解析幾何 4.1 柱面錐面

1、 平平 222xyaaazxyo 圓圓vvxzy0v12,0,0F xXt yYt zZtFxXt yYt zZt12, ,0, ,0F x y zCFx y z：, ,X Y Z11112111111,0,0F x y zFx y zxxyyzzXYZ分析：分析：1111 ,Mx y zS 11MCMlt, ,0F x y z1Mv 例例1 柱面的準(zhǔn)線方程為柱面的準(zhǔn)線方程為2222221,222,xyzxyz而母線與平面而母線與平面 垂直，求這個(gè)柱面的方程垂直，求這個(gè)柱面的方程 . 0 x z 解解1111111111設(shè)設(shè)M (x ,y ,z )M (x ,y ,z )是是準(zhǔn)準(zhǔn)線線上上的的點(diǎn)

2、點(diǎn)，那那么么過(guò)過(guò)M M 的的母母線線為為111101xxyyzz 222111 x1, (4)yz且且有有222111222 (5)xyz111 101xxyyzzt 再再設(shè)設(shè)111 , , , (6)xxtyyzzt那那么么222222(6)45 )()1, (7) 2()2()2, (8)xtyztxtyzt代代入入（ ）和和（ ）得得：（2 ()0zt由由（7 7）和和（8 8）得得： tz 即即278 1y2 2代代入入（ ）或或（ ）得得柱柱面面方方程程為為（x+z)x+z) 例例2 已知圓柱面的軸為已知圓柱面的軸為 點(diǎn)點(diǎn)11,122xyz(1,2,1)在此圓柱面上，求這個(gè)圓柱面的方

3、程在此圓柱面上，求這個(gè)圓柱面的方程.解解 圓圓可以看作是球面與平面的可以看作是球面與平面的 交線，這里圓拄面交線，這里圓拄面的準(zhǔn)線圓可以看成以軸上的點(diǎn)（的準(zhǔn)線圓可以看成以軸上的點(diǎn)（0，1，-1）為中心為中心點(diǎn)（點(diǎn)（0，1，-1）到已知點(diǎn)（）到已知點(diǎn)（1，-2，1）的距離為）的距離為1412 1為為半半徑徑的的球球面面，與與過(guò)過(guò)已已知知點(diǎn)點(diǎn)（ ， ， ）且且垂垂直直于于軸軸的的平平面面的的交交線線222(1)(1)14, (10)2230.xyzxyz111222111111,)(1)(1)142230 xy zxyzxyz設(shè)設(shè)（為為準(zhǔn)準(zhǔn)線線圓圓上上的的點(diǎn)點(diǎn)則則有有11111,)22xy zyy

4、zz1 1且且過(guò)過(guò)（的的母母線線為為x-xx-x1 1111222,8554481818990 xy zxyzxyxzyzyz消消去去得得圓圓柱柱面面的的方方程程為為解法解法2：把圓拄面看成是動(dòng)點(diǎn)到軸線等距離的：把圓拄面看成是動(dòng)點(diǎn)到軸線等距離的點(diǎn)的軌跡，點(diǎn)的軌跡，因?yàn)檩S的方向向量為因?yàn)檩S的方向向量為v=1，-2，-2，軸上的定點(diǎn)為軸上的定點(diǎn)為001(0,1, 1),(1, 2,1),1, 3,2,MM M 1 1而而圓圓柱柱面面上上的的點(diǎn)點(diǎn)為為M M所所以以01(1, 2,1)|117|3 M Mvdv 1 1因因此此點(diǎn)點(diǎn)M M到到軸軸的的距距離離為為 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)M(x,y,z)為圓柱面上的任意

5、點(diǎn)，那么有為圓柱面上的任意點(diǎn)，那么有0|117|3M Mvv 2228554481818990 xyzxyxzyzyz化化簡(jiǎn)簡(jiǎn)可可得得圓圓柱柱面面的的方方程程為為 ,r tf tg th t, ,X Y Z rr tuv1Mxzy0M xf tXuyg tYuzh tZu12:,:11lxyz lxyz 3:112lxyz zR12222 byaxabzxyo 橢圓橢圓zxy = 0y12222 bzaxopxy22 zxyoxOyabzxyozxyzxyo, ,0,:, ,0.F x y zLG x y z123,0,0,0F x yFx zFy z12,0,0,F x yFx z13,0,0,F x yFy z23,0,0,Fx zFy z叫做空間曲線叫做空間曲線L對(duì)對(duì)xoy面射影的射影柱面面射影的射影柱面; ;叫做空間曲線叫做空間曲線L對(duì)對(duì)xoz面射影的射影柱面面射影的射影柱面; ;叫做空間曲線叫做空間曲線L對(duì)對(duì)yoz面射影的射影柱面面射影的射影柱面. .1,0,0F x yz叫做空間曲線叫做空間曲線L在在xoy面上的射影曲線面上的射影曲線. .2,0,0Fx zy叫做空間曲線叫做空間曲線L在在xo