微小角度點使剛體繞轉軸轉過微小角度dd,P P點對應的線位移為點對應的線位移為dr, dr, 力所作的元功力所作的元功pfdrdr31四、四、 剛體定軸轉動的動能定理剛體定軸轉動的動能定理末態(tài)的角位置和角速度分別為末態(tài)的角位置和角速度分別為2 2和和2 2, ,則在該過程中力則在該過程中力矩的功為

24、：矩的功為：21MdA即即, ,合外力矩對剛體做定軸轉動所作的功合外力矩對剛體做定軸轉動所作的功, ,等于剛體等于剛體轉動動能的增量。轉動動能的增量。設剛體上某質元初始時的角位置和角速度分別為設剛體上某質元初始時的角位置和角速度分別為1 1和和121dJ21dddtJ21222121JJ21222121JJA_定軸轉動的動能定理定軸轉動的動能定理32m質量為質量為m m的不太大的整個剛體的重力勢能的不太大的整個剛體的重力勢能mygEPdmygdmmymgdcmgyydmycC一個不太大的剛體的重力勢能和它一個不太大的剛體的重力勢能和它的全部質量集中在質心時所具有的勢能的全部質量集中在質心時所具

25、有的勢能一樣。一樣。結論：結論：五五 、剛體系統(tǒng)的功能原理、剛體系統(tǒng)的功能原理A外力外力 +A非保守內力非保守內力=（Ek2 +Ep2 ）-（Ek1 +Ep1）當含剛體的系統(tǒng)在運動過程中當含剛體的系統(tǒng)在運動過程中只有保守力內力做功時只有保守力內力做功時, , 在該過程中系統(tǒng)機械能守恒。在該過程中系統(tǒng)機械能守恒。XYOz2221212121ccmghJmghJ五、剛體勢能五、剛體勢能33例例 3 3： 如圖一質量為如圖一質量為M M 長為長為l的勻質細桿，中間和右端各的勻質細桿，中間和右端各有一質量皆為有一質量皆為m m的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿垂直的剛性小球，該系統(tǒng)可繞其左端且與桿垂直

26、的水平軸轉動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求的水平軸轉動，若將該桿置于水平位置后由靜止釋放，求桿轉到與水平方向成桿轉到與水平方向成角時角時, ,桿的角速度桿的角速度是多少是多少? ?mgl1. 1. 研究對象研究對象: :桿桿+ +球球+ +地球地球= =系統(tǒng)系統(tǒng)重力重力mgmg保守內力保守內力; ; 彈力其功為彈力其功為零零2. 2. 分析系統(tǒng)受力及力的功分析系統(tǒng)受力及力的功: :3. 3. 取重力勢能零點取重力勢能零點: :水平位水平位置置4. 4. 運動過程中系統(tǒng)滿足機械能守恒的條件運動過程中系統(tǒng)滿足機械能守恒的條件: :解解: :340)312(212222Mlmllmsinsi

27、n2sin2mgllmglMgsin)415()3(12glMmmM35rivimiZoi5.6 5.6 對定軸的角動量守恒定律對定軸的角動量守恒定律二、角動量定理二、角動量定理: :1. 角動量定義角動量定義: :質點對質點對Z Z軸的角動量軸的角動量: :iiiiizimrvmrL2剛體對剛體對Z Z軸的角動量軸的角動量: :2. 角動量定理角動量定理:dtdLM 轉動物體所受合外力矩轉動物體所受合外力矩 , ,等于轉動物體角動量的變化率。等于轉動物體角動量的變化率。意義意義: :JmrmrLiiiiiiZ)(22JLZ36三、角動量守恒定律三、角動量守恒定律: :由角動量定理可知：由角動

28、量定理可知：dtLdM1.1.角動量守恒有兩種情況角動量守恒有兩種情況: :注意注意: :2.2.角動量守恒定律與動量守恒定律、角動量守恒定律與動量守恒定律、 能量守恒定律一樣都是自能量守恒定律一樣都是自然界的規(guī)律。然界的規(guī)律。(1) (1) 是轉動慣量是轉動慣量J J與與角速度角速度都不變都不變; ;(2) (2) 是兩者都變但二者的乘積是兩者都變但二者的乘積J J不變。不變。當剛體所受合力矩為零時，當剛體所受合力矩為零時，M=0, L=常矢量常矢量37舞蹈中的角動量守恒現(xiàn)象舞蹈中的角動量守恒現(xiàn)象38滑冰中的角動量守恒現(xiàn)象滑冰中的角動量守恒現(xiàn)象 39跳水中的角動量守恒現(xiàn)象跳水中的角動量守恒現(xiàn)

29、象 起跳入水例題例題3 3：人走圓盤轉。一個質量為：人走圓盤轉。一個質量為M M，半徑為，半徑為R R的水平均勻的水平均勻圓盤可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉動。在盤緣上站圓盤可繞通過中心的光滑豎直軸自由轉動。在盤緣上站著一個質量為著一個質量為m m的人，二者最初都相對地面靜止。當人在的人，二者最初都相對地面靜止。當人在盤上沿盤邊走一周時，盤對地面轉過的角度多大？盤上沿盤邊走一周時，盤對地面轉過的角度多大？MRxmO1解：解：如圖所示，對盤和人組成的如圖所示，對盤和人組成的系統(tǒng)，在人走動時系統(tǒng)所受的對豎系統(tǒng)，在人走動時系統(tǒng)所受的對豎直軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對此直軸的外力矩為零，所以系統(tǒng)對此軸的

30、角動量守恒。以軸的角動量守恒。以J1和和J2分別表分別表示人和盤對軸的轉動慣量，并以示人和盤對軸的轉動慣量，并以1 1和和2 2分別表示任一時刻人和盤分別表示任一時刻人和盤繞軸的角速度。繞軸的角速度。由于起始角動量為由于起始角動量為零，所以角動量守恒給出：零，所以角動量守恒給出：02211 JJ其中其中222121,MRJmRJ41帶入上式得帶入上式得dtdMRdtdmR22122121220012212112MmdMRdmR212人在盤上走一周時人在盤上走一周時帶入上式可得帶入上式可得2222Mmm以以 和和 分別表示人和盤對地面發(fā)生的角位移，分別表示人和盤對地面發(fā)生的角位移，則：則：12d

31、tddtd2211,42例例4 4: :如圖長為如圖長為 l 的均勻直棒其質量為的均勻直棒其質量為M,上端用光滑水平上端用光滑水平軸吊起而靜止下垂。今有一子彈質量為軸吊起而靜止下垂。今有一子彈質量為m , ,以水平速度以水平速度vo 射入桿的下端而不復出。射入桿的下端而不復出。求：子彈剛和桿開始一起運動時的角速求：子彈剛和桿開始一起運動時的角速度度多大多大? ?mvool43解解: :1. 定轉軸正向：定轉軸正向：指外指外2. 隔離物體分析力及力矩；隔離物體分析力及力矩；子彈沖入桿的過程中，以子彈和桿子彈沖入桿的過程中，以子彈和桿為系統(tǒng)，則為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的角動量守恒。系統(tǒng)的角動量守恒。)31(

32、22mlMllmvo設子彈剛沖入桿中，子彈和桿共同設子彈剛沖入桿中，子彈和桿共同的角速度為的角速度為，則由角動量守恒定律可，則由角動量守恒定律可得得lmMmvo)3(3mvoolfFMgmgf44例例5 5: :如圖長為如圖長為 l ，質量為質量為 m的均勻直棒靜止在一光滑的水的均勻直棒靜止在一光滑的水平面上。它的中點有一豎直光滑固定軸，一個質量為平面上。它的中點有一豎直光滑固定軸，一個質量為m 的的小球以水平速度小球以水平速度 vo 射垂直于棒沖擊其一端發(fā)生彈性碰撞。射垂直于棒沖擊其一端發(fā)生彈性碰撞。lmvomo求求: :碰撞后球的速度碰撞后球的速度v 和棒的角速度和棒的角速度。45解解:

33、:定轉軸正向指上；定轉軸正向指上；以子彈和桿為系統(tǒng)，以子彈和桿為系統(tǒng)，則系統(tǒng)的角動量守恒則系統(tǒng)的角動量守恒動能守恒。動能守恒。mvomovm212122mlvmlvmlolmmvmo) 3(122222121212121mlvmvmo)3()3(mmvmmvoZ46例例 6:如圖長為如圖長為l 的均勻細棒的均勻細棒, ,一端懸于一端懸于o點點, ,另一端自由另一端自由下垂下垂, ,緊靠緊靠o o 點有一擺線長為點有一擺線長為l 的單擺的單擺, ,擺球質量為擺球質量為m ,現(xiàn)現(xiàn)將單擺拉到水平位置后將單擺拉到水平位置后, ,由靜止釋放由靜止釋放, ,設擺球在其平衡位設擺球在其平衡位置與棒做彈性碰撞

34、后擺置與棒做彈性碰撞后擺 球恰好靜止球恰好靜止, ,試求試求: :細棒的質細棒的質量量M;細棒碰撞后擺動的最大角度細棒碰撞后擺動的最大角度o47(一一)單擺下落過程單擺下落過程(AB):1.研究對象研究對象: :擺擺 球球+ +地球地球= =系統(tǒng)系統(tǒng)重力重力mg保守力力保守力力; ; 繩的張力繩的張力T其功為零其功為零2.分析系統(tǒng)受力及力的功分析系統(tǒng)受力及力的功: :3.取零點勢能取零點勢能: :B B點點4. AB過程系統(tǒng)滿足機械能守恒條件過程系統(tǒng)滿足機械能守恒條件: : 212mvmgl glv2BAmgTC(1)48(二二)單擺與棒碰撞過程單擺與棒碰撞過程( (在在B B點點):):1. 研究對象研究對象: : 擺球擺球+ +棒棒= =系統(tǒng)系統(tǒng)2.