matlab牛頓插值法三次樣條插值法

1、題LI： Newton插值多項(xiàng)式和三次樣條插值多項(xiàng)式。已知 fM = !_7 (-1<A-<1),對 77=5 , 10, 20 作：1 + 25 291、計(jì)算函數(shù)f(x)在點(diǎn)齊=一1 + i, (i = 0 , 1 , 2n)處的值/(x.)；n2、求插值數(shù)據(jù)點(diǎn)(X. , ) ) ( / = 0 , 1 , 2，a)的Newton插值多項(xiàng)式N”(x) 和三次樣條插值多項(xiàng)式5(a)；73、對舁=5, 20:計(jì)算瓦=_1 +厶£和相應(yīng)的函數(shù)值100只=/(兀)，NO 和 SU 伙= 1,2,99)；4、計(jì)算：E(N”)= m?x | ykNn(xk) | , E(S”)=

2、m?x | ykSn(xk) | ；解釋你所得到的結(jié)果。算法組織：本題在算法上需要解決的問題主要是：求出第二問中的/VeMoz?插值多項(xiàng)式 N3和三次樣條插值多項(xiàng)式S“。如此，則第三、四問則迎刃而解。計(jì)算兩 種插值多項(xiàng)式的算法如下：一、求 心“2/7插值多項(xiàng)式/V(x),算法組織如下：A/en/ro/7插值多項(xiàng)式的表達(dá)式如下：N”（X）=5+G （x -x°） + +5（X -XoXx 冋）（x 兀I）其中每一項(xiàng)的系數(shù)G的表達(dá)式如下:兀一人)根據(jù)q以上公式，計(jì)算的步驟如下：1、計(jì)算/(觀),/(巧),/(©)2、計(jì)算fdo，冊)，(，召)n、計(jì)(心/門,冷-i),/(“，,

3、兀一,xn)n +1、計(jì)蔚(“，“，,心J,心)二、求三次樣條插值多項(xiàng)式Sn(x) f算法組織如下：所謂三次樣條插值多項(xiàng)式5(a)是一種分段函數(shù)，它在節(jié)點(diǎn)(a = x<xt <-<xn<xn =b)分成的每個小區(qū)間mJ上是3次多項(xiàng)式，其 在此區(qū)間上的表達(dá)式如下：=也)丸+ »一學(xué) M_)¥ + 0，廠牛6%6/?.6 人xexM,xJJ = l,2,因此，只要確定了 的值，就確定了整個表達(dá)式，的計(jì)算方法如下：A 人+叱則M,滿足如下/? J個方程:+ 2Mj + 人= 昇=1,2, 一1方程中有/7權(quán)個未知量，則令和M”分別為零，則由上面的方程組可得

4、到冏(1 <i<n-)的值，可得到整個區(qū)間上的三次樣條插值多項(xiàng)式S”(x)。計(jì)算結(jié)果與結(jié)果分析本題中各問的相應(yīng)計(jì)算結(jié)果如下：1、在G取不同值時必和對應(yīng)的覘亦即下圖中的刃)的值如下：G = 5 時：X =-1.00000000000000 -0.60000000000000 -0 200000000000000 200000000000000.60000000000000L 000000000000000 =0. 038<?653846IS4 0. 100000000000000. 600000000000000. 500000000000000. 10000000000000

5、0. 03846153846154n=10:X =Colunns 1 through 6-1.00000000000000 -0. 8000OOOOO00000-0. 60DOO000000000-o. a oo ooooo oooooo-0.200000000000000Colunns 7 through 110.2 00 000 00 00000 00.4000 00000 00000yi =0. 600000000000000.800000000000001.00000000000000Colunne 1 through 60.0334615386 540. 05882352/11760

6、. 100000000000000. 200000000000000. 500000000000001,00000000000000Columns r through 110.500000000000DO0. 200000000000000. 100000000000000. D5B8235294U760. 03B46I53846154n=2O 時：X =Colunns I -through 6-I. 00000000000000 -0. 90000000000000-0.80000000000000-0. 70000000000000-0. 60000000000000-0. 5000000

7、0000000Colunris 7 through. 12-0.40000000000000 -0. 300000DOO0000D-0.20000000000000-0.1000000000 000000. lODOOOOOODOOOOColunjiS 13 through 180. 200000000000000. 300000000000000.400000000000000.500000000000000. 60000000000000o. roooooooooooooColunjis 19 through 210. 800000000000000. 9000000000000D1.00

8、000000000000yL =Col unns? 1 through 60. 039461538461540. 047058923529410058823529411760.07547169B113210.100000000000000. 137931034482Colunnx 7 through 120.200000000000000.3076923076923】0.500000000000000.80000000000000L 000000000000000.80000000000000Colunns 13 -through 130. 500000000000000. 306923076

9、92310.2Q000000000DOD0. 37931034482760.100000000000000.0754716981132Colimns 19 through 210. 058323529411T6 0.1X4533235210. 0361533461542、A/en/ro/7插值多項(xiàng)式的表達(dá)式如下：心（X）=c°+5 （x -心）+ +“（X -x（）Xx 一 冊）（x - 兀I）門=5時，其各項(xiàng)系數(shù)C（）,C,C2，C3，C4分別為C =0.038461538<?61540.15384615384615 I. 05?69230?69231 -1.92307692

10、307692 L 20192307692308 -0. 00000000000000時，其各項(xiàng)系數(shù)5，C,Cg,C（）分別為C =I.0e4002 Colunns I thcQUsh 70. 000384616382 0.00101809954?51 0.002601805475 0. 00?91855203620 0.0268處5比83710 -0.06363122171946 7"0花3303處5】6Col*unns 8 through 110. B4&Q6289592f6 T 6旳15了23989002. 2091l?4208H4B -2. 20因】M208L4Gn=2

11、0Wi,其各項(xiàng)系數(shù)a,C,m C20分別為:c =1. 0e+-005 *CoI'jiols 1 thxcoich 70.000000384015380.000000860728510000001683力04】0.0000028 如 04010. 000005335951510.000010377505690.0000200190180?Coltirflv: 0 thrcmh140. 000027967M583-0.00007393N4L-0.0001g90B0303-0. OOOWJg9*lWr3B0.02152780335531Q07267933因90160.1139374260?

12、513Colijrins 15 through 21-0. 03532x129381215-0.28307435019722086691519839775-I.59229322154892.23753822635674-2.601786309717142.601703309717M對于三次樣條插值多項(xiàng)式S(x),最重要的是求出其M矩陣的值，其中必 和必都為0?U M“則存儲在矩陣M中：n = 5時的矩陣(必必)的值為：4.12955465587045 -3.82591093117410 -3.825910931174084.12955465587044n=10時的M矩陣（必臨的值為：F =Co

13、Iuiols 1 thxoush 70.41005224868148】郭2950926222435253593鄒02 18.5?553561160970 4$冷"創(chuàng)8058洌別 L85755356116097224853253593660】Colijrixi3 8 thrcueh 9I. 48!9629B092S230.41005224869370n=20時的/W矩陣（必的值為：r =Coluravs 1 through f0.36154330?50590Q 4542268603830.?614t?349202031.208I312553?5392.217697186785604 3

14、43838創(chuàng) 8W22J*7. ?8096364656W4Colurav: 0 thrcAujh14】5 3O157?560W534.3?J8?93053?O?4-5r.0MO6O34?3W63T 3? 893053706815. 3015F756BW53?比0953&Q5S65234. 3438386J817226CoIutm 15 thxoueh192.217697186785501.268131255375390.751417349292640.454279258663830.361543307505993、不論77為多少，/（兀）是不會改變的，其值存儲在矩陣妙中；當(dāng)77取不同值

15、 的時候,Newton插值多項(xiàng)式N”（xk）和三次樣條插值多項(xiàng)式S”（瓦）的值是不同的, 為了使整個結(jié)果直觀，實(shí)驗(yàn)的最終結(jié)果還用圖形進(jìn)行的重現(xiàn)（本問中所得函數(shù)值 /（耳）、牛頓插值MQ）和三次樣條插值S”（"的結(jié)果分別存在數(shù)組變量妙、Nn 和S7?中）。當(dāng)77 = 5時整個區(qū)間中的W二區(qū)）以及/（兀）的值如圖所示："勿時,整個區(qū)間中的血（瓦）和/（耳）以及樂耳）和/（耳）的對比如下面兩圖所圖5-2 « = 20W Rr（兀）與原始值/（耳）的對比圖通過對比以上三個圖可得到如下結(jié)論:1、隨著n的增大，使用心"2/?插值多項(xiàng)式會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象(對比圖54和圖

16、5-2中的N”(耳)。2、隨著n的増大三次樣條插值多項(xiàng)式S'x)將越來越接近被插值的函數(shù)(對比圖5-1和圖5-3中的Sn(xk)o4、根據(jù)第3問中得到的數(shù)據(jù)可以很容易的得到E(M)和E(S) 它們的值如下表所示：值E(NJE(SJ50.432690.423482058.27810.00309當(dāng)n = 20時，使用 心"2/7插值多項(xiàng)式出現(xiàn)龍格現(xiàn)象其最大誤差達(dá)到58.2781,而相應(yīng)的三次樣條插值多項(xiàng)式S”W的最大誤差僅為0.00309o可見， n越大，A/emo插值越可能偏離被插值函數(shù)，而相應(yīng)的三次樣條插值則能更接近于被插值函數(shù)。x= a：(b-a)/n：b：%插值節(jié)點(diǎn)y=f(x)：plo