高考數(shù)學難點突破_難點__不等式的證明策略.doc

1、難點18 不等式的證明策略不等式的證明，方法靈活多樣，它可以和很多內容結合.高考解答題中，常滲透不等式證明的內容，純不等式的證明，歷來是高中數(shù)學中的一個難點，本難點著重培養(yǎng)考生數(shù)學式的變形能力，邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力.難點磁場(）已知a0,b0,且a+b=1。求證：（a+）(b+).案例探究例1證明不等式(nN*)命題意圖：本題是一道考查數(shù)學歸納法、不等式證明的綜合性題目，考查學生觀察能力、構造能力以及邏輯分析能力,屬級題目。知識依托：本題是一個與自然數(shù)n有關的命題,首先想到應用數(shù)學歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構造法等.錯解分析：此題易出現(xiàn)下列放縮錯誤:這樣只注重

2、形式的統(tǒng)一，而忽略大小關系的錯誤也是經(jīng)常發(fā)生的.技巧與方法:本題證法一采用數(shù)學歸納法從n=k到n=k+1的過渡采用了放縮法；證法二先放縮，后裂項,有的放矢,直達目標；而證法三運用函數(shù)思想，借助單調性,獨具匠心，發(fā)人深省.證法一：（1）當n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2,所以不等式成立；（2)假設n=k（k1）時,不等式成立，即1+2，當n=k+1時，不等式成立。綜合(1)、（2）得：當nN*時，都有1+2。另從k到k+1時的證明還有下列證法：證法二：對任意kN，都有:證法三：設f(n)= 那么對任意kN* 都有：f(k+1）f（k)因此，對任意nN* 都有f（n）f（n1)f（1)=1

3、0，例2求使a(x0，y0）恒成立的a的最小值。命題意圖:本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學生邏輯分析能力，屬于級題目.知識依托:該題實質是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有關性質把a呈現(xiàn)出來，等價轉化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值.錯解分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時我們習慣是將x、y與cos、sin來對應進行換元，即令=cos,=sin（0)，這樣也得asin+cos，但是這種換元是錯誤的.其原因是：(1）縮小了x、y的范圍；（2）這樣換元相當于本題又增加了“x、y=1"這

4、樣一個條件，顯然這是不對的。技巧與方法：除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型,即若參數(shù)a滿足不等關系,af（x），則amin=f(x）max；若 af(x）,則amax=f（x）min，利用這一基本事實，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題。還有三角換元法求最值用的恰當好處,可以把原問題轉化。解法一：由于a的值為正數(shù),將已知不等式兩邊平方，得：x+y+2a2（x+y），即2(a21）（x+y），x，y0,x+y2，當且僅當x=y時,中有等號成立。比較、得a的最小值滿足a21=1，a2=2，a= (因a0),a的最小值是.解法二：設。x0,y0，x+y2 （當x=y時

5、“="成立),1，的最大值是1。從而可知，u的最大值為，又由已知,得au，a的最小值為.解法三：y0，原不等式可化為+1a,設=tan,(0,）.tan+1a；即tan+1asecasin+cos=sin（+），又sin(+)的最大值為1(此時=).由式可知a的最小值為。錦囊妙計1。不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法.(1)比較法證不等式有作差（商)、變形、判斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細敘述;如果作差以后的式子可以整理為關于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證.（2)綜合法是由因導果，而分析法是執(zhí)果索因，兩

6、法相互轉換，互相滲透,互為前提,充分運用這一辯證關系，可以增加解題思路，開擴視野。2。不等式證明還有一些常用的方法:換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調性法、判別式法、數(shù)形結合法等.換元法主要有三角代換，均值代換兩種,在應用換元法時，要注意代換的等價性.放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一,放縮要有的放矢，目標可以從要證的結論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法。凡是含有“至少"“惟一"或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法.證明不等式時，要依據(jù)題設、題目的特點和內在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應的步驟、技巧和語言特點。

7、殲滅難點訓練一、填空題1.(）已知x、y是正變數(shù)，a、b是正常數(shù)，且=1,x+y的最小值為_。 2。()設正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c,且|ad|bc,則ad與bc的大小關系是_。3。（）若mn，pq，且(pm）(pn）0，(qm）(qn）0，則m、n、p、q的大小順序是_.二、解答題4。（)已知a，b，c為正實數(shù),a+b+c=1。求證：（1)a2+b2+c2 （2）65.(）已知x,y，zR，且x+y+z=1，x2+y2+z2=，證明：x，y，z0,6。（）證明下列不等式:(1）若x，y，zR,a，b,cR+,則z22（xy+yz+zx)（2）若x，y，zR+,且x+y+z=xyz，

8、則2（）7。()已知i，m、n是正整數(shù)，且1imn.(1)證明：niAmiA；（2)證明:(1+m)n（1+n)m8。（)若a0，b0,a3+b3=2,求證：a+b2，ab1。參考答案難點磁場證法一：(分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4（a2+b2)25ab+40，即證4（ab）233（ab)+80，即證ab或ab8.a0，b0，a+b=1,ab8不可能成立1=a+b2，ab，從而得證。證法二：（均值代換法）設a=+t1,b=+t2。a+b=1,a0，b0，t1+t2=0,|t1，t2顯然當且僅當t=0，即a=b=時，等號成立。證法三：（比較法）a+b=1，a0，b0，a+b2，ab證

9、法四：(綜合法）a+b=1, a0，b0，a+b2，ab.證法五：（三角代換法） a0，b0，a+b=1，故令a=sin2，b=cos2，(0,)2殲滅難點訓練一、1。解析：令=cos2，=sin2，則x=asec2，y=bcsc2，x+y=asec2+bcsc2=a+b+atan2+bcot2a+b+2。答案：a+b+22.解析：由0ad|bc|（ad）2（bc）2（a+b)24ad(b+c)24bca+d=b+c，4ad4bc,故adbc。答案：adbc3。解析：把p、q看成變量，則mpn,mqn.答案：mpqn二、4.（1）證法一:a2+b2+c2=（3a2+3b2+3c21）=3a2+

10、3b2+3c2（a+b+c)2=3a2+3b2+3c2a2b2c22ab2ac2bc=（ab)2+(bc)2+（ca)20 a2+b2+c2證法二：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bca2+b2+c2+a2+b2+a2+c2+b2+c23（a2+b2+c2）（a+b+c）2=1 a2+b2+c2證法三：a2+b2+c2a2+b2+c2證法四：設a=+，b=+，c=+.a+b+c=1，+=0a2+b2+c2=（+）2+（+)2+(+)2=+ (+)+2+2+2=+2+2+2a2+b2+c2原不等式成立.證法二：6原不等式成立。5.證法一：由x+y+z=1，x2+y2+z2=

11、,得x2+y2+(1xy）2=,整理成關于y的一元二次方程得：2y22（1x）y+2x22x+=0,yR，故04(1x）24×2（2x22x+）0，得0x，x0，同理可得y,z0，證法二：設x=+x，y=+y,z=+z，則x+y+z=0,于是=(+x）2+（+y）2+(+z）2=+x2+y2+z2+ (x+y+z)=+x2+y2+z2+x2+=+x2故x2，x，,x0，,同理y,z0，證法三：設x、y、z三數(shù)中若有負數(shù)，不妨設x0，則x20，=x2+y2+z2x2+，矛盾.x、y、z三數(shù)中若有最大者大于,不妨設x,則=x2+y2+z2x2+=x2+=x2x+=x（x）+；矛盾.故x、

12、y、z0，上式顯然成立,原不等式得證。7。證明：（1）對于1im，且A =m··（mi+1），由于mn,對于整數(shù)k=1，2，i1，有，所以(2）由二項式定理有：（1+m)n=1+Cm+Cm2+Cmn,（1+n)m=1+Cn+Cn2+Cnm,由(1)知miAniA (1im，而C=miCinniCim(1mnm0C=n0C=1，mC=nC=m·n，m2Cn2C，mmCnmC，mm+1C0，mnC0，1+Cm+Cm2+Cmn1+Cn+C2mn2+Cnm，即(1+m)n（1+n）m成立。8.證法一：因a0，b0，a3+b3=2，所以（a+b）323=a3+b3+3a2b

13、+3ab28=3a2b+3ab26=3ab（a+b)2=3ab（a+b）(a3+b3)=3（a+b)（ab)20。即（a+b)323,又a+b0，所以a+b2，因為2a+b2,所以ab1。證法二：設a、b為方程x2mx+n=0的兩根，則,因為a0，b0，所以m0，n0，且=m24n0 因為2=a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=（a+b）(a+b）23ab=m(m23n)所以n=將代入得m24（）0，即0，所以m3+80，即m2，所以a+b2，由2m 得4m2，又m24n，所以44n，即n1，所以ab1.證法三：因a0,b0,a3+b3=2，所以2=a3+b3=（a+b)(a2+b2ab)（a+b）(2abab)=ab（a+b）于是有63ab(a+b)，從而83ab(a+b）+2=3a2b+3ab2+a3+b3=（a+b)3,所以a+b2