2022年2022年高中數(shù)學橢圓的經(jīng)典知識總結(jié)

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備精品學問點高中數(shù)學橢圓的經(jīng)典學問總結(jié)橢圓學問點總結(jié)精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1. 橢圓的定義 ： 1、2x 2y 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（1）橢圓 ：焦點在 x 軸上時1（ a2b2c2 ）xa cos（參數(shù)方程,其中為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 2b 2y 2x 2yb sin精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載參數(shù)）,焦點在 y 軸上時2a2 1（ abb0 ）；方程ax 2by 2c 表示橢圓的充要條件為什么？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（abc 0,

2、且 a ,b,c 同號, a b）；2. 橢圓的幾何性質(zhì) ：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2（1）橢圓（以 xa 2y1 （ ab2b 20 ）為例）：范疇：axa、byb ；焦點：兩個精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載焦點 c、0；對稱性：兩條對稱軸x0、 y0 ,一個對稱中心（ 0、0 ）,四個頂點 a、0、0、b ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2其中長軸長為 2 a ,短軸長為 2b ；準線：兩條準線 x2b 2a； 離心率： e cc ,橢圓0ae1 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載e 越小,橢圓越圓； e 越大,橢圓越扁；

3、通徑ax2y2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2.點與橢圓的位置關系 ：（ 1）點 p x 、 y 在橢圓外001 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載00a 2b222精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）點p x 、 y 在橢圓上x0y0 1；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載00a 2b 2x2y2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（3）點p x 、 y 在橢圓內(nèi)001精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載00a2b 23直線與圓錐曲線的位置關系：（1）相交：0直線與橢圓相交；（ 2）相切：0直線與橢圓相切； （3）

4、相離：0直線與橢圓相離；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22如: 直線 y kx1=0 與橢圓 xy1 恒有公共點,就m 的取值范疇為 （答： 1,5）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5m（ 5, +）；4.焦半徑 （圓錐曲線上的點p 到焦點 f 的距離） 的運算方法 ：利用圓錐曲線的其次定義,轉(zhuǎn)精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載化到相應準線的距離,即焦半徑redaex0 ,其中 d 表示 p 到與 f 所對應的準線的距離；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載如（1）已知橢圓x2y21上一點 p 到橢圓左焦點的距離為3,就點 p 到右準線的距離

5、為 （答：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載25162210/3）；（ 2） 橢圓 xy1 內(nèi)有一點p1、1 , f 為右焦點,在橢圓上有一點m ,使mp2 mf之值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載43精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載最小,就點 m 的坐標為 （答： 26 、31 ）；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5.焦點三角形 （橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形）問題：sb2tan2c | y0 | ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載當 | y0 |b 即 p 為短軸

6、端點時,sm ax 的最大值為 bc；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備精品學問點6.弦長公式 ：如直線 ykxb 與圓錐曲線相交于兩點a .b,且 x1 、 x2 分別為 a .b 的橫坐標,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就 ab 1k 2xx,如 y 、 y 分別為 a.b 的縱坐標,就ab 11yy,如弦 ab所精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2121212k精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載在直線方程設為xkyb ,就 ab 1k2y1y2 ；特殊地,焦點弦（過焦點的弦） ：焦點弦的弦精品學習資料精選學習資料 - - - 歡

7、迎下載長的運算,一般不用弦長公式運算,而為將焦點弦轉(zhuǎn)化為兩條焦半徑之和后,利用其次定義求解；7.圓錐曲線的中點弦問題：遇到中點弦問題常用“韋達定理”或“點差法”求解；在 橢圓精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2y 21 中,以p x 、 y 為中點的弦所在直線的斜率k=b 2 x0；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載0a 2b 200a 2 y精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22如（1）假如橢圓 xy1 弦被點 a（4,2）平分,那么這條弦所在的直線方程為（答：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載369x2y2精品學習資料精選學習資料 - -

8、- 歡迎下載x2 y80 ）；（2）已知直線 y=x+1 與橢圓a2b21ab0 相交于 a.b 兩點,且線段 ab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載的中點在直線 l ：x2y=0 上,就此橢圓的離心率為 （答：2222xy）；（3）試確定 m 的取值范213213精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載圍,使得橢圓1 上有不同的兩點關于直線y4 xm 對稱（答：、）；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載431313特殊提示 ：由于0 為直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件,故在求解有關弦長.對稱問題時,務必別忘了檢驗0！精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載

9、學習必備精品學問點橢圓學問點1如何確定橢圓的標準方程？任何橢圓都有一個對稱中心,兩條對稱軸；當且僅當橢圓的對稱中心在坐標原點,對稱軸為坐標軸,橢圓的方程才為標準方程形式；此時,橢圓焦點在坐標軸上；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載確定一個橢圓的標準方程需要三個條件：兩個定形條件a 、b ；一個定位條件焦點坐標,由焦點坐標的形式確精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載定標準方程的類型；2 橢圓標準方程中的三個量a、 b、 c 的幾何意義精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載橢圓

10、標準方程中,a、 b、 c 三個量的大小與坐標系無關,為由橢圓本身的外形大小所確定的；分別表示橢圓的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載長半軸長.短半軸長和半焦距長,均為正數(shù),且三個量的大小關系為：ab0 , ac0 ,且精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 2b 2c2 ；可借助右圖懂得記憶：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載明顯：a、 b、c 恰構(gòu)成一個直角三角形的三條邊,其中a 為斜邊, b.c 為兩條直精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載角邊；3如何由橢圓標準方程判定焦點位置橢圓的精品學習資料精選

11、學習資料 - - - 歡迎下載焦點總在長軸上,因此已知標準方程,判定焦點位置的方法為：看x2 ,y 2 的 分 母精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載的大小,哪個分母大,焦點就在哪個坐標軸上；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4 方程ax 2by 2c a、 b、c均不為零） 為表示橢圓的條件精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ax 2by 2x 2by 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載方程 ax2by 2c 可化為1 ,即1,所以只有a.b.c 同號,且ab 時,方精品學習資料精選學習資料 - -

12、- 歡迎下載cccc ab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載程表示橢圓；當cac 時,橢圓的焦點在x 軸上；當c bac 時,橢圓的焦點在y 軸上；b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5求橢圓標準方程的常用方法：待定系數(shù)法：由已知條件確定焦點的位置,從而確定橢圓方程的類型,設出標準方程,再由條件確定方程精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載中的參數(shù)a 、b、c 的值；其主要步驟為“先定型,再定量”；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載定義法：由已知條件判定出動點的軌跡為什么圖形,然后再依據(jù)定義確定方程；6共焦點的橢圓標準方程形式上的差異x 2y2x 2

13、y 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載共焦點, 就 c 相同；與橢圓1 ab0 共焦點的橢圓方程可設為1 mb 2 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a 2b 2此類問題常用待定系數(shù)法求解；a 2mb 2m精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載7判定曲線關于 x 軸. y 軸.原點對稱的依據(jù)： 如把曲線方程中的x 換成x ,方程不變,就曲線關于y 軸對稱；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備精品學問點 如把曲線方程中的y 換成y ,方程不變,就曲線關于x 軸對稱； 如把曲線方程中的x . y 同時換成x .y ,方程不變,就曲線關于原點對稱

14、； 8如何求解與焦點三角形pf1f2（p 為橢圓上的點）有關的運算問題？思路分析：與焦點三角形pf1f2 有關的運算問題時,常考慮到用橢圓的定義及余弦定理（或勾股精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載定理）.三角形面積公式s pf1 f21pf12pf2sinf1 pf2相結(jié)合的方法進行運算解題；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載將有關線段pf1 . pf2 . f1 f2,有關角f1 pf2 f1pf2f1 bf2 結(jié)合起來,建立pf1pf2 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載pf1pf2 之間的關系 .精品學習

15、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載9如何運算橢圓的扁圓程度與離心率的關系？長軸與短軸的長短關系打算橢圓外形的變化；離心率 ec 0 ae1 ,由于 c2a 2b 2 ,ac0 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載用 a.b 表示為 e1b 2 0ae1 ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載明顯：當近于圓；b 越小時,ae0e1越大,橢圓外形越扁；當b 越大, e0ae1越小,橢圓外形越趨精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備精品學問點橢圓題型 1:橢圓定義的運

16、用x 2y 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 1.已知f1、f2 為橢圓2591 的兩個焦點,過f1 的直線交橢圓于a. b 兩點如f2 af2b12,就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ab ；例 2.橢圓有這樣的光學性質(zhì)：從橢圓的一個焦點動身的光線,經(jīng)橢圓反射后, 反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點,今有一個水平放置的橢圓形臺球盤,點a .b 為它的焦點,長軸長為2a,焦距為2c,靜放在點a 的小球（小球的半徑不計） ,從點 a 沿直線動身,經(jīng)橢圓壁反彈后第一次回到點a 時,小球經(jīng)過的路程為例 3.假如方程x2ky22 表示焦點在x 軸的橢圓,那么實數(shù)k 的取值范疇

17、為 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2例 4.已知p 為橢圓xy1 上的一點,2m、 n分別為圓x3y21和圓x3y24上的點,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載222516就 pmpn的最小值為題型 2： 求橢圓的標準方程例 1.求滿意以下各條件的橢圓的標準方程.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 經(jīng)過兩點a3、2 .b23、1；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 經(jīng)過點 2, 3且與橢圓9x24y 236 具有共同的焦點.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 3）一個焦點與短軸兩端點的連線相互垂直,且此焦點與長軸上較近的端

18、點距離為42 4.題型 3:求橢圓的離心率（或范疇）0例1.abc 中,a30 、 ab2、s abc3 如以 a、 b 為焦點的橢圓經(jīng)過點c,就橢圓的離心率為.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 2.過橢圓的一個焦點f2 作橢圓長軸的垂線交橢圓于p,如f1 pf2 為等腰直角三角形,就橢圓的離心率為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載題型 4:橢圓的其他幾何性質(zhì)的運用（范疇.對稱性等）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 1.已知實數(shù)x、 y 滿意 xy21 、就 x2y2x 的范疇為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載242精品學習資料精選學習

19、資料 - - - 歡迎下載學習必備精品學問點x2y2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 2.已知 p 為橢圓221 上一點, abf1、 f2 為橢圓的兩個焦點,求pf1pf2的最大值與最小值精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2y2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3.已知點a、 b 為橢圓221（ m mn0、 n0 ）上兩點 、且 aobo 、就=精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例4.如上圖,把橢圓x2y 21 的長軸ab 分成8 等份,過每個分點作x 軸的垂線交橢圓的上半部分于精品學習

20、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2516p1、 p2 、 p3 、 p4 、 p5 、 p6 、 p7 七個點,f 為橢圓的一個焦點,就p1fp2fp3 fp4fp5 fp6fp7 f 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載題型 5：焦點三角形問題x2y 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 1.已知f1 、 f2 為橢圓941 的兩個焦點, p 為橢圓上的一點,已知p、 f1、 f2 為一個直角三角形的三個頂精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載點,且pf1pf2 、 求pf1 pf2的值；精品學習資料精選學習

21、資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 2.已知x2f1 、 f2 為橢圓 c:y1 的兩個焦點,在c 上滿意pf1pf2 的點的個數(shù)為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載284精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3.如x2f1 、 f2 為橢圓y21 的兩個焦點, p 為橢圓上的一點,當f1 pf2 為鈍角時,點p 橫坐標的取值范精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載94圍為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 4.已知橢圓的焦點為f1 0、1、f20、1 、且經(jīng)過點（ 1, 32） 求橢圓的方程; 設點 p 在

22、橢圓上 、且精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載pf1pf21 、求 cosf1pf 2 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載題型 6: 三角代換的應用精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2例 1.橢圓 xy1 上的點到直線l: xy90 的距離的最小值為 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2169精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載x2例 2.橢圓y21 的內(nèi)接矩形的面積的最大值為精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載169精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載題型 7：直線與橢圓的位置關系的判定2例 1.當 m 為何值時

23、,直線yxm 與橢圓 x2y1 相交？相切？相離？精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載169精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備精品學問點x 2y2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 2.如直線ykx1kr 與橢圓1 恒有公共點,求實數(shù)m 的取值范疇；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5m精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載題型 8：弦長問題4 x2y2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 3求直線y2 x4 被橢圓991 所截得的弦長 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - -

24、- 歡迎下載例 4.已知橢圓2x y21 的左右焦點分別為f1、f2,如過點 p（ 0,-2）及 f1 的直線交橢圓于a、b 兩點, 求 abf 22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載的面積；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載題型 9：中點弦問題x2例 5.求以橢圓y 1 內(nèi)的點 a （ 2,-1）為中點的弦所在的直線方程；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載285精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 6.中心在原點,一個焦點為f10、50 的橢圓截直線y3x21所得弦的中點橫坐標為2,求橢圓的方程精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品

25、學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 7.橢圓mx2ny 21,與直線xy1 相交于.兩點,為的中點如ab22,斜精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載率為22（ o為原點）,求橢圓的方程精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載題型 10：橢圓與向量.解三角形的交匯問題精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載例 6.設過點p x、 y的直線分別與x 軸的正半軸和y 軸的正半軸交于a . b 兩點,點 q 與點 p 關于 y 軸對稱,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下

26、載o 為坐標原點,如bp2pa ,且oqab1 ,求 p 點的軌跡方程 ;精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載15. 如圖,在rt abc 中, cab=90 °, ab=2 , ac=2；一曲線e 過點 c,動點 p 在曲線 e 上運動,且保2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載持|pa|+|pb|的值不變,直線l 經(jīng)過 a 與曲線 e 交于 m .n 兩點；（ 1）建立適當?shù)淖鴺讼?求曲線e 的方程；（ 2）設直線 l 的斜率為k ,如 mbn 為鈍角,求k 的取值范疇；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載學習必備精品學問點基礎鞏固訓練精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1. 如圖 、橢圓中心在原點、f 為左焦點 、直線ab1 與 bf 交于 d、 且bdb1 、就橢圓的離心率精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載為22.設 f 、 f 為橢圓 xy21 的兩焦點, p 在橢圓上, 當f pf 面積為 1 時, pfpf4121212精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載的值為x23.橢圓y1 的一條弦被a 4、2平分 、那么這條弦所在的直線方程為精品學習