李幫運《條件概率的思考》

1、淺談對條件概率教學的思考武漢市光谷第二高級中學 李幫運摘要：條件概率是概率論基礎知識中的一個基本概念,是積事件概率和全概率公式的基礎,但這一概念往往不被學生所重視,以至于影響到后面的教學效果. 參考文獻 胡彬 由一個抽獎活動探究條件概率的定義和計算公式新高考（高二版）2009年06期關鍵詞：條件概率；概率；隨機試驗；事件； 抽樣條件概率是高中數(shù)學課程改革中的新增內(nèi)容，是概率論中的一個重要概念，在條件概率教學過程中,筆者感覺到學生難以清楚地理解條件概率、積事件概率等概念,特別是在求解有關問題時,往往無處著手,出現(xiàn)思維障礙,遇到具體問題時，因分不清是（/）還是（）而經(jīng)常出錯產(chǎn)生混淆因此弄清楚（/）

2、，（），（）這三者之間的區(qū)別與聯(lián)系是學好本節(jié)的關鍵。下面就高中數(shù)學選修條件概率的探究引例，談談對條件概率教學的一些解決想法.（一）通過具體事例引出概念 引例：三張獎券中只有一張能中獎，現(xiàn)分別由三名同學無放回地抽取，問最后一名同學抽到中獎獎券的概率是否比前兩名同學??？解析：若抽到中獎獎券用“X”表示，沒有抽到用“”表示，那么三名同學的抽獎結果共有三種可能： X ， X , X ,用表示事件“最后一名同學抽到中獎獎券”，則僅包含一個基本事件 X ,由古典概型計算公式可知，最后一名同學抽到中獎獎券的概率為（）1/3思考：如果已經(jīng)知道第一名同學沒有抽到中獎獎券，那么最后一名同學抽到獎券的概率又是多少？

3、因為已知第一名同學沒有抽到中獎獎券，所以可能出現(xiàn)的基本事件只有 X , X ,而“最后一名同學抽到中獎獎券”包含的基本事件仍是 X ,由古典概型計算公式可知最后一名同學抽到中獎獎券的概率為1/2，不妨記為（/），其中表示事件“第一名同學沒有抽到中獎獎券”已知第一名同學的抽獎結果為什么會影響最后一名同學抽到中獎獎券的概率呢？在這個問題中，知道第一名同學沒有抽到中獎獎券，等價于知道事件一定會發(fā)生，導致可能出現(xiàn)的基本事件必然在事件中，從而影響事件發(fā)生的概率，使得（/）（）在這樣的背景下引出條件概率的課題和定義：設、為兩個事件，且（），稱（/）為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率一般把（/）讀作發(fā)

4、生的條件下的概率，顯得順理成章，水到渠成（二）用多種方法突破疑點 （）利用樣本空間解析 ： 思考為什么上述例子中（/）（）？事件和事件，（/）與它們的概率有什么關系呢？在引例中抽到中獎獎券用“X”表示，沒有抽到用“”，用表示三名同學可能抽取的結果全體，則它由三個基本事件組成，即=X ， X , X （/）以發(fā)生為條件，樣本空間縮小為 X , X在事件發(fā)生的情況下事件發(fā)生，等價于事件和事件同時發(fā)生，即發(fā)生而事件中僅含一個基本事件 X，因此,其中(）和（）分別表示事件和事件所包含的基本事件個數(shù)另一方面，根據(jù)古典概型的計算公式，（）=n()/n(),（）n()/n()，（）表示中包含的基本事件個數(shù)所

5、以， 因此，可以通過事件和事件的概率來表示（/）一般來說（/）比(）大 很明顯 （/）與（）樣本空間不一樣為了學生更好地理解，還可以再添加實例如：擲一枚質地均勻硬幣兩次記第一次正面向上為事件A,第二次正面向上為事件,求(1) ()、（）、（）, (2) （/）.解析：基本事件空間=正正，正反，反正，反反A所包含的基本事件是“正正，正反”，則()=1/2 ,所包含的基本事件是“正正”，則（）=1/4 ,B所包含的基本事件是“反正，正正”,則()=2/4=1/2,（2）已知第一次正面向上條件下，第二次正面向上的基本事件空間是正正，反正 而事件/包含一個基本事件“正正”，則（/）=1/2雖然這兒有(

6、)=（/）=1/2，但是它們的基本事件空間正正，正反，反正，反反，正正，反正是不一樣的.通過這樣的實例學生對（/）與（）的關系有了很好的理解和認識這樣利用縮小樣本空間的觀點求條件概率學生更容易理解（）利用數(shù)形結合的思想突破難點 雖然從理論上推出該公式有困難，但采用文氏圖可直觀地解釋一下該公式，用圖示法表示為右圖形式：事件的樣本點已落在圖形中（事件已發(fā)生），且又要求落在中，于是只能落在中，把（）看成為的面積與必然事件的面積的比值，那么，（/）為在發(fā)生條件下發(fā)生的概率，可理解為的面積與的面積的比值，分別除以面積，即得條件概率計算公式為（/）（）/（）（）. 可以讓學生從心理上接受它并加深印象，而公

7、式本身已證明是成立的，只要加以說明就行，這樣可起到降低難度的作用，該公式給出了計算條件概率的另一種方法。 類似地，（/）（）/（），（）若隨機試驗的樣本空間為，那么討論（/）的樣本空間是，而（）的樣本空間為(三)借助教材典例鞏固概念及應用 例:在道題中有道理科題和道文科題如果不放回地依次抽取道題，求：（）第次抽到理科題的概率；（）第次和第次都抽到理科題的概率；（）在第次抽到理科題的條件下，第次抽到理科題的概率解: 設第次抽到理科題為事件，第次抽到理科題為事件，則第次和第次都抽到理科題為事件（）從道題中不放回地依次抽取道題的事件數(shù)為（）A根據(jù)分步乘法計數(shù)原理， （）=12（）因為（）=，所以（）.（）解法由（）、（）可得，在“第次抽到理科題的條件下，第次抽到理科題”的概率為解法因為n（），（）=，所以