初中數(shù)學二次函數(shù)知識點匯總

1、名師總結優(yōu)秀知識點1. 定義：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常數(shù)，)0a，那么y叫做x的二次函數(shù) . 2. 二次函數(shù)2axy的性質（ 1）拋物線2axy的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸. （ 2）函數(shù)2axy的圖像與a的符號關系 . 當0a時拋物線開口向上頂點為其最低點；當0a時拋物線開口向下頂點為其最高點. （ 3）頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為2axy）（0a. 3. 二次函數(shù)cbxaxy2的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的拋物線 .4.二 次函 數(shù)cbxaxy2用 配 方法 可 化 成 ：khxay2的 形式 ， 其 中abackabh4422，. 5. 二

2、次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：2axy；kaxy2；2hxay；khxay2；cbxaxy2. 6. 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. a的符號決定拋物線的開口方向：當0a時，開口向上；當0a時，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同. 平行于y軸（或重合）的直線記作hx. 特別地，y軸記作直線0 x. 7. 頂點決定拋物線的位置. 幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù)a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同. 8. 求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，頂點是），（abacab4422，對稱軸是直線

3、abx2. （2）配方法： 運用配方的方法，將拋物線的解析式化為khxay2的形式，得到頂點為(h,k) ，對稱軸是直線hx. （3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分名師總結優(yōu)秀知識點線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點. 用配方法求得的頂點，再用公式法或對稱性進行驗證，才能做到萬無一失. 9. 拋物線cbxaxy2中，cba,的作用（1）a決定開口方向及開口大小，這與2axy中的a完全一樣 . （2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置. 由于拋物線cbxaxy2的對稱軸是直線abx2，故：0b時，對稱軸為y軸；0ab（即a、b同號）

4、時，對稱軸在y軸左側；0ab（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側 . （3）c的大小決定拋物線cbxaxy2與y軸交點的位置 . 當0 x時，cy，拋物線cbxaxy2與y軸有且只有一個交點（0，c） ：0c，拋物線經(jīng)過原點; 0c, 與y軸交于正半軸；0c, 與y軸交于負半軸. 以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則0ab. 10. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向對稱軸頂點坐標2axy當0a時開口向上當0a時開口向下0 x（y軸）（0,0 ）kaxy20 x（y軸）(0, k) 2hxayhx(h,0) khxay2hx(h,k) cbx

5、axy2abx2(abacab4422，) 11. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：cbxaxy2. 已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式. （2）頂點式：khxay2. 已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式. （3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標1x、2x，通常選用交點式：21xxxxay. 12. 直線與拋物線的交點（1）y軸與拋物線cbxaxy2得交點為 (0, c). 名師總結優(yōu)秀知識點（2）與y軸平行的直線hx與拋物線cbxaxy2有且只有一個交點(h,cbhah2). （3）拋物線與x軸的交點二次函數(shù)cbxaxy2的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標1x、2x，

6、是對應一元二次方程02cbxax的兩個實數(shù)根. 拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點0拋物線與x軸相交；有一個交點（頂點在x軸上）0拋物線與x軸相切；沒有交點0拋物線與x軸相離 . （4）平行于x軸的直線與拋物線的交點同（ 3）一樣可能有0 個交點、 1 個交點、 2 個交點 . 當有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相等，設縱坐標為k，則橫坐標是kcbxax2的兩個實數(shù)根. （5）一次函數(shù)0knkxy的圖像l與二次函數(shù)02acbxaxy的圖像g的交點，由方程組cbxaxynkxy2的解的數(shù)目來確定： 方程組有兩組不同的解時l與g有兩個交點 ; 方程組只有一組

7、解時l與g只有一個交點；方程組無解時l與g沒有交點 . （6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線cbxaxy2與x軸兩交點為0021，xbxa，由于1x、2x是方程02cbxax的兩個根，故acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxab444222122122121二次函數(shù)的解析式有三種形式：（1）一般式：)0,(2acbacbxaxy是常數(shù)，（2）頂點式：)0,()(2akhakhxay是常數(shù)，（3） 當拋物線cbxaxy2與 x 軸有交點時， 即對應二次好方程02cbxax有實根1x和2x存在時，根據(jù)二次三項式的分解因式)(212xxxxacbxax，二次函數(shù)cbxa

8、xy2可轉化為兩根式)(21xxxxay。如果沒有交點，則不能這樣表示。名師總結優(yōu)秀知識點考點三、二次函數(shù)的最值（10 分） 如果自變量的取值范圍是全體實數(shù)，那么函數(shù)在頂點處取得最大值（或最小值） ，即當abx2時，abacy442最值。如果自變量的取值范圍是21xxx，那么，首先要看ab2是否在自變量取值范圍21xxx內，若在此范圍內， 則當 x=ab2時，abacy442最值；若不在此范圍內，則需要考慮函數(shù)在21xxx范圍內的增減性， 如果在此范圍內， y 隨 x 的增大而增大， 則當2xx時，cbxaxy222最大，當1xx時，cbxaxy121最??； 如果在此范圍內， y 隨 x 的增

9、大而減小， 則當1xx時，cbxaxy121最大，當2xx時，cbxaxy222最小?？键c四、二次函數(shù)的性質（614 分）1、二次函數(shù)的性質函數(shù)二次函數(shù))0,(2acbacbxaxy是常數(shù)，圖像a0 a0 y 0 x y 0 x 性質（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（2）對稱軸是x=ab2，頂點坐標是（ab2，abac442） ；（3）在對稱軸的左側，即當xab2時， y 隨 x 的增大而增大， 簡記左減右增；（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2）對稱軸是x=ab2，頂點坐標是（ab2，abac442） ；（3）在對稱軸的左側，即當xab2時，y 隨 x 的增大而減小，簡記左增右減

10、；名師總結優(yōu)秀知識點（4）拋物線有最低點，當x=ab2時， y 有最小值，abacy442最小值（4）拋物線有最高點，當x=ab2時， y 有最大值，abacy442最大值2、二次函數(shù))0,(2acbacbxaxy是常數(shù)，中，cb、a的含義：a表示開口方向：a0時，拋物線開口向上， ， ，a0 時，圖像與x 軸有兩個交點；當=0 時，圖像與x 軸有一個交點；當0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或左 (h0)【或左 (h0)【或下 (k0)【或向下 (k0)】平移 |k|個單位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移規(guī)律在原有函數(shù)的基礎上“ h值正右移，負左

11、移；k 值正上移，負下移” 概括成八個字“同左上加，異右下減 ” 三、二次函數(shù)2ya xhk與2yaxbxc的比較請將2245yxx利用配方的形式配成頂點式。請將2yaxbxc配成2ya xhk?？偨Y：從解析式上看，2ya xhk與2yaxbxc是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即22424bacbya xaa，其中2424bacbhkaa，a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質0a向上hk，x=h xh 時，y隨 x 的增大而增大；xh 時，y隨x 的增大而減?。粁h 時，y有最小值 k 0a向下hk，x=h xh時，y隨 x 的增大而減?。粁h時，y隨x 的增大而增大；xh時，y

12、有最大值 k 名師總結優(yōu)秀知識點四、二次函數(shù)2yaxbxc圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)2yaxbxc 化為頂點式2()ya xhk，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖. 一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點0c，、以及0c，關于對稱軸對稱的點2hc，、與 x 軸的交點10 x ，20 x ，（若與 x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）. 畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點 . 五、二次函數(shù)2yaxbxc的性質1. 當0a時，拋物線開口向上，對稱軸為2bxa，頂點坐標為2424bacbaa，當2b

13、xa時，y隨 x 的增大而減小；當2bxa時，y隨 x 的增大而增大；當2bxa時，y有最小值244acba2. 當0a時，拋物線開口向下，對稱軸為2bxa，頂點坐標為2424bacbaa，當2bxa時，y隨 x的增大而增大；當2bxa時，y隨 x的增大而減小；當2bxa時，y有最大值244acba六、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：2yaxbxc （ a， b， c 為常數(shù) ，0a） ；2. 頂點式：2()ya xhk （ a ， h ， k 為常數(shù) ，0a） ；3. 兩根式：12()()ya xxxx（0a，1x ，2x 是拋物線與x 軸兩交點的橫坐標）. 注意：任何二次函數(shù)的解析式

14、都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與x 軸有交點，即240bac時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.七、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1. 二次項系數(shù)a二次函數(shù)2yaxbxc中， a 作為二次項系數(shù)，顯然0a名師總結優(yōu)秀知識點 當0a時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大； 當0a時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大總結起來， a 決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a 的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù)b在二次項系數(shù)a 確定的前提下，b

15、決定了拋物線的對稱軸 在0a的前提下，當0b時，02ba，即拋物線的對稱軸在y軸左側； ab 同號同左上加當0b時，02ba，即拋物線的對稱軸就是y軸；當0b時，02ba，即拋物線對稱軸在y軸的右側 a,b 異號異右下減 在0a的前提下，結論剛好與上述相反，即當0b時，02ba，即拋物線的對稱軸在y軸右側； a,b 異號異右下減當0b時，02ba，即拋物線的對稱軸就是y軸；當0b時，02ba，即拋物線對稱軸在y軸的左側 ab 同號同左上加總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置總結：同左上加異右下減3. 常數(shù)項 c 當0c時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正； 當0c時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0 ； 當0c時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負總結起來，c