高考數(shù)學(xué)二輪專題檢測(cè)【23】平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型(含答案)

1、23關(guān)于平面向量數(shù)量積運(yùn)算的三類經(jīng)典題型1(2014·課標(biāo)全國(guó)改編)設(shè)向量 a，b 滿足|ab| 10 ，|ab| 6， 則 a·b_.答案 1解析 |ab|2(ab)2a22a·bb210，|ab|2(ab)2a22a·bb26，將上面兩式左右兩邊分別相減，得 4a·b4，a·b1.2(2014·四川改編)平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且c與 a的夾角等于 c與 b 的夾角，則 m_.答案 2解析 因?yàn)?a(1,2)，b(4,2)，所以 cmab(m,2m)(4,2)(m4,2m2)c·

2、a c·b根據(jù)題意可得 ， |c|a| |c|b|5m8 8m20所以 ，5 20解得 m2.3(2013·江西)設(shè) e ，e1 2為單位向量，且 e ，e1 2的夾角為 ，若 ae 3 13e ，b2e ，則向量 a 2 15答案2在 b 方向上的投影為_(kāi)解析 aa·b在 b 方向上的投影為|a|cosa，b .|b|a·b(e 3e )·2e 2e26e ·e 5. 1 2 1 1 1 2|b|2e |2.1a·b 5 .|b| 2 15在平面上，AB AB ，|OB |OB |1，APAB AB .若|OP|<

3、，4.如圖，在等腰直角ABO 中，OAOB1，C 為 AB 上靠近點(diǎn) A 的 四等分點(diǎn)，過(guò) C 作 AB 的垂線 l，P 為垂線上任一點(diǎn)，設(shè)OAa，OB b，OPp，則 p·(ba)_.1答案 2解析 以 OA，OB 所在直線分別作為 x O 為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，3 1則 A(1,0)，B(0,1)，C( ， )，4 41 3直線 l 的方程為 y x ，4 41即 xy 0.21 1設(shè) P(x，x )，則 p(x，x )， 2 2而 ba(1,1)，1 1所以 p·(ba)x(x ) .2 2軸，y軸， 1 2 1 2 1 2 2則|OA|的取值范圍是_答案 (

4、72， 2 1 1 1解析 由CP3 解析 由題意，知 B ，B 在以 O 為圓心的單位圓上，點(diǎn) P 在以 O 為圓1 21心， 為半徑的圓的內(nèi)部2又AB AB ，APAB AB ，1 2 1 2所以點(diǎn) A 在以 B B 為直徑的圓上，1 2當(dāng) P 與 O 點(diǎn)重合時(shí)，|OA|取得最大值 2 ，1當(dāng) P 在半徑為 的圓周上時(shí)，2|OA|取得最小值72.6(2014·江蘇)如圖，在平行四邊形 ABCD 中，已知 AB8，AD5， CP3PD，AP·BP2，則AB·AD的值是_答案 22PD，得DP DC AB，APADDPAD AB，BP4 4 41 3 1APABA

5、D ABABAD AB.因?yàn)锳P·BP2，所以(AD4 4 43 1 3AB)·(AD AB)2，即AD2 AD·AB AB22.又因?yàn)锳D225，4 2 16AB264，所以AB·AD22.7(2014·湖北)設(shè)向量 a(3,3)，b(1，1)若(ab)(ab)，則 實(shí)數(shù)_.答案 ±3解析 由題意得，(ab)·(ab)0，即 a22b218220，解得 ±3.8設(shè)非零向量 a，b 的夾角為，記 f(a，b)acosbsin.若 e ，e 1 21 2 均為單位向量，且 e ·e 1 2_答案232，則向

6、量 f(e ，e )與 f(e ，e )的夾角為1 2 2 13 e ·e 3解析 由 e ·e ，可得 cose ，e ， 1 2 2 1 2 |e |e | 21 2 5故e ，e ，e ，e e ，e . 1 2 6 2 1 2 1 6 3 1f(e ，e )e cos e sin e e ，1 2 1 6 2 6 2 1 2 2f(e ，e )e cos2 1 25 5 1 3 (e )sin e e . 6 1 6 2 1 2 2f(e ，e )·f(e ，e )( 1 2 2 13 1 1 3 3e e )·( e e ) e ·e

7、 0， 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2所以 f(e ，e )f(e ，e )1 2 2 1故向量 f(e ，e )與 f(e ，e )的夾角為 .1 2 2 1 29在平面直角坐標(biāo)系中，O 是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn) A，B 滿足|OA|OB | OA· OB 2 ，則點(diǎn)集 P| OP OA OB， | | | | 1 ， ， R所表示的區(qū)域的面積是_答案 4 3解析 方法一 (坐標(biāo)法)由|OA|OB|OA·OB2，可得AOB .3又 A，B 是定點(diǎn)，可設(shè) A( 3，1)，B(0,2)，P(x，y)由OPOAOB，ïî3ïîOA|

8、OB|OA·OB2，方法二 (向量法)由| ìx 3， 可得íïy2ì 3 ï x， íy 3 x.2 6因?yàn)閨所以|1，3 y 3x| x|1. 3 2 6整理，得 2|x| 3yx|2 3.當(dāng) x0，且 3yx0 時(shí)，不等式為 x 3y2 3 ；當(dāng) x0，且 3 yx<0 時(shí)，不等式為 3 xy2；當(dāng) x<0，且 3yx0 時(shí)，不等式為 3xy2；當(dāng) x<0，且 3yx<0 時(shí)，不等式為 x 3y2 3.畫(huà)出不等式所表示的可行域，如圖中的陰影部分所示 求得 E(0,2)，F(xiàn)( 3 ，1)，C(0，

9、2)，D( 3 ，1) 顯然該平面區(qū)域是一個(gè)矩形，邊長(zhǎng) EF2 3，ED2， 故該平面區(qū)域的面積 SEF×ED4 3. 知OA，OB .3當(dāng)0，0，1 時(shí)，在OAB 中， 取OCOA，過(guò)點(diǎn) C 作 CDOB 交 AB 于點(diǎn) D， 作 OEAB 交 OB 于點(diǎn) E，顯然ODOACD.|CD| |AC|由于 1，|OB| |AO| 于是ODOA(1OBOAOBOP.)所以CD(1)OB. 故當(dāng)1 時(shí)，點(diǎn) P 在線段 AB 上所以0，0，1 時(shí)，點(diǎn) P 必在OAB 內(nèi)(包括邊界)考慮|1，R 的其他情形，點(diǎn) P 構(gòu)成的集合恰好是以 AB 為一邊， 以 OA，OB 為對(duì)角線一半的矩形，其面積

10、 S41 4× ×2×2sin 4 3. OAB 2 310(2014·安徽)已知兩個(gè)不相等的非零向量 a，b，兩組向量 x ，x ，1 2x ，x ，x 3 4 5和 y ，y ，y ，y ，y 1 2 3 4 5均由 2 個(gè) a和 3 個(gè) b 排列而成，記 Sx ·y1 1x ·y x ·y x ·y x ·y ，S 2 2 3 3 4 4 5 5 min表示 S 所有可能取值中的最小值，則下列命題正確的是_(寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào))S有 5 個(gè)不同的值；若 ab，則 Smin若 ab，則 Smin與

11、|a|無(wú)關(guān)； 與|b|無(wú)關(guān)；若|b|>4|a|，則 S >0；min若|b|2|a|，S 8|a|2，則 amin答案 與 b 的夾角為 .4解析 x ，y (i1,2,3,4,5)均由 2 個(gè) a i i和 3 個(gè) b 排列而成，S5i1x y ，可能情況有以下三種： i i(1) S2a23b2；(2) Sa22a·b2b2；(3) S4a·bb2.2a23b2(a22a·b2b2)a2b22a·ba2b22|a|b|cos a22a·b2b24a·bb2a2b22a·b0，0，S的最小值為 S b24a&#

12、183;b.min因此 S最多有 3 個(gè)不同的值，故不正確當(dāng) ab 時(shí)，S 的最小值為 S b2 與|a|無(wú)關(guān)，故正確min當(dāng) ab 時(shí)，S的最小值為 S b24|a|b|或 S b24|a|b|與|b|min min有關(guān)，故不正確當(dāng) |b|>4|a| 時(shí) ， Smin b2 4|a|b|cos b2 4|a|b| |b|(|b| 4|a|)>0，故正確當(dāng)|b|2|a|時(shí)，由 S b24a·b8|a|2 知，4a·b4a2，即 a·bmin1a2，|a|b|cos a2，cos ，2 ，故不正確3因此正確命題的編號(hào)為.311已知向量 a(sin x，

13、)，b(cos x，1)4(1)當(dāng) ab 時(shí)，求 cos2xsin 2x的值；(2)設(shè)函數(shù) f(x)2(ab)·b，已知在ABC 中，內(nèi)角 A，B，C 的對(duì)邊分別為 a，b，c，若 a 3 ，b2，sin 0， )的取值范圍3解 (1)因?yàn)?ab，6 B ，求 f(x)4cos(2A )(x3 63所以 cos4xsinx0.所以 tan3x .4cos2x2sin xcos故 cos 2xsin 2xsin2xcos2xx12tan x 8 .1tan2x 5(2)f(x)2(ab)·b12(sin xcos x， )·(cos x，1)45 (2)存在實(shí)數(shù) t

14、1，使得向量 xABtAC，ytABAC，令 kx·y，5 5AD| |DB|.可知|3 3sin 2xcos 2x 2sin(2x ) .2 4 2a b由正弦定理，得 ，sin A sin Basin 所以 sin AbB3×26322. 3所以 A 或 A .4 4因?yàn)?b>a，所以 A .4 1所以 f(x)4cos(2A ) 2sin(2x ) .6 4 2因?yàn)?x0， ，3所以 2 11x ， 4 4 123 1所以 1f(x)4cos(2A ) 2 .2 6 2 3 1所以 f(x)4cos(2A )的取值范圍為 1， 2 6 2 212在ABC 中，AC10，過(guò)頂點(diǎn) C 作 AB 的垂線，垂足為 D，AD 5，且滿足AD DB.11(1)求|ABAC|； 求 k的最小值解 (1)由AD DB，且 A，B，D 三點(diǎn)共線，11 11又 AD5，所以 DB11.ABAC|CB|14.所以|AB|16，|AC|10，|BC|14.(2)由(1)，知| ABtAC)·(tABAC)(tAB|2(tAC·A