哈爾濱工程大學試卷2014級《高等數(shù)學下》期末試題

1、班級：學號：姓名：裝訂線第 1 頁共 8 頁第 2 頁共 8 頁題號一二三四五六總分分數(shù)評卷人得分評卷人填空題（每小題2分，共 20分）一、1. 極限2222001lim(2)sin34xyxyxy的值為. 2. 設函數(shù)2( , )sin()f x yyxyxy，則偏導數(shù)(0,1)yf的值為.3. 曲面e23zzxy在點(1,2, 0)處的切平面方程是. 4. 設區(qū)域22(, ) |1dx yxy，則221d ddxyx y 的值為. 5. 設有平面曲線22:1lxy，則曲線積分dlys的值為. 6. 向 量 場( , , )()()()a x y zxyz iyzx jzxy k在 點(1,

2、1,1)p處 的 散 度div a. 7. 函數(shù)1( )3f xx在(3,3)內展的冪級數(shù)展開式為. 8. 如果將函數(shù)2( )(0)f xxx展開成周期為2的正弦級數(shù)，則系數(shù)1a 的值為. 9. 微分方程 yyx 滿足條件1|1xy的解為. 10. 設空間物體由曲面22zxy與平面1z圍成，內任一點( , , )x y z處的體密度( , , )x y zz，則此空間物體的質量為. 得分評卷人單項選擇題（每小題 3分，共 30分）二、說明：請將以下單項選擇題的答案按題號填入下表中1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1. 設函數(shù)22,( , )(0,0)( , )0,( , )(0,0)x

3、yx yf x yxyx y，則( , )f x y在(0, 0)點.(a) 不連續(xù)(b) 偏導數(shù)不存在(c) 不可微(d) 偏導數(shù)連續(xù)2. 設函數(shù)( , , )uu x y z的全微分存在，則u 在點( , , )x y z處的梯度grad u為. (a) uuuxyz(b) uuuijkxyz(c) 222()()()uuuxyz(d) 222222uuuijkxyz3. 設 函 數(shù)( , )zf x y在點00(,)xy滿足00(,)0 xfxy、00(,)0yfxy，則 函 數(shù)( , )zf x y在00(,)xy處. (a) 有極值，可能是極大值，也可能是極小值(b) 可能無極值(c

4、) 必有極大值(d) 必有極小值哈爾濱工程大學本科生考試試卷（ 2013-2014 年 第二 學期）2014-7-18 課程編號：0911002 課程名稱：微積分 a(二) (a 卷) 裝訂線第 3 頁共 12 頁第 4 頁共 12 頁4. 交換二次積分100d( , )dyiyf x yx的積分次序，則i. (a) 2100d( , )dxxf x yy(b) 2100d( , )dxxf x yy(c) 2110d( , )dxxf x yy(d) 2101d( , )dxxf x yy5. 設 曲 面為2222xyza在(0)zhha的 部 分 ， 則 曲 面 積 分dz s. (a)

5、22200ddaharr(b) 222220ddahaharr(c) 2222200ddahar rr(d) 2222200ddahar rr6. 級數(shù)11(1)2nnnn. (a) 條件收斂(b) 絕對收斂(c) 發(fā)散(d) 斂散性不確定7. 已知函數(shù)( )f xx，(1,1x，將( )f x展開為周期為 2 的傅立葉級數(shù)，且其和函數(shù)為( )s x，則(5)s的值為. (a) 0 (b) 1 (c) 1(d) 不確定8. 若1( )x 、2( )x 是一階線性非齊次微分方程的兩個不同特解，則該方程的通解為. (a) 12( )( )xx(b) 12( )( )xx(c) 12( )( )cx

6、x(d) 1212( )( )( )( )2xxcxx9. 微分方程4(0)xyyxx的通解為. (a) 212lnexycxcx(b) 212lnexycxcx(c) 212lnycxcx(d) 212lnycxc xx10. 已知二元函數(shù)( , )zf x y在點(0,0)的某鄰域內有定義，且(0,0)1xf，(0,0)2yf，則. (a) (0,0)d|d2dzxy(b) (0,0)d|2ddzxy(c) 1,2,1是曲面( , )zf x y在(0, 0, (0, 0)f點的法向量(d) 0lim( ,0)(0,0)xf xf，0lim(0, )(0,0)yfyf得分評卷人三、計算題（

7、每小題8分，共 40分）1. 設函數(shù)22(, )zf xyx, 其中( , )f u v具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，求2zx y. 班級：學號：姓名：裝訂線第 5 頁共 8 頁第 6 頁共 8 頁2. 計算曲線積分22()d()dlxyxxyyxy，其中l(wèi)為逆時針方向不自相交、不經(jīng)過原點的分段光滑封閉曲線. 3. 計算曲面積分333()d d()d d()d dxyzy zyxzz xzxyx y， 其中曲面是由錐面22zxy與兩球面2221xyz和2224xyz所圍成立體表面的外側 . 4. 求冪級數(shù)1211(1)21nnnxn的收斂域及和函數(shù) . 裝訂線第 7 頁共 12 頁第 8 頁共 12

8、頁5. 求微分方程e4 4xyyyx的通解 . 得分評卷人應用題（ 6分）四、求平面曲線331 (0,0)xxyyxy上的點到坐標原點的最長與最短距離. 得分評卷人五、證明題（ 4分）若級數(shù)21nnu與21nnv都收斂，證明：21()nnnuv收斂. 班級：學號：姓名：裝訂線第 9 頁共 8 頁第 10 頁共 8 頁微積分 a（二） （a 卷）參考答案及評分標準2014 年 7 月 18 日一、填空題（每小題2 分, 共 20 分）1. 0 ；2. 2；3. 4(1)2(2)0 xy或240 xy；4. 23；5. 0 ；6. 3；7. 103nnnx；8. 0；9. yx；10. 3. 二、

9、單項選擇題（每小題3 分, 共 30 分）1. c 2. b 3. b 4. c 5. a 6. b 7. a 8. d 9. c 10. d 三、計算題（每小題8 分, 共 40 分）1. 解答：法 1：122zxffx；.4 分21121111222242zxfyfyxyfyfx y. .4 分法 2：12zyfy； .4 分2111211122 (2)42zyxffxyfyfx y. .4 分2. 解答：22( , )xyp x yxy, 22( , )xyq x yxy, 2222 2)2(pxyxyqyxxy. .2分（1）若原點不在l所圍的閉區(qū)域內部 , 由格林公式22()d()d

10、0lxyxxyyxy；.2分（2）若原點在l所圍的閉區(qū)域內部 , 做小圓222:lxy, 方向為逆時針 , 記由 l 所圍成的區(qū)域為 d , 則llll.2 分210()d()dlxyxxyy22d2d. .2 分3. 解答：記由曲面所圍成的區(qū)域為, 則有原式222=3()dxyzv.3 分22440013ddsindrr.3 分2 3193(22)6 (1)255. .2 分4. 解答：21212(1)(1)lim2121nnnnnxxxnn1r，即|1x時級數(shù)收斂 . 又級數(shù)1211(1)21nnnxn在1x處收斂，故冪級數(shù)的收斂域為1 ,1. .3分設1211(1)( )21nnns x

11、xn, 則當11x時, 有裝訂線第 11 頁共 12 頁第 12 頁共 12 頁122211( )(1)1nnnsxxx所以1211(1)arctan(11)21nnnxxxn. .5分5. 解答： 特征方程為2440rr, 解得122rr, 所以原方程對應的齊次方程的通解為：212(+)exycc x. .4分設原方程的特解為*e ()xyaxb, 代入原方程得1,2ab, 所以原方程的特解為*e (2)xyx. .3 分原方程的通解為*212(+)ee (2)xxyyycc xx.1分四、應用題（ 6 分）解答：令2233( , ,)(1)l x yxyxxyy.1分22332(3)02(3)010 xylxxylyyxlxxyy.2分假設0,0 xy. 因為0, 所以222(3)12(3)xxyxyyyx. 由實際問題知此問題有最大值和最小值, 所以最長距離22max| ( , )(1,1),(, )(0,1),(, )(1,0)2mdxyx yx yx y.