考點11 導數的概念及計算-備戰(zhàn)2020年高考數學（文）考點一遍過_20210103224741

1、考點11 導數的概念及計算1導數概念及其幾何意義（1）了解導數概念的實際背景.（2）理解導數的幾何意義.2導數的運算（1）能根據導數定義求函數y=c（c為常數），的導數.（2）能利用下面給出的基本初等函數的導數公式和導數的四則運算法則求簡單函數的導數. 常見基本初等函數的導數公式：；. 常用的導數運算法則：法則1：.法則2：.法則3：.一、導數的概念1平均變化率函數從到的平均變化率為，若，則平均變化率可表示為.2瞬時速度一般地，如果物體的運動規(guī)律可以用函數來描述，那么，物體在時刻的瞬時速度v就是物體在到這段時間內，當無限趨近于0時，無限趨近的常數.3瞬時變化率定義式實質瞬時變化率是當自變量的改

2、變量趨近于0時，平均變化率趨近的值作用刻畫函數在某一點處變化的快慢4導數的概念一般地，函數在處的瞬時變化率是，我們稱它為函數在處的導數，記作或，即.【注】函數在處的導數是在處的瞬時變化率.5導函數的概念如果函數在開區(qū)間(a，b)內的每一點都是可導的，則稱在區(qū)間(a，b)內可導這樣，對開區(qū)間(a，b)內的每一個值x，都對應一個確定的導數，于是在區(qū)間(a，b)內構成一個新的函數，我們把這個函數稱為函數的導函數(簡稱導數)，記為或，即.二、導數的幾何意義函數在處的導數就是曲線在點處的切線的斜率，即.【注】曲線的切線的求法：若已知曲線過點p(x0，y0)，求曲線過點p的切線，則需分點p(x0，y0)是

3、切點和不是切點兩種情況求解（1）當點p(x0，y0)是切點時，切線方程為yy0=f (x0)(xx0)；（2）當點p(x0，y0)不是切點時，可分以下幾步完成：第一步：設出切點坐標p(x1，f (x1)；第二步：寫出過p(x1，f (x1)的切線方程為yf (x1)=f (x1)(xx1)；第三步：將點p的坐標(x0，y0)代入切線方程求出x1；第四步：將x1的值代入方程yf (x1)=f (x1)(xx1)，可得過點p(x0，y0)的切線方程三、導數的計算1基本初等函數的導數公式函數導數f (x)=c(c為常數)=f (x)=sin xf (x)=cos xf (x)=ln x2導數的運算法

4、則（1）.（2）.（3）.3復合函數的導數復合函數y=f(g(x)的導數和函數y=f (u)，u=g(x)的導數間的關系為yx=yu·ux，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積考向一 導數的計算1導數計算的原則和方法（1）原則：先化簡解析式，使之變成能用八個求導公式求導的函數的和、差、積、商，再求導（2）方法：連乘積形式：先展開化為多項式的形式，再求導；分式形式：觀察函數的結構特征，先化為整式函數或較為簡單的分式函數，再求導；對數形式：先化為和、差的形式，再求導；根式形式：先化為分數指數冪的形式，再求導；三角形式：先利用三角函數公式轉化為和或差的形式，再求導.2求復合函

5、數的導數的關鍵環(huán)節(jié)和方法步驟（1）關鍵環(huán)節(jié)：中間變量的選擇應是基本函數結構；正確分析出復合過程；一般是從最外層開始，由外及里，一層層地求導；善于把一部分表達式作為一個整體；最后結果要把中間變量換成自變量的函數.（2）方法步驟：分解復合函數為基本初等函數，適當選擇中間變量；求每一層基本初等函數的導數；每層函數求導后，需把中間變量轉化為自變量的函數.典例1 求下列函數的導函數：（1）；（2）；（3）；（4）.【解析】（1），；（2）由題得，則.（3）.（4）.【名師點睛】熟記基本初等函數的求導公式，導數的四則運算法則是正確求導數的基礎.（1）運用基本初等函數求導公式和運算法則求函數在開區(qū)間(a,b

6、)內的導數的基本步驟：分析函數的結構和特征；選擇恰當的求導公式和運算法則求導；整理得結果.（2）對較復雜的函數求導數時，先化簡再求導.如對數函數的真數是根式或分式時，可用對數的性質將真數轉化為有理式或整式求解更為方便；對于三角函數，往往需要利用三角恒等變換公式，將函數式進行化簡，使函數的種類減少，次數降低，結構盡量簡單，從而便于求導. 1函數的導數是abcd2已知函數的導函數為，且滿足關系式，則的值等于abcd考向二 導數的幾何意義求曲線y=f (x)的切線方程的類型及方法（1）已知切點p(x0, y0)，求y=f (x)過點p的切線方程：求出切線的斜率f (x0)，由點斜式寫出方程；（2）已

7、知切線的斜率為k，求y=f (x)的切線方程：設切點p(x0, y0)，通過方程k=f (x0)解得x0，再由點斜式寫出方程；（3）已知切線上一點(非切點)，求y=f (x)的切線方程：設切點p(x0, y0)，利用導數求得切線斜率f (x0)，再由斜率公式求得切線斜率，列方程(組)解得x0，最后由點斜式或兩點式寫出方程（4）若曲線的切線與已知直線平行或垂直，求曲線的切線方程時，先由平行或垂直關系確定切線的斜率，再由k=f (x0)求出切點坐標(x0, y0)，最后寫出切線方程（5）在點p處的切線即是以p為切點的切線，p一定在曲線上.過點p的切線即切線過點p，p不一定是切點因此在求過點p的切線

8、方程時，應首先檢驗點p是否在已知曲線上典例2 已知函數.（1）求這個函數的圖象在處的切線方程；（2）若過點的直線與這個函數圖象相切，求直線的方程.【解析】（1），當時，這個函數的圖象在處的切線方程為.（2）設直線與這個函數的圖象的切點為，則直線的方程為，由直線過點，得，則直線的斜率為，從而直線的方程為.【規(guī)律總結】求切線方程的步驟：(1)利用導數公式求導數(2)求斜率(3)寫出切線方程注意導數為0和導數不存在的情形 3若為奇函數，則曲線在處的切線的斜率為abcd1函數f(x)=2x在x=0處的導數是a0 b1cln2 d1ln22若曲線在點處的切線的斜率為，則a2b3c4d53已知函數f(x)

9、的圖象如圖，f'(x)是f(x)的導函數，則下列數值排序正確的是a0<f'(2)<f'(3)<f(3)-f(2)b0<f'(3)<f'(2)<f(3)-f(2)c0<f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)d0<f(3)-f(2)<f'(2)<f'(3)4設是上的偶函數，當時，則在處的切線方程為abcd5已知在上連續(xù)可導，為其導函數，且，則abc0d6放射性元素由于不斷有原子放射出微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現象稱為衰變.假設在放射性同

10、位素銫137的衰變過程中，其含量m(單位：太貝克)與時間t(單位：年)滿足函數關系：，其中為時銫137的含量，已知時，銫137含量的變化率為(太貝克/年)，則a5太貝克 b太貝克 c太貝克 d150太貝克7已知過點且與曲線相切的直線的條數有a0b1c2d38設過曲線f(x)=ex+x+2a（e為自然對數的底數）上任意一點處的切線為l1，總存在過曲線g(x)=a2(1-2x)-2sinx上一點處的切線l2，使得l1l2，則實數a的取值范圍為a-1,1 b-2,2c-1,2 d-2,19已知函數fx的導函數為f'x，且滿足fx=2xf'e+lnx，則f'e=_10曲線y=a

11、ex+2的切線方程為2x-y+6=0，則實數a的值為_11若點p是函數y=圖象上任意一點，直線l為點p處的切線，則直線l斜率的取值范圍是_12已知曲線，求:（1）曲線在點處的切線方程；（2）曲線過點的切線方程.13已知函數的圖象過點，且在點處的切線方程為（1）求和的值；（2）求函數的解析式1（2019年高考全國卷文數）曲線y=2sinx+cosx在點(，-1)處的切線方程為ab cd2（2019年高考全國卷文數）已知曲線在點（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則a ba=e，b=1c d，3（2018年高考全國卷文數）設函數.若為奇函數，則曲線在點處的切線方程為abcd4（2019年高考全

12、國卷文數）曲線在點處的切線方程為_5（2019年高考天津文數）曲線在點處的切線方程為_.6（2018年高考天津文數）已知函數f(x)=exlnx，f(x)為f(x)的導函數，則f （1）的值為_7（2018年高考全國卷文數）曲線在點處的切線方程為_8（2017年高考全國卷文數）曲線在點（1，2）處的切線方程為_9（2017年高考天津文數）已知，設函數的圖象在點（1，）處的切線為l，則l在y軸上的截距為_10（2019年高考江蘇）在平面直角坐標系中，p是曲線上的一個動點，則點p到直線的距離的最小值是 .11（2019年高考北京文數節(jié)選）已知函數（）求曲線的斜率為1的切線方程；12（2018年高考

13、全國卷文數節(jié)選）已知函數（1）求曲線在點處的切線方程；變式拓展1【答案】c【解析】根據題意，其導數，故選c【名師點睛】本題考查導數運算法則，考查基本分析求解能力，屬基礎題.根據導數運算法則求解即可.2【答案】a【解析】由可得，當時，解得：，則，故，故選a.【名師點睛】本題主要考查導數的計算，解題的關鍵是理解為一個常數，考查學生的基本的計算能力，屬于基礎題.求解時，對求導，取，求出，再取，即可求出.3【答案】d【解析】是奇函數，.曲線在處的切線的斜率為4.故選d.【名師點睛】本題主要考查函數奇偶性的應用，考查求導和切線的斜率的求法，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.求解時，先根據函

14、數的奇偶性求出a=2，再求出函數的導數和切線的斜率.考點沖關1【答案】c【解析】因為fx=2x,所以f'x=ln2×2x,則f'0=ln2×20=ln2，故選c2【答案】d【解析】，故選d.【名師點睛】本題考查了曲線的切線方程，熟悉函數的導函數的幾何意義以及求導函數是解題的關鍵，屬于基礎題.求解時，先求其導函數，再將x=1代入其斜率為，可得答案.3【答案】c【解析】結合函數的圖象可知過點a(2,f(2)的切線的傾斜角較大，過點b(3,f(3)的切線的傾斜角較小，又因為過點a(2,f(2)的切線的斜率k1=f'(2)，過點b(3,f(3)的切線的斜率k

15、2=f'(3)，直線ab的斜率kab=f(3)-f(2)3-2=f(3)-f(2)，故f'(3)<f(3)-f(2)<f'(2)，應選c.4【答案】d【解析】由是上的偶函數得，當時，則，故在處的切線方程為，即，故選d.【名師點睛】本題主要考查導數的幾何意義，利用導數求解曲線的切線問題，一般是先求切線的斜率，再利用點斜式求解切線.解答本題時，結合偶函數的特點先求出時的解析式，然后再求解處的切線.5【答案】c【解析】對x求導數得，f （x）=f （x），所以f （x）是r上的奇函數，則f （0）0，f （2）f （2），即f （2）+f （2）0，所以f 

16、9;（2）+f '（2）f '（0）f '（1）0，故選c【名師點睛】本題主要考查函數導數值的計算，根據條件判斷函數的奇偶性是解決本題的關鍵，是中檔題.求解時，根據條件判斷函數f （x）的奇偶性，利用奇偶性的性質進行求解即可6【答案】d 【解析】因為，所以，解得.所以，所以時，銫137的含量為（太貝克）.7【答案】c【解析】若直線與曲線切于點，則，又，解得，過點與曲線相切的直線方程為或，故選c【名師點睛】本題主要考查了利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線方程，其中解答中熟記利用導數的幾何意義求解切線的方程是解答的關鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題

17、求解本題時，設切點為，則，由于直線經過點，可得切線的斜率，再根據導數的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關于的方程，從而可求方程8【答案】c【解析】因為切線l1，l2的切點分別為(x1,f(x1),(x2,g(x2),而f'(x)=ex+1,g'(x)=-a-2cosx，所以f'(x1)=ex1+1,g'(x2)=-a-2cosx2.因為l1l2，所以(ex1+1)(-a-2cosx2)=-1，a+2cosx2=1ex1+1.因為1ex1+1(0，1），a+2cosx2a-2,a+2，所以(0，1)a-2,a+2，因此0a-2,a+21，則-1a2，選c9【

18、答案】-e-1【解析】求導得f'x=2f'e+1x，把x=e代入得f'e=e-1+2f'e，解得f'e=-e-110【答案】2【解析】根據題意，設曲線y=aex+2與2x-y+6=0的切點的坐標為（m，aem+2），導數為y'=aex+2，則切線的斜率k=aem+2 ，又由切線方程為2x-y+6=0，即y=2x+6，則k=aem+2=2，則切線的方程為y-aem+2=aem+2（x-m）， 又由aem+2=2，得切線方程為y-2=2（x-m），即y=2x-2m+2， 則有-2m+2=6，解得m=-2，則切點的坐標為（-2，2），則有2=a

19、5;e-2+2，a=2. 11【答案】【解析】 1sin2x1，01+sin2x2，則，直線l斜率的取值范圍是1，+）故答案為【名師點睛】本題主要考查導數的幾何意義，利用導數研究曲線的切線的斜率問題，側重考查數學運算的核心素養(yǎng).求解時，先求導數，結合導數的幾何意義可知，導數的范圍就是切線的斜率的范圍. 12【解析】（1）的導數為，所以曲線在點處的切線的斜率為，則曲線在點處的切線方程為，即為.（2）設切點為，所以，所以切線方程為，所以，所以，所以，所以切線方程為.【名師點睛】本題考查導數的運用，求切線的方程，掌握導數的幾何意義，同時考查直線的點斜式方程，屬于基礎題（1）求出函數的導數，令求得切線

20、的斜率，由點斜式方程即可得到切線的方程；（2）設切線的切點(a，)，再利用已知求出a的值得解.13【解析】（1）在點處的切線方程為，故點在切線上，且切線斜率為，得且 （2）過點，由得，又由，得，聯立方程得，解得，故直通高考1【答案】c【解析】則在點處的切線方程為，即故選c【名師點睛】本題考查利用導數工具研究曲線的切線方程，滲透了直觀想象、邏輯推理和數學運算素養(yǎng)采取導數法，利用函數與方程思想解題學生易在非切點處直接求導數而出錯，首先證明已知點是否為切點，若是切點，可以直接利用導數求解；若不是切點，設出切點，再求導，然后列出切線方程2【答案】d【解析】切線的斜率，將代入，得.故選d【名師點睛】本題

21、求解的關鍵是利用導數的幾何意義和點在曲線上得到含有a，b的等式，從而求解，屬于?？碱}型.3【答案】d【解析】因為函數f(x)是奇函數，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x，f'(x)=3x2+1，所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f'(0)x，化簡可得y=x.故選d.【名師點睛】該題考查的是有關曲線y=f(x)在某個點(x0,f(x0)處的切線方程的問題，在求解的過程中，首先需要確定函數解析式，此時利用到結論多項式函數中，奇函數不存在偶次項，偶函數不存在奇次項，從而求得相應的參數值，之后利用求導

22、公式求得f'(x)，借助于導數的幾何意義，結合直線方程的點斜式求得結果.4【答案】【解析】所以切線的斜率，則曲線在點處的切線方程為，即【名師點睛】準確求導數是進一步計算的基礎，本題易因為導數的運算法則掌握不熟，而導致計算錯誤求導要“慢”，計算要準，是解答此類問題的基本要求5【答案】【解析】，故所求的切線方程為，即.【名師點睛】曲線切線方程的求法：（1）以曲線上的點(x0，f(x0)為切點的切線方程的求解步驟：求出函數f(x)的導數f(x)；求切線的斜率f(x0)；寫出切線方程yf(x0)f(x0)(xx0)，并化簡（2）如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程6【答案】e【解析】由函數的解析式可得f'(x)=ex×lnx+ex×1x=exlnx+1x，則f'(1)