2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用蘇教版選修30001

1、高二年級(jí)理科數(shù)學(xué)教學(xué)案5第一章計(jì)數(shù)原理152二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用(1)編寫(xiě)人：編號(hào)：011學(xué)習(xí)目標(biāo)1、掌握二項(xiàng)式系數(shù)的四個(gè)性質(zhì)。2、培養(yǎng)觀察發(fā)現(xiàn)、抽象概括及分析解決問(wèn)題的能力。學(xué)習(xí)過(guò)程：一、預(yù)習(xí)：1、利用二項(xiàng)式定理展開(kāi)(a+b) 0,(a+b) 1,(a+b) 2,(a+b) 3,(a+b) 4,(a+b) 6,觀察二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？2、.二項(xiàng)式系數(shù)表(楊輝三角)(a b)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)n依次取1,2,3,時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)表，表中每行兩端都 是1，除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上兩個(gè)數(shù)的和2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：(a b)n展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)是 C： , C：, C： , , , C

2、： . C：可以看成 以r為自變量的函數(shù) f(r)定義域是0,1, 2/ ,n，例當(dāng)n =6時(shí)，其圖象是7個(gè)孤立的點(diǎn)(如圖)(1)對(duì)稱性與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù) ( Cm)直線是圖象的對(duì)稱軸.(2)增減性與最大值.n - k 1, n 11= k :k2k n(n -1)( n-2)( n-k1) k j n - k 1Cn= k! =Cn ，二c：相對(duì)于c：4的增減情況由 丄土一1決定,kn +1當(dāng)k時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)逐漸增大由對(duì)稱性知它的后半部分是逐漸減小的，且在中2間取得最大值；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng) _取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng) ,取得最大值.(3)各二項(xiàng)式系數(shù)和:-

3、(1+x)n =1+C：x+C：xr + +xn,令 x =1，則 2n C C；：ynn 練習(xí)：證明：在(a b)n的展開(kāi)式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和二、課堂訓(xùn)練：例 1 已知(1 2x)7 = a0 - a1x a2x2 侶7'a7x7，求：(1)aa?a? ；( 2)aia3a5a7；( 3)| 玄 | c |£71.注意：賦值法不僅可以用來(lái)求二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)和，對(duì)于展開(kāi)式為多項(xiàng)式的代數(shù)式的系數(shù)和大多數(shù)也能用此方法解決，如：(1 x)5(1 -2x)6的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和為多少？可以看到(1 x)5(1 -2x)6的展開(kāi)式仍是多項(xiàng)式，令x =

4、1，即得各項(xiàng)系數(shù)和為25(-1)6=32 再 比如：(1 x - x2)n = a0 a2x2 川"卜a2nx2n，則 a0 a2 - a4;(i'a2n等于多少？本題可以由取x =1得到各項(xiàng)系數(shù)和，取 x二-1得到奇數(shù)項(xiàng)系數(shù)和減去偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和，兩式相1加可得a。 a' a2n(3n 1) 此外，為了賦值的需要，有時(shí)需要用一個(gè)新的二項(xiàng)2式替換原來(lái)二項(xiàng)式，只要它們的系數(shù)等同即可如：(x 2log2x)n的展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)和是多少？我們可以用一個(gè)更簡(jiǎn)單的二項(xiàng)式(1 2x)n代替原來(lái)的二項(xiàng)式，它們的系數(shù)并不改變，令x=1便得各項(xiàng)系數(shù)和為3n 例2.求(1+x)+(1+x) 2+, +(1+x) 10展開(kāi)式中x3的系數(shù)。例3、在(x 2+3x+2)5的展開(kāi)式中，求 x的系數(shù)。例4、用二項(xiàng)式定理證明：9910 -1能被1000整除。三、鞏固練習(xí)：1、(1)求(1-X)3(1 X)10展開(kāi)式中X5的系數(shù)； 求(x - 2)6展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng).X2、求(1 X - X2)6展開(kāi)式中X5的系數(shù).3、求證：(1) cn - 2C2- ncn -n -2nJ;(2) C-1)1C23Cn4、利用二項(xiàng)式定理證明：32n 2 - 8n -9是64的倍數(shù).5、展開(kāi)2x32X26、若將(x y z)10展開(kāi)為多項(xiàng)式，經(jīng)過(guò)合并同類項(xiàng)