理論力學復習要點

1、理論力學復習指南第一部分 靜力學一靜力學基本概念和物體的受力分析1靜力學基本概念力是物體間相互的機械作用，這種作用使物體運動狀態(tài)發(fā)生變化或使物體產(chǎn)生變形。前者稱為力的運動效應，后者稱為力的變形效應。力對物體的作用決定力的三要素：大小、方向、作用點。力是一定位矢量。剛體是在力作用下不變形的物體，它是實際物體抽象化的力學模型。等效 若兩力系對物體的作用效應相同，稱兩力系等效。用一簡單力系等效地替代一復雜力系稱為力系的簡化或合成。2靜力學基本公理力的平行四邊形法則給出了力系簡化的一個基本方法，是力的合成法則,也是一個力分解成兩個力的分解法則。二力平衡公理是最簡單的力系平衡條件。加減平衡力系公理是研究

2、力系等效變換的主要依據(jù)。作用與反作用定律概括了物體間相互作用的關系。剛化公理給出了變形體可看作剛體的條件。 3. 約束類型及其約束力限制非自由體位移的周圍物體稱為約束。工程中常見的幾種約束類型及其約束力光滑接觸面約束約束力作用在接觸點處，方向沿接觸面公法線并指向受力物體。柔索約束約束力沿柔索而背離物體。鉸鏈約束約束力在垂直銷釘軸線的平面內，并通過銷釘中心。約束力的方向不能預先確定，常以兩個正交分量Fx和Fy表示。滾動支座約束約束力垂直滾動平面，通過銷釘中心。球鉸約束約束力通過球心，但方向不 能預先確定，常用三個正交分量Fx，F(xiàn)y，F(xiàn)z表示。止推軸承約束約束力有三個分量Fx ，F(xiàn)y ，F(xiàn)z 。4

3、. 受力分析對研究對象進行受力分析、畫受力圖時，應先解除約束、取分離體，并畫出分離體所受的全部已知載荷及約束力。畫受力圖的要點（1）熟知各種常見約束的性質及其約束力的特點。（2）判斷二力構件及三力構件，并根據(jù)二力平衡條件及三力平衡條件確定約束力的方向。（3）熟練、正確表出作用力與反作用力。二平面力系1. 力矩力矩是度量力對物體轉動效果的物理量。平面問題中力F對O點之矩記為MO(F )=F h平面問題中力矩是代數(shù)量。合力矩定理 平面匯交力系的合力對平面內任一點之矩等于各分力對該點之矩的代數(shù)和，即2平面力偶系的合成和平衡條件（1）力偶與力偶矩 大小相等，方向相反，作用線平行的兩個力F, F 組成力

4、偶，力偶是一特殊力系。力偶對物體只有轉動效應，它與一個力不等效，不能用一個力來平衡。力偶對物體的轉動效應決定于力偶矩，即力偶矩是代數(shù)量。取逆時針轉向為正，反之為負。力偶對任意點之矩等于力偶矩，與矩心位置無關。力偶等效條件 同平面內的兩個力偶，如力偶矩相等，則兩力偶等效。力偶的等效性表明: 只要力偶矩不變，可任意改變力的大小和力偶臂的長短；力偶也可在作用面內任意移轉。（2）平面力偶系的合成同平面力偶系可合成為一合力偶，合力偶矩等于各分力偶矩的代數(shù)和（3）平面力偶系的平衡條件 力偶系平衡的必要和充分條件是：合力偶矩等于零，即一個獨立的平衡方程，可解一個未知量。3力的平移定理作用在剛體上的力，可平行

5、移動到剛體上任一點，平移時需附加一力偶，附加力偶的力偶矩等于原作用力對平移點之矩，稱為力的平移定理。該定理表明，一個力可以等效于一個力和一個力偶。其逆定理表明，可將平面內的一個力和一個力偶等效于一個力。應用力的平移定理，將力系向一點簡化的方法是力系簡化的普遍方法。4平面力系向平面內一點簡化力系向任一點O（稱簡化中心）簡化，得到通過簡化中心的一個力及一個力偶。力的大小、方向決定于力系的主矢量，力偶的矩決定于力系對簡化中心的主矩。力系中各力的矢量和稱為力系的主矢量(簡稱主矢)。即主矢量與簡化中心位置無關。力系中各力對簡化中心之矩的代數(shù)和稱為力系對簡化中心的主矩。即主矩與簡化中心位置有關。5主矢和主

6、矩的解析式如以簡化中心為原點，建立直角坐標系Oxy則主矢與主矩的解析表達式分別為式中X i，Y i為力系中各力在坐標軸上的投影，x i，y i 為力F i作用點的坐標。6平面力系平衡的必要和充分條件力系的主矢和主矩都等于零，即： 平面力系平衡方程的三種形式基本形式二 力 矩 式三 力 矩 式A、B 連線與x 軸不垂直A、B、C 三點不共線三空間任意力系1計算力在空間直角坐標軸上的投影有兩種方法一次直接投影法二次（間接）投影法。2力對軸之矩力對軸之矩是力使物體繞軸轉動效果的度量，是代數(shù)量，可按定義或解析式計算。當力與軸相交或平行時，力對該軸之矩等于零。3力對點之矩力對點之矩是力使物體繞該點轉動效

7、果的度量，是定位矢量。表為力對點之矩在過該點某軸上的投影等于力對該軸之矩。 有4合力矩定理力系的合力對任一點之矩等于力系中各力對該點之矩的矢量和，即 5力偶矩矢力偶矩矢是表示力偶三要素的自由矢量，它完全決定了力偶對物體的作用。若兩力偶的力偶矩矢相等，則兩力偶等效。6空間力系的合成空間匯交力系合成為通過匯交點的一個合力，其合力矢 空間力偶系合成為一合力偶，其合力偶矩矢空間任意力系向任一點O簡化，得到作用在簡化中心O的一個力和一個力偶，力的大小、方向決定于力系的主矢量，力偶矩矢決定于力系對O點的主矩，即7空間力系平衡的必要和充分條件 空間任意力系平衡的必要和充分條件是：力系的主矢和對任一點的主矩等

8、于零，即8. 空間力系平衡方程的基本形式 空間匯交力系空間力偶系空間平行力系空間任意力系9. 物體的重心 重心是物體重力的合力作用點。均質物體的重心與幾何中心形心重合。重心坐標的一般公式是 ; 對于均質物體第二部分 運動學一點的運動1矢量法點位置確定運動方程 =軌跡：矢端曲線速度 方向沿軌跡切線加速度 2直角坐標法點位置確定運動方程 軌跡運動方程消去時間參數(shù)t，即可得到 軌跡的曲線方程。速度 加速度 3. 自然法前提：點的軌跡已知弧坐標的建立：在軌跡上確定點，規(guī)定“+”，“-”點位置確定：弧坐標s運動方程 速度 加速度 切向加速度 法向加速度 二剛體的基本運動1 平動剛體平動的特點是：剛體上各

9、點的軌跡形狀、速度及加速度相同。因此，只要求得剛體上任一點的運動，就可得知其它各點的運動，從而確定整體運動。2定軸轉動描述定軸轉動剛體的位置用角坐標j。運動方程角速度角加速度 或w 為w 在z軸上的投影；a 為a 在z軸上的投影。 定軸轉動剛體上各點速度v及加速度a的計算： 速度，或，R為點到轉軸的距離。加速度其中 ,或切向加速度； ,或法向加速度。三點的合成運動1定系和動系理論上講，若存在兩個有相對運動的坐標系，則可指定其中一個為定系，另一個即為動系。但工程上一般以固定在地面上的坐標系為定系，相對于定系運動著的坐標系稱為動系。2動點和牽連點動點為研究的對象，是本章的主角。牽連點是動點在動系上

10、的重合點，隨動點的相對運動而變，是動系上的點，不同瞬時，有不同的牽連點，弄清牽連點的概念十分重要。3三個運動的關系絕對運動動點相對于定系的運動；相對運動動點相對于動系的運動；牽連運動動系相對于定系的運動。（1）速度合成定理 （2）加速度合成定理 其中當動系平動時 ，4應用例 搖桿滑道機構已知h、 q 、v 、a求: OA桿的 w , a 。解： 選取動點、動系、靜系：動點: 桿BC上銷子D 點,動系: 固連搖桿OA ，靜系: 固連地面(機架)。2. 三種運動分析：3. 三種速度分析:由速度合成定理 ： 加速度分析:因牽連運動為定軸轉動，故有 作加速度矢量關系圖求解：將上式投影到沿切線的x 軸上

11、，得：四剛體的平面運動1剛體平面運動定義剛體作平面運動的充要條件是：剛體在運動過程中，其上任何一點到某固定平面的距離始終保持不變。2平面運動方程剛體的平面運動可以簡化成平面圖形在平面上的運動。運動方程：其中A為基點。如果以 A 為原點建立平動動系Axy，則平面運動分解為跟隨基點（動系）的平動和相對于基點（動系）的轉動。4平面運動剛體上各點的速度分析（1）基點法-應用速度合成定理（2）速度投影定理（由基點法推論）剛體上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影相等。（3）瞬心法（由基點法推論）瞬心是瞬時速度為零的點，把瞬心作為基點求速度的方法，為瞬心法。5加速度分析 只推薦用基點法分析平面運動剛體上各點

12、的加速度。 例 曲柄肘桿壓床機構 已知:OA=0.15m,n=300 rpm,AB=0.76m, BC=BD=0.53m. 圖示位置時, AB水平。求該位置時的， 及 解： 運動分析： OA,BC作定軸 轉動, AB,BD均作平面運動 研究AB;速度分析，用速度瞬心法求vB和wAB ：P為AB 桿速度瞬心 研究BD;速度分析，用速度瞬心法求vD 和w BD ：P2為其速度瞬心,DBDP2為等邊三角形DP2=BP2=BD第三部分 動力學一質點運動微分方程1牛頓第二定律牛頓第二定律為質點的質量與加速度的乘積等于作用在質點上力系的合力，即它是解決質點動力學的基本定律。 2質點運動微分方程矢量形式 直

13、角坐標形式自然坐標形式一般在研究自由質點的運動時，常采用直角坐標或極坐標形式的微分方程，研究非自由質點動力學問題時常采用自然坐標形式的微分方程。 3質點運動微分方程的應用運用質點運動微分方程，可解決質點動力學兩類問題，即（1）已知質點的運動規(guī)律，求作用在質點上的力，通常是未知的約束力。這是點的運動方程對時間求導數(shù)的過程。（2）已知作用在質點上的力，求質點的運動規(guī)律。這是運動微分方程的積分過程，或求解過程。 對于多數(shù)非自由質點，一般同時存在以上動力學的兩類問題，對于這種問題一般首先解除約束以相應的約束力代替，根據(jù)已知的主動力及運動初始條件，求解質點的運動規(guī)律；然后在運動確定的條件下再求解未知約束

14、力，約束力一般包括靜約束力和附加動約束力兩部分。 利用質點運動微分方程求解質點的運動規(guī)律時，視問題的性質，可采用兩種分離變量的方法對微分方程進行積分，即 或質點的運動規(guī)律還決定于初始條件，利用運動的初始條件，可確定定積分的下限或不定積分的積分常數(shù)。視問題的性質，也可以用解微分方程的方法求解。 4解決質點動力學問題的步驟（1）分析質點的受力，分清主動力與約束力。對非自由質點需解除約束，以約束力代替。主動力一般為已知，約束力通常是未知的，但其方向往往可根據(jù)約束的性質確定。畫出質點的受力圖。（2）分析質點的運動，畫出質點的運動分析圖，一般包括廣義坐標，加速度、速度在坐標上的分量等。 （3）列寫質點運

15、動微分方程。列方程時要注意力及運動量在坐標上投影的正負號。 （4）微分方程的求解及問題的進一步討論。二動量定理1質點系動量的計算質點系的動量為質點系中各質點動量的矢量和，即在直角坐標系中可表示為質點系的動量還可用質心的速度直接表示，即2質點系動量定理質點系動量定理建立了質點系動量的變化率與外力主矢量之間的關系，可表示為如下幾種形式：質點系動量定理質心運動定理3動量定理的應用應用動量定理解質點系動力學問題時，應注意以下幾點：（1）質點系動量的變化與內力無關。應用動量定理時，必須明確研究對象，分清外力與內力，只需將外力表示在受力圖上。（2）應用動量定理可解決質點系動力學的兩類問題，即已知力求運動的

16、問題和已知運動求力的問題。一般用動量定理求未知約束力。（3）當外力系的主矢量為零時，系統(tǒng)的動量守恒，即常矢量 外力系的主矢量在某一軸（如x軸）上投影為零時，系統(tǒng)的動量在該軸上的分量為一常數(shù)常數(shù)三動量矩定理1. 轉動慣量剛體對Z軸的轉動慣量 2質點系動量矩質點系對任意一點的動量矩為質點系中各點的動量對同一點的矩的矢量和，即質點系對軸z 動量矩 平動剛體 定軸(z軸)轉動剛體 平面運動的剛體 3質點系動量矩定理質點系的動量矩定理建立了質點系動量矩的變化率與作用于質點系上外力的主矩之間的關系?？杀硎緸槿缦聨追N形式：（1）對固定點的動量矩定理 質點系對固定點的動量矩對時間的一階導數(shù)，等于外力系對同一點

17、的主矩，即 用投影式表示為 （2）相對質心動量矩定理 質點系相對質心的動量矩對時間的一階導數(shù)等于外力系對質心的主矩。即 （3）剛體繞固定軸轉動的微分方程 4剛體平面運動微分方程 5動量矩定理的應用在應用動量矩定理時，應注意以下幾點：（1）正確計算質點系的動量矩；（2）質點系動量矩的變化率與外力矩有關。所以，在分析問題時要明確研究對象，分清內力與外力；（3）當對固定點的外力矩為零時，質點系對該點的動量矩守恒。即 時，常矢量或對某軸（如z 軸）的外力矩為零時，質點系對該軸的動量矩守恒。即時，常數(shù)四動能定理1. 質點系動能的計算質點的動能 ：質點系的動能等于質點系內各質點動能的總和，即（2）剛體動能

18、的計算平動剛體： 定軸轉動剛體： 平面運動剛體：分別為剛體對固定軸，質心軸和瞬心軸的轉動慣量。2. 力的功的計算作用在質點系上的力通常為變力，變力的元功為 力在有限路程上的功為 或如（1）重力在有限路程上的功為即決定于軌跡兩端的高度差，而與軌跡形狀無關。（2）彈性恢復力在有限路程上的功為其中為彈簧剛度系數(shù)，彈性恢復力的功僅決定于質點在軌跡兩端時彈簧的變形，而與軌跡形狀無關。3. 動能定理 微分形式的動能定理：積分形式的動能定理：動能定理給出了質點系在運動過程中速度與位置的關系。具有理想約束的一個自由度系統(tǒng)，利用動能定理就可以決定質點系在已知主動力作用下的運動規(guī)律。4. 機械能守恒在理想約束的情

19、況下，若作用在系統(tǒng)上的主動力有勢,則系統(tǒng)的機械能守恒，即應用機械能守恒定律可得到系統(tǒng)運動微分方程的初積分。常見勢力的勢能，（1）重力勢能 式中由零勢面鉛垂向上為正。（2）彈性恢復力勢能 式中為彈簧的變形量。以彈簧原長處為勢能零點。5. 普遍定理的綜合應用普遍定理提供了解決質點系動力學問題的一般方法。在許多較為復雜的問題中，往往需要聯(lián)合應用幾個普遍定理以求得問題的解答。例如時常遇到這樣一種類型的問題：已知作用于系統(tǒng)上的主動力，需求系統(tǒng)的運動及未知約束力。這時應首先根據(jù)系統(tǒng)中各物體的運動情況及系統(tǒng)所受力的特點，考慮應用哪一個普遍定理可以建立已知的主動力和運動的關系，在理想約束的情形下，應用動能定理

20、常?？梢宰龅竭@點。由反映這些關系的方程求得系統(tǒng)的運動后，再應用相應的普遍定理，通常是應用動量定理或動量矩定理，以求出未知的約束力。 例 圖示系統(tǒng)中,均質圓盤A、B各重P，半徑均為R, 兩盤中心線為水平線, 盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時重物的速度與加速度。(繩重不計，繩不可伸長，盤B作純滾動，初始時系統(tǒng)靜止) 解： 取系統(tǒng)為研究對象； 計算主動力的功； 運動分析計算動能； 根據(jù)動能定理求解： 上式求導得： 計算題1、在圖所示構架中，各桿單位長度的重量為30 N/m，載荷P = 1 000 N，A處為固定端，B，C，D 處為鉸鏈。求固定端A 處及鉸鏈B，C 處的約束力。2、如圖所示，三鉸拱由兩半拱和3 個鉸鏈A，B，C 構成，已知每半拱重為P = 300 kN，l = 32