李幫運(yùn)《條件概率的思考》

1、淺談對(duì)條件概率教學(xué)的思考武漢市光谷第二高級(jí)中學(xué) 李幫運(yùn)摘要：條件概率是概率論基礎(chǔ)知識(shí)中的一個(gè)基本概念,是積事件概率和全概率公式的基礎(chǔ),但這一概念往往不被學(xué)生所重視,以至于影響到后面的教學(xué)效果. 參考文獻(xiàn) 胡彬 由一個(gè)抽獎(jiǎng)活動(dòng)探究條件概率的定義和計(jì)算公式新高考（高二版）2009年06期關(guān)鍵詞：條件概率；概率；隨機(jī)試驗(yàn)；事件； 抽樣條件概率是高中數(shù)學(xué)課程改革中的新增內(nèi)容，是概率論中的一個(gè)重要概念，在條件概率教學(xué)過程中,筆者感覺到學(xué)生難以清楚地理解條件概率、積事件概率等概念,特別是在求解有關(guān)問題時(shí),往往無(wú)處著手,出現(xiàn)思維障礙,遇到具體問題時(shí)，因分不清是（/）還是（）而經(jīng)常出錯(cuò)產(chǎn)生混淆因此弄清楚（/）

2、，（），（）這三者之間的區(qū)別與聯(lián)系是學(xué)好本節(jié)的關(guān)鍵。下面就高中數(shù)學(xué)選修條件概率的探究引例，談?wù)剬?duì)條件概率教學(xué)的一些解決想法.（一）通過具體事例引出概念 引例：三張獎(jiǎng)券中只有一張能中獎(jiǎng)，現(xiàn)分別由三名同學(xué)無(wú)放回地抽取，問最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率是否比前兩名同學(xué)??？解析：若抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券用“X”表示，沒有抽到用“”表示，那么三名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果共有三種可能： X ， X , X ,用表示事件“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”，則僅包含一個(gè)基本事件 X ,由古典概型計(jì)算公式可知，最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為（）1/3思考：如果已經(jīng)知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，那么最后一名同學(xué)抽到獎(jiǎng)券的概率又是多少？

3、因?yàn)橐阎谝幻瑢W(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，所以可能出現(xiàn)的基本事件只有 X , X ,而“最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”包含的基本事件仍是 X ,由古典概型計(jì)算公式可知最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率為1/2，不妨記為（/），其中表示事件“第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券”已知第一名同學(xué)的抽獎(jiǎng)結(jié)果為什么會(huì)影響最后一名同學(xué)抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券的概率呢？在這個(gè)問題中，知道第一名同學(xué)沒有抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券，等價(jià)于知道事件一定會(huì)發(fā)生，導(dǎo)致可能出現(xiàn)的基本事件必然在事件中，從而影響事件發(fā)生的概率，使得（/）（）在這樣的背景下引出條件概率的課題和定義：設(shè)、為兩個(gè)事件，且（），稱（/）為在事件發(fā)生的條件下，事件發(fā)生的條件概率一般把（/）讀作發(fā)

4、生的條件下的概率，顯得順理成章，水到渠成（二）用多種方法突破疑點(diǎn) （）利用樣本空間解析 ： 思考為什么上述例子中（/）（）？事件和事件，（/）與它們的概率有什么關(guān)系呢？在引例中抽到中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券用“X”表示，沒有抽到用“”，用表示三名同學(xué)可能抽取的結(jié)果全體，則它由三個(gè)基本事件組成，即=X ， X , X （/）以發(fā)生為條件，樣本空間縮小為 X , X在事件發(fā)生的情況下事件發(fā)生，等價(jià)于事件和事件同時(shí)發(fā)生，即發(fā)生而事件中僅含一個(gè)基本事件 X，因此,其中(）和（）分別表示事件和事件所包含的基本事件個(gè)數(shù)另一方面，根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，（）=n()/n(),（）n()/n()，（）表示中包含的基本事件個(gè)數(shù)所

5、以， 因此，可以通過事件和事件的概率來(lái)表示（/）一般來(lái)說(shuō)（/）比(）大 很明顯 （/）與（）樣本空間不一樣為了學(xué)生更好地理解，還可以再添加實(shí)例如：擲一枚質(zhì)地均勻硬幣兩次記第一次正面向上為事件A,第二次正面向上為事件,求(1) ()、（）、（）, (2) （/）.解析：基本事件空間=正正，正反，反正，反反A所包含的基本事件是“正正，正反”，則()=1/2 ,所包含的基本事件是“正正”，則（）=1/4 ,B所包含的基本事件是“反正，正正”,則()=2/4=1/2,（2）已知第一次正面向上條件下，第二次正面向上的基本事件空間是正正，反正 而事件/包含一個(gè)基本事件“正正”，則（/）=1/2雖然這兒有(

6、)=（/）=1/2，但是它們的基本事件空間正正，正反，反正，反反，正正，反正是不一樣的.通過這樣的實(shí)例學(xué)生對(duì)（/）與（）的關(guān)系有了很好的理解和認(rèn)識(shí)這樣利用縮小樣本空間的觀點(diǎn)求條件概率學(xué)生更容易理解（）利用數(shù)形結(jié)合的思想突破難點(diǎn) 雖然從理論上推出該公式有困難，但采用文氏圖可直觀地解釋一下該公式，用圖示法表示為右圖形式：事件的樣本點(diǎn)已落在圖形中（事件已發(fā)生），且又要求落在中，于是只能落在中，把（）看成為的面積與必然事件的面積的比值，那么，（/）為在發(fā)生條件下發(fā)生的概率，可理解為的面積與的面積的比值，分別除以面積，即得條件概率計(jì)算公式為（/）（）/（）（）. 可以讓學(xué)生從心理上接受它并加深印象，而公

7、式本身已證明是成立的，只要加以說(shuō)明就行，這樣可起到降低難度的作用，該公式給出了計(jì)算條件概率的另一種方法。 類似地，（/）（）/（），（）若隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間為，那么討論（/）的樣本空間是，而（）的樣本空間為(三)借助教材典例鞏固概念及應(yīng)用 例:在道題中有道理科題和道文科題如果不放回地依次抽取道題，求：（）第次抽到理科題的概率；（）第次和第次都抽到理科題的概率；（）在第次抽到理科題的條件下，第次抽到理科題的概率解: 設(shè)第次抽到理科題為事件，第次抽到理科題為事件，則第次和第次都抽到理科題為事件（）從道題中不放回地依次抽取道題的事件數(shù)為（）A根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理， （）=12（）因?yàn)椋ǎ?，所以（）.（）解法由（）、（）可得，在“第次抽到理科題的條件下，第次抽到理科題”的概率為解法因?yàn)閚（），（）=，所以