第16講 相似三角形的存在性

1、聽課筆記中考復(fù)習(xí)講義（2015）第十六講：相似三角形的存在性（講義）一、 知識點(diǎn)睛相似三角形存在性的處理思路1. 分析特征：分析背景圖形中的定點(diǎn)、定線及不變特征，結(jié)合圖形間的對應(yīng)關(guān)系及不變特征考慮分類一般地，確定或特征明顯的三角形被稱作目標(biāo)三角形2. 畫圖求解：目標(biāo)三角形確定時(shí)，根據(jù)對應(yīng)關(guān)系分類，借助比例列方程；目標(biāo)三角形不確定時(shí)，先從對應(yīng)關(guān)系入手，再結(jié)合背景中的不變特征分析，綜合考慮對應(yīng)關(guān)系和不變特征后列方程求解3. 結(jié)果驗(yàn)證：回歸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)范圍，畫圖或推理，驗(yàn)證結(jié)果二、精講精練1. 如圖1，矩形OBCD的邊OD，OB分別在x軸正半軸和y軸負(fù)半軸上，且OD=10，OB=8將矩形的邊BC繞點(diǎn)B逆

2、時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C恰好與x軸上的點(diǎn)A重合（1）若拋物線經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，則該拋物線的解析式為_（2）若點(diǎn)M是直線AB上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作MNx軸于點(diǎn)N是否存在點(diǎn)M，使AMN與ACD相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由2. 如圖，已知拋物線與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1，0)，過點(diǎn)C的直線與x軸交于點(diǎn)Q，點(diǎn)P是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作PHOB于點(diǎn)H若PB=5t，且（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是_，b=_，c=_（2）求線段QH的長（用含t的代數(shù)式表示）（3）依點(diǎn)P的變化，是否存在t的值，使以P，H，Q為頂點(diǎn)的三角形與COQ相似？若存在，求出所有符合條件的t值；若不存在，說明

3、理由3. 如圖，已知ABC中，ACB=90°，以AB所在直線為x軸，過點(diǎn)C的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，此時(shí)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(4，0)（1）試求點(diǎn)C的坐標(biāo)（2）若拋物線過ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，求拋物線的解析式（3）點(diǎn)D(1，m)在（2）中的拋物線上，過點(diǎn)A的直線交該拋物線于點(diǎn)E，那么在x軸上點(diǎn)B的左側(cè)是否存在點(diǎn)P，使以P，B，D為頂點(diǎn)的三角形與ABE相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由4. 如圖，已知拋物線過點(diǎn)A(0，6)，B(2，0)，C(7，)（1）求拋物線的解析式（2）若D是拋物線的頂點(diǎn)，E是拋物線的對稱軸與直線AC的交點(diǎn)，F(xiàn)與E關(guān)于D對稱求證：

4、CFE=AFE（3）在y軸上是否存在這樣的點(diǎn)P，使AFP與FDC相似？若存在，請求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 【參考答案】1. （1）（2）2. （1） ， ，（2）（3）存在，或或3. （1） （2）（3）4. （1）（2）證明略 （3）學(xué)生做題前請先回答以下問題問題1：相似三角形的判定有哪些？問題2：在相似三角形存在性問題中，什么樣的三角形是目標(biāo)三角形？圖1相似三角形的存在性（一）1.如圖1，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，與拋物線交于點(diǎn)E連接AC，BE，若BDE與AOC相似，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為( )圖2A.B.C.D.2.如圖2，直線與x軸交于點(diǎn)A，與y

5、軸交于點(diǎn)B，把AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C處，拋物線過A，B兩點(diǎn)M為第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N若以M，O，N為頂點(diǎn)的三角形與BOC相似，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為( )A.B.C.D.圖33.如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，RtAOB的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA=1，tanBAO=3，將此三角形繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到DOC，拋物線經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)若P是第二象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)，拋物線的對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接PE，交CD于點(diǎn)F若CEF與COD相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )A.B.C.D.圖44.如圖4，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形AB

6、CD是等腰梯形，ADBC，AB=DC，BC在x軸上，點(diǎn)A在y軸的正半軸上，且點(diǎn)A，D的坐標(biāo)分別為，連接AC拋物線過A，C，D三點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM垂直于x軸，垂足為點(diǎn)M，連接PC，若以C，P，M三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與RtAOC相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )A.B.C.D. 學(xué)生做題后建議通過以下問題總結(jié)反思問題1：相似三角形的判定有哪些？問題2：在相似三角形存在性問題中，什么樣的三角形是目標(biāo)三角形？問題3：結(jié)合第1題考慮，目標(biāo)三角形是_，不變特征是_問題4：結(jié)合第1題考慮，對于相似三角形的存在性問題，一般根據(jù)什么進(jìn)行分類？問題5：結(jié)合第1題考慮，若BDE與AOC相似，畫圖找點(diǎn)求解的依據(jù)是

7、什么？問題6：結(jié)合第1題考慮，相似三角形的存在性問題的處理思路是什么？學(xué)生做題前請先回答以下問題問題1：相似三角形的判定有哪些？問題2：在相似三角形存在性問題中，什么樣的三角形是目標(biāo)三角形？相似三角形的存在性（二）圖11.如圖1，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(-4，3），B(4，4)兩點(diǎn)，與x軸交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)）P為第二象限內(nèi)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PHx軸于點(diǎn)H，若PHD與ABC相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )圖2A.B.C.D.2.如圖2，拋物線與x軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C連接AC，過點(diǎn)B作BDAC交拋物線于點(diǎn)D，連接BC，AD，若P是x軸上方拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE垂直于

8、x軸，垂足為點(diǎn)E，若BPE與CBD相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )A.B.C.D.圖33.如圖3，拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，D為拋物線的頂點(diǎn)若P為坐標(biāo)軸上一點(diǎn)，且PAC與BCD相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )A.， B.C.D.學(xué)生做題后建議通過以下問題總結(jié)反思問題1：相似三角形的判定有哪些？問題2：在相似三角形存在性問題中，什么樣的三角形是目標(biāo)三角形？問題3：結(jié)合第1題考慮，目標(biāo)三角形是_，不變特征是_問題4：結(jié)合試題1考慮，PHD與ABC相似用到相似三角形的哪一個(gè)判定？如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)？問題5：結(jié)合試題1分析，相似三角形的存在性問題的處理思路是什么？學(xué)生做題前請先

9、回答以下問題問題1：研究二次函數(shù)時(shí)需要關(guān)注哪些信息？如何研究函數(shù)背景？問題2：相似三角形存在性問題的處理思路是什么？問題3：分析定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，找不變特征的目的是什么？圖1相似三角形的存在性（三）1.如圖1，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，C，經(jīng)過A，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸負(fù)半軸的另一交點(diǎn)為B，tanCBO=3，D為拋物線的頂點(diǎn)若P為射線BD上一點(diǎn)，且以P，A，B為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )圖2A.B.C.D.2.如圖2，直線與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B，C，經(jīng)過B，C兩點(diǎn)的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為A，頂點(diǎn)為P若Q為x軸上一點(diǎn)，且以B，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為

10、( )A.B.C.D.圖33.如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點(diǎn)為M的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A和x軸正半軸上的點(diǎn)B，且OA=OB=2，AOB=120°（1）連接OM，則AOM的度數(shù)為( )如圖4A.160° B.120° C.135° D.150° （2）如圖4如果點(diǎn)C在x軸上，且ABC與AOM相似，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為( )A.B.C.D.學(xué)生做題后建議通過以下問題總結(jié)反思問題1：研究二次函數(shù)時(shí)需要關(guān)注哪些信息？如何研究函數(shù)背景？問題2：相似三角形存在性問題的處理思路是什么？問題3：分析定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，找不變特征的目的是什么？問題4：結(jié)合第4題考慮，為什么點(diǎn)

11、C在點(diǎn)B右側(cè)的x軸上？問題5：結(jié)合第4題考慮，相似三角形的存在性問題的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？學(xué)生做題前請先回答以下問題問題1：具有什么特征的三角形在表達(dá)面積時(shí)會使用鉛垂法？鉛垂法的具體做法是什么？問題2：如何利用鉛垂法表達(dá)三角形的面積？問題3：分析定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，找不變特征的目的是什么？圖1相似三角形的存在性（四）1.如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6，6），拋物線經(jīng)過A，O，B三點(diǎn)，M為線段OB下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O，B重合）（1）如圖1設(shè)BOM的面積為S，則S的最大值為( )圖2A.B.C.D.（2）.（上接第1題）如圖2，當(dāng)BOM的面積最大時(shí)，過點(diǎn)

12、A作x軸的平行線，過點(diǎn)M作y軸的平行線交于點(diǎn)H，則的值為( )圖3A.4 B.C.D.（3）圖3當(dāng)BOM的面積最大時(shí)，若P為射線OM上一點(diǎn)，且BOP與OAM相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )A.B.C.D.圖44.如圖4，拋物線（k為常數(shù)，且）與x軸從左至右依次交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C若在第一象限內(nèi)的拋物線上存在點(diǎn)P，使得以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似，則k的值為( )A.B.C.D.學(xué)生做題后建議通過以下問題總結(jié)反思問題1：具有什么特征的三角形在表達(dá)面積時(shí)會使用鉛垂法？鉛垂法的具體做法是什么？問題2：如何利用鉛垂法表達(dá)三角形的面積？問題3：分析定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，找不變特征的目的是什么？問題4：

13、結(jié)合試題3分析，BOP與OAM相似的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？問題5：結(jié)合試題4分析，以A，B，P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似的分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？圖1相似三角形的存在性（五）1.如圖1，直線OA與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，向下平移直線OA，與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）經(jīng)過A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為( )圖2A.B.C.D.（2）如圖2設(shè)（1）中拋物線的頂點(diǎn)為D，對稱軸與x軸的交點(diǎn)為EP是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，若POE與BCD相似，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )圖3A.B.C.D.3.如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A，D兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)B，四邊形OBCD是矩形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B的坐

14、標(biāo)為，已知點(diǎn)是線段DO上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作PEx軸交拋物線于點(diǎn)P，交BC于點(diǎn)G，交BD于點(diǎn)H若以P，B，G為頂點(diǎn)的三角形與DEH相似，則m的值為( )A.B.C.D.4.如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，四邊形ABCO是平行四邊形，且AB=4，OB=2，拋物線過A，B，C三點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)D動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長度的速度沿DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒若以P，B，O為頂點(diǎn)的三角形與以Q，B，O為頂點(diǎn)的三角形相似，則t的值為( )A.B

15、.C.D.學(xué)生做題后建議通過以下問題總結(jié)反思問題1：結(jié)合第3題考慮相似三角形存在性問題的處理思路是什么？問題2：分析定點(diǎn)、動(dòng)點(diǎn)，找不變特征的目的是什么？問題3：結(jié)合第2題考慮為什么會出現(xiàn)雙重分類（動(dòng)點(diǎn)問題的分類以及相似三角形存在性問題的分類）？分類標(biāo)準(zhǔn)是什么？問題4：相似三角形的存在性問題，既要考慮_，又要考慮_，二者缺一不可。學(xué)生做題前請先回答以下問題問題1：如何研究二次函數(shù)背景？問題2：相似三角形的判定有哪些？問題3：相似三角形的存在性問題，既要考慮_，又要考慮_，二者缺一不可圖1問題4：結(jié)合試題4以C，B，D為頂點(diǎn)的三角形與CMN相似用到相似三角形的哪一個(gè)判定？如何確定分類標(biāo)準(zhǔn)？相似三角形的存在性（六）1.如圖1，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O，交x軸于點(diǎn)A，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為Q是x軸上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AOQ與AOB相似時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為( )圖2A.B.C.D.2.如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的頂點(diǎn)A，B均在x軸正半軸上，連接OD，BD，BOD的外心I在中線