高中數(shù)學解析幾何知識點大總結(jié)

1、- 1 - 高中數(shù)學解析幾何知識點大總結(jié)第一部分:直線一、直線的傾斜角與斜率1.傾斜角 (1)定義：直線l 向上的方向與x 軸正向所成的角叫做直線的傾斜角。(2)范圍：18002.斜率：直線傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率.t ank（1）.傾斜角為90的直線沒有斜率。（2）.每一條直線都有唯一的傾斜角，但并不是每一條直線都存在斜率（直線垂直于x軸時，其斜率不存在)，這就決定了我們在研究直線的有關(guān)問題時，應考慮到斜率的存在與不存在這兩種情況，否則會產(chǎn)生漏解。（3）設(shè)經(jīng)過),(11yxa和),(22yxb兩點的直線的斜率為k，則當21xx時，2121tanxxyyk；當21xx時，o90；斜率不

2、存在；二、直線的方程1.點斜式：已知直線上一點p（ x0,y0）及直線的斜率k（傾斜角 ）求直線的方程用點斜式：y-y0=k(x-x0) 注意：當直線斜率不存在時，不能用點斜式表示，此時方程為0 xx；2.斜截式：若已知直線在y軸上的截距（直線與y 軸焦點的縱坐標）為b，斜率為k，則直線方程：bkxy；特別地，斜率存在且經(jīng)過坐標原點的直線方程為：kxy注意：正確理解“截距 ”這一概念，它具有方向性，有正負之分，與“距離”有區(qū)別。3.兩點式：若已知直線經(jīng)過),(11yx和),(22yx兩點，且（2121,yyxx則直線的方程：121121xxxxyyyy；注意：不能表示與x軸和y軸垂直的直線；當

3、兩點式方程寫成如下形式0)()(112112xxyyyyxx時， 方程可以適應在于任何一條直線。4 截距式：若已知直線在x軸，y軸上的截距分別是a，b（0, 0 ba）則直線方程：1byax；- 2 - 注意： 1）.截距式方程表不能表示經(jīng)過原點的直線，也不能表示垂直于坐標軸的直線。2）.橫截距與縱截距相等的直線方程可設(shè)為x+y=a;橫截距與縱截距互為相反數(shù)的直線方程可設(shè)為x-y=a5 一般式： 任何一條直線方程均可寫成一般式：0cbyax； （ba,不同時為零） ；反之，任何一個二元一次方程都表示一條直線。注意：直線方程的特殊形式，都可以化為直線方程的一般式，但一般式不一定都能化為特殊形式，

4、這要看系數(shù)cba,是否為 0 才能確定。指出此時直線的方向向量：),(ab，),(ab，2222,baabab（單位向量）；直線的法向量：),(ba； （與直線垂直的向量）6(選修 4-4)參數(shù)式btyyatxx00（t參數(shù)）其中方向向量為),(ba，單位向量2222,babbaa；abk；22|batppo；點21,pp對應的參數(shù)為21,tt，則222121|battpp；sincos00tyytxx（t為參數(shù)）其中方向向量為)sin,(cos，t的幾何意義為|opp；斜率為tan；傾斜角為)0(。三、兩條直線的位置關(guān)系位置關(guān)系222111:bxkylbxkyl0:0:22221111cyb

5、xalcybxal平行21kk，且21bb212121ccbbaa(a1b2-a2b1=0) 重合21kk，且21bb212121ccbbaa相交21kk2121bbaa垂直121kk02121bbaa設(shè)兩直線的方程分別為：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111cybxalcybxal；當21kk或- 3 - 1221baba時它們相交， 交點坐標為方程組2211bxkybxky或00222111cybxacybxa解；注意： 對于平行和重合，即它們的方向向量（法向量）平行；如：),(),(2211baba對于垂直，即它們的方向向量（法向量）垂直；如0),(),(2211

6、baba若兩直線的斜率都不存在，則兩直線平行；若一條直線的斜率不存在，另一直線的斜率為 0 ，則兩直線垂直。對于02121bbaa來說，無論直線的斜率存在與否，該式都成立。因此，此公式使用起來更方便斜率相等時，兩直線平行( 或重合 )；但兩直線平行( 或重合 ) 時，斜率不一定相等，因為斜率有可能不存在。四、兩直線的交角（1）1l到2l的角：把直線1l依逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與2l重合時所轉(zhuǎn)的角；它是有向角，其范圍是0；注意：1l到2l的角與2l到1l的角是不一樣的；旋轉(zhuǎn)的方向是逆時針方向；繞“定點”是指兩直線的交點。（2）直線1l與2l的夾角：是指由1l與2l相交所成的四個角的最小角( 或不大于直

7、角的角) ，它的取值范圍是20；（3）設(shè)兩直線方程分別為：222111:bxkylbxkyl或0:0:22221111cybxalcybxal若為1l到2l的角 ，12121tankkkk或21211221tanbbaababa；若為1l和2l的夾角 ，則12121tankkkk或21211221tanbbaababa；當0121kk或02121bbaa時，o90；注意：上述與k有關(guān)的公式中，其前提是兩直線斜率都存在，而且兩直線互不垂直；當有一條直線斜率不存在時，用數(shù)形結(jié)合法處理。直線1l到2l的角與1l和2l的夾角：)2(或)2(；五、點到直線的距離公式：- 4 - 1. 點),(00yxp

8、到直線0:cbyaxl的距離為：2200|bacbyaxd；2. 兩平行線0:11cbyaxl，0:22cbyaxl的距離為：2221|baccd；六、直線系：（1）設(shè)直線0:1111cybxal，0:2222cybxal，經(jīng)過21,ll的交點的直線方程為0)(222111cybxacybxa（除去2l） ；如：011kxykxy，即也就是過01y與0 x的交點)1 ,0(除去0 x的直線方程。直線5)12()1(:mymxml恒過一個定點。注意：推廣到過曲線0),(1yxf與0),(2yxf的交點的方程為：0)()(21xfxf；（2）與0:cbyaxl平行的直線為01cbyax；（3）與0

9、:cbyaxl垂直的直線為01caybx；七、對稱問題：（1）中心對稱：點關(guān)于點的對稱：該點是兩個對稱點的中點，用中點坐標公式求解，點),(baa關(guān)于),(dcc的對稱點)2,2(bdac直線關(guān)于點的對稱：、在已知直線上取兩點，利用中點公式求出它們關(guān)于已知點對稱的兩點的坐標，再由兩點式求出直線方程；、求出一個對稱點，在利用21/ ll由點斜式得出直線方程；、利用點到直線的距離相等。求出直線方程。如：求與已知直線0632:1yxl關(guān)于點)1,1 (p對稱的直線2l的方程。（2）軸對稱：點關(guān)于直線對稱：、點與對稱點的中點在已知直線上，點與對稱點連線斜率是已知直線斜率的負倒數(shù)。、求出過該點與已知直線

10、垂直的直線方程，然后解方程組求出直線的交點，在利用中點坐標公式求解。如：求點)5 ,3(a關(guān)于直線0443:yxl對稱的坐標。- 5 - 直線關(guān)于直線對稱： （設(shè)ba,關(guān)于l對稱）、若ba,相交，則a到l的角等于b到l的角；若la /，則lb /，且ba,與l的距離相等。、求出a上兩個點ba,關(guān)于l的對稱點，在由兩點式求出直線的方程。、設(shè)),(yxp為所求直線直線上的任意一點，則p關(guān)于l的對稱點p的坐標適合a的方程。如：求直線042:yxa關(guān)于0143:yxl對稱的直線b的方程。八、簡單的線性規(guī)劃：（1）設(shè)點),(00yxp和直線0:cbyaxl， 若 點p在 直 線l上 ， 則000cbya

11、x； 若 點p在 直 線l的 上 方 ， 則0)(00cbyaxb；若點p在直線l的下方，則0)(00cbyaxb；（2）二元一次不等式表示平面區(qū)域：對于任意的二元一次不等式)0(0cbyax，當0b時，則0cbyax表示直線0:cbyaxl上方的區(qū)域；0cbyax表示直線0:cbyaxl下方的區(qū)域；當0b時，則0cbyax表示直線0:cbyaxl下方的區(qū)域；0cbyax表示直線0:cbyaxl上方的區(qū)域；注意：通常情況下將原點)0,0(代入直線cbyax中，根據(jù)0或0來表示二元一次不等式表示平面區(qū)域。（3）線性規(guī)劃：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題。滿

12、足線性約束條件的解),(yx叫做可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域。生產(chǎn)實際中有許多問題都可以歸結(jié)為線性規(guī)劃問題。注意：當0b時，將直線0byax向上平移，則byaxz的值越來越大；直線0byax向下平移，則byaxz的值越來越小；- 6 - 當0b時，將直線0byax向上平移，則byaxz的值越來越小；直線0byax向下平移，則byaxz的值越來越大；如：在如圖所示的坐標平面的可行域內(nèi)（陰影部分且包括周界），目標函數(shù)ayxz取得最小值的最優(yōu)解有無數(shù)個，則a為；第二部分：圓與方程2.1 圓的標準方程：222)()(rbyax圓心),(bac，半徑r特例：圓心在坐標原點，半徑為r的圓的方程

13、是：222ryx. 2.2 點與圓的位置關(guān)系：1. 設(shè)點到圓心的距離為d，圓半徑為r ：(1)點在圓上d=r ；(2)點在圓外dr ；(3)點在圓內(nèi)dr 2.給定點),(00yxm及圓222)()(:rbyaxc. m 在圓 c 內(nèi)22020)()(rbyax m 在圓 c 上22020)()rbyax（ m 在圓 c 外22020)()(rbyax2.3 圓的一般方程：022feydxyx. 當0422fed時，方程表示一個圓，其中圓心2,2edc，半徑2422fedr. 當0422fed時，方程表示一個點2,2ed. 當0422fed時，方程無圖形（稱虛圓）. 注：（ 1）方程022fey

14、dxcybxyax表示圓的充要條件是：0b且0ca且0422afed. 圓的直徑系方程：已知ab是圓的直徑0)()(),(),(21212211yyyyxxxxyxbyxa2.4 直線與圓的位置關(guān)系：直線0cbyax與圓222)()(rbyax的位置關(guān)系有三種， d 是圓心到直線的距離，(22bacbbaad(1)0相離rd；(2)0相切rd； （3）0相交rd。2.5 兩圓的位置關(guān)系x y o a(1,1) b(5,1) c(4,2) - 7 - 設(shè)兩圓圓心分別為o1，o2，半徑分別為r1，r2，doo21。（1）條公切線外離421rrd； （2）條公切線外切321rrd；（3）條公切線相交

15、22121rrdrr； （4）條公切線內(nèi)切121rrd；（5）無公切線內(nèi)含210rrd；外離外切相交內(nèi)切內(nèi)含2.6 圓的切線方程：1.直線與圓相切：(1)圓心到直線距離等于半徑r； （2）圓心與切點的連線與直線垂直（斜率互為負倒數(shù)）2.圓222ryx的 斜 率 為 k 的 切 線 方 程 是rkkxy21過 圓022feydxyx上 一 點),(00yxp的切線方程為：0220000fyyexxdyyxx. 一般方程若點(x0 ,y0)在圓上，則 (x a)(x0 a)+(y b)(y0 b)=r2. 特別地，過圓222ryx上一點),(00yxp的切線方程為200ryyxx. 若點 (x0

16、,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則1)()(2110101rxakybrxxkyy，聯(lián)立求出k切線方程 . 2.7圓的弦長問題： 1.半弦2l、 半徑 r、 弦心距 d構(gòu)成直角三角形， 滿足勾股定理：2222drl2.弦長公式（設(shè)而不求） ：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxab）（）（第三部分 : 橢圓一橢圓及其標準方程1橢圓的定義： 平面內(nèi)與兩定點f1，f2距離的和等于常數(shù)212ffa的點的軌跡叫做橢圓，即點集m=p| |pf1|+|pf2|=2a ，2a|f1f2|=2c ；這里兩個定點f1，f2叫橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫橢圓的焦距2c。（cffa2221時為線

17、段21ff，cffa2221無軌跡）。- 8 - 2標準方程：222cab焦點在x 軸上：12222byax（ab0） ； 焦點 f（ c，0）焦點在y 軸上：12222bxay（ ab0） ； 焦點 f（0, c）注意：在兩種標準方程中，總有ab0，222cba并且橢圓的焦點總在長軸上；一般形式表示：221xymn或者),0, 0(122nmnmnymx二橢圓的簡單幾何性質(zhì)： 1.范圍（1）橢圓12222byax（ ab0） 橫坐標 -a xa , 縱坐標 -bxb （2）橢圓12222bxay（ab0） 橫坐標 -b xb, 縱坐標 -a x a 2.對稱性橢圓關(guān)于x 軸 y 軸都是對稱的

18、，這里，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心 3.頂點（1）橢圓的頂點：a1（-a ，0） ，a2（a，0） ，b1（0，-b） ，b2（0，b）（2）線段 a1a2，b1b2 分別叫做橢圓的長軸長等于2a，短軸長等于2b，a 和 b 分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。 4 離心率（1）我們把橢圓的焦距與長軸長的比22ca，即ac稱為橢圓的離心率，記作 e（10e） ，22221()beaace 越接近于 0 （e 越?。?，橢圓就越接近于圓; e 越接近于 1 （e 越大），橢圓越扁；注意：離心率的大小只與橢圓本身的形狀有關(guān)，與其所處的位置無關(guān)。（2）橢圓的

19、第二定義：平面內(nèi)與一個定點（焦點）和一定直線（準線）的距離的比為常數(shù)e，- 9 - （0 e1）的點的軌跡為橢圓。 （edpf |）焦點在x 軸上：12222byax（ab0）準線方程：cax2焦點在y 軸上：12222bxay（ab0）準線方程：cay2小結(jié)一：基本元素（1）基本量： a、b、c、e、 （共四個量） ，特征三角形（2）基本點：頂點、焦點、中心（共七個點）（3）基本線：對稱軸（共兩條線）5橢圓的的內(nèi)外部（1）點00(,)p xy在橢圓22221(0)xyabab的內(nèi)部2200221xyab. （2）點00(,)p xy在橢圓22221(0)xyabab的外部2200221xya

20、b. 6. 幾何性質(zhì)（1） 焦半徑（橢圓上的點與焦點之間的線段）：camfca（2）通徑（過焦點且垂直于長軸的弦）abab22（ 3）焦點三角形（橢圓上的任意一點與兩焦點夠成的三角形）：2tan221bsfmf其中21mff7 直線與橢圓的位置關(guān)系：(1) 判斷方法 : 聯(lián)立直線方程與橢圓方程消y( 或 x) 得到關(guān)于x 的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號判斷位置關(guān)系：沒有交點相離有一個交點相切相交有兩個交點000聯(lián)立012222cbyaxbyax消 y 得：- 10 - 222222222122222212222222222202bbaabbcaxxbbaaacaxxbbcaacxaxbbaa

21、聯(lián)立012222cbyaxbyax消 x 得：222222222122222212222222222202bbaaaacbyybbaabcbyyaacbbcybybbaa(2) 弦 中 點 問 題 : 斜 率 為k 的 直 線l與橢 圓), 0,0( 12222nmnmnymx交于 兩點),(),(2211yxbyxa、）（00, yxm是 ab的中點，則：0022yxmnkab(3) 弦長公式：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxab）（）（第四部分：雙曲線雙曲線標準方程（焦點在x軸）)0,0(12222babyax標準方程（焦點在y軸）)0,0(12222babxay定義

22、第一定義：平面內(nèi)與兩個定點1f，2f的距離的差的絕對值是常數(shù)（小于12f f）的點的軌 跡 叫 雙 曲 線 。 這 兩 個 定 點 叫 做 雙 曲 線 的 焦 點 ， 兩 焦 點 的 距 離 叫 焦 距 。amfmfm221212ffa第二定義：平面內(nèi)與一個定點f和一條定直線l的距離的比是常數(shù)e，當1e時，動點的軌跡是雙曲線。定點f叫做雙曲線的焦點，定直線叫做雙曲線的準線，常數(shù)e（1e）叫做雙曲線的離心率。xyp1f2fxyxyp1f2fxy- 11 - 范圍xa，yrya，xr對稱軸x軸 ，y軸；實軸長為2a, 虛軸長為2b對稱中心原點(0,0)o焦點坐標1(,0)fc2( ,0)f c1(

23、0,)fc2(0, )fc焦點在實軸上，22cab；焦距：122f fc頂點坐標（a,0 ） (a,0) (0, a,) (0，a) 離心率eace(1) 重要結(jié)論（1） 焦半徑（雙曲線上的點與焦點之間的線段）：mfca（2）通徑（過焦點且垂直于實軸的弦）abab22（ 3 ） 焦 點 三 角 形 （ 雙 曲 線 上 的 任 意 一 點 與 兩 焦 點 夠 成 的 三 角 形 ）：2cot2tan2221bbsfmf準線方程cax2cay2準線垂直于實軸且在兩頂點的內(nèi)側(cè)；兩準線間的距離：ca22漸近線方程xabyyabx共 漸 近 線的 雙 曲 線系方程kbyax2222（0k）kbxay22

24、22（0k）xyp1f2fxypxyp1f2fxyp- 12 - 直 線 和 雙曲 線 的 位置（1）判斷方法 : 聯(lián)立直線方程與雙曲線方程消y( 或 x) 得到關(guān)于x 的一元二次方程，根據(jù)判別式的符號判斷位置關(guān)系：沒有交點相離有一個交點相切相交有兩個交點000聯(lián)立012222cbyaxbyax消 y 得：222222222122222212222222222202bbaabbcaxxbbaaacaxxbbcaacxaxbbaa聯(lián)立012222cbyaxbyax消 x 得：222222222122222212222222222202bbaaaacbyybbaabcbyyaacbbcybybba

25、a(4) 弦 中 點 問 題 : 斜 率 為k 的 直 線l與雙 曲線)0, 0(12222nmnymx交 于兩 點),(),(2211yxbyxa、）（00,yxm是 ab的中點，則：0022yxmnkab弦長公式：4)(1)(212212221221xxxxkyyxxab）（）（補充知識點：等軸雙曲線的主要性質(zhì)有：（1）半 實軸 長=半虛軸長；（2）其標準方程為cyx22其中 c0；（3）離心率2e；（4） 漸近線 ：兩條漸近線y=x 互相垂直；（5）等軸雙曲線上任意一點到中心的距離是它到兩個焦點的距離的比例中項 ；（6）等軸雙曲線上任意一點p處的切線夾在兩條漸近線 之間的線段，必被p所平

26、分；7）等軸雙曲線上任意一點處的切線與兩條漸近線圍成三角形面積恒為常數(shù)2a- 13 - 第五部分：拋物線知識點總結(jié)圖象)0(22ppxy)0(22ppxy)0(22ppyx)0(22ppyx定義平面內(nèi)與一個定點f和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點f叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線。mfm=點 m到直線l的距離 范圍0,xyr0,xyr,0 xr y,0 xr y對稱性關(guān)于x軸對稱關(guān)于y軸對稱焦點(2p,0) (2p,0) (0,2p) (0,2p) 焦點在對稱軸上頂點(0,0)o離心率e=1 準線方程2px2px2py2py準線與焦點位于頂點兩側(cè)且到頂點的距離相等。頂點到準線的距離2p焦點到準線的距離p焦半徑11(,)a x y12pafx12pafx12pafy12pafy焦點弦長ab12()xxp12()xxp12()yyp12()yypx y o l f x y o l f l f x y o x y o l f - 14 - 焦點弦ab的幾條性質(zhì)11(,)a x y22(,)b xy( 以焦點在 x 軸正半軸為例) 以ab為直徑的圓必與準線l相切 , 以 mn為直徑的圓與ab相切與點f，即fnmfcos12cos122