2016高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)14.4不等式選講教師用書理蘇教版

1、§14.4不等式選講1兩個實數(shù)大小關(guān)系的基本事實a>bab>0；abab0；a<bab<0.2不等式的基本性質(zhì)(1)對稱性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>bb<a.(2)傳遞性：如果a>b，b>c，那么a>c.(3)可加性：如果a>b，那么ac>bc.(4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc.(5)乘方：如果a>b>0，那么an>bn(nN，n>1)(6)開方：如果a&

2、gt;b>0，那么>(nN，n>1)3絕對值三角不等式(1)性質(zhì)1：|ab|a|b|.(2)性質(zhì)2：|a|b|ab|.性質(zhì)3：|a|b|ab|a|b|.4絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a0a<0|x|<ax|a<x<a|x|>ax|x>a或x<ax|xR且x0R(2)|axb|c (c>0)和|axb|c (c>0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用絕對值不等式的

3、幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想5基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立(2)定理(基本不等式)：如果a，b>0，那么，當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立也可以表述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均不小于(即大于或等于)它們的幾何平均(3)利用基本不等式求最值對兩個正實數(shù)x，y，如果它們的和S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時，它們的積P取得最大值；如果它們的積P是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)xy時，它們的和S取得最小值6三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式(1)定理如果a，b，c均為正數(shù)，那

4、么，當(dāng)且僅當(dāng)abc時，等號成立即三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均(2)基本不等式的推廣對于n個正數(shù)a1，a2，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)a1a2an時，等號成立7柯西不等式(1)設(shè)a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當(dāng)且僅當(dāng)adbc時等號成立(2)設(shè)a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是實數(shù)，則(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)bi0(i1,2，n)或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時，等號成立(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)，是兩個向量，則|·|，當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實

5、數(shù)k，使k時，等號成立8證明不等式的方法(1)比較法求差比較法知道a>bab>0，a<bab<0，因此要證明a>b，只要證明ab>0即可，這種方法稱為求差比較法求商比較法由a>b>0>1且a>0，b>0，因此當(dāng)a>0，b>0時要證明a>b，只要證明>1即可，這種方法稱為求商比較法(2)分析法從待證不等式出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直到將待證不等式歸結(jié)為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)這種證法稱為分析法，即“執(zhí)果索因”的證明方法(3)綜合法從已知條件出發(fā)，利用不等式的有關(guān)性質(zhì)或定理，經(jīng)過推理論證

6、，推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，即“由因?qū)す钡姆椒?，這種證明不等式的方法稱為綜合法(4)反證法的證明步驟第一步：作出與所證不等式相反的假設(shè)；第二步：從條件和假設(shè)出發(fā)，應(yīng)用正確的推理方法，推出矛盾的結(jié)論，否定假設(shè)，從而證明原不等式成立(5)放縮法所謂放縮法，即要把所證不等式的一邊適當(dāng)?shù)胤糯蠡蚩s小，以利于化簡，并使它與不等式的另一邊的不等關(guān)系更為明顯，從而得到欲證不等式成立(6)數(shù)學(xué)歸納法設(shè)Pn是一個與自然數(shù)相關(guān)的命題集合，如果：(1)證明起始命題P1(或P0)成立；(2)在假設(shè)Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以斷定Pn對一切自然數(shù)成立1不等式|2x1|x2|<0的解集為_答案x|

7、1<x<1解析方法一原不等式即為|2x1|<|x2|，4x24x1<x24x4，3x2<3，1<x<1.方法二原不等式等價于不等式組或或不等式組無解，由得<x<1，由得1<x.綜上得1<x<1，所以原不等式的解集為x|1<x<12不等式1<|x1|<3的解集為_答案(4，2)(0,2)3(2013·福建改編)設(shè)不等式|x2|<a(aN*)的解集為A，且A，A.則a的值為_答案1解析因為A，且A，所以|2|<a，且|2|a，解得<a.又因為aN*，所以a1.4(2014&#

8、183;重慶)若不等式|2x1|x2|a2a2對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_答案1，解析設(shè)y|2x1|x2|當(dāng)x<2時，y3x1>5；當(dāng)2x<時，yx3>；當(dāng)x時，y3x1，故函數(shù)y|2x1|x2|的最小值為.因為不等式|2x1|x2|a2a2對任意實數(shù)x恒成立，所以a2a2.解不等式a2a2，得1a，故a的取值范圍為1，.題型一含絕對值的不等式的解法例1已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng)a3時，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a3時，f(x)當(dāng)x2時，由f(x)3得2x53，解得x1；當(dāng)2&

9、lt;x<3時，f(x)3無解；當(dāng)x3時，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集為x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.當(dāng)x1,2時，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍為3,0思維升華解絕對值不等式的基本方法：(1)利用絕對值的定義，通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式；(2)當(dāng)不等式兩端均為正號時，可通過兩邊平方的方法，轉(zhuǎn)化為解不含絕對值符號的普通不等式；(3)利用絕對值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解(1)(2014·廣東)不等式|x1|x2|5的解集為_(2)(

10、2014·湖南)若關(guān)于x的不等式|ax2|<3的解集為x|<x<，則a_.答案(1)x|x3或x2(2)3解析(1)方法一要去掉絕對值符號，需要對x與2和1進(jìn)行大小比較，2和1可以把數(shù)軸分成三部分當(dāng)x<2時，不等式等價于(x1)(x2)5，解得x3；當(dāng)2x<1時，不等式等價于(x1)(x2)5，即35，無解；當(dāng)x1時，不等式等價于x1x25，解得x2.綜上，不等式的解集為x|x3或x2方法二|x1|x2|表示數(shù)軸上的點x到點1和點2的距離的和，如圖所示，數(shù)軸上到點1和點2的距離的和為5的點有3和2，故滿足不等式|x1|x2|5的x的取值為x3或x2，所以

11、不等式的解集為x|x3或x2(2)|ax2|<3，1<ax<5.當(dāng)a>0時，<x<，與已知條件不符；當(dāng)a0時，xR，與已知條件不符；當(dāng)a<0時，<x<，又不等式的解集為x|<x<，故a3.題型二柯西不等式的應(yīng)用例2已知x，y，z均為實數(shù)(1)若xyz1，求證：3；(2)若x2y3z6，求x2y2z2的最小值(1)證明因為()2(121212)(3x13y23z3)27.所以3.當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z0時取等號(2)6x2y3z·，x2y2z2，當(dāng)且僅當(dāng)x即x，y，z時，x2y2z2有最小值.思維升華(1)使用柯西不等式證明

12、的關(guān)鍵是恰當(dāng)變形，化為符合它的結(jié)構(gòu)形式，當(dāng)一個式子與柯西不等式的左邊或右邊具有一致形式時，就可使用柯西不等式進(jìn)行證明(2)利用柯西不等式求最值的一般結(jié)構(gòu)為：(aaa)()(111)2n2.在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)且應(yīng)注意等號成立的條件已知實數(shù)a，b，c，d滿足abcd3，a22b23c26d25，求證：1a2.證明由柯西不等式得(2b23c26d2)·()(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2，由已知可得2b23c26d25a2，bcd3a，5a2(3a)2，即1a2.當(dāng)且僅當(dāng)，即2b3c6d時等號成立題型三不等式的證明方法例3已知a，b，c(0，)，且abc1，

13、求證：(1)(1)·(1)·(1)8；(2).證明(1)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，(1)·(1)·(1)8.(2)a，b，c(0，)，ab2，bc2，ca2，2(abc)222，兩邊同加abc得3(abc)abc222()2.又abc1，()23，.思維升華用綜合法證明不等式是“由因?qū)Ч?，分析法證明不等式是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法綜合法往往是分析法的逆過程，表述簡單、條理清楚，所以在實際應(yīng)用時，往往用分析法找思路，用綜合法寫步驟，由此可見，分析法與綜合法相互轉(zhuǎn)化，互相滲透，互為前提，充分利用這一辯證關(guān)系，可以增加

14、解題思路，開闊視野(1)已知x，y均為正數(shù)，且x>y，求證：2x2y3.(2)設(shè)a，b，c>0且abbcca1，求證：abc.證明(1)因為x>0，y>0，xy>0，2x2y2(xy)(xy)(xy)33，所以2x2y3.(2)因為a，b，c>0，所以要證abc，只需證明(abc)23.即證：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即證：a2b2c2abbcca.而abbccaa2b2c2(當(dāng)且僅當(dāng)abc時等號成立)成立所以原不等式成立絕對值不等式的解法典例：(10分)解不等式|x1|x1

15、|3.思維點撥本題不等式為|xa|xb|c型不等式，解此類不等式有三種方法：幾何法、分區(qū)間(分類)討論法和圖象法規(guī)范解答解方法一如圖所示，設(shè)數(shù)軸上與1,1對應(yīng)的點分別為A，B，那么A，B兩點的距離和為2，因此區(qū)間1,1上的數(shù)都不是不等式的解設(shè)在A點左側(cè)有一點A1，到A，B兩點的距離和為3，A1對應(yīng)數(shù)軸上的x. 4分1x1x3，得x.同理設(shè)B點右側(cè)有一點B1到A，B兩點距離之和為3，B1對應(yīng)數(shù)軸上的x，x1x(1)3.x.從數(shù)軸上可看到，點A1，B1之間的點到A，B的距離之和都大于3；點A1的左邊或點B1的右邊的任何點到A，B的距離之和都大于3.8分所以原不等式的解集是.10分方法二當(dāng)x1時，原

16、不等式可化為(x1)(x1)3，解得：x.3分當(dāng)1<x<1時，原不等式可以化為x1(x1)3，即23.不成立，無解6分當(dāng)x1時，原不等式可以化為x1x13.所以x.9分綜上，可知原不等式的解集為.10分方法三將原不等式轉(zhuǎn)化為|x1|x1|30.構(gòu)造函數(shù)y|x1|x1|3，即y3分作出函數(shù)的圖象，如圖所示：函數(shù)的零點是，.從圖象可知，當(dāng)x或x時，y0，8分即|x1|x1|30.所以原不等式的解集為.10分溫馨提醒這三種方法是解|xa|xb|c型不等式常用的方法，方法一中關(guān)鍵是找到特殊點，方法二中的分類討論要遵循“不重不漏”的原則，方法三則要準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，并準(zhǔn)確找出零點.方法與技巧

17、1解絕對值不等式主要是通過同解變形去掉絕對值符號轉(zhuǎn)化為一元一次和一元二次不等式(組)進(jìn)行求解含有多個絕對值符號的不等式，一般可用零點分段法求解，對于形如|xa|xb|m或|xa|xb|m (m為正常數(shù))，利用實數(shù)絕對值的幾何意義求解較簡便2不等式的證明方法靈活，要注意體會，要根據(jù)具體情況選擇證明方法3柯西不等式的證明有多種方法，如數(shù)學(xué)歸納法，教材中的參數(shù)配方法(或判別式法)等，參數(shù)配方法在解決其它問題方面應(yīng)用比較廣泛柯西不等式的應(yīng)用比較廣泛，常見的有證明不等式，求函數(shù)最值，解方程等應(yīng)用時，通過拆常數(shù)，重新排序、添項，改變結(jié)構(gòu)等手段改變題設(shè)條件，以利于應(yīng)用柯西不等式失誤與防范1理解絕對值不等式的

18、幾何意義2掌握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，做到不重不漏3利用基本不等式必須要找準(zhǔn)“對應(yīng)點”，明確“類比對象”，使其符合幾個著名不等式的特征4注意檢驗等號成立的條件，特別是多次使用不等式時，必須使等號同時成立.A組專項基礎(chǔ)訓(xùn)練(時間：50分鐘)1已知集合AxR|x3|x4|9，BxR|x4t6，t(0，)，求集合AB.解|x3|x4|9，當(dāng)x<3時，x3(x4)9，即4x<3；當(dāng)3x4時，x3(x4)79恒成立；當(dāng)x>4時，x3x49，即4<x5.綜上所述，Ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，當(dāng)t時取等號Bx|x2，ABx|2x52(2014·江蘇)已知x>

19、0，y>0，證明：(1xy2)·(1x2y)9xy.證明因為x>0，y>0，所以1xy23>0,1x2y3>0，故(1xy2)(1x2y)3·39xy.3若a、b、c均為實數(shù)，且ax22y，by22z，cz22x.求證：a、b、c中至少有一個大于0.證明假設(shè)a、b、c都不大于0，即a0，b0，c0，所以abc0.而abc(x22x)(y22y)(z22z)(x1)2(y1)2(z1)23.所以abc>0，這與abc0矛盾，故a、b、c中至少有一個大于0.4(2013·課標(biāo)全國)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abb

20、cac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.5設(shè)不等式|2x1|<1的解集為M.(1)求集合M；(2)若a，bM，試比較ab1與ab的大小解(1)由|2x1|<1得1<2x1<1，解得0<x<1.所以Mx|0<x<1(2)由(1)和a，bM可知0<a<1,0<b<1.所以(ab1)(ab

21、)(a1)(b1)>0.故ab1>ab.6(2014·遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.記f(x)1的解集為M，g(x)4的解集為N.(1)求M；(2)當(dāng)xMN時，證明：x2f(x)xf(x)2.(1)解f(x)當(dāng)x1時，由f(x)3x31得x，故1x；當(dāng)x<1時，由f(x)1x1得x0，故0x<1.所以f(x)1的解集為Mx|0x(2)證明由g(x)16x28x14得16(x)24，解得x.因此Nx|x，故MNx|0x當(dāng)xMN時，f(x)1x，于是x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)x·f(x)x(1x)(x)2.B組專項能力提升(時間：30分鐘)1若nN*，Sn，求證：<Sn<.證明n(n1)>n2，Sn>12n.又<n，Sn<(1)(2)(n)<.<Sn<.2(2013·課標(biāo)全國)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g