正定矩陣的判定、性質(zhì)及其應(yīng)用

1、學(xué)校代碼： 10722 學(xué)號： 1006024112 分類號： O151.21 密級： 公開 題 目： 正定矩陣的判定、性質(zhì)及其應(yīng)用 Discussion on Determinant,Positive and Application of Positive Definite Matrix作 者 姓 名： 專 業(yè) 名 稱： 學(xué) 科 門 類： 指 導(dǎo) 老 師： 提交論文日期： 2014年5月 成 績 評 定: I咸陽師范學(xué)院2014屆本科畢業(yè)畢業(yè)論文（設(shè)計）摘 要 在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們詳細學(xué)習(xí)了二次型的相關(guān)知識，并且從中引出了正定矩陣的概念。事實上，正定矩陣是代數(shù)中一類非常重要的矩陣，它在不

2、等式證明、極值求解、特征值求解、系統(tǒng)穩(wěn)定性判定中都有著非常重要的應(yīng)用。本文首先介紹了實對稱矩陣的定義，然后給出了判定正定矩陣的7條定理，接著總結(jié)歸納了正定矩陣的相關(guān)性質(zhì)，最后通過舉例說明了正定矩陣在證明不等式、判斷函數(shù)極值等方面的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：實對稱；正定矩陣；判定；性質(zhì)I1正定矩陣的判定、性質(zhì)及其應(yīng)用Abstract We have studied the concept of quadratic form and the definition of positive-definite matrix is introduced.In fact,positive definite matrix

3、 is a kind of very important matrix in algebra, it can be applied to the value of extreme and eigenvalue,the prove of inequality and stability analysis of system.This paper firstly introduced the definition of real symmetric matrices,and 7 theorems are given to determine positive definite matrix,the

4、n the related properties of positive definite matrix were summarized, the positive definite matrix in the application of proving inequality,function extreme and so on were illustrated finally.Keywords:properties,determinant,real symmetric, positive-definite matrix.I2咸陽師范學(xué)院2014屆本科畢業(yè)畢業(yè)論文（設(shè)計）目 錄摘 要IAbs

5、tractII目錄III引言11 正定矩陣的定義11.1 正定二次型的定義11.2 正定矩陣的定義12 正定矩陣的判定23 正定矩陣的性質(zhì)64 正定矩陣的應(yīng)用64.1 正定矩陣在證明不等式中的應(yīng)用64.2 正定矩陣在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用74.3正定矩陣的其他應(yīng)用8小結(jié)9參考文獻10謝 辭11III正定矩陣的判定、性質(zhì)及其應(yīng)用引言在數(shù)學(xué)學(xué)科的研究中具有極其重要的地位的是矩陣，它不僅僅是數(shù)學(xué)研究的一個分支和高等代數(shù)的主要研究對象，而且還是理科研究中不可缺少的具有最實用價值的工具，如系數(shù)矩陣和增廣矩陣的很多性質(zhì)都是由線性方程組的部分性質(zhì)所反映的。 在古代，西爾維斯特為了將數(shù)字矩形陣列和行列式區(qū)別開來，他

6、便創(chuàng)立了“矩陣”，而后由凱萊第一個明確了“矩陣”這個術(shù)語的確切意思。事實上，早在我國古代就已經(jīng)對矩陣有所研究了。1在公元前1世紀(jì)，在九章算術(shù)中矩陣形式解方程組已經(jīng)非常成熟了，但是在那個時代矩陣只是被人們看做是一種解題的方法，而“矩陣”這一概念并沒有被獨立起來，形成一個統(tǒng)一完整的體系。矩陣在求解線性方程組和行列式計算等問題中得以廣泛應(yīng)用是在18世紀(jì)末的時候，并且從那時起矩陣思想才得到進一步的發(fā)展。2 矩陣論中正定矩陣有著十分重要的地位。3歷史上，在對于二次型和Hermite型的探究中最早出現(xiàn)了對正定矩陣的詳細探究。二次齊次多項式是代數(shù)研究中另外一種非常重要的多項式，二次齊次多項式在數(shù)學(xué)的大多數(shù)分

7、支中都有重要的應(yīng)用，而且在解答與物理問題相關(guān)的內(nèi)容中大家也會經(jīng)常碰到需要運用正定二次型作解。正定二次型在二次型中占有及其特殊的地位，并且由正定二次型的系數(shù)可以直接寫出正定矩陣。因此，無論是在研究中還是實際的應(yīng)用中正定二次型和正定矩陣都有重要的意義。4如今，矩陣已經(jīng)成為了處理有限空間和數(shù)量關(guān)系的重要的工具。正定矩陣在矩陣的研究中占有十分重要的地位，對于正定矩陣的研究有利于我們?nèi)蘸蟾釉敱M的研究二次型、線性空間和線性變換。 下面我首先介紹正定矩陣的定義。1 正定矩陣的定義1.1 正定二次型的定義定義15：在實二次型中若對于任意一組不全為零的實數(shù)都有，則稱該二次型為正定的;若，則稱為半正定二次型；若

8、，則稱為負定二次型；若，則稱為半負定二次型；若實二次型既不是半正定又不是半負定的則稱為不定二次型。1.2 正定矩陣的定義定義2：若實二次型正定，則稱實對稱陣正定;若實二次型半正定，則稱實對稱陣半正定；若實二次型負定，則稱實對稱陣負定；若實二次型半負定，則稱實對稱陣半負定；若實二次型不定，則稱實對稱陣不定。 事實上，正定二次型與元數(shù)有關(guān)系，例如 當(dāng)作為二元實二次型時正定（取任何不為零的數(shù)即可）；但當(dāng)作為三元實二次型時不正定（取，則結(jié)果不滿足6 ）。2 正定矩陣的判定定理17： 元實二次型是正定的充要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)全為正。證: 因為 = 對作合同變換，即取作非線性退化，則實二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為

9、 又因為為正定矩陣且正定矩陣作非退化線性替換其正定型不變，即也是正定矩陣。則，即， ， ，所以實二次型的標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)全為正。定理28：元實二次型是正定的充要條件是它的正慣性指數(shù)為。證：因為是正定的，所以矩陣是正定矩陣，則 那么可化為，且由此可得，正慣性指數(shù)為。反之，若該元實二次型的正慣性指數(shù)為，且為對稱矩陣，根據(jù)定理1可得矩陣為正定矩陣。推論：實對稱矩陣正定的充要條件是的正慣性指數(shù)等于的級數(shù)。定理3：階實對稱矩陣是正定的充要條件是二次型的秩與符號差均為。證：必要性 因為是實對稱正定矩陣，所以實對稱矩陣所對應(yīng)的實二次型的正慣性指數(shù)為、負慣性指數(shù)0，從而可得實二次型符號差為。因為矩陣的主對角線上的

10、元素對應(yīng)元實二次型的系數(shù)，又矩陣為正定矩陣，所以正定矩陣的主對角線上的所有數(shù)全部大于零，進而可推出正定矩陣的秩為。充分性 因為二次型的秩與符號差均為，所以正慣性指數(shù)為，從而由定理2可得矩陣為正定矩陣。定理49：階實對稱矩陣是正定的充要條件是與單位矩陣合同，即存在實可逆矩陣，使的。證：階實對稱矩陣正定的充要條件是元實二次型正定，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)恼龖T性指數(shù)為，當(dāng)且僅當(dāng)與單位矩陣合同。定理5：階實對稱矩陣是正定的充要條件是的順序主子式證：必要性 設(shè)實二次型是正定的。將任意一組不全為零的實數(shù)代入實二次型,有。因此，是正定二次型的。由此，的矩陣的行列式,。這就證明了矩陣的順序主子式全大于0。充分性 對作第二數(shù)

11、學(xué)歸納法（1）設(shè)當(dāng)時，=，由題可得 ,則易得是正定的。（2）假設(shè)當(dāng)時，命題成立。（3）下面證明元時的情形： 令， 于是矩陣可以寫成因為的順序主子式全大于零，從而的順序主子式也全大于零。由假設(shè)是正定矩陣，則存在一個可逆的階矩陣，使得 令，于是再令 ，有=令 ， 就有 ，進而有由條件，因此。顯然： =即矩陣合同于單位矩陣，從而得出是正定矩陣，進一步可得實二次型是正定的。定理610： 階實對稱矩陣是正定的充要條件是的特征值都大于零。證：因為矩陣為正定矩陣，所以存在一個正交矩陣，使得 ，進而有 其中 均為矩陣的特征值。那么所對應(yīng)的二次型為，其中令。則有又因為 即其為正定二次型。所以 均大于零，即的特征

12、值均大于零。定理7：階實對稱矩陣是正定的充要條件是該矩陣對角線上各個元素均大于零。 注：（1）正定矩陣必須為對稱矩陣。所以在判定一個矩陣是否為正定矩陣的時候必須先判定該矩陣是否為對稱陣，若不是則一定不是正定矩陣，若是則可繼續(xù)對其進行判定。（2）在題目若給出的是一個含有具體數(shù)字的實對稱矩陣，那么要判斷矩陣是否為正定矩陣，則要驗證的各階順序主子式是否都大于零。若均大于零，則為正定矩陣，否則不是正定矩陣。（3）在題目中若給出的是一個不含具體數(shù)值的抽象矩陣，則證明矩陣是否正定通常使用以下兩種方法：方法1 利用定義：即對任意列向量，恒有二次型,則矩陣為正定矩陣。方法2 利用特征值：如果矩陣的特征值全部大

13、于零則可得出矩陣為正定矩陣11。例1：當(dāng)取何值時，為正定二次型？解：設(shè)二次型的矩陣，則 ，由二次型正定的充要條件可知當(dāng)，時正定。由得；由得。于是，當(dāng)且僅當(dāng)為正定二次型。例2：設(shè)階實對稱矩陣為，且滿足，證明矩陣是正定矩陣。證:設(shè),即是的特征值，是的特征向量，由題可以得出： 由得顯見，原式的特征值為，又因為實對稱矩陣的特征值為實數(shù)，所以根據(jù)上式可得的特征值為1和3，又1和3均為大于零的數(shù)，從而矩陣是正定矩陣。3 正定矩陣的性質(zhì)性質(zhì)112：正定矩陣主對角線上的元素全大于零。證：設(shè)正定矩陣為，得對任一非零向量，都有。取，則有，所以正定矩陣的主對角線上元素全大于零。性質(zhì)2：正定矩陣的行列式必大于零且正定

14、矩陣一定可逆。性質(zhì)3：若是正定矩陣，則(其中是主對角線上元素全大于零的上三角形矩陣)。證：因為正定矩陣可以寫為，其中為可逆矩陣。再設(shè)其中為正交矩陣為主對角線上元素全大于零的矩陣，所以。 性質(zhì)4：若是正定矩陣，則的逆矩陣、伴隨矩陣及、各階主子矩陣均為正定矩陣。證：因為正定，則。又為存在的一個可逆實矩陣，使得，則 即。所以是正定矩陣注：類似可證得正定矩陣的伴隨矩陣*也為正定矩陣。性質(zhì)5：若是可逆矩陣，則對任意階可逆矩陣，是正定矩陣。性質(zhì)6：若正定矩陣為階正定矩陣，則也為正定矩陣。證：由正定，故,所以是對稱矩陣。對于任意非零列向量,有，,從而,故正定,所以為正定矩陣。4 正定矩陣的應(yīng)用4.1 正定矩

15、陣在證明不等式中的應(yīng)用例1 證明：(均不等于零)證：由原題可設(shè) = =易得：的各級順序主子式均大于零，即為正定矩陣，進而 。又因為均不等于零，所以，則命題得證。例2 設(shè)是階正定矩陣，證明證：設(shè)矩陣的特征值為，由正定可知。又由可知其特征值為，所以。4.2 正定矩陣在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用定理13：元實函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零的點為,且在點處具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則黑塞矩陣=為正定矩陣時，為的極小值；當(dāng)為負定矩陣時，為的極大值；當(dāng)為不定矩陣時，不是的極值。例3 求函數(shù)=的極解：，令=0，則=，=，即駐點。又由，知有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，所以=且易得的各階順序主子式全大于零，即為正定矩陣，故而在處有極小值且。4.3

16、正定矩陣的其他應(yīng)用例4 證明：是正定矩陣的充要條件是存在階正定矩陣使得。證：充分性 因為矩陣是正定矩陣，所以存在正交矩陣，使得 ,其中 則：,其中其中，易得為正定矩陣。必要性 已知，其中是正定矩陣。由于,所以矩陣是實對稱矩陣。設(shè)的特征值為,，由上矩陣為正定矩陣知 而的特征值為，故矩陣是正定矩陣。例5 設(shè)為實系數(shù)對稱矩陣，證明：的充要條件是存在一實系數(shù)矩陣，使得正定。證：必要性 因為，所以為對稱矩陣。若，則存在，令，則： ，由此可知正定。充分性 已知正定，則對且有，由上式可知，從而僅有零解，故。例6 設(shè)都是階正定矩陣且，證明：是正定矩陣。證：因為，所以為對稱矩陣。又因為是正定矩陣，由例4知存在正

17、定矩陣使得，。于是， 得：與相似。由于,所以是實對稱矩陣。又對任意實維列向量，由可逆知，從而 即：矩陣為正定矩陣，由此可得矩陣的全部特征值都大于零，進而的特征值大于零，所以為正定矩陣。例7 設(shè)階實對稱矩陣滿足，且,又的正慣性指數(shù)為，其中，求的值。解：設(shè)=，即的特征值是，的特征向量是由 ， 得。又由于，則 得,。因為是實對稱矩陣，所以矩陣與對角矩陣相似。又因為和正慣性指數(shù)為，知3是的重特征值，-1是的重特征值，0是的重特征值。于是存在階正交矩陣，使得 則。小結(jié) 本文主要介紹了正定矩陣的定義、判定、性質(zhì)及其應(yīng)用，并且對部分判定和性質(zhì)進行了證明，對我們能更深入的了解正定矩陣奠定了一些基礎(chǔ)。在高等代數(shù)

18、的研究中還有對正定矩陣更深入的研究和發(fā)現(xiàn)，比如廣義正定矩陣，但由于我目前還沒有接觸到，所以有待我做進一步的學(xué)習(xí)和歸納總結(jié)。參考文獻1王萼芳，石生明.高等代數(shù)M.高等教育出版社，2003年2徐帥，陸全，張凱院，呂全義，安曉虹.高等代數(shù)考研教案M.西北工業(yè)大學(xué)出版社，2012年3張禾瑞，郝炳鑫.高等代數(shù)M.高等教育出版社，1998年4楊子胥.高等代數(shù)習(xí)題集M.山東科技出版社，2003年5華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析M.高等教育出版社，2010年6陳文燈，黃先開.考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南M.北京理工大學(xué)出版社，2012年7錢吉林.高等代數(shù)題解精粹M.中央民族大學(xué)出版社，2002年8馮紅.線性代數(shù)大講堂M.大連理工大學(xué)出版社，2