考點(diǎn)31 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)-備戰(zhàn)2020年高考數(shù)學(xué)（理）考點(diǎn)一遍過

1、考點(diǎn)31 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)（1）以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，認(rèn)識和理解空間中線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.理解以下判定定理：·如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行.·如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面都平行，那么這兩個平面平行.理解以下性質(zhì)定理，并能夠證明：·如果一條直線與一個平面平行，那么經(jīng)過該直線的任一個平面與此平面的交線和該直線平行.·如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線相互平行.·垂直于同一個平面的兩條直線平行.（2）能運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形

2、的位置關(guān)系的簡單命題.一、直線與平面平行的判定與性質(zhì)1直線與平面平行的判定定理文字語言平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行.簡記為：線線平行線面平行圖形語言符號語言a，b，且aba作用證明直線與平面平行2直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.簡記為：線面平行線線平行圖形語言符號語言作用作為證明線線平行的依據(jù)作為畫一條直線與已知直線平行的依據(jù).二、平面與平面平行的判定與性質(zhì)1平面與平面平行的判定定理文字語言一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.簡記為：線面平行面面平行圖形語言符號語

3、言a，b，a，b作用證明兩個平面平行2平面與平面平行的性質(zhì)定理文字語言如果兩個平行平面同時和第三個平面相交,那么它們的交線平行.簡記為：面面平行線線平行圖形語言符號語言作用證明線線平行3平行問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系三、常用結(jié)論（熟記）1如果兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面2如果兩個平行平面中有一個平面垂直于一條直線，那么另一個平面也垂直于這條直線3夾在兩個平行平面間的平行線段長度相等4經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個平面與已知平面平行5兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例6如果兩個平面分別和第三個平面平行，那么這兩個平面互相平行7如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一

4、個平面內(nèi)的兩條直線，那么這兩個平面平行8如果兩個平面垂直于同一條直線，那么這兩個平面平行考向一 線面平行的判定與性質(zhì)線面平行問題的常見類型及解題策略：(1)線面平行的基本問題判定定理與性質(zhì)定理中易忽視的條件結(jié)合題意構(gòu)造圖形作出判斷舉反例否定結(jié)論或反證法證明(2)線面平行的證明問題判斷或證明線面平行的常用方法有：利用線面平行的定義(無公共點(diǎn))；利用線面平行的判定定理()；利用面面平行的性質(zhì)()；利用面面平行的性質(zhì)().(3)線面平行的探索性問題對命題條件的探索常采用以下三種方法：a.先猜后證，即先觀察與嘗試，給出條件再證明；b.先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明其充分性；c.把

5、幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，探索命題成立的條件對命題結(jié)論的探索常采用以下方法：首先假設(shè)結(jié)論存在，然后在這個假設(shè)下進(jìn)行推理論證，如果通過推理得到了合乎情理的結(jié)論就肯定假設(shè)，如果得到了矛盾的結(jié)果就否定假設(shè).典例1 能保證直線a與平面平行的條件是aa，b，abbb，abcb，c，ab，acdb，aa，ba，cb，db且acbd【答案】a【解析】根據(jù)線面平行的判定定理可知a正確，注意線面平行的判定定理的條件缺一不可bb，ab，a可能在a內(nèi)，錯誤；cb，c，ab，ac，a可能在a內(nèi)，錯誤；db，aa，ba，cb，db且acbd，a可能與a相交，錯誤.故選a1如圖，在正方體abcd-a1b1c1d1中，m,n

6、,p分別是c1d1,bc,a1d1的中點(diǎn)，則下列命題正確的是amn/ap bmn/bd1cmn/平面bb1d1d dmn/平面bdp典例2 如圖，四棱錐p-abcd中，ad/bc，e，f，h分別為線段ad，pc，cd的中點(diǎn)，ac與be交于o點(diǎn)，g是線段of上一點(diǎn).（1）求證：ap/平面bef；（2）求證：gh/平面pad.【解析】（1）如圖，連接ec，ad/bc，bc=ae，bc/ae，四邊形abce是平行四邊形，o為ac的中點(diǎn).又f是pc的中點(diǎn)，fo/ap，又fo平面bef，ap平面bef，ap/平面bef.（2）如圖，連接fh，oh，f，h分別是pc，cd的中點(diǎn)，fh/pd，又pd平面pa

7、d，fh平面pad，fh/平面pad.又o是ac的中點(diǎn)，h是cd的中點(diǎn)，oh/ad，ad平面pad，oh平面pad，oh/平面pad.又fhoh=h，平面ohf/平面pad，又gh平面ohf，gh/平面pad.2如圖所示，在三棱柱中，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，點(diǎn)是棱上的動點(diǎn)，若平面，試判斷點(diǎn)在何位置.考向二 面面平行的判定與性質(zhì)判定面面平行的常見策略：(1)利用定義：即證兩個平面沒有公共點(diǎn)(不常用)(2)利用面面平行的判定定理(主要方法)(3)利用垂直于同一條直線的兩平面平行(客觀題可用)(4)利用平面平行的傳遞性，即兩個平面同時平行于第三個平面，則這兩個平面平行(客觀題可用).典例3 如圖，直角梯形

8、abcd與梯形efcd全等，其中ab/cd/ef，且ed平面abcd，點(diǎn)g是cd的中點(diǎn)（1）求證：平面bcf/平面age；（2）求平面bcf與平面age的距離【解析】（1）ab/cd，g是cd的中點(diǎn)，四邊形abcg為平行四邊形，bc/ag，又ag平面aeg，bc平面aeg，bc/平面aeg，直角梯形abcd與梯形efcd全等，ef/cd/ab，ef=ab，四邊形abfe為平行四邊形，bf/ae，又ae平面aeg，bf平面aeg，bf/平面aeg，bfbc=b，平面bcf/平面age（2）設(shè)點(diǎn)c到平面age的距離為d，易知ae=eg=ag=2，由vc-age=ve-acg，得，即，平面bcf/平

9、面age，平面bcf與平面age間的距離為3如圖，四邊形為矩形，四點(diǎn)共面，且和均為等腰直角三角形，.（1）求證：平面平面；（2）若平面平面，求三棱錐的體積1已知m,n為兩條不重合直線，,為兩個不重合平面，下列條件中，/的充分條件是am/n,m,nbm/n,m,ncmn,m/,n/dmn,m,n2平面與平面平行的條件可以是a內(nèi)的一條直線與平行b內(nèi)的兩條直線與平行c內(nèi)的無數(shù)條直線與平行d內(nèi)的兩條相交直線分別與平行3下列命題中，錯誤的是a平面內(nèi)一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行，則這兩個平面平行b平行于同一個平面的兩個平面平行c若兩個平面平行，則位于這兩個平面內(nèi)的直線也互相平行d若兩個平面平

10、行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面4如圖所示,長方體abcd-a1b1c1d1中,e,f分別是棱aa1和bb1的中點(diǎn),過ef的平面efgh分別交bc和ad于點(diǎn)g,h,則hg與ab的位置關(guān)系是a平行b相交c異面d平行和異面5設(shè)，表示兩個不同的平面，表示一條直線，則下列命題正確的是a若，則b若，則c若，則d若，則6在長方體abcd-a1b1c1d1中，若經(jīng)過d1b的平面分別交aa1和cc1于點(diǎn)e，f，則四邊形d1ebf的形狀是a矩形 b菱形c平行四邊形 d正方形7如圖，在長方體中，若分別是棱的中點(diǎn)，則必有abc平面平面d平面平面8正方體的棱長為3，點(diǎn)e在上，且，平面平面（平面是圖中的陰影平

11、面），若平面平面，則af的長為 a1 b1.5 c2 d39在正方體abcd-a1b1c1d1中,e,f分別是棱a1b1,b1c1的中點(diǎn),o是ac與bd的交點(diǎn),平面oef與平面bcc1b1相交于m,平面od1e與平面bcc1b1相交于n,則直線m,n的夾角為abcd10如圖所示，在三棱臺中，點(diǎn)在上，且，點(diǎn)是內(nèi)（含邊界）的一個動點(diǎn)，且有平面平面，則動點(diǎn)的軌跡是a平面b直線c線段，但只含1個端點(diǎn)d圓11下列三個命題在“_”處都缺少同一個條件，補(bǔ)上這個條件使其構(gòu)成真命題（其中為直線，為平面），則此條件是_.；.12如圖,在長方體中，e,f,g,h分別為cc',c'd',d&#

12、39;d,cd的中點(diǎn),n是bc的中點(diǎn),點(diǎn)m在四邊形efgh內(nèi)運(yùn)動,則m滿足時,有mn/平面b'bdd'13下列四個正方體圖形中,a,b為正方體的兩個頂點(diǎn),m,n,p分別為其所在的棱的中點(diǎn),能得出平面mnp的圖形的序號是          14如圖,已知空間四邊形abcd,e,f,g,h分別是其四邊上的點(diǎn)且共面,ac平面efgh,ac=m,bd=n,當(dāng)efgh是菱形時,=.15如圖所示，正方體的棱長為2，e，f分別為，ab的中點(diǎn)，m點(diǎn)是正方形內(nèi)的動點(diǎn)，若平面，則m點(diǎn)的軌跡長度為_16如圖，棱

13、長為2的正方體中，m是棱aa1的中點(diǎn)，過c，m，d1作正方體的截面，則截面的面積是_.17如圖,四邊形與均為平行四邊形，分別是的中點(diǎn).(1)求證: 平面;(2)求證:平面平面.18如圖所示,斜三棱柱abc-a1b1c1中,點(diǎn)d,d1分別為ac,a1c1上的點(diǎn).(1)當(dāng)?shù)扔诤沃禃r,bc1平面ab1d1?(2)若平面bc1d平面ab1d1,求的值.19如圖1，在梯形中，過，分別作的垂線，垂足分別為，已知，將梯形沿，同側(cè)折起，使得平面平面，平面平面，得到圖2.（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積.20如圖，p是abc所在平面外一點(diǎn)，a',b',c'分別是pbc,pca,pa

14、b的重心. （1）求證：平面a'b'c'/平面abc；（2）求a'b'c'與abc的面積比.21如圖,四邊形abcd中,abad,ad/bc,ad=6,bc=2ab=4,e,f分別在bc,ad上,ef/ab,現(xiàn)將四邊形abcd沿ef折起,使beec.(1)若be=1,在折疊后的線段ad上是否存在一點(diǎn)p,使得cp/平面abef?若存在,求出appd的值;若不存在,說明理由;(2)求三棱錐a-cdf的體積的最大值,并求出此時點(diǎn)f到平面acd的距離.1（2019年高考全國卷理數(shù)）設(shè)，為兩個平面，則的充要條件是a內(nèi)有無數(shù)條直線與平行b內(nèi)有兩條相交直線與平

15、行 c，平行于同一條直線d，垂直于同一平面2（2019年高考北京卷理數(shù)）已知l，m是平面外的兩條不同直線給出下列三個論斷：lm；m；l以其中的兩個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結(jié)論，寫出一個正確的命題：_3（2016新課標(biāo)全國理科），是兩個平面，m，n是兩條直線，有下列四個命題：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m與所成的角和n與所成的角相等.其中正確的命題有 .(填寫所有正確命題的編號）4（2019年高考全國卷理節(jié)選）如圖，直四棱柱abcda1b1c1d1的底面是菱形，aa1=4，ab=2，bad=60°，e，m，n分別是bc，bb1，

16、a1d的中點(diǎn)（1）證明：mn平面c1de；5（2019年高考江蘇節(jié)選）如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分別為bc，ac的中點(diǎn)，ab=bc求證：（1）a1b1平面dec1；6（2018江蘇節(jié)選）在平行六面體中，求證：7(2017新課標(biāo)全國理科節(jié)選)如圖，四棱錐pabcd中，側(cè)面pad為等邊三角形且垂直于底面abcd，e是pd的中點(diǎn)（1）證明：直線平面pab.8（2017北京理科節(jié)選）如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd為正方形，平面pad平面abcd，點(diǎn)m在線段pb上，pd/平面mac，pa=pd=，ab=4（1）求證：m為pb的中點(diǎn).變式拓展1【答案】c【解析】取b1c1中點(diǎn)e

17、，連接me,ne，b1d1，bd，由三角形中位線定理可得me/b1d1，me/平面bb1d1d，由四邊形bb1en為平行四邊形得ne/bb1，ne/平面bb1d1d，平面mne/平面bb1d1d，又mn平面mne，mn/平面bb1d1d，故選c2【解析】過作平面交于，連接.因?yàn)槿庵?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，平面平面，所?又平面，平面，平面平面，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以.又，所以，故是的中位線，所以當(dāng)是的中點(diǎn)時，平面.3【解析】（1）四邊形為矩形，又平面，平面，平面.和均為等腰直角三角形，且，又平面，平面，平面，平面，平面，平面平面.（2）為矩形，又平面平面，平面，平

18、面平面，平面，在中，.【名師點(diǎn)睛】求錐體的體積要充分利用多面體的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法割補(bǔ)法、等體積法割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決等體積法：應(yīng)用等體積法的前提是幾何體的體積通過已知條件可以得到，利用等體積法可以用來求解幾何體的高，特別是在求三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三棱錐的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】b【解析】當(dāng)m/n時，若m，可得n，又n，可知/.故選b.2【答案】d【解析】若兩個平面,相交,設(shè)交線是l,則有內(nèi)的直線m與l平行,得到m與平面平行,從而

19、可得a是不正確的;而b中兩條直線可能是平行于交線l的直線,所以也不能判定與平行;c中的無數(shù)條直線也可能是一組平行于交線l的直線,因此也不能判定與平行.由平面與平面平行的判定定理可得d項(xiàng)是正確的.3【答案】c【解析】如果兩個平面平行，則位于這兩個平面內(nèi)的直線可能平行，可能異面4【答案】a【解析】e,f分別是aa1,bb1的中點(diǎn),ef/ab又ab平面efgh,ef平面efgh,ab/平面efgh.又ab平面abcd,平面abcd平面efgh=gh,ab/gh.5【答案】c【解析】若，則或，a不正確；若，則，或相交，b不正確；若，可得沒有公共點(diǎn)，即，c正確；若，則或相交，d不正確.故選c6【答案】c

20、【解析】長方體abcd-a1b1c1d1中，平面aa1d1d與平面bb1c1c平行，又經(jīng)過d1b的平面分別交aa1和cc1于點(diǎn)e,f，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，得d1e/fb，同理可證d1f/eb，所以四邊形d1ebf為平行四邊形，故選c7【答案】d【解析】選項(xiàng)a，由中位線定理可知：，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以不可能互相平行，故a選項(xiàng)是錯誤的；選項(xiàng)b，由中位線定理可知：，因?yàn)檫^直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行，所以不可能互相平行，故b選項(xiàng)是錯誤的；選項(xiàng)c，由中位線定理可知：，而直線與平面相交，故直線與平面也相交，故平面與平面相交，故c選項(xiàng)是錯誤的；選項(xiàng)d，由三角

21、形中位線定理可知：，所以有平面，平面，而，因此平面平面，故本題選d8【答案】a【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所?又，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以.9【答案】d【解析】如圖所示，e，f分別是棱a1b1,b1c1的中點(diǎn),efac，則平面oef即平面efca與平面bcc1b1相交于cf,即直線m；由cfoe，可得cf平面od1e，故平面od1e與平面bcc1b1相交于n時，必有ncf，即m/n,則直線m,n的夾角為0.10【答案】c【解析】過d作dna1c1，交b1c1于n，連結(jié)bn，在三棱臺a1b1c1abc中，點(diǎn)d在a1b1上，且aa1bd，aa1a1c1a1，bddnd，平

22、面bdn平面a1c，點(diǎn)m是內(nèi)（含邊界）的一個動點(diǎn)，且有平面bdm平面a1c，m的軌跡是線段dn，且m與d不重合，動點(diǎn)m的軌跡是線段，但只含1個端點(diǎn)故選c11【答案】【解析】，或，由；，；，或，由故答案為12【答案】m在線段fh上移動【解析】當(dāng)m在線段fh上移動時,有mh/dd'.而hn/bd,平面mnh/平面b'bdd'.又mn平面mnh,mn/平面b'bdd'.13【答案】【解析】對于,該正方體的對角面平面mnp,得出平面mnp;對于,直線ab與平面mnp不平行;對于,直線ab與平面mnp不平行;對于,直線ab與平面mnp內(nèi)的直線np平行.14【答案】

23、【解析】ac平面efgh,ac平面abc,平面abc平面efgh=ef,acef.由四邊形efgh是菱形知ehfg,eh平面bcd,fg平面bcd,eh平面bcd而eh平面abd,平面abd平面bcd=bd,ehbd,.由得.又ef=eh,ac=m,bd=n,所以.15【答案】【解析】如圖所示，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，可得：四邊形是平行四邊形，.同理可得：，平面平面，點(diǎn)是正方形內(nèi)的動點(diǎn)，平面，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)的軌跡長度故答案為16【答案】【解析】在正方體中，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面平面，且，所以n為ab的中點(diǎn)（如圖），所以該截面為等腰梯形.因?yàn)檎襟w的棱長為2，所以mn=，cd1=，md1=，所以

24、等腰梯形mncd1的高mh=，所以截面面積為.17【解析】(1)連接,則必過與的交點(diǎn),連接,則為的中位線,所以,又平面平面，所以平面.(2)因?yàn)榉謩e為平行四邊形的邊的中點(diǎn),所以,又平面平面,所以平面.又為中點(diǎn),所以為的中位線,所以,又平面平面,所以平面,又與為平面內(nèi)的兩條相交直線,所以平面平面.【名師點(diǎn)睛】在立體幾何中，常見的平行關(guān)系有線線平行、線面平行和面面平行，這三種平行關(guān)系不是孤立的，而是相互聯(lián)系，并且可以相互轉(zhuǎn)化的在解決問題的過程中，要靈活運(yùn)用平行關(guān)系的判定定理.（1）應(yīng)用判定定理證明線面平行的步驟：上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：利用三角形、中位線的性質(zhì)；利用平行四邊形

25、的性質(zhì)；利用平行線分線段成比例定理（2）利用判定定理證明兩個平面平行的一般步驟:第一步：在一個平面內(nèi)找出兩條相交直線； 第二步：證明這兩條相交直線分別平行于另一個平面； 第三步：利用平面與平面平行的判定定理得出結(jié)論18【解析】(1)如圖所示,取d1為線段a1c1的中點(diǎn),此時=1.連接a1b,交ab1于點(diǎn)o,連接od1.由棱柱的性質(zhì)知,四邊形a1abb1為平行四邊形,點(diǎn)o為a1b的中點(diǎn).d1為a1c1的中點(diǎn),o為a1b的中點(diǎn),od1bc1,od1平面ab1d1,bc1平面ab1d1,bc1平面ab1d1.當(dāng)=1時,bc1平面ab1d1.(2)由平面bc1d平面ab1d1,且平面a1bc1平面bc

26、1d=bc1,平面a1bc1平面ab1d1=d1o,得bc1d1o,.又平面ab1d1平面acc1a1=ad1,平面bdc1平面acc1a1=dc1,ad1dc1,ad=d1c1,dc=a1d1,=1.19【解析】（1）設(shè)，取中點(diǎn)，連接，四邊形為正方形，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，且，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面平面，平面平面，又，則平面，又，且，四邊形為平行四邊形，平面，平面，平面.（2），平面，平面，平面，點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，.20【解析】（1）連接pa'、pc'，并延長分別交bc、ab于點(diǎn)m，n，連接mn.a'、c'分別是pbc、pab的重心，

27、pa'=23pm，pc'=23pn，a'c'mn.a'c'平面abc，mn平面abc，a'c'平面abc同理，a'b'平面abca'c'a'b'=a'，且a'c'、a'b'平面a'b'c'，平面a'b'c'平面abc （2）由（1）知a'c'=23mn，a'c'mn.mn=12ac，mnac，a'c'=13ac，a'c'ac.同理可得：a'b'=13ab，a'b'ab，b'c'=13bc，b'c'bc，則a'b'c'abc.故a'b'c'與abc的面積之比為.21【解析】(1)線段上存在一點(diǎn),使得平面,此時.理由如下:當(dāng)時,過點(diǎn)作交于點(diǎn),連接,則有=,故,又,故有,故四邊形為平行四邊形,又平面平面,平面.(2)設(shè),=,故=,當(dāng)時,有最大值,且最大值為3,此時=,在中,由余弦定理得=,=,=,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,由于,即=,=,即點(diǎn)到平面的距離為.直通高考1【答案】b【解析】由面面平行的判定