八年級(jí)下期數(shù)學(xué)培優(yōu)思維訓(xùn)練(勾股定理)

1、八年級(jí)下期數(shù)學(xué)培優(yōu)思維訓(xùn)練二、勾股定理（一）知識(shí)梳理：（二）方法歸納：（三）范例精講：1.已知：如圖，在ABC中，CD是AB邊上的高，CD2=AD·BD. 求證：ABC是直角三角形. 2.已知：ABC中，A、B、C的對(duì)邊分別是、，判斷ABC的形狀.（1）.（2）.（3）. 3.已知：如圖，在ABC中，C=90°，M是BC的中點(diǎn)，MDAB于D.求證：AD2 =AC2 +BD2.4.已知：如圖，四邊形ABCD，ADBC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3. 求：四邊形ABCD的面積. 5.已知：如圖，DE=，BC=，EBC與DCB互余. 求BD2+CD2 的值.6.如圖，有

2、一塊矩形塑料模板ABCD，長(zhǎng)為10，寬為4，將你手中足夠大的直角三角板PHF的直角頂點(diǎn)P落在AD邊上（不與A、D重合）并在AD上平行移動(dòng)：能否使你的三角板兩直角邊分別通過(guò)點(diǎn)B與點(diǎn)C？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由. 再次移動(dòng)三角板位置，使三角板頂點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，直角邊PH始終通過(guò)點(diǎn)B，另一直角邊PF與DC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q，與BC交于點(diǎn)E，能否使CE=2？若能，請(qǐng)你求出這時(shí)AP的長(zhǎng)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.7.如圖，在ABC中，ACB=90°，AC=BC，P是ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PB=1，PC=2，PA=3，求BPC的度數(shù).8.已知：ABC中，AB=15，AC=13，BC邊

3、上的高AD長(zhǎng)為12. 求ABC的面積.9.如圖，把矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，EC與AD相交于點(diǎn)F. 若AB=4，BC=6，求FAC的周長(zhǎng)和面積.10.如圖，將矩形ABCD沿直線AE折疊，頂點(diǎn)D恰好落在BC邊上F點(diǎn)處，已知CE=6 cm，AB=16cm，求BF的長(zhǎng)11.如圖，一個(gè)高18m，周長(zhǎng)5m的圓柱形水塔，現(xiàn)制造一個(gè)螺旋形登梯，為減小坡度，要求登梯繞塔環(huán)繞一周半到達(dá)頂端，問(wèn)登梯至少多長(zhǎng)？12.如圖1，在RtABC中，ACB=90°，D為AB中點(diǎn)，DE、DF分別交AC于E，交BC于F，且DEDF（1）如果AC=BC，求證：AE2+BF2=EF2；（2）如圖2，

4、如果ACBC，（1）中結(jié)論AE2+BF2=EF2還能成立嗎？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由13.如圖，邊長(zhǎng)為8和4的矩形OABC的兩邊分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸和y軸上，若沿對(duì)角線AC折疊后，點(diǎn)B落在第四象限B1處，設(shè)B1C交x軸于點(diǎn)D. 求：（1）ACD的面積；（2）點(diǎn)B1的坐標(biāo).（四）思維訓(xùn)練：1.如圖，ABC中，AB=BC，BEAC于點(diǎn)E，ADBC于點(diǎn)D，BAD=45°，AD與BE交于點(diǎn)F，連接CF.（1）求證：BF=2AE；（2）若CD=，求AD的長(zhǎng).2.如圖，ABC是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，將ABC沿直線BC向右平移，使B點(diǎn)與C點(diǎn)重合，得到DCE，連接BD，交AC于F.

5、（1）猜想AC與BD的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）求線段BD的長(zhǎng).3.如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，BC=CD=10，AB=21，AD=9求AC的長(zhǎng).4.已知：ABC中，BC=，AC=，AB=若C=90°，如圖1，根據(jù)勾股定理，則若ABC不是直角三角形，如圖2和圖3，請(qǐng)你類比勾股定理，試猜想與的關(guān)系，并證明你的結(jié)論.5.細(xì)心觀察下圖，認(rèn)真分析各式，然后解答問(wèn)題，；，；，；（1）請(qǐng)用含（是正整數(shù)）的等式表示上述變化規(guī)律；（2）推算出OA10的長(zhǎng)；（3）求出S12+S22+S32+S102的值6.已知ABC=90°，點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)（與點(diǎn)B不重合），分別

6、以AB、AP為邊在ABC的內(nèi)部作等邊ABE和APQ，連接QE并延長(zhǎng)交BP于點(diǎn)F（1）如圖1，若AB= ，點(diǎn)A、E、P恰在一條直線上時(shí)，求此時(shí)EF的長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)P為射線BC上任意一點(diǎn)時(shí)，猜想EF與圖中的哪條線段相等（不能添加輔助線產(chǎn)生新的線段），并加以證明；（3）若AB=，設(shè)BP=4，求QF的長(zhǎng)7.在ABC中，A=2B，且A=60°. 求證：.8.如圖，梯形ABCD中，ADBC，B=90°，AD=AB=4，BC=7，點(diǎn)E在BC邊上，將CDE沿DE折疊，點(diǎn)C恰好落在AB邊上的點(diǎn)C'處（1）求C'DE的度數(shù)；（2）求C'DE的面積9.如圖，在Rt

7、ABC中，BAC=90°，AB=AC，點(diǎn)M、N在邊BC上（1）如圖1，如果AM=AN，求證：BM=CN；（2）如圖2，如果M、N是邊BC上任意兩點(diǎn)，并滿足MAN=45°，那么線段BM、MN、NC是否有可能使等式MN2=BM2+CN2成立？如果成立，請(qǐng)證明；如果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由10.如圖，ABC是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，BB1是ABC的高，B1B2是ABB1的高，B2B3是AB1B2的高，B3B4是AB2B3的高，Bn-1Bn是ABn-2Bn-1的高.（1）求BB1的長(zhǎng)；（2）填空：B1B2的長(zhǎng)為_(kāi)，B2B3的長(zhǎng)為_(kāi)；（3）根據(jù)（1）、（2）的計(jì)算結(jié)果，猜想寫(xiě)出Bn-1B

8、n的值（用含n的代數(shù)式表示，n為正整數(shù)）11.如圖，ABD、CBD都是等邊三角形，DE、BF分別是ABD的兩條高，DE、BF交于點(diǎn)G（1）求BGD的度數(shù)；（2）連接CG，求證：BG+DG=CG；求的值12.（1）如圖1，在ABC中，BC=3，AC=4，AB=5D為AB邊上一點(diǎn)，且ACD與BCD的周長(zhǎng)相等，則AD=_（2）如圖2，在ABC中，BC=a，AC=b，AB2=BC2+AC2E為BC邊上一點(diǎn)，且ABE與ACE的周長(zhǎng)相等；F為AC邊上一點(diǎn)，且ABF與BCF的周長(zhǎng)相等，求CECF（用含a，b的式子表示）13.如圖，在ABC中，ABC=45°，CDAB，BEAC，垂足分別為D、E，F(xiàn)

9、為BC中點(diǎn)，BE與DF、DC分別交于點(diǎn)G、H，ABE=CBE（1）求證：BH=2CE；（2）求證：BG2-GE2=AE214.如圖，等邊ABC和等邊DEC，CE和AC重合，CE=AB（1）求證：AD=BE；（2）若CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，連BD交AC于點(diǎn)G，取AB的中點(diǎn)F，連接FG求證：BE=2FG15.在討論問(wèn)題：“如圖1，ABC=30°，ADC=60°，AD=CD，請(qǐng)問(wèn)：BD、AB、BC三邊滿足什么關(guān)系？”時(shí)，某同學(xué)在圖中作ACEDCB，連接BE得圖2，然后指出三邊的關(guān)系為BD2=AB2+BC2他的判斷是否正確？請(qǐng)說(shuō)明理由16.已知：ABC中，ABBC，A

10、C的中點(diǎn)為M，MNAC交ABC的角平分線于N（1）如圖1，若ABC=60°，求證：BA+BC=BN；（2）如圖2，若ABC=120°，則BA、BC、BN之間滿足什么關(guān)系式，并對(duì)你得出的結(jié)論給予證明17.如圖，ABC是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)C作CDCB交CBA的外角平分線于點(diǎn)D，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作BCE=BAD，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E（1）求證：BD=BE；（2）若CD=4，求AD的長(zhǎng)18.在RtABC中，BAC=90°，AB=AC=2，BC=，點(diǎn)D在BC所在的直線上運(yùn)動(dòng)，作ADE=45°（A，D，E按逆時(shí)針?lè)较颍┤鐖D1，若點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng)，DE交AC于E（1

11、）求證：1=2（2）當(dāng)ADE是等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng)（3）如圖2，若點(diǎn)D在BC的延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)，DE的反向延長(zhǎng)線與AC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，是否存在點(diǎn)D，使ADE是等腰三角形？若存在，寫(xiě)出所有點(diǎn)D的位置；若不存在，請(qǐng)簡(jiǎn)要說(shuō)明理由19.如圖，已知ABC中，BC=AC=8厘米，C=90°，如果點(diǎn)P在線段AC上以1厘米/秒的速度由A點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段BC上由C點(diǎn)向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)（1）在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，APM與CQM是否保持全等，請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在點(diǎn)P和點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形PMQC的面積是否變化？若變化說(shuō)明理由；若不變，求出這個(gè)四

12、邊形的面積；（3）線段AP、PQ、BQ之間存在什么數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出這個(gè)關(guān)系，并加以證明20.已知ABC，以AC為邊在ABC外作等腰ACD，其中AC=AD（1）如圖1，若AB=AE，DAC=EAB=60°，則BFC=_；（2）如圖2，若ABC=30°，ACD是等邊三角形，BC=4，AB=3求BD的長(zhǎng)；（3）如圖3，若ACD為銳角，作AHBC于H，當(dāng)BD2=4AH2+BC2時(shí)，判定DAC與ABC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論21.某興趣小組在學(xué)習(xí)了勾股定理之后提出：“銳（鈍）角三角形有沒(méi)有類似于勾股定理的結(jié)論”的問(wèn)題首先定義了一個(gè)新的概念：如圖（1）ABC中，M是BC的中點(diǎn)，P是射線

13、MA上的點(diǎn)，設(shè)=k，若BPC=90°，則稱k為勾股比（1）如圖（1），過(guò)B、C分別作中線AM的垂線，垂足為E、D求證：CD=BE（2）如圖（2），當(dāng)k=1，且AB=AC時(shí)，AB2+AC2=_BC2（填一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)）如圖（1），當(dāng)k=1，ABC為銳角三角形，且ABAC時(shí)，中的結(jié)論還成立嗎？若成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，也請(qǐng)說(shuō)明理由；對(duì)任意銳角或鈍角三角形，如圖（1）、（3），請(qǐng)用含勾股比k的表達(dá)式直接表示AB2+AC2與BC2的關(guān)系（寫(xiě)出銳角或鈍角三角形中的一個(gè)即可）22.在四邊形ABCD中，ADBC，AD=CD，點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，AE交BC邊于點(diǎn)F，且AE=AB（1）如圖1，

14、求證：B=E：（2）如圖2，在（1）的條件下，在BC上取一點(diǎn)M，使BM=CE，連接AM，過(guò)M作MHAE于H，連接CH，若BAE=EHC=60°，CF=2，求線段AH的長(zhǎng)23.如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B坐標(biāo)為（-4，0），點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，點(diǎn)A為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，其坐標(biāo)為（0，k），BE，CD分別為ABC中AC，AB邊上的高，垂足分別為E，D（1）當(dāng)k=-3時(shí)，求AB的長(zhǎng)；（2）試說(shuō)明DOE是等腰三角形；（3）k取何值時(shí)，DOE是等邊三角形？（直接寫(xiě)出k的值即可）24.已知：ABC中，D是AB的中點(diǎn)，若AC=12，BC=5，CD=6.5.求證：ABC是直角三角形.25.如圖，ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一點(diǎn)，且ADAC，求BD的長(zhǎng)26.已知一直角三角形的斜邊長(zhǎng)是2，周長(zhǎng)是，求這個(gè)三角形的面積27.臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍數(shù)十千米范圍內(nèi)形成氣旋風(fēng)暴，有極強(qiáng)的破壞力，