模擬信號的分段壓縮感知

1、. 模擬信號的分段壓縮感知 Omid Taheri Sergiy A. Vorobyov阿爾伯塔大學電子與計算工程學院 摘要：提出了一種新的處理連續(xù)信號的方法（AIC，analog-to-information conversion）。根據(jù)這種方法，信號首先是被分段后通過AIC處理得到一組不完整的測量結果。然后，剩余的的相關數(shù)據(jù)通過選擇特別的方法就可以由不斷加入數(shù)據(jù)子集而重建。歸功于該方法的內(nèi)在特殊結構，采樣設備并沒有改變但是信號恢復卻有了有意義的提高。該方法的有效性已經(jīng)從理論上得到了證實。仿真結果亦表明分段壓縮感知的可靠性。 關鍵詞：壓縮感知 約束等距性 連續(xù)信號轉(zhuǎn)換 1引言 壓縮感知理論告

2、訴我們，如果一個信號是稀疏的，它就可以從低于乃奎斯特采樣頻率的信息中重新恢復原始信號1-3。具體的，信號f在正交基下的表達式為f=xii=Hx （1） 其中i，i=1，N是1×N的基向量，xi，i=1，N是若干個系數(shù)，是N×N的矩陣，i，i=1，N是行向量，x=x1，xNT，（.）H表示厄密共軛變換。如果大多數(shù)系數(shù)為零就稱f為稀疏的。在中如果最多只有S個系數(shù)不為零，則信號為S稀疏的。CS理論指出，我們可以建立一個通用的S稀疏采樣矩陣而不管特定信號的自然屬性1。諸如圖像獲取、傳感網(wǎng)絡、認知無線電壓縮感知理論已經(jīng)得到了應用。 采樣過原始程是對f信號乘以一個K×N的測量

3、矩陣，也就是說y=f=x，其中=H。用這些有效的測量數(shù)據(jù)，原始信號可以通過下面一個最優(yōu)化問題得到恢復。1,7min|x|l1, 滿足 x=y （2）其中，|.|l1表示向量的l1范數(shù)。（2）是一個凸函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成線性問題加以解決。不確定性原則為壓縮感知提供了一個極佳的前提條件。它要求測量矩陣必須滿足約束等距性。特別的，我們用T來表示的子矩陣，前者表示由后者的列構成的子陣，T1，N，S稀疏等距常數(shù)S滿足下式（1-S）(1+S) （3）c的勢小于等于S。在（3）式中表示向量的歐幾里德距離。如果約束等距常數(shù)足夠小，就可以保證測量矩陣高精度的表示了S稀疏的c向量的大不分值。K×N的均值為零方

4、差為1/K高斯隨機矩陣就是這種測量矩陣的一個很好的例子。這種矩陣能夠以高概率滿足ScK/log(N/K)，其中c為常數(shù)。 在這篇文章中，我們針對AIC提出了一種新的壓縮感知方法，它用我們已經(jīng)獲取了的測量方法來進行一系列新的相關的測量。這些新的測量方法可以用來提高信號的重建精度。由于這種新的方法只是建立在增加測量數(shù)據(jù)的老方法之上，采樣設備幾乎沒有變化。擴展原來CS測量矩陣的步驟在這里將會被介紹。同時還將證明為了使信號恢復擴展的矩陣必須滿足約束等距性。仿真結果證實了該方法的有效性。 這篇文章的總體構造是這樣的，在第二部分中，介紹一種新的分段壓縮感知方法。緊接著在第三部分中將證明如果原始測量矩陣滿足

5、約束等距性則分段壓縮感知的擴展矩陣也符合約束等距性。由于我們在分析中都是假設矩陣的所有元素是滿足獨立同分布均值為0的高斯變量，這個結果也可以看成是托普利茨矩陣的高度概括9。所提方法優(yōu)勢的仿真結果在第四部分闡述然后就是第五部分的總結。2提出的分段壓縮感知方法在壓縮感知的過程中，信號的采樣和壓縮是緊密結合在一起的。因此在寬帶信號中高速的數(shù)模轉(zhuǎn)換器是必不可少的。然而，除了可以用乃奎斯特速率采樣后通過測量矩陣還可以用RMPI系統(tǒng)進行AIC處理。8。為了得到所需值，先將信號和采樣波在時域相乘然后對這個乘機在其周期內(nèi)進行積分。由于計算是在時域進行的，一系列平行的混合與積分模塊是必不可少的。圖1清楚的再現(xiàn)了

6、這種結構，x（t）是原始信號，=,i=1，K是采樣波形，i=1，K是壓縮后的信號。隨機的±1序列是一種符合要求的采樣波形。 圖（1）基于RMPI的AIC結構 使用平行的AIC方法，可以克服高速度的AD轉(zhuǎn)換，然而，在連續(xù)信號處理和復原等很多實際的應用中收集大量的測量數(shù)據(jù)是必要的。為了得到更多數(shù)據(jù)的分支直接影響到了AIC的復雜度。因此，在不犧牲恢復精度的前提下減少平行的分支數(shù)量是我們希望看到的?？梢酝ㄟ^對每一個積分分支進行分段積分用一組不完全測量值取代在整個區(qū)間積分的唯一值6。注意到原始積分區(qū)間被分成許多小的區(qū)間，現(xiàn)在的測量值并沒有完全表示原信號。所以，這種方法也叫不完全測量。下文中，經(jīng)

7、典的完全測量我們稱為采樣，而不完全測量則叫欠采樣。我們工作的主要內(nèi)容是對比不同采樣波形下重新使用欠采樣的一種新的測量方法。假設積分周期被分成M個子區(qū)間， 表示由，k=1，K1感知的欠采樣向量，K1是傳統(tǒng)采樣的個數(shù)。欠采樣，k=0，1，K1-1，j=0，1，,M-1由下式給出 （4）總的欠采樣點數(shù)為MK1。這些數(shù)據(jù)可以放在K1×M的矩陣中，其中第k行對應于。原始的K1個數(shù)據(jù)可以用下面的式子進行計算 k=0，1，K1-1 （5）舉個例子來說，為了得到第K1+1個樣點值我們可在主對角線上選擇M個樣點并把他們相加。對于第K+2個樣點值我們可在次主對角線上選擇M個樣點并把它們相加，如是，可以此

8、類推。這些新點值可用下面的公式來計算 k=0，1，K2-1 （6）其中，K2K1。產(chǎn)生新采樣點值同樣也可以用測量矩陣來得出。矩的第k行為，是M維向量其長度是N/M。為了簡便起見，我們假定N/M為整數(shù)。對于K1>M,K=K1+K2的擴展矩陣，可以表示為 （7）其中是K2×N新的采樣波形矩陣。系數(shù)用來確保有單位列向量組成。由于的特殊結構，硬件設計時只需要K1個積分器。這種新的采樣結構是這樣的：從不同 的子積分器上抽取不同的子樣點并把他們相加。這種采樣與實際樣點相似，但是，仿真結果告訴我們它大大提高了恢復精度。 上述形成擴展矩陣的方法是眾多可行的選擇之一。一般來說被選擇的新的感知波形

9、與原始的感知函數(shù)要有盡可能小的相關性。因此，只能從中選擇其第k0行。當然從的行中選擇的M向量必須包含信號在整個周期內(nèi)的積分。3分段壓縮感知的結果分析 在這部分中，我們的結果建立在如果約束等距性，也滿足約束等距性。所以擴展矩陣是一個有效的壓縮感知矩陣。這個可以看成是文獻9的概括，在那里有特殊結構的原始感知矩陣具有一些相似的性質(zhì)可以作為擴展矩陣。與該文獻不同的是，我們只假設原始感知矩陣的元素滿足獨立同分布且均值為零的高斯變量。 我們用、和分別表示原始測量矩陣、采樣矩陣、寬展矩陣。我們假定以高概率滿足約束等距性。舉個例子來說，令的元素滿足方差為1/K1/、均值為0的獨立同分布高斯隨機變量。T表示1，

10、N的子集，在0<<1時，能夠以概率滿足下面的式子Pr()T滿足（3）式）1-2（12/）S （8） ()T 是以T為指標集的的列矩陣 。為了簡潔起見后續(xù)我們都用c0來表示。 下面關于擴展矩陣的輔助結果是合適的。引理1：假設矩陣的元素是獨立同分布均值為零方差為1/K1，是文獻（7）中提到的方法形成的，T是1，N的子集。如果K2是滿足K1，K2+M-1（K1+K2）/2的最小值，對于任意的0<<1，則有下面的不等式成立。Pr()T滿足（3）式）1-4（12/）S（ ） （9）證明：在后續(xù)的論文里將會被證明。用上述的定理，我們可以證明文獻（7）中說的擴展矩陣滿足約束等距性。定

11、理1：的元素是獨立同分布均值為零方差為1/K1，是文獻（7）中提到的方法形成的。如果K2是滿足K1，K2+M-1（K1+K2）/2的最小值，對于任意的0<<1存在之取決于的常數(shù)c1和c2，S c1bK/2c/ ln(N/S)，對于S稀疏的滿足（3）式的概率大于，也就是說Pr()TRIP） （10）證明：在后續(xù)的文章中會有證明4仿真結果在我們的仿真例子中，稀疏信號由如下方法產(chǎn)生。在512個數(shù)據(jù)中只有10個是非零的。非零的數(shù)據(jù)是隨機在1和-1中選取。測量是有噪聲的，所以測量過程可用這樣的式子表達：，其中e是均值為零方差為的高斯隨機變量。 三種不同的測量矩陣將會被用到，原始的矩陣是高斯獨

12、立同分布的K1×N矩陣，我們所提出的擴展矩陣大小為（K1+K2）×N，測量矩陣是（K1+K2）×N的獨立同分布的高斯隨機矩陣。K1是固定的，其值是64，K2是變量。M=8。在原始矩陣中，高斯噪聲方差是。由擴展矩陣得到的測量值就含有這樣一個噪聲。這樣，擴展矩陣的噪聲關系就被考慮到了。我們用最小均方差來衡量誤差，實驗中我們?nèi)?000個值的樣本來計算均方差。 由于測量是有噪聲的，測量算法是不能完全刻畫原始信號的。 所以，下面的恢復模型就會被我們在仿真中用到。 滿足 （11）其中是噪聲的邊界。在本例子中，可以取，K=K1+K2為噪聲向量的大小。由于信號在時域本身就是稀疏的

13、，稀疏基是單位矩陣，故而，在（11）中。二展示了在K2/K1大于等于0，小于等于1時上面所提到的三種方法的最小均方差。這個結果展示了三種不同的噪聲水平下的效果。信噪比被定義成，約等于，由于（3）式，這個結果是可信的，噪聲方差可以用信噪比近似估計出。比如說，在下面的例子中我們可以用10log（10/L）計算信噪比。其中L是噪聲向量e的長度。在圖二中，最小均方誤差分別在信噪比為5、15、25dB下獲得。圖（2）基于K2/K1的MSEs圖（3）基于SNR的MSEs從圖二中我們看到使用擴展矩陣比原始的K1×N階矩陣有好的恢復效果。這是因為我們所提到的擴展矩陣測量方法與其它方法相關。但是，比較

14、這兩種方法的恢復效果，我們會看到兩種方法幾乎一樣，但是擴展舉矩陣法只需要很少的積分分支就可以實現(xiàn)同樣的效果。比如，如果K2/K1=1，則積分器就少一半。對比三種不同噪聲水平的均方差曲線，我們可以看出，隨著噪聲的減少，恢復精度就會提高。但是，我們所提到的擴展矩陣恢復精度比原始的測量方法提高的更快一點。圖三展示了上面所提到了三種測量矩陣的信噪比，其中，K2/K10.1563,1。從中可以看出，不管是擴展矩陣還是同樣大小的測量矩陣都比原始矩陣的恢復效果好。這些高的提升需要高比例的K2/K1。進一步說，如果K2/K1=0.1563，最小均方誤差在25dB，當比例為1時所有范圍內(nèi)的信噪比都有提升。5總結

15、一種提高CS恢復水平的分段壓縮感知在本文被提出來了。它幾乎沒有給取樣部分帶來額外的開銷就能夠提供非常好的信號恢復效果。采樣部分的復雜度的略微增加只是為了獲得更好優(yōu)化問題解決的必要開銷，在采樣階段大量的積分分支也可以保持不變。仿真結果展示了該方法的良好效果。致謝我們的工作得到了加拿大自然科學和工程研究委員會和艾伯塔省基金會的支持。參考文獻1 E. Candes and T. Tao, “Decoding by linear programming,” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 51, pp. 42034215, Dec. 2005.2 D. Donoho, “C

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