專題8.7 立體幾何中的向量方法2022年高考數(shù)學一輪復習講練測（新教材新高考）（講）解析版

1、專題8.7 立體幾何中的向量方法新課程考試要求1.理解直線的方向向量與平面的法向量.2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系.3.能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理(包括三垂線定理). 4會用向量方法求解兩異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的問題.核心素養(yǎng)本節(jié)涉及的數(shù)學核心素養(yǎng)：數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象等.考向預測（1）以幾何體為載體，綜合考查平行或垂直關系證明，以及角與距離的計算.（2）利用幾何法證明平行、垂直關系，利用空間向量方法求角或距離.（3）利用空間向量證明平行或垂直是高考的熱點，內容以解答題中的一問為主，主要圍繞考查空間直角坐標

2、系的建立、空間向量的坐標運算能力和分析解決問題的能力命制試題，以多面體為載體、證明線面(面面)的平行(垂直)關系是主要命題方向空間的角與距離的計算（特別是角的計算）是高考熱點，一般以大題的條件或一小問形式呈現(xiàn)，考查用向量方法解決立體幾何問題，將空間幾何元素之間的位置關系轉化為數(shù)量關系，并通過計算解決立體幾何問題距離問題往往在與有關面積、體積的計算中加以考查此類問題往往屬于“證算并重”題，即第一問用幾何法證明平行關系或垂直關系，第二問則通過建立空間直角坐標系，利用空間向量方法進一步求角或距離.【知識清單】知識點1利用空間向量證明平行問題1.直線的方向向量與平面的法向量的確定直線的方向向量：l是空

3、間一直線，a，b是直線l上任意兩點，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量平面的法向量可利用方程組求出：設a，b是平面內兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為2.用向量證明空間中的平行關系設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2(或l1與l2重合)v1v2.設直線l的方向向量為v，與平面共面的兩個不共線向量v1和v2，則l或l存在兩個實數(shù)x，y，使vxv1yv2.設直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則l或lvu.設平面和的法向量分別為u1，u2，則u1u2.知識點2利用空間向量證明垂直問題1. 用向量證明空間中的垂直關系 設直線l1和

4、l2的方向向量分別為v1和v2，則l1l2v1v2v1·v20. 設直線l的方向向量為v，平面的法向量為u，則lvu. 設平面和的法向量分別為u1和u2，則u1u2u1·u20.2.共線與垂直的坐標表示設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ababa1b1，a2b2，a3b3(r)，aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)知識點3異面直線所成的角1.兩條異面直線所成的角定義：設a，b是兩條異面直線，過空間任一點o作直線aa，bb，則a與b所夾的銳角或直角叫做a與b所成的角范圍：兩異面直線所成角的取值范圍是向量求法：設直線a，b的方

5、向向量為a，b，其夾角為，則有.知識點4直線與平面所成角1直線和平面所成角的求法：如圖所示，設直線l的方向向量為e，平面的法向量為n，直線l與平面所成的角為，兩向量e與n的夾角為，則有sin |cos |.知識點5二面角1求二面角的大小(1)如圖1，ab、cd是二面角l的兩個面內與棱l垂直的直線，則二面角的大小，(2)如圖2、3，分別是二面角l的兩個半平面，的法向量，則二面角的大小(或)知識點6利用向量求空間距離1空間向量的坐標表示及運算(1)數(shù)量積的坐標運算設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則a±b(a1±b1，a2±b2，a3±b3)

6、；a(a1，a2，a3)；a·ba1b1a2b2a3b3.(2)共線與垂直的坐標表示設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則ababa1b1，a2b2，a3b3(r)，aba·b0a1b1a2b2a3b30(a，b均為非零向量)(3)模、夾角和距離公式設a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，則|a|，cosa，b.設a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，則.2. 點面距的求法如圖，設ab為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則b到平面的距離d.【考點分類剖析】考點一 ：利用空間向量證明平行問題【典例1】(湖北高考真題)如圖，在棱長為2的正方體

7、中，分別是棱的中點，點分別在棱,上移動，且.（1） 當時，證明：直線平面.【答案】直線平面.【解析】以為原點，射線分別為軸的正半軸建立如圖3的空間直角坐標系，由已知得，所以，（1）證明：當時，因為，所以，即，而平面，且平面，故直線平面.【規(guī)律方法】利用空間向量證明平行的方法【變式探究】（選自天津高考真題）如圖，在三棱錐p-abc中，pa底面abc，.點d，e，n分別為棱pa，pc，bc的中點，m是線段ad的中點，pa=ac=4，ab=2. （）求證：mn平面bde；【答案】 （）證明見解析 【解析】如圖，以a為原點，分別以，方向為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標系.依題意可得a（0，0，

8、0），b（2，0，0），c（0，4，0），p（0，0，4），d（0，0，2），e（0，2，2），m（0，0，1），n（1，2，0）.（）證明：=（0，2，0），=（2，0，）.設，為平面bde的法向量，則，即.不妨設，可得.又=（1，2，），可得.因為平面bde，所以mn/平面bde.【總結提升】證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內的不共線的兩個向量共面，然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉化為了數(shù)量的計算問題考點二 ： 利用空間向量證明垂直問題【典例2】（2021·浙江高二期末）已知正方體，是棱的中點，則在棱上

9、存在點，使得（ ）abc平面d平面【答案】b【解析】建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1，寫出點的坐標，用向量法確定線線平行與垂直，由向量與平行法向量的平行與垂直確定線面的平行與垂直【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則，設（，則，因為，所以不可能平行，即不可能平行，又，因此可以垂直，即與可能垂直，設平面的一個法向量為，則，取，則，與不可能平行，因此與平面不可能垂直，因此與不可能垂直，因此與平面不可能平行，故選：b【規(guī)律方法】用空間向量證明垂直問題的方法【變式探究】在邊長是2的正方體-中，分別為的中點. 應用空間向量方法求解下列問題. (1)求ef的長 (2)證明

10、：平面； (3)證明: 平面.【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.【解析】 (1)如圖建立空間直角坐標系 4分（2） 而 平面 8分（3） 又 平面. 【總結提升】1.證明直線與直線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直，而直線與平面垂直，平面與平面垂直可轉化為直線與直線垂直證明2.要證明兩線垂直，需轉化為兩線對應的向量垂直，進一步轉化為證明兩向量的數(shù)量積為零，這是證明兩線垂直的基本方法，線線垂直是證明線面垂直，面面垂直的基礎3.證明線面垂直，可利用判定定理如本題解法4.用向量證明兩個平面垂直，關鍵是求出兩個平面的法向量，把證明面面垂直轉化為法向量垂直考點三 ： 異面直線所成的角【典例

11、3】（2021·天津高二期末）如圖，在棱長為1的正方體abcda1b1c1d1中，e，f分別為dd1，bd的中點，點g在cd上，且cgcd.（1）求證：efb1c；（2）求ef與c1g所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】如圖建立空間直角坐標系，（1）利用空間向量證明，（2）利用空間向量求解【詳解】以d為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系dxyz.則e（），（1），（2）由（1）知，設ef與c1g所成角為，則故ef與c1g所成角的余弦值為【特別提醒】提醒：兩異面直線所成角的范圍是，兩向量的夾角的范圍是0，當兩異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是這兩條異

12、面直線所成的角；當兩異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是兩異面直線所成的角【變式探究】（2021·江蘇省蘇州第十中學校高一月考）由兩塊直角三角形拼成如圖所示的空間立體圖形，其中，當時，此時四點外接球的體積為_；異面直線所成角的余弦為_.【答案】； . 【解析】求得，取的中點，由得點是四面體外接球的球心，外接球半徑，進而可得外接球的體積；證得平面，建系如圖，由空間向量的夾角公式可得結果.【詳解】依題意可知，當時，則，取的中點，則；又，則，所以，即點是四面體外接球的球心，外接球半徑，故外接球的體積.依題意，當時，則，又，且，所以平面. 以點為原點，為軸，軸建立空間直角坐標系如圖.

13、過點作于點，由得，則，所以，又，則，.設異面直線，所成的角為，則.故答案為：；.【總結提升】向量法求兩異面直線所成角的步驟(1)選好基底或建立空間直角坐標系；(2)求出兩直線的方向向量v1，v2；(3)代入公式|cosv1，v2|求解考點四 ： 直線與平面所成角【典例4】（2021·浙江高考真題）如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，m，n分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）要證，可證，由題意可得，易證，從而平面，即有，從而得證；（2）取中點，根據(jù)題意可知，兩兩垂直，所以以點為坐標原點，建立空間直角坐標系，再分別

14、求出向量和平面的一個法向量，即可根據(jù)線面角的向量公式求出【詳解】（1）在中，由余弦定理可得，所以，由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系, 則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為【規(guī)律方法】利用向量法求線面角的方法(1)分別求出斜線和它在平面內的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角(鈍角時取其補角)，取其余角就是斜線和平面所成的角.【變式探究

15、】（2020·北京高考真題）如圖，在正方體中，e為的中點（）求證：平面；（）求直線與平面所成角的正弦值【答案】（）證明見解析；（）.【解析】（）如下圖所示：在正方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則，平面，平面，平面；（）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則、，設平面的法向量為，由，得，令，則，則.因此，直線與平面所成角的正弦值為.考點五 ： 二面角【典例5】（江蘇省揚州市2020-2021學年高二下學期期中調研數(shù)學試題）已知在四棱錐中，平面為的中點.（1）求證;平面;（2）若，求銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析

16、；（2）.【解析】（1）取的中點為，分別連接，證明后可得線面平行；（2）以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，用空間向量法求二面角【詳解】（1）證明：取的中點為，分別連接又因為為的中點，所以，且又因為所以，所以四邊形是平行四邊形，所以又平面平面 所以平面 （2）解：由題意三條直線兩兩相互垂直.以分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系如圖，因為在四邊形中，所以點在線段的垂直平分線上.又因為所以所以有點，所以設平面的一個法向量，則 令得 易知平面的一個法向量為， 因為，所以 ，所以銳二面角的余弦值為.【規(guī)律方法】利用向量法計算二面角大小的常用方法(1)找法向量法：分別求出二面角的兩個半平面所在平面的法

17、向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小(2)找與棱垂直的方向向量法：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小【變式探究】（2019年高考全國卷理）圖1是由矩形adeb，rtabc和菱形bfgc組成的一個平面圖形，其中ab=1，be=bf=2，fbc=60°，將其沿ab，bc折起使得be與bf重合，連結dg，如圖2.（1）證明：圖2中的a，c，g，d四點共面，且平面abc平面bcge；（2）求圖2中的二面角bcga的大小.【答案】（1）見解析；（2）.【解析】（1）由已知得

18、adbe，cgbe，所以adcg，故ad，cg確定一個平面，從而a，c，g，d四點共面由已知得abbe，abbc，故ab平面bcge又因為ab平面abc，所以平面abc平面bcge（2）作ehbc，垂足為h因為eh平面bcge，平面bcge平面abc，所以eh平面abc由已知，菱形bcge的邊長為2，ebc=60°，可求得bh=1，eh=以h為坐標原點，的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系hxyz，則a（1，1，0），c（1，0，0），g（2，0，），=（1，0，），=（2，1，0）設平面acgd的法向量為n=（x，y，z），則即所以可取n=（3，6，）又平面bcge的法向量可取為m=（0，1，0），所以因此二面角bcga的大小為30°考點六 ： 利用向量求空間距離【典例6】（2021·北京高二期末）如圖，在長方體中，底面是邊長為的正方形，分別為的中點（1）求證：平面；（2）求直線