2022年北京中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座2

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載北京中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)專題講座第一講線段,角的運(yùn)算證明問題【前言】中考的解答題一般為分兩到三部分的；第一部分基本上都為一些簡潔題或者中檔題,目的在于考察基礎(chǔ)；其次部分往往就為開頭拉分的中,難題了；大家討論今年的北京一模就會發(fā)覺,其次部分,或者叫難度開頭提上來的部分,基本上都為以線段,角的運(yùn)算與證明開頭的；城鄉(xiāng)18個(gè)區(qū)縣的一模題中,有 11 個(gè)區(qū)其次部分第一道題都為標(biāo)準(zhǔn)的梯形,四邊形中線段角的運(yùn)算證明題；剩下的 7 個(gè)區(qū)縣題就將線段角問題與旋轉(zhuǎn),動態(tài)問題結(jié)合, 放在了更有難度的倒數(shù)其次道乃至壓軸題當(dāng)中；可以說,線段角問題就為中考數(shù)學(xué)有難度題的排頭兵；對這些題輕松把握

2、的意義不僅僅在于獲得分?jǐn)?shù),更重要的為對于整個(gè)做題過程中士氣,軍心的影響；在這個(gè)專題中,我們對各區(qū)縣一模真題進(jìn)行總結(jié)歸納、 分析討論,來探究線段,角運(yùn)算證明問題的解題思路；第一部分真題精講精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 1】 （ 2021,崇文,一模） 如圖,梯形abcd 中, ad bc, bdcd,bdc90°, ad3, bc8 求 ab 的長精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【思路分析】線段,角的運(yùn)算證明基本都為放在梯形中,利用三角形全等相像、 直角三角形性質(zhì)以及勾股定理等學(xué)問點(diǎn)進(jìn)行考察的；所以這就要求我們對梯形的性質(zhì)有很好的懂得,并且熟知梯形的

3、幫助線做法； 這道題中未知的為ab、已知的為ad、bc以及 bdc為等腰直角三角形、 所以要把未知的ab也放在已知條件當(dāng)中去考察. 做 ae、df 垂直于 bc、就很輕易發(fā)覺我們將ab帶入到了一個(gè)有大量已知條件的直角三角形當(dāng)中. 于為有解如下.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】作 aebc 于 e, dfbc于 f精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ae df ,ad bc, 四邊形 aefd為矩形efad3, aedf bdcd, dfbc, df 為 bdc 的 bc 邊上的中線精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bdc90°, df1 b

4、cbf42精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ae4, bebfef431精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在 rt abe 中,ab2ae 2be2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ab421217精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 2】（ 2021,海淀,一模）已知：如圖,在直角梯形abcd 中, ad bc ,求 ad 的長 .dcb90, acbd 于點(diǎn) o, dc2、 bc4 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載adobc【思路分析 】 這道題給出了梯形兩對角線的關(guān)系. 求梯形

5、上底 . 對于這種對角線之間或者和其他線 段角有特別關(guān)系 例如對角線平分某角 的題 、 一般思路為將對角線提出來構(gòu)造一個(gè)三角形. 對于此題來說 、 直接將 ac向右平移 、 構(gòu)造一個(gè)以d 為直角頂點(diǎn)的直角三角形. 這樣就將ad轉(zhuǎn)化成了直角三 角形中斜邊被高分成的兩條線段之一、 而另一條線段bc為已知的 . 于為問題迎刃而解.adobce【解析】過點(diǎn) d 作 de / / ac 交 bc 的延長線于點(diǎn)e . bdeboc . acbd 于 點(diǎn) o 、 boc90. bde90. ad / / bc , 四邊形 aced 為平行四邊形. adce .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載

6、bde90 、dcb90,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 dcbcce . dc2、 bc4 , ce1 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ad1此題仍有很多別的解法,例如直接利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余關(guān)系,證明 acd和 dbc相像,從而利用比例關(guān)系直接求出cd；有愛好的考生可以多發(fā)散思維去討論；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 3】（ 2021,東城,一模） 如圖,在梯形 abcd 中, ad 的長度 bc ,b90 , ad=2 ,bc5 , e 為 dc 中點(diǎn),tan c4求 ae3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a

7、deb c【思路分析 】 這道題為東城的解答題其次部分第一道,就為我們所謂提難度的門檻題；乍看之下好象直接過d 做垂線之類的方法不行. 那該怎樣做幫助線呢.答案就隱匿在e 為中點(diǎn)這個(gè)條件中. 在梯形中 、 一腰中點(diǎn)為很特別的. 一方面中點(diǎn)本身為多對全等三角形的公共點(diǎn)、 另一方面中點(diǎn)和其他底、 腰的中點(diǎn)連線就為一些三角形的中線、 利用中點(diǎn)的比例關(guān)系就可以將已知條件代入. 比如這道題 、 過中點(diǎn) e 做 bc的垂線 、 那么這條垂線與ad延長線 、bc 就構(gòu)成了兩個(gè)全等的直角三角形. 并且這兩個(gè)直 角三角形的一個(gè)銳角的正切值為已經(jīng)給出的. 于為得解 .a dmeb fc【解析】過點(diǎn) e 作 bc

8、的垂線交于bc 點(diǎn) f ,交 ad 的延長線于點(diǎn)m .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在梯形 abcd 中, ad bc, e 為 dc 的中點(diǎn),精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mmfc ,dece在mde 和fce 中,mmfc demcefdecemde fce.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 efme ,dmcf精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ad2,bc5 ,dmcf3 . 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在 rtfce 中,tan c4ef ,3cf精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 efme2

9、.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在 rtame 中 , ae222236522精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【總結(jié) 】 以上三道真題、 都為在梯形中求線段長度的問題. 這些問題一般都為要靠做出精妙的幫助 線來解決 . 幫助線的總體思路就為將梯形拆分或者填充成矩形+三角形的組合、 從而達(dá)到利用已知求未知的目的 . 一般來說 、 梯形的幫助線主要有以下5 類:1.過一底的兩端做另一底的垂線,拆梯形為兩直角三角形 + 一矩形2.平移一腰,分梯形為平行四邊形 + 三角形3.延長梯形兩腰交于一點(diǎn)構(gòu)造三角形4.平移對角線,轉(zhuǎn)化為平行四邊形 +三角形5.連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)延長線交

10、于另一底延長線構(gòu)筑兩個(gè)全等三角形或者過中點(diǎn)做底邊垂線構(gòu)筑兩個(gè)全等的直角三角形以上五種方法就為梯形內(nèi)線段問題的一般幫助線做法； 對于角度問題,其實(shí)思路也為一樣的；通過做幫助線使得已知角度通過平行, 全等方式轉(zhuǎn)移到未知量鄰近；之前三道例題主要為和線段有關(guān)的運(yùn)算；我們接下來看看和角度有關(guān)的運(yùn)算與證明問題；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【例 4】 （ 2021,延慶,一模）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如圖,在梯形abcd中, ab dc, db 平分adc ,過精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點(diǎn) a 作 ae

11、 bd ,交 cd 的延長線于點(diǎn)e ,且求 cd 的長abc2e ,bdc30, ad3 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載edc【思路分析】此題相對比較簡潔,不需要做幫助線就可以得出結(jié)果；但為題目中給的條件都為此類角度問題的基本條件；例如對角線平分某角,然后有角度之間的關(guān)系；面對這種題目仍為需要將已知的角度關(guān)系理順；第一依據(jù)題目中條件,特別為利用平行線這一條件,可以得出（見下圖）角c 與角 1,2, 3 以及角 e 的關(guān)系；于為一系列轉(zhuǎn)化過后,發(fā)覺角c=60 度,即三角形dbc為 rt三角形；于為得解；【解析】：ae bdab13 ,2e1233e1cdadc3e2ee2c2e

12、adcbcd60梯形 abcd 為等腰梯形 bcad3230,bcd60dbc90在 rt dbc 中,230, bc3 cd6【例 5】（ 2021,西城,一模）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載已 知 ： pa2 , pb4 , 以ab 為 一 邊 作 正 方 形abcd, 使p. d 兩 點(diǎn) 落 在 直 線ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的兩側(cè) .如圖,當(dāng) apb=45°時(shí),求ab及 pd的長；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【思路分析】 這為去年西城一模的壓軸題的第一小問；假如線段角的運(yùn)算顯現(xiàn)在中間部分,往往意味著難度并不會太高；但

13、為一旦顯現(xiàn)在壓軸題,那么有的時(shí)候往往比函數(shù)題,方程題更為麻煩；這題求 ab比較簡潔,過a 做 bp垂線,利用等腰直角三角形的性質(zhì),將apb分成兩個(gè)有很多已知量的 rt；但為求pd 時(shí)候就很麻煩了；pd 所在的三角形pad為個(gè)鈍角三角形,所以就需要我們將pd 放在一個(gè)直角三角形中試試看；構(gòu)筑包含pd的直角三角形,最簡潔的就為過p 做 da 延長線的垂線交da 于 f, df 交 pb 于 g；這樣一來,得到了pfa age等多個(gè) rt；于為與已求出的ab等量產(chǎn)生了關(guān)系,得解；dc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【解析】：如圖,作ae pb于點(diǎn) e ape中, ape=45°

14、;, pa2 ,agp feb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aepasinape221 ,2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pepacosape221 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pb4 ,bepbpe3 在 rt abe中, aeb=90°,abae 2be 210 如圖,過點(diǎn)p 作 ab的平行線,與da的延長線交于f,設(shè) da的延長線交pb于 g在 rt aeg中,可得agaeae10 ,coseagcosabe3（這一步最難想到,利用直角三角形斜邊高分成的兩個(gè)小直角三角形的角度關(guān)系）

15、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1eg,32pgpbbeeg3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在 rt pfg中,可得pfpgcosfpgpgcosabe10105, fg15 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【總結(jié)】由此我們可以看出,在涉及到角度的運(yùn)算證明問題時(shí),一般情形下都為要將已知角度通過平行,垂直等關(guān)系過度給未知角度；所以,構(gòu)建幫助線一般也為從這個(gè)思路動身,利用一些特別圖形中的特別角關(guān)系（例如上題中的直角三角形斜邊高分三角形的角度關(guān)系）以及借助特別角的三角函數(shù)來達(dá)到求解的目的；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資

16、料 - - - 歡迎下載其次部分發(fā)散摸索通過以上的一模真題,我們對線段角的相關(guān)問題解題思路有了一些熟悉；接下來我們自己動手做一些題目；期望考生先做題,沒有思路了看分析,再沒思路了再看答案；【摸索 1】如圖,在梯形abcd中, ad bc, abcd 如 acbd,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ad+bc=103 , 且abc60, 求 cd 的長ad精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bc【思路分析】前面我已經(jīng)分析過,梯形問題無非也就那么幾種幫助線的做法；此題求腰,所以自然為先將腰放在某個(gè)rt 三角形中；另外遇到對角線垂直這類問題,一般都為平移某一條對角線以構(gòu)造更大的

17、一個(gè)rt 三角形,所以此題需要兩條幫助線；在這類問題中,幫助線的方式往往需要交叉運(yùn)用,假如思想放不開,不敢多做,巧做,就不簡潔得出答案； 解法見后文 【摸索 2】如圖,梯形abcd中, ad/bc, b=30°, c=60°, e, m, f, n分別為 ab, bc, cd,da的中點(diǎn),已知bc=7, mn=3,求 efnadefcbm【思路分析】 此題有肯定難度,要求考生不僅把握中位線的相關(guān)運(yùn)算方法,也對三點(diǎn)共線提出了要求；如求ef,由于 bc已知,所以只需求出ad即可；由題目所給角b,角 c 的度數(shù),應(yīng)當(dāng)自然聯(lián)想到直角三角形中求解；（解法見后）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

18、 - - - 歡迎下載【摸索 3】已知abc ,延長 bc 到 d ,使 cdbc 取 ab 的中點(diǎn) f ,連結(jié) fd 交 ac 于點(diǎn) e 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 求 ae 的值；ac 如 aba , fbec ,求 ac 的長afebcd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載【思路分析】求比例關(guān)系,一般都為要利用相像三角形來求解；此題中有一個(gè)等量關(guān)系bc=cd,又有 f 中點(diǎn),所以需要做幫助線, 利用這些已知關(guān)系來構(gòu)造數(shù)個(gè)相像三角形就成了獲得比例的關(guān)鍵；（解法見后）【摸索 4】如圖 3, abc中, a=90°, d 為斜邊 bc的中點(diǎn), e,f 分

19、別為 ab, ac上的點(diǎn),且de df,如 be=3,cf=4,試求 ef的長【思路分析】中點(diǎn)問題為中考幾何中的大熱點(diǎn),幾乎年年考；有中點(diǎn)自然有中線,而倍長中線方法也成為解題的關(guān)鍵；將三角形的中線延長一倍,剛好可以構(gòu)造出兩個(gè)全等三角形,很多問題就可以輕松求解；此題中,d 為中點(diǎn),所以大家可以看看如何在這個(gè)里面構(gòu)造倍長中線；（解法見后）【摸索 5】 如圖,在四邊形 abcd 中,e 為 ab 上一點(diǎn),ade 和bce 都為等邊三角形,ab .bc .cd . da 的中點(diǎn)分別為p . q . m . n ,試判定四邊形pqmn 為怎樣的四邊形,并證明你的結(jié)論精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

20、歡迎下載【思路分析】 此題也為中點(diǎn)題,不同的為上題考察中線,此題考察中位線；此題需要考生對各個(gè)特別四邊形的性質(zhì)了如指掌,判定,證明上都需要很好的感覺；特別留意梯形,菱形,正方形,矩形等之間的轉(zhuǎn)化條件；（解法見后）第三部分摸索題答案摸索 1【解析】：作 de bc 于 e,過 d 作 df ac 交 bc 延長線于f精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就四邊形adfc為平行四邊形,ad四邊形abcd為等腰梯形,cf , df=ac精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ac=bd dfbd又 ac bd, df ac, bd df bdf為等腰直角三角形精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

21、 - - - 歡迎下載 de1 bf1 adbc53精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22在 rtcde 中,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載dce60,decdsindce精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 53cdsin 60, cd10精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載hn摸索 2ade【解析】：ef延長 ba,cd交于點(diǎn) h,連接 hn,由于 b=30°, c=60°,所以 bhc=90°c bm精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 hn=dn（直

22、角三角形斜邊中線性質(zhì)） nhd= ndh=60°連接 mh,同理可知 mhd=c=60°；所以 nhd= mhd,即 h,n, m 三點(diǎn)共線（這一點(diǎn)簡潔被遺漏,很多考生會想當(dāng)然認(rèn)為他們共線,其實(shí)仍為要證明一下）所以 hm=3.5 , nh=0.5 an=0.5所以 ad=1 ef=（ 1+7） /2=4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載摸索 3【解析】過點(diǎn) f 作 fm ac,交 bc 于點(diǎn) m 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 f 為 ab 的中點(diǎn) m 為 bc 的中點(diǎn),fm1 aca2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 fm ac,得cedmfd,fe精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ecdfmd ,fmd ecd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 dcec2dmfm3bmcd精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ec2 fm21 ac1 ac精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3323精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 aeacecac1 ac31精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -