高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：5.1 數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法 Word版含答案_20210103224744

1、淘寶店鋪：漫兮教育第一節(jié)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法數(shù)列的概念及表示方法(1)了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)(2)了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類函數(shù)知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的概念1數(shù)列的定義按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫作這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(通常也叫作首項(xiàng))2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項(xiàng)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)有限無(wú)窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)無(wú)限按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系遞增數(shù)列an1an其中nn遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an,搖擺數(shù)列從第2項(xiàng)起有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)易誤提醒1由前n項(xiàng)寫通項(xiàng)、數(shù)列的通項(xiàng)并不唯一2易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)兩個(gè)不同的概

2、念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào)自測(cè)練習(xí)1數(shù)列an：1，的一個(gè)通項(xiàng)公式是()aan(1)n1(nn)ban(1)n1(nn)can(1)n1(nn)dan(1)n1(nn)解析：觀察數(shù)列an各項(xiàng)，可寫成：，故選d.答案：d2已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為ann28n15，則3()a不是數(shù)列an中的項(xiàng)b只是數(shù)列an中的第2項(xiàng)c只是數(shù)列an中的第6項(xiàng)d是數(shù)列an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)解析：令an3，即n28n153，解得n2或6，故3是數(shù)列an中的第2項(xiàng)或第6項(xiàng)答案：d知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列與函數(shù)關(guān)系及遞推公式1數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列可以看作定義域?yàn)檎麛?shù)集n(或它的有限子

3、集)的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時(shí)，該函數(shù)對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個(gè)數(shù)列2數(shù)列的遞推公式如果已知數(shù)列an的首項(xiàng)(或前幾項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an1(n2)(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可用一個(gè)公式來(lái)表示，那么這個(gè)公式叫數(shù)列的遞推公式必記結(jié)論an與sn的關(guān)系若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，則an自測(cè)練習(xí)3在數(shù)列an中，a11，an2an11，則a5的值為()a30 b31c32 d33解析：a52a412(2a31)122a32123a2222124a123222131.答案：b4已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn2n3，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式是_解析：當(dāng)n1時(shí)，a1s1231，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(2n

4、3)(2n13)2n2n12n1.故an答案：an 考點(diǎn)一由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)公式|1下列公式可作為數(shù)列an：1,2,1,2,1,2，的通項(xiàng)公式的是()aan1 bancan2 dan解析：由an2可得a11，a22，a31，a42，.答案：c2根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)，寫出各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：(1)4,6,8,10，；(2)，；(3)a，b，a，b，a，b，(其中a，b為實(shí)數(shù))；(4)9,99,999,9 999，.解：(1)各數(shù)都是偶數(shù)，且最小為4，所以通項(xiàng)公式an2(n1)(nn)(2)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)的絕對(duì)值都等于序號(hào)與序號(hào)加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)，偶數(shù)項(xiàng)為正，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式

5、an(1)n×.(3)這是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列，奇數(shù)項(xiàng)是a，偶數(shù)項(xiàng)是b，所以此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式an(4)這個(gè)數(shù)列的前4項(xiàng)可以寫成101,1001，1 0001,10 0001，所以它的一個(gè)通項(xiàng)公式an10n1.用觀察法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的兩個(gè)技巧(1)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)求它的一個(gè)通項(xiàng)公式，要注意觀察每一項(xiàng)的特點(diǎn)，觀察出項(xiàng)與n之間的關(guān)系、規(guī)律，可使用添項(xiàng)、通分、分割等辦法，轉(zhuǎn)化為一些常見(jiàn)數(shù)列的通項(xiàng)公式來(lái)求(2)對(duì)于正負(fù)符號(hào)變化，可用(1)n或(1)n1來(lái)調(diào)整考點(diǎn)二由an與sn的關(guān)系求通項(xiàng)an|已知下面數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn，求an的通項(xiàng)公式：(1)sn2n23n；(2)sn3nb.解(1)a1s

6、1231，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n5，由于a1也適合此等式，an4n5.(2)a1s13b，當(dāng)n2時(shí)，ansnsn1(3nb)(3n1b)2·3n1.當(dāng)b1時(shí)，a1適合此等式當(dāng)b1時(shí)，a1不適合此等式當(dāng)b1時(shí)，an2·3n1；當(dāng)b1時(shí)，an已知sn求an的三個(gè)步驟(1)先利用a1s1求出a1；(2)用n1替換sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系，利用ansnsn1(n2)便可求出當(dāng)n2時(shí)an的表達(dá)式；(3)對(duì)n1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n1與n2兩段來(lái)寫已知各項(xiàng)均

7、為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和滿足sn>1，且6sn(an1)(an2)，nn，求an的通項(xiàng)公式解：由a1s1(a11)(a12)，解得a11或a12，由已知a1s1>1，因此a12.又由an1sn1sn(an11)(an12)(an1)(an2)，得an1an30或an1an.因?yàn)閍n>0，故an1an不成立，舍去因此an1an30.即an1an3，從而an是以公差為3，首項(xiàng)為2的等差數(shù)列，故an的通項(xiàng)公式為an3n1.考點(diǎn)三由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式|遞推公式和通項(xiàng)公式是數(shù)列的兩種表示方法，它們都可以確定數(shù)列中的任意一項(xiàng)，只是由遞推公式確定數(shù)列中的項(xiàng)時(shí)，不如通項(xiàng)公式直接歸納

8、起來(lái)常見(jiàn)的探究角度有：1形如an1anf(n)，求an.2形如an1anf(n)，求an.3形如an1aanb(a0且a1)，求an.4形如an1(a，b，c為常數(shù))，求an.探究一形如an1anf(n)，求an.1在數(shù)列an中，a11，anan1(n2)解：因?yàn)閍nan1(n2)，所以an1an2，a2a1.由累乘法可得ana1····(n2)又a11符合上式，an.探究二形如an1anf(n)，求an.2在數(shù)列an中，a12，an1an3n2.解：因?yàn)閍n1an3n2，所以anan13n1(n2)，所以an(anan1)(an1an2)(a2a1)a

9、1(n2)當(dāng)n1時(shí)，a12×(3×11)，符合上式，所以ann2.探究三形如an1aanb(a0且a1)求an.3在數(shù)列an中a11，an13an2.解：因?yàn)閍n13an2，所以an113(an1)，所以3，所以數(shù)列an1為等比數(shù)列，公比q3.又a112，所以an12·3n1，所以an2·3n11.探究四形如an1(a，b，c為常數(shù))，求an.4已知數(shù)列an中，a11，an1，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：an1，a11，an0，即，又a11，則1，是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列(n1)×，an(nn*)已知數(shù)列的遞推關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，通常利用累

10、加法、累乘法、構(gòu)造法求解1形如anan1f(n)(n2，nn*)時(shí)，用累加法求解2形如f(n)(an10，n2，nn*)時(shí)，用累乘法求解3形如anan1m(n2，nn*)時(shí)，構(gòu)造等差數(shù)列求解；形如anxan1y(n2，nn*)時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列求解16.函數(shù)思想在數(shù)列中的應(yīng)用【典例】已知數(shù)列an(1)若ann25n4.數(shù)列中有多少項(xiàng)是負(fù)數(shù)？n為何值時(shí)，an有最小值？并求出最小值(2)若ann2kn4且對(duì)于nn*，都有an1>an成立求實(shí)數(shù)k的取值范圍思路點(diǎn)撥(1)求使an<0的n值；從二次函數(shù)看an的最小值(2)數(shù)列是一類特殊函數(shù)，通項(xiàng)公式可以看作相應(yīng)的解析式f(n)n2kn4.f(

11、n)在n*上單調(diào)遞增，但自變量不連續(xù)從二次函數(shù)的對(duì)稱軸研究單調(diào)性解(1)由n25n4<0，解得1<n<4.nn*，n2,3.數(shù)列中有兩項(xiàng)是負(fù)數(shù)，即為a2，a3.ann25n42，對(duì)稱軸方程為n.又nn*，n2或n3時(shí)，an有最小值，其最小值為a2a32.(2)由an1>an知該數(shù)列是一個(gè)遞增數(shù)列，又因?yàn)橥?xiàng)公式ann2kn4，所以(n1)2k(n1)4>n2kn4，即k>12n，又nn*，所以k>3.方法點(diǎn)評(píng)1本題給出的數(shù)列通項(xiàng)公式可以看作是一個(gè)定義在正整數(shù)集上的二次函數(shù)，因此可以利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸來(lái)研究其單調(diào)性，得到實(shí)數(shù)k的取值范圍，使問(wèn)題得到解決

12、2本題易錯(cuò)答案為k>2.原因是忽略了數(shù)列作為函數(shù)的特殊性，即自變量是正整數(shù)3在利用二次函數(shù)的觀點(diǎn)解決該題時(shí)，一定要注意二次函數(shù)對(duì)稱軸位置的選取跟蹤練習(xí)已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(n1)n，試問(wèn)該數(shù)列中有沒(méi)有最大項(xiàng)？若有，求出最大項(xiàng)和最大項(xiàng)的序號(hào)；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由解：法一：an1an(n2)n1(n1)nn×，當(dāng)n<9時(shí)，an1an>0，即an1>an；當(dāng)n9時(shí)，an1an0，即an1an；當(dāng)n>9時(shí)，an1an<0，即an1<an，該數(shù)列中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)，且a9a1010×9.法二：根據(jù)題意，令(n2)，即解得9n10

13、.又nn*，n9或n10，該數(shù)列中有最大項(xiàng)，為第9、10項(xiàng)，且a9a1010×9.a組考點(diǎn)能力演練1已知數(shù)列an滿足a10，an1an21，則a13()a143 b156c168 d195解析：由an1an21得an11(1)2，所以1，又a10，則n，ann21，則a131321168.答案：c2(2015·杭州質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a10，an1(nn*)，則a20()a0 bc. d.解析：本題由數(shù)列遞推關(guān)系式，推得數(shù)列an是周期變化的，找出規(guī)律，再求a20.由a10，an1(nn*)，得a2，a3，a40，由此可知：數(shù)列an是周期變化的，且三個(gè)一循環(huán)，所以可得a20

14、a2，故選b.答案：b3在數(shù)列an中，a38，an1則a5等于()a12 b14c20 d22解析：本題考查數(shù)列的基本性質(zhì)代入得a4a3210，a52a420.答案：c4在數(shù)列an中，有anan1an2(nn*)為定值，且a72，a93，a984，則此數(shù)列an的前100項(xiàng)的和s100()a200 b300c298 d299解析：由題意，知anan1an2an1an2an3，則anan3，所以數(shù)列an是周期為3的周期數(shù)列，則a1a4a7a97a1002，a2a5a984，a3a6a9a993，所以數(shù)列的前100項(xiàng)和為(a1a2a3)×33a100299，故選d.答案：d5已知在數(shù)列an

15、中，a12，a27，若an2等于anan1(nn*)的個(gè)位數(shù)，則a2 016的值為()a8 b6c4 d2解析：因?yàn)閍1a22×714，所以a34；因?yàn)閍2a37×428，所以a48；因?yàn)閍3a44×832，所以a52；因?yàn)閍4a58×216，所以a66；因?yàn)閍5a62×612，所以a72；因?yàn)閍6a76×212，所以a82；依次計(jì)算得a94，a108，a112，a126，所以從第3項(xiàng)起，數(shù)列an成周期數(shù)列，周期為6，因?yàn)? 0162335×64，所以a2 0166.答案：b6已知在數(shù)列an中，a11，a20，若對(duì)任意的正整

16、數(shù)n，m(n>m)，有aaanmanm，則a2 015_.解析：令n2，m1，則aaa1a3，得a31；令n3，m2，則aaa1a5，得a51；令n5，m2，則aaa3a7，得a71，所以猜想當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an為1，1,1，1，所以a2 0151.答案：17若數(shù)列(na)2是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意得，對(duì)任意的nn*.(n1a)2>(na)2恒成立，即2a<2n1恒成立，所以2a<(2n1)min3，則a<.答案：8(2016·蚌埠檢查)已知數(shù)列an滿足：a1為正整數(shù)，an1如果a11，則a1a2a2 014_.解析：由題意知a11，

17、a23×114，a32，a41，a54，a62，所以an的周期為3，因?yàn)? 0143×6711，所以a1a2a3a2 014(142)×67114 698.答案：4 6989已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式為annp，數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bn2n5，設(shè)cn若在數(shù)列cn中，c8>cn(nn*，n8)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍解：由題意得，c8是數(shù)列cn中的最大項(xiàng)，所以解得12<p<17.10已知數(shù)列an中，an1(nn*，ar，且a0)(1)若a7，求數(shù)列an中的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)的值；(2)若對(duì)任意的nn*，都有ana6成立，求a的取值范圍解：(1)an1(nn*，

18、ar，且a0)，又a7，an1.結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>>an>1(nn*)數(shù)列an中的最大項(xiàng)為a52，最小項(xiàng)為a40.(2)an11.對(duì)任意的nn*，都有ana6成立，結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，知5<<6，10<a<8.故a的取值范圍為(10，8)b組高考題型專練1(2012·高考大綱全國(guó)卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a11，sn2an1，則sn()a2n1 b.n1c.n1 d.解析：由已知sn2an1得sn2(sn1sn)，即2sn13sn，而s1a11，所以snn1，故選b.答案：b2(2011·高考四川卷)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若a11，an13sn(n1)，則a6()a3×44 b3×441c45 d451解析：法