排列組合問題中的重復(fù)計(jì)算剖析

1、排列組合問題中的重復(fù)計(jì)算剖析在解答排列組合問題中，易犯的錯誤是遺漏與重復(fù)。遺漏多半比較明顯，而重復(fù)較為隱蔽。本文對一些隱蔽的重復(fù)計(jì)算錯誤舉例剖析。研究失誤的原因，尋求補(bǔ)正和預(yù)防的方法。例 1 某天有六節(jié)不同的課，若第一節(jié)排數(shù)學(xué)，或第六節(jié)排體育，問共有多少種不同的排法？錯解 數(shù)學(xué)排第一節(jié)的排法有55a種，體育排第六節(jié)的排法也有55a種，根據(jù)加法原理，第一節(jié)排數(shù)學(xué)或排體育的排法共有55a55a255a240 種剖析 在數(shù)學(xué)排第一節(jié)的排法中，存在著體育排第六節(jié)的排法，在排體育第六節(jié)的排法中，存在著數(shù)學(xué)排第一節(jié)的排法，它重復(fù)計(jì)算了數(shù)學(xué)排第一節(jié)，同時體育排第六節(jié)的排法，即多算44a種。正確結(jié)果是：55a

2、55a44a216 種例 2 從 4 名男生 3 名女生中選 3 人成立科技小組，問當(dāng)選者中至少有一名男生和一名女生的選法有幾種？錯解 先選一名男生， 有14c種選法， 再選一名女生， 有13c種選法，最后從余下的5 名學(xué)生中選一名有15c種選法，故共有選法14c13c15c60 種剖析上述解法中，每一種選法都符合要求，但是否有重復(fù)計(jì)算呢？為此我們不妨設(shè)4 名男生為 a1，a2，a3，a4，3 名女生為 b1，b2，b3，把上面選法中含有一名男生的選法分為4 類。在含有男生a1的一類的選法有： a1，b1，a2，即先選 a1，再選 b1，最后選 a2；在含有男生 a2的一類中有 a2， b1，

3、a1，即先選 a2，再選 b1，最后選 a1。顯然這兩種選法被重復(fù)計(jì)算了。因此上述解法是錯誤的。錯誤的原因在于沒有將符合要求的選法進(jìn)行正確分類，分類要不重不漏。正解 以男生人數(shù)分類，則符合條件的有且僅有兩類，一類是男生一名女生兩名，有1243c c種選法，另一類是男生兩名女生一名，有2143c c。故共有1243c c2143c c30 種例 3 n 個不同的球放入n1 個不同的盒子，假設(shè)每個盒子都有足夠大的容量，問每個盒子中至少有一個球的放法共有多少種？錯解先在每盒子中放入一球共有1nna種放法，再將剩下的一球放入，有 n1 種放法。 由乘法原理， 共有放法（n1）1nna（n1）n！種.

4、剖析 將這 n 個球和 n1 個盒子均依次編號，設(shè)先在每盒中放入一球時，有一種放法是第i 號盒子恰好放入第i 號球，其中 i1，2， n1，然后再考慮剩下的第n 號球的放法，假設(shè)第n號球恰好放入第 1 號盒，這樣，除1 號盒中放有第一號與第n 號兩個球外，其余各盒均只放有一個與盒子同號的球，若先在每盒中放入一球時，第 n 號球恰好放入第1 號盒，而其余各盒所放的球均與盒子同號，這樣，再將剩下的1 號球放入盒中時，必有一種放法是恰好放入 1 號盒，這時，出現(xiàn)與前一次完全相同的結(jié)果，但在上面的解法中被當(dāng)成兩種不同的放法來計(jì)算，故重復(fù)。正確的解法是：先從n 個球中任取 2 個組成一組，共有2nc種方法；然后把這2 個球當(dāng)作 1 份，另外 n2 個球每個球算1 份，共有 n1 份，把這 n1