2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第4講　二次函數(shù)與冪函數(shù)

1、第 4 講二次函數(shù)與冪函數(shù)一、知識(shí)梳理1冪函數(shù)(1)定義：形如 yx(r)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中底數(shù) x 是自變量，為常數(shù)常見的五類冪函數(shù)為 yx，yx2，yx3，yx12，yx1.(2)性質(zhì)冪函數(shù)在(0，)上都有定義；當(dāng)0 時(shí)，冪函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1，1)和(0，0)，且在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)0)f(x)ax2bxc(a0(a0)恒成立的充要條件是a0，b24ac0.(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是a0，b24ac0 時(shí)，冪函數(shù) yxn在(0，)上是增函數(shù)()(3)二次函數(shù) yax2bxc(xr)不可能是偶函數(shù)()(4)如果冪函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸相交，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)()(5)

2、二次函數(shù) yax2bxc，xa，b的最值一定是4acb24a.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易錯(cuò)糾偏常見誤區(qū)|(1)冪函數(shù)定義不清晰，導(dǎo)致出錯(cuò)；(2)二次函數(shù)的性質(zhì)理解不到位出錯(cuò)；(3)忽視對(duì)二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)的討論出錯(cuò)1已知冪函數(shù) yf(x)的圖象過點(diǎn)2，22 ，則此函數(shù)的解析式為_；在區(qū)間_上遞減解析：設(shè) yf(x)x，因?yàn)閳D象過點(diǎn)2，22 ，代入解析式得12，則 yx12，由性質(zhì)可知函數(shù) yx12在(0，)上遞減答案：yx12(0，)2已知函數(shù) f(x)x22ax3，若 yf(x)在區(qū)間4，6上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為_解析：由于函數(shù) f(x)的圖象開口向上，

3、對(duì)稱軸是 xa，所以要使 f(x)在4，6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有a4 或a6，即 a6 或 a4.答案：(，64，)3已知函數(shù) f(x)ax2x5 的圖象在 x 軸上方，則 a 的取值范圍是_解析：因?yàn)楹瘮?shù) f(x)ax2x5 的圖象在 x 軸上方，所以a0，1220a120.答案：120，考點(diǎn)一冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|通過實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù) yx，yx2，yx3，y1x，yx12的圖象，了解它們的變化情況核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象1已知點(diǎn)33， 3在冪函數(shù) f(x)的圖象上，則 f(x)是()a奇函數(shù)b偶函數(shù)c定義域內(nèi)的減函數(shù)d定義域內(nèi)的增函數(shù)解析：選 a設(shè) f(x)x，由已

4、知得33 3，解得1，因此 f(x)x1，易知該函數(shù)為奇函數(shù)2已知 a345，b425，c1215，則 a，b，c 的大小關(guān)系為()abacbabcccbadcabc，故選 c3若冪函數(shù) yx1，yxm與 yxn在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，則 m 與 n 的取值情況為()a1m0n1b1n0mc1m0nd1n0m0 時(shí)，yx在(0，)上為增函數(shù)，且 01 時(shí)，圖象上凸，所以 0m1；當(dāng)0 時(shí)，yx在(0，)上為減函數(shù)，不妨令 x2，根據(jù)圖象可得 212n，所以1n0，綜上所述，選 d4若(a1)12(32a)12，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_解析：易知函數(shù) yx12的定義域?yàn)?，)，在定義域內(nèi)為

5、增函數(shù)，所以a10，32a0，a132a，解得1a0，若在(0，)上單調(diào)遞減，則4ac；2ab1；abc0；5a0，即 b24ac，正確；對(duì)稱軸為 x1，即b2a1，2ab0，錯(cuò)誤；結(jié)合圖象，當(dāng) x1 時(shí)，y0，即 abc0，錯(cuò)誤；由對(duì)稱軸為 x1 知，b2a，又函數(shù)圖象開口向下，所以 a0，所以5a2a，即 5ab，正確故選 b【答案】b確定二次函數(shù)圖象應(yīng)關(guān)注的三個(gè)要點(diǎn)一是看二次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)，它確定二次函數(shù)圖象的開口方向二是看對(duì)稱軸和最值，它確定二次函數(shù)圖象的具體位置三是看函數(shù)圖象上的一些特殊點(diǎn)，如函數(shù)圖象與 y 軸的交點(diǎn)、與 x 軸的交點(diǎn)，函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)等從這三個(gè)方面入手，能準(zhǔn)確

6、地判斷出二次函數(shù)的圖象反之，也可以從圖象中得到如上信息角度二二次函數(shù)的單調(diào)性及最值問題(1)函數(shù) f(x)ax2(a3)x1 在區(qū)間1，)上是遞減的，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_(2)求函數(shù) f(x)x22ax1 在區(qū)間1，2上的最大值【解】(1)當(dāng) a0 時(shí)，f(x)3x1 在1，)上遞減，滿足條件當(dāng) a0 時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸為 x3a2a，由 f(x)在1，)上遞減知a03a2a1，解得3a0.綜上，a 的取值范圍為3，0故填3，0(2)f(x)(xa)21a2，所以 f(x)的圖象是開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為 xa.當(dāng)a12時(shí)，f(x)maxf(2)4a5.當(dāng)a12即 a12時(shí)，f(x)

7、maxf(1)22a，綜上，f(x)max4a5，a12，22a，a12.二次函數(shù)的單調(diào)性及最值問題(1)類型：對(duì)稱軸、區(qū)間都是給定的；對(duì)稱軸動(dòng)、區(qū)間固定；對(duì)稱軸定、區(qū)間變動(dòng)(2)解決這類問題的思路：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成角度三一元二次不等式恒成立問題(1)已知函數(shù) f(x)x2mx1，若對(duì)于任意 xm，m1，都有 f(x)xk 在區(qū)間3，1上恒成立，則 k 的取值范圍為_【解析】(1)作出二次函數(shù) f(x)的草圖，對(duì)于任意 xm，m1，都有 f(x)0，則有f（m）0，f（m1）0，即m2m

8、210，（m1）2m（m1）10，解得22mk 在區(qū)間3，1上恒成立設(shè) g(x)x2x1，x3，1，則 g(x)在3，1上遞減所以 g(x)ming(1)1.所以 k1.故 k 的取值范圍為(，1)【答案】(1)22，0(2)(，1)不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的思路一是分離參數(shù)；二是不分離參數(shù)兩種思路都是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值或值域1函數(shù) f(x)ax22x3 在區(qū)間1，3上為增函數(shù)的充要條件是()aa0ba0c0a13da1解析：選 d當(dāng) a0 時(shí)，f(x)為減函數(shù)，不符合題意；當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù) f(x)ax22x3 圖象的對(duì)稱軸為 x1a，要使 f(x)在區(qū)間1，3上為增函數(shù)，則a0，

9、1a1，解得 a1.故選 d2如果函數(shù) f(x)x2bxc 對(duì)任意的實(shí)數(shù) x 都有 f(1x)f(x)，那么()af(0)f(2)f(2)bf(0)f(2)f(2)cf(2)f(0)f(2)df(2)f(0)f(2)f(0)故選 a3 若函數(shù) f(x)x22x1 在區(qū)間a， a2上的最小值為 4， 則 a 的取值集合為_解析：因?yàn)楹瘮?shù) f(x)x22x1(x1)2，對(duì)稱軸 x1，因?yàn)?f(x)在區(qū)間a，a2上的最小值為 4，所以當(dāng) 1a 時(shí)，f(x)minf(a)(a1)24，解得 a1(舍去)或 a3，當(dāng) a21，即 a1 時(shí)，f(x)minf(a2)(a1)24，解得 a1(舍去)或 a3

10、，當(dāng) a1a2，即1a1 時(shí)，f(x)minf(1)04，故 a 的取值集合為3，3.答案：3，3基礎(chǔ)題組練1 如圖是yxa； yxb； yxc在第一象限的圖象， 則 a， b， c 的大小關(guān)系為()acbababccbcadac0，所以 f(x)在(，2)上是遞減的，在2，)上是遞增的3已知函數(shù) f(x)x24xa，x0，1，若 f(x)有最小值2，則 a 的值為()a1b0c1d2解析：選 d函數(shù) f(x)x24xa 的對(duì)稱軸為直線 x2，開口向下，f(x)x24xa 在0，1上單調(diào)遞增，則當(dāng) x0 時(shí)，f(x)的最小值為 f(0)a2.4(多選)由于被墨水污染，一道數(shù)學(xué)題僅能見到如下文字

11、：已知二次函數(shù) yax2bxc 的圖象過點(diǎn)(1，0)，求證：這個(gè)二次函數(shù)的圖象關(guān)于直線 x2 對(duì)稱根據(jù)現(xiàn)有信息，題中的二次函數(shù)可能具有的性質(zhì)是()a在 x 軸上截得的線段的長度是 2b與 y 軸交于點(diǎn)(0，3)c頂點(diǎn)是(2，2)d過點(diǎn)(3，0)解析：選 abd由已知得abc0b2a2，解得 b4a，c3a，所以二次函數(shù)為 ya(x24x3)，其頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 2，所以頂點(diǎn)一定不是(2，2)，故選 abd5(多選)設(shè)函數(shù) f(x)ax2bxc(a0)，對(duì)任意實(shí)數(shù) t 都有 f(4t)f(t)成立，則函數(shù)值 f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的可能是()af(1)bf(1)cf(2)d

12、f(5)解析：選 acd因?yàn)閷?duì)任意實(shí)數(shù) t 都有 f(4t)f(t)成立，所以函數(shù) f(x)ax2bxc(a0)的對(duì)稱軸是 x2，當(dāng) a0 時(shí)，函數(shù)值 f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是 f(2)；當(dāng)a0 時(shí)，函數(shù)值 f(1)，f(1)，f(2)，f(5)中，最小的是 f(1)和 f(5)6已知二次函數(shù)的圖象與 x 軸只有一個(gè)交點(diǎn)，對(duì)稱軸為 x3，與 y 軸交于點(diǎn)(0，3)則它的解析式為_解析：由題意知，可設(shè)二次函數(shù)的解析式為 ya(x3)2，又圖象與 y 軸交于點(diǎn)(0，3)，所以 39a，即 a13.所以 y13(x3)213x22x3.答案：y13x22x37(2020甘肅

13、蘭州一中月考)已知函數(shù) f(x)(m2m1)xm22m3是冪函數(shù)，且在 x(0，)上遞減，則實(shí)數(shù) m_解析：根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)，得 m2m11.解得 m2 或 m1，當(dāng) m2 時(shí)，f(x)x3在(0，)上是減函數(shù)，符合題意；當(dāng) m1 時(shí)，f(x)x01 在(0，)上不是減函數(shù)，所以 m2.答案：28設(shè)函數(shù) f(x)mx2mx1，若對(duì)于 xr，f(x)0 恒成立，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_解析：當(dāng) m0 時(shí)，f(x)10，符合題意當(dāng) m0 時(shí)，f(x)為二次函數(shù)，則由 f(x)0恒成立得m0，0，即m0，（m）24m（1）0，解得4m2xm 恒成立，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍解：(1)由 f(0

14、)1，得 c1，所以 f(x)ax2bx1.又 f(x1)f(x)2x，所以 a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即 2axab2x，所以2a2，ab0，所以a1，b1，因此，所求解析式為 f(x)x2x1.(2)f(x)2xm 等價(jià)于 x2x12xm，即 x23x1m0，要使此不等式在區(qū)間1，1上恒成立，只需使函數(shù) g(x)x23x1m 在區(qū)間1，1上的最小值大于 0 即可設(shè) g(x)x23x1m，則 g(x)在區(qū)間1，1上單調(diào)遞減，所以 g(x)ming(1)m1，由m10，得 m1.因此滿足條件的實(shí)數(shù) m 的取值范圍是(，1)綜合題組練1若函數(shù) f(x)x2a|x|2，xr 在

15、區(qū)間3，)和2，1上均為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是()a113，3b6，4c3，2 2d4，3解析：選 b由于 f(x)為 r 上的偶函數(shù)，因此只需考慮函數(shù) f(x)在(0，)上的單調(diào)性即可由題意知函數(shù) f(x)在3，)上為增函數(shù)，在1，2上為減函數(shù)，故a22，3，即a6，42(2020福建連城一模)已知函數(shù) f(x)2ax2ax1(a0)，若 x1f(x2)cf(x1)f(x2)d與 x 的值無關(guān)解析：選 c由題知二次函數(shù) f(x)的圖象開口向下，圖象的對(duì)稱軸為 x14，因?yàn)?x1x20， 所以直線 xx1， xx2關(guān)于直線 x0 對(duì)稱， 由x1x2， 結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知 f(x1)

16、0 且 f(x)min1b24a0，聯(lián)立解得 a1，b2，所以 f(x)x22x1.因?yàn)?g(x)f(x)kxx22x1kxx2(2k)x1x2k221（2k）24， 所以當(dāng)k222 或k222 時(shí)，函數(shù) g(x)在2，2上是單調(diào)函數(shù)，故實(shí)數(shù) k 的取值范圍是(，26，)答案：x22x1(，26，)4(創(chuàng)新型)定義：如果在函數(shù) yf(x)定義域內(nèi)的給定區(qū)間a，b上存在 x0(ax0b)，滿足 f(x0)f（b）f（a）ba，則稱函數(shù) yf(x)是a，b上的“平均值函數(shù)”，x0是它的一個(gè)均值點(diǎn)，如 yx4是1，1上的平均值函數(shù)，0 就是它的均值點(diǎn)現(xiàn)有函數(shù) f(x)x2mx1 是1，1上的平均值函

17、數(shù)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_解析：因?yàn)楹瘮?shù) f(x)x2mx1 是1，1上的平均值函數(shù)，設(shè) x0為均值點(diǎn)，所以f（1）f（1）1（1）mf(x0)，即關(guān)于 x0的方程x20mx01m 在(1，1)內(nèi)有實(shí)數(shù)根，解方程得 x01 或 x0m1.所以必有1m11，即 0m1 時(shí)，求函數(shù) g(x)的最小值解：(1)f(x)在 y 軸右側(cè)的圖象如圖所示若 x0，則x0)，所以 f(x)x22x（x0） ，x22x（x0）.(2)由(1)知 g(x)x22x2ax2，其圖象的對(duì)稱軸方程為 xa1，當(dāng) a1 時(shí)，a12，g(x)x22x2ax2 在1，2上單調(diào)遞減，則 g(x)在1，2上的最小值為 g(2)24a.6已知函數(shù) f(x)x22ax5(a1)(1)若函數(shù) f(x)的定義域和值域均為1，a，求實(shí)數(shù) a 的值；(2)若 f(x)在區(qū)間(， 2上是減函數(shù)， 且對(duì)任意的 x1， x21， a1， 總有|f(x1)f(x2)|4，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍解：(1)因?yàn)?f(x)x22ax5 在(，a上為減函數(shù)，所以 f(x)x22ax5(a1)在1，a上單調(diào)遞減，即 f(x)maxf(1)a，f(x)minf(a)1，所以