“時(shí)代杯”2018年江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽初賽試題(含答案)（精編版）

1、“時(shí)代杯” 2018 年江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽初賽試題（初中組）(2018 年 12 月 6 日下午 14 0015 40)密一二三題號(hào)總分1 1011 1819202122得 分 注意事項(xiàng)：1. 本試卷有 22 題共 4 頁滿分 150 分考試時(shí)間100 分鐘2. 用鋼筆或圓珠筆（藍(lán)色或黑色）直接答在試卷上3. 答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目及考號(hào)填寫清楚一、選擇題（下列各題的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是正確的每小題5 分，共 50 分）1已知 m 0，下列計(jì)算正確的是（）a m2 m3 m5b m2· m3 m6c m3÷ m2 md (m2)3 m5 2已知四個(gè)數(shù)：2， 3

2、， 4， 5，任取其中兩個(gè)數(shù)相乘，所得積的最大值是（）號(hào)a 20b 12c 10d 6考3設(shè) a 1 與 2 (a1) 的值互為相反數(shù)，則a 的值是（）3a 3b 1c 0d 1封4（ n 1）邊形的內(nèi)角和比n 邊形的內(nèi)角和大（）a 360°b 180°c 90°d 60°5. 現(xiàn)有二八年奧運(yùn)會(huì)福娃卡片5 張，卡片正面分別印著貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮名妮，每張卡片大小、質(zhì)地和背面圖案均相同若將卡片正面朝下反扣在桌面上，從中隨姓機(jī)一次抽出兩張，則抽到卡片貝貝的概率是（）cda1b12454556. there is a piece of work it

3、takes mr. a alone 20 days to finish， and mr. b 30 alone days to finish it takes them（）days to work together to finish the worka 10b 12c 15d 50校7如圖，已知o 的半徑為5，直線 l 與 o 相交，點(diǎn)o 到直線 l 的o學(xué)距離為 2，則 o 上到直線l 的距離為3 的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）la 4b 3c 2d 178已知方程x2 2x 15 0，則此方程的所有實(shí)數(shù)根的和為（）a 0b 2c 2d 8（第 7 題）9已知實(shí)數(shù)a， b 同時(shí)滿足 a2 b2 110，

4、 a2 5b5 0，則 b 的值是（）a 1b 1， 6c 1d 6 10如圖，在abc 中，d、 e 分別是 bc、ac 的中點(diǎn)c線已知 acb 90°， be 4， ad 7，則 ab 的長為（）eda 10b 53c213d 215二、填空題（每小題5 分，共 40 分）ab（第 10 題）11. 某人使用計(jì)算器計(jì)算全班50 名學(xué)生的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的平均分時(shí)，如果錯(cuò)將其中的一個(gè)成績 115 分輸入為15 分，那么由此求出的平均分比實(shí)際平均分低分12. 已知函數(shù)y1 與 y2 分別由下表給出，那么滿足y1 y2 的 x 的值是x123x123y1131y2321輸入 x13. 設(shè)

5、a > 0，5a是整數(shù)，則a 的值為14. 在圖示的運(yùn)算流程中，若輸出的數(shù)y 5， 則輸入的數(shù)x否是否偶數(shù)減 1是除以 2輸出 y15如圖，在矩形abcd中，點(diǎn)e、 f分別在 ab、cd上，d（第14 題）fcaf ec， afd 與四邊形aecf 的面積相等已知ab 6 cm， bc 3 cm，則 af 與 ce 之間的距離是cmaeb（第 15 題）16. 設(shè)直線l 1 是函數(shù) y 2x 4 的圖象，將直線l 1 繞原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°得到直線l 2，則 l2 與兩條坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是fa17. 如圖，在abc 中，已知 abc 90°， d 是

6、ac 的中點(diǎn)，過d點(diǎn) d 作 deac ，與 cb 的延長線交于點(diǎn)e，以 ba、be 為鄰邊作長方形bafe，連接 fd 若 c 60°， df 3 cm，則 bc 的長為cmebc（第 17 題）db18. 在 abc 中，已知 acb=90 o， a40o若以點(diǎn) c 為中心， 將 abc 旋轉(zhuǎn) 角到 dec的位置，使b 點(diǎn)恰好落在邊 de 上（如圖所示） 則 oe三、解答題（第19 21 題每題 14 分，第 22 題 18 分，共 60 分）ca19. 已知關(guān)于x 的方程（ a 1）x2 4x 12a 0 的一個(gè)根為x 3（ 1）求 a 的值及方程的另一個(gè)根；（ 2）如果一個(gè)三

7、角形的三條邊長都是這個(gè)方程的根，求這個(gè)三角形的周長（第 18 題）20（ 1）已知恒等式x3 x2 x 1（ x 1）（ x2 kx1），求 k 的值；x3x2x 1（ 2）若 x 是整數(shù)，求證：x2 2x 1是整數(shù)21. 甲、乙兩個(gè)水池同時(shí)放水，其水面高度（水面離池底的距離）h（米）與時(shí)間t（小時(shí)） 之間的關(guān)系如圖所示（甲、乙兩個(gè)水池底面相同）（ 1）在哪一段時(shí)間內(nèi)，乙池的放水速度快于甲池的放水速度？（ 2）求點(diǎn) p 的坐標(biāo)，由此得到什么結(jié)論？（ 3）當(dāng)一個(gè)池中的水先放完時(shí)，另一個(gè)池中水面的高度是多少米？h( 米)876p5q43甲乙21o12345t (小時(shí) )22. 某人用一張面積為s

8、的三角形紙片abc，剪出一個(gè)平行四邊形defg 記defg 的面積為 t,（ 1）如圖 1，如果 defg 的頂點(diǎn)都在 abc 的各邊上， d、g 分別是 ab、ac 的中點(diǎn) 求 t（用 s表示）；s；（ 2）如圖 2，如果 defg 的頂點(diǎn)都在 abc 的各邊上，求證：t122（ 3）對(duì)任意剪得的 defg ，t 1s 還成立嗎？請(qǐng)說明理由aadgdgbefc圖 1befc圖 22008 年“時(shí)代杯”江蘇省中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)新邀請(qǐng)賽初賽試題參考答案一、選擇題（每小題5 分，共 50 分）1 c2 b3 d4b5 c6 b7 b8 a9 a10 c 二、填空題（每小題5 分，共 40 分）11

9、212 213 1， 4， 514 10，或 1115 1.216 417 118 80( 說明 ：第 13 題答對(duì) 1 個(gè)給 1 分，對(duì) 2 個(gè)給 2 分；第 14 題答對(duì) 1 個(gè)給 2 分） 三、解答題（第19 題第 21 題每題 14 分，第 22 題 18 分. 共 60 分）19 解：（ 1）由題設(shè)，得9（a 1） 4× 3 12a 0解得 a 23 分所以原方程為x2 4x3 0它的另一個(gè)根是17 分（ 2）由題設(shè)知，三角形的三邊中至少有兩條邊相等，則有下列兩種情形：三邊相等，邊長為1，1， 1；或 3， 3， 3那么三角形的周長是3 或 9；11 分僅有兩邊相等，因?yàn)?

10、 1 2 3，所以三角形的邊長只能為3， 3， 1 那么三角形的周長是7由、知，三角形的周長可以是3，或 7，或 914 分23220. 解：（ 1）由題設(shè)知，(x1)(xkx 1)x(k1)x(k1)x1，3 分所以 x3x2x1x3(k1)x2( k1)x1 ，從而有k11,k11.解得 k07 分x3x2x1( x1)( x21)（ 2）22x1x2 x1( x1)因?yàn)?x 是整數(shù)，所以x 1 是整數(shù)x3故x2x2x2 x11 是整數(shù)14 分821. 解：（ 1）由圖知，甲池的放水速度為2 （米 /小時(shí)）4當(dāng) 0 t 3 時(shí)，乙池的放水速度為1 （米 /小時(shí)）；35當(dāng) 3 t 5 時(shí)，乙

11、池的放水速度為因?yàn)?1 2， 2 5 ，（米/小時(shí)）232所以 3 t5 時(shí)，乙池的放水速度快于甲池的放水速度4 分（2） 甲池中水面高度h（米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為h 2t 8當(dāng) 0 t 3 時(shí)，乙池中水面高度h（米）與時(shí)間t（小時(shí)）的函數(shù)關(guān)系為h1 t6 3h2t8,t由h1 t6. 解得3h6,5所以28 .5628p(,) ，即55p (1.2,5.6) 由此說明，當(dāng)t 1.2 小時(shí)時(shí)，兩池中水面的高度相等10 分（3） 由圖知，甲池中的水4 小時(shí)放完當(dāng) 3 t 5 時(shí)，乙池中水面高度h（米） 與時(shí)間 t（小時(shí)） 的函數(shù)關(guān)系為h 55 t25 22當(dāng) t 4 時(shí)，h，即 h 2

12、.52所以當(dāng)甲池中的水先放完時(shí)，乙池中水面的高度是2.5 米14 分注：（ 1）中，答3 t 4，不扣分22. 解：（ 1）因?yàn)?d 、g 分別是 ab、ac 的中點(diǎn)，bc所以 dg bc，且 dg 12分別過點(diǎn) a、d 作 am bc， dn bc 則 dnb ambab，所以 dn 因?yàn)?b b，所以 dnb amb 又因?yàn)?db 1212am故 t12s6 分（ 2）過點(diǎn) g 作 ghab ，交 bc 于點(diǎn) h則 b ghf 因?yàn)?de gf， de gf ，所以 deb gfh 從而有 dbe ghf 因?yàn)?dg bc，所以 adg b，從而有 adg abc同理， ghc abc設(shè)

13、ad kab（ 0 k 1），則 s adg k 2s 同理， s ghc （ 1 k） 2st s sadg sghc 1 k 2（ 1 k） 2 s（ 2 k 2 2 k） s 2 （ k1124） s 2） 2（ k121s s1as12 分222（ 3）分以下四種情形討論：第一種情形 ：如果剪得的平行四邊形有三個(gè)頂點(diǎn)在三角形的邊上，第四個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上 當(dāng)其中有兩個(gè)頂點(diǎn)在同一邊時(shí)，如圖3-1 所示，b延長 dg 交 ac 于點(diǎn) g，過點(diǎn) g作 gf gf ，交 bc 于點(diǎn) f，易知四邊形def g是平行四邊形，則ts def g dggeffc圖 3-1a由（ 2）知， sdef

14、 g1s所以 t 1 2s2ggd 當(dāng)三點(diǎn)分別在三角形的三邊時(shí)，如圖3-2，過 a 點(diǎn)作ah de 交 ef、dg 于 f 、 g,問題轉(zhuǎn)化為（2）和圖 3-1 兩種情形，則ffbehc圖 3-21t= sdef g +sfggf 2 s abh+12 s ahc=sa第二種情形 ：如果剪得的平行四邊形有兩個(gè)頂點(diǎn)在三角形的邊上，另兩個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上當(dāng)這兩個(gè)頂點(diǎn)在同一邊上時(shí)，如圖3-3，延長 dg 與三角形的兩邊 ab、ac 分別交于點(diǎn)l、k，作平行四邊形mnkl 問題轉(zhuǎn)化為（2）則1ldgkbm ef nc圖 3-3t=s defg s mnkl 2s當(dāng)這兩個(gè)頂點(diǎn)分別在三角形的兩邊上時(shí)，如圖3- 4延長 de 、gf 交 bc 于點(diǎn) k 、m，過點(diǎn) k 作 kn dg ，交 g m 于點(diǎn) n易得四邊形 dkng 是平行四邊形，從而問題轉(zhuǎn)化為圖3-2 的情形， 則1t=s defg s dkn g 2sb第三種情形 ：如果剪得的平行四邊形只有一個(gè)頂點(diǎn)在三角形的的邊上，另三個(gè)頂點(diǎn)不在三角形的邊上如圖3-5，延長 ed 、fg 分別交 ab、ac 于點(diǎn) k、m，過點(diǎn) k 作 kn dg ，交 fm 于點(diǎn) n易得四邊形efnk 是平行四邊形，從而問題轉(zhuǎn)化為圖3-4的情形，則1