測(cè)量基礎(chǔ)--橢球和投影

1、34125c6a3792e650b6cb48dd8dca0ef0.pdf1. 地球橢球的幾何特性我們知道，地球是一個(gè)兩極稍扁，赤道略鼓的球體。為了滿足大地測(cè)量歸算的需要，應(yīng)選取一個(gè)與大地體十分接近且在數(shù)學(xué)上又能簡(jiǎn)單表示的表面作為計(jì)算的根據(jù)面。通常選擇的體形是由一個(gè)橢圓繞其短軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)橢球體，簡(jiǎn)稱參考橢球體。1.1. 地球橢球的基本元素我們?cè)O(shè)想，地球是一個(gè)橢圓繞其短軸旋轉(zhuǎn)而形成的旋轉(zhuǎn)橢球體。這個(gè)橢圓也叫做子午橢圓。橢球的基本元素就是由橢圓的基本元素來(lái)決定的。決定橢球的大小和形狀，一般有下列五大元素：橢圓的長(zhǎng)半徑a橢圓的短半徑b橢圓的扁率=(a-b)/a橢圓的第一偏心率e2=(a2-b2)

2、/a2橢圓的第二偏心率e2=(a2-b2)/b2在以上各元素中，只要已知其中兩個(gè)，就可以確定橢圓的大小和形狀，但是其中一個(gè)必須是長(zhǎng)度元素(a或b)。一般常用長(zhǎng)半軸a和扁率來(lái)確定橢圓的大小和形狀。在以上各元素中，存在一下關(guān)系：1. a與b的關(guān)系b/a = 1-e2a/b = 1-e22. e2與e2的關(guān)系e2 = e2/(1- e2); e2 = e2/(1+ e2)(1- e2)(1+ e2) = 13. 與e2的關(guān)系 = 1-1- e2e2 = 2-24. 一些輔助量c = a2/b = ecosBV = 1+e2COS2B = 1+2W = 1-e2sin2BN = a/W根據(jù)上面的公式，

3、可以導(dǎo)出c與偏心率的關(guān)系，實(shí)際上c就是橢圓兩極點(diǎn)處的曲率半徑。5. 中國(guó)海洋石油公司使用的坐標(biāo)系統(tǒng)現(xiàn)在中國(guó)海洋石油總公司統(tǒng)一使用WGS84橢球，各元素?cái)?shù)值如下：a = 6,378,137.0 mb = 6,356,752.3142 m = 1/298.257223563e2 = 0.00669 43799 9013e2= 0.00673 94967 42227以前曾使用過(guò)WGS72橢球：a = 6,378,135.0 mb = 6,356,750.52 m = 1/298.26e2 = 0.00669 43178e2= 0.00673 94337和WGS54(克拉索夫斯基)橢球：a = 6,3

4、78,245.0 mb = 6,356,863.01877 m = 1/298.3e2 = 0.00669 34216 2297e2= 0.00673 85254 14681.2. 橢球面上的各種坐標(biāo)系及其相互之間的關(guān)系1.2.1 空間直角坐標(biāo)系與子午面上的直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O與橢球的中心相合(見(jiàn)圖2-1)，z軸與橢球的短軸相合，x軸與赤道面和起始子午面的交線相合，y軸與xz平面正交，指向東方。x、y、z軸構(gòu)成右手螺旋系，一點(diǎn)K的空間直角坐標(biāo)用(x,y,z)來(lái)表示。當(dāng)原點(diǎn)O與地球的質(zhì)心相合時(shí)，就是質(zhì)心空間直角坐標(biāo)系。我們?nèi)點(diǎn)所在的子午橢圓PKEP來(lái)研究，于是有了子午平面上的直角坐

5、標(biāo)系，橫軸用p表示，縱軸仍用z表示，點(diǎn)K的坐標(biāo)使用(p,z)表示(圖2-2)1.2.2 大地坐標(biāo)系，歸化緯度坐標(biāo)系，地心緯度坐標(biāo)系下面介紹的幾種坐標(biāo)系都是用經(jīng)緯度表示一點(diǎn)K的位置。它們的經(jīng)度相同，都是大地經(jīng)度L，即K點(diǎn)所在的子午面與起始子午面的夾角(見(jiàn)圖2-1)。L從起始子午面起算，向東為正，向西為負(fù)，自0º至180º。在緯度方面，則隨坐標(biāo)系的不同而有不同的意義。圖2-3表示K點(diǎn)子午橢圓所在的平面，子午橢圓在K點(diǎn)處的法線Kn與赤道平面或Op軸的夾角B，就是K點(diǎn)的大地緯度。大地經(jīng)度L與大地緯度B構(gòu)成大地坐標(biāo)系。這是大地測(cè)量中應(yīng)用最廣泛的坐標(biāo)系。大地經(jīng)度起始子午面起算，向東為正

6、,通常在經(jīng)度后加英文字母E表示, 向西為負(fù),通常在經(jīng)度后加英文字母W表示.如果以橢圓的長(zhǎng)半徑a為半徑，以O(shè)為圓心做一個(gè)圓，并通過(guò)K做一直線KJ與Oz軸平行，則直線與大圓交于K；或以橢圓的短半徑b為半徑，以O(shè)為圓心做一個(gè)圓，并通過(guò)K做一直線KJ與Op軸平行，則直線與小圓交于K”。直線OK或OK”與赤道面或Op軸所夾的角度u，就是K點(diǎn)的歸化緯度。大地經(jīng)度L與歸化緯度u構(gòu)成歸化緯度坐標(biāo)系。這種坐標(biāo)系常用于一系列理論推導(dǎo)中。做一直線，連接K點(diǎn)和橢球中心O，這一直線與Op軸的夾角，叫做地心緯度。大地經(jīng)度L和地心緯度構(gòu)成地心緯度坐標(biāo)系。在大地測(cè)量中，這種坐標(biāo)系應(yīng)用較少。1.2.3 大地緯度與歸化緯度的關(guān)系

7、cosB=V*1-e2*cosusinB=V*sinu1.2.4 大地緯度與地心緯度的關(guān)系tg = (1-e2)tgB1.2.5 子午面直角坐標(biāo)與大地緯度的關(guān)系p = NcosBz = N(1-e2)cosB1.2.6 空間直角坐標(biāo)系與其它各坐標(biāo)系的關(guān)系x = NcosBcosLy = NcosBsinLz = N(1-e2)sinB (N = a/W)1.3. 大地線與大地方位角1.3.1 法截弧與曲率半徑為了清楚的了解大地線和大地方位角，首先介紹一下法截弧。過(guò)橢球面上一點(diǎn)的法線所做的平面稱為法截面，法截面與橢球面的交截線稱為法截線，或法截弧。圓球上任意一點(diǎn)的法截弧都是曲率半徑等于圓球半徑的

8、大圓弧，在橢球上，情況完全不同。在橢球的南北兩極點(diǎn)，沿任意反向的法截弧都是相同的橢圓弧，在極點(diǎn)處的曲率半徑為c。在赤道的任意一點(diǎn)，子午圈方向的法截弧是橢圓弧；赤道平面方向的法截弧是一個(gè)大圓，即赤道圈；在其它任意方向上的法截弧都是不同的橢圓，在該點(diǎn)的曲率半徑都不相同。在橢球面上其它任意一點(diǎn)，任意方向上的法截弧都是不同的橢圓，在該點(diǎn)的曲率半徑都不相同。在方位角A方向上的曲率半徑RA表示如下：1/RA=sin2A/N+V2cos2A/N一點(diǎn)上0°方向的法截弧稱為子午圈，90°方向的法截弧稱為卯酉圈。A = 0時(shí)，得到子午圈的曲率半徑公式：RA=0 = M = N/V2A = 90

9、時(shí)，得到卯酉圈的曲率半徑公式：RA=90 = N = c/V因此任意方向法截弧的曲率半徑又可以表示為：1/RA = sin2A/N+cos2A/M在0-360度范圍內(nèi)，無(wú)窮多個(gè)法截弧的平均曲率半徑：R = MN1.3.2 大地線與大地方位角1. 相對(duì)法截弧由圖2-3可知，橢球面上一點(diǎn)K的法線與橢球短半軸交與n點(diǎn)，離開(kāi)橢球中心O的距離為On：On=Jn-JO=ae2sinB/1-e2sin2B由此可見(jiàn)，On是緯度B的函數(shù)。橢球面上兩點(diǎn)的緯度不同，它們的法線與短軸相交在不同的點(diǎn)，緯度越高，On越大。因而當(dāng)兩點(diǎn)不在同一子午圈也不在同一卯酉圈時(shí)，它們對(duì)橢球面的法線是在空間相錯(cuò)而不相交的兩條異面直線。圖

10、2-4所示，K點(diǎn)的法線為KKn，Q點(diǎn)的法線為QQn，自K點(diǎn)向Q點(diǎn)觀測(cè)，所得的方向?yàn)镵點(diǎn)上通過(guò)Q點(diǎn)的法截面KknQ在橢球面上截出的法截弧KkQ的方向。同樣自Q點(diǎn)向K點(diǎn)觀測(cè)，所得的方向?yàn)镼點(diǎn)上通過(guò)K點(diǎn)的法截面QQnK在橢球面上截出的法截弧QqK的方向。由于Q在K之北，所以Bq>Bk，Qn在Kn之下，所以法截弧QqK在KkQ之北。在橢球面上看，KkQ和QqK二者不重合。法截弧KkQ叫做K點(diǎn)到Q點(diǎn)的正法截弧，又叫做Q點(diǎn)到K點(diǎn)的反法截弧；法截弧QqK叫做Q點(diǎn)到K點(diǎn)的正法截弧，又叫做K點(diǎn)到Q點(diǎn)的反法截弧。這一對(duì)曲線叫做正、反法截弧或相對(duì)法截弧。由于正反法截弧彼此不重合，說(shuō)明兩點(diǎn)間的對(duì)向觀測(cè)不是沿同一

11、方向進(jìn)行的。如圖2-4所示，三角觀測(cè)不能構(gòu)成閉合，為了解決該問(wèn)題，規(guī)定橢球面上兩點(diǎn)之間有一條唯一的邊，也就是兩點(diǎn)之間的大地線。2. 大地線大地線也叫短程線，是曲面上兩點(diǎn)間距離最短的連線。在大地測(cè)量中，我們使用的是大地線的長(zhǎng)度和方位，也就是使用大地線代替法截弧。對(duì)于地球這個(gè)近似于圓形的橢圓來(lái)說(shuō)，大地線的長(zhǎng)度接近于法截弧的長(zhǎng)度，3000Km時(shí)，其誤差<2cm，可以忽略。正反法截弧方位差最大為：200Km0.34"100Km0.07"50Km0.02"3. 橢球面上大地線的行徑克勞萊定理：在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線的平行圈（卯酉圈）半徑與大地線在該點(diǎn)的方位角正弦的乘積

12、是一個(gè)常數(shù)。即：rsinA = C根據(jù)克勞萊定理，可以得到大地線在橢球面上的行徑（圖2-5）。例如有一條大地線從赤道上某一點(diǎn)D以方位角AD出發(fā)向北半球行進(jìn)，在D點(diǎn)處，曲率半徑為相應(yīng)的卯酉圈半徑等于長(zhǎng)半徑a，方位角AD=sin-1(C/r)為最小值；隨著向北的行進(jìn)，當(dāng)A=900，sinA=1，卯酉圈半徑r=C為最小值，也就是說(shuō)，大地線與與半徑為C的卯酉圈相切；再向前進(jìn)，方位角繼續(xù)加大，在赤道上A=1800-AD達(dá)到最大值；在南半球，A又逐漸縮小，恢復(fù)到900時(shí)，與南半球r=C的卯酉圈相切，當(dāng)在返回赤道時(shí)，一般不會(huì)回到原來(lái)的位置D，而是在其西的D點(diǎn)。兩點(diǎn)的經(jīng)度差為：2(1-sinAD+e4項(xiàng))從上

13、式可以看出，當(dāng)AD等于00或1800時(shí)，經(jīng)差為1800，才能返回到原點(diǎn)，大地線就是子午圈；當(dāng)AD等于900或2700時(shí)，經(jīng)差達(dá)到最大為1.20左右。地球橢球體上A點(diǎn)到B點(diǎn)的大地方位角為30度，則B到A的大地方位角而不是30+180度.2. 高斯投影大地坐標(biāo)不宜于用來(lái)作為測(cè)制地形圖的基礎(chǔ)，因?yàn)樗鼈兇淼氖菣E球面上的點(diǎn)位，而各種比例尺的地形圖都是地形物在平面上的表示。因此必須把橢球面上的點(diǎn)按照一定的關(guān)系投影在平面上并根據(jù)大地坐標(biāo)計(jì)算出投影點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)，這樣就產(chǎn)生了地圖投影問(wèn)題。地圖投影按其變形性質(zhì)劃分有等角投影、等面積投影，也有既不等角也不等面積的投影。按投影面來(lái)分，則有平面投影、圓錐面投影和

14、圓柱面等投影。高斯平面直角坐標(biāo)系就是其中的一種。2.1. 地圖投影在大地測(cè)量中，投影不是通過(guò)直線或其它幾何關(guān)系確立的，而是按照一定的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系來(lái)實(shí)現(xiàn)的：x = F1(B,L)y = F2(B,L)由于橢球面是一個(gè)曲面，不可能把它鋪成一個(gè)平面而不產(chǎn)生褶皺和破裂，也就是說(shuō)，不可能把整個(gè)橢球面或其一部分曲面毫無(wú)變形的表示在一個(gè)平面上，因此無(wú)論我們把投影函數(shù)取的多么妥切，總是不可能避免某種因投影所產(chǎn)生的變形。2.2. 地圖投影的分類及正圓錐投影的概念按照投影面來(lái)分，地圖投影分為平面投影、圓錐面投影（圖2-6-1）和圓柱面（圖2-6-2）投影。Lambert投影就是一種正圓錐投影。2.3. 高斯投影的

15、概述高斯投影（圖2-7）屬于一種橫軸、橢圓柱面、等角投影。橢圓柱面與地球橢球在某一子午圈L0上相切，這條子午線叫做投影的軸子午線，也就是平面直角坐標(biāo)系的縱軸或x軸，地球的赤道面與橢圓柱面相交，成一直線，這條直線與軸子午線正交，就是平面直角坐標(biāo)系的橫軸或y軸。把橢圓柱面展開(kāi)，就得到以(x,y)為坐標(biāo)的平面直角坐標(biāo)系。高斯投影是一上述一個(gè)平面為基礎(chǔ)，同時(shí)對(duì)投影函數(shù)提出一些要求：1. 橢球面上的角度投影到平面上后，保持不變，也就是說(shuō)角度沒(méi)有變形，滿足等角要求；2. 軸子午線投影為一條直線，并且是投影點(diǎn)的對(duì)稱軸；3. 軸子午線投影后沒(méi)有長(zhǎng)度變形，也就是說(shuō)在軸子午線方向上滿足等長(zhǎng)條件。在高斯投影中，軸子

16、午線上長(zhǎng)度沒(méi)有變形，除此之外都有長(zhǎng)度變形。離開(kāi)軸子午線越遠(yuǎn)，變形就越大。因此必須進(jìn)行投影分帶，把投影的區(qū)域控制在軸子午線兩側(cè)一定的范圍內(nèi)。(高斯投影分帶一般分為6º分帶法和3º分帶法).1. 6º分帶法每個(gè)區(qū)域由經(jīng)差6º的兩條子午圈組成，每個(gè)這樣的區(qū)域稱為一個(gè)投影帶。把每一個(gè)帶各自投影到一個(gè)平面上，相應(yīng)的軸子午線就成為該帶的中央子午線。全球分為60個(gè)投影帶，自0º中央子午線起，向東依次編出每帶帶號(hào)，每個(gè)投影帶的中央子午線按下列格式計(jì)算：L0 = 6n-3每個(gè)投影帶在平面上的投影有如一個(gè)梭子形（圖2-8），每帶設(shè)立一個(gè)平面直角坐標(biāo)系，以軸子午線作

17、為x軸，以軸子午線與赤道的交點(diǎn)作為原點(diǎn)，赤道的投影作為y軸。在軸子午線以東的點(diǎn)，橫坐標(biāo)y為正，以西的點(diǎn)y為負(fù)。為了避免負(fù)值的不方便，一般規(guī)定軸子午線的橫坐標(biāo)為500000米，即縱軸向西平移500公里。2. 3º分帶法（略）2.4. UTM投影UTM投影是一種特殊的高斯投影(正割投影)。具有如下特性：1. 世界分為60帶，中央子午線兩側(cè)各3º，形成6º帶(沒(méi)有其他分帶方法)。2. 帶號(hào)1從西經(jīng)180º起算，依次向東增長(zhǎng)，計(jì)算如下：L0 = 6(n-1)-177n = INT (L+180)/6+1或者: 帶號(hào)與中央子午線的對(duì)應(yīng)公式為：帶號(hào)=（中央子午線+3

18、）/6+30帶號(hào)與經(jīng)度的對(duì)應(yīng)公式為：帶號(hào)=（INT（經(jīng)度+3）/6）+303. 中央子午線投影比例因子為0.9996。使得在一個(gè)帶內(nèi)的比例因子誤差控制在1/1000之內(nèi)。4. 假東500,000m，假北在北半球?yàn)?，在南半球?yàn)?0,000,000m，以避免負(fù)值的出現(xiàn)。5. UTM投影使用于84ºN和80ºS之間。中國(guó)海洋石油有限公司規(guī)定，在我國(guó)海洋石油勘探中均采用UTM投影，中央子午線如下：105°E (48帶) 111°E (49帶) 117°E (50帶)123°E (51帶)120°E120°E使用于渤海灣和遼東灣海域，不屬于正規(guī)的UTM帶。是TM與UTM的變種.在UTM投影下A點(diǎn)到B點(diǎn)的平面方位角，與B到A的平面方位角相差180度.例題: 某點(diǎn)大