高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大全

1、高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論大全(新課標(biāo) )必修 1 1、集合的含義與表示一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合。它具有三大特性：確定性、互異性、無(wú)序性。集合的表示有列舉法、描述法。描述法格式為：元素 |元素的特征 ，例如, 5|nxxx且2、常用數(shù)集及其表示方法（1）自然數(shù)集n（又稱非負(fù)整數(shù)集） ：0、1、 2、3、（2）正整數(shù)集n*或 n+：1、2、 3、（3）整數(shù)集z：-2、-1、0、1、（4）有理數(shù)集q：包含分?jǐn)?shù)、整數(shù)、有限小數(shù)等（5）實(shí)數(shù)集r：全體實(shí)數(shù)的集合（6）空集 ：不含任何元素的集合3、元素與集合的關(guān)系：屬于，不屬于例如： a 是集合 a 的元素，就說(shuō)a 屬于

2、 a，記作 aa4、集合與集合的關(guān)系：子集、真子集、相等（ 1）子集的概念如果集合a 中的每一個(gè)元素都是集合b 中的元素， 那么集合a 叫做集合b 的子集 (如圖 1)，記作ba或ab. 若集合 p 中存在元素不是集合q 的元素，那么p 不包含于q，記作qp（ 2）真子集的概念若集合 a 是集合 b 的子集，且b 中至少有一個(gè)元素不屬于a,那么集合a 叫做集合 b 的真子集 (如圖 2). ab或ba. （ 3） 集合相等：若集合 a 中的元素與集合b 中的元素完全相同則稱集合a 等于集合 b,記作 a=b. baabba,5、重要結(jié)論（1）傳遞性：若ba，cb，則ca（2）空 集是任意集合的

3、子集，是任意非空集合的真子集. 6、 含有n個(gè)元素的集合, 它的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)；真子集有2n1 個(gè)；非空子集有2n1 個(gè)( 即不計(jì)空集 ) ；非空的真子集有2n2 個(gè). 7、集合的運(yùn)算：交集、并集、補(bǔ)集（ 1）一般地，由所有屬于a 又屬于 b 的元素所組成的集合,叫做 a,b 的交集記作 ab（讀作 a 交 b） ，即 ab=x| x a，且 xb （ 2）一般地， 對(duì)于給定的兩個(gè)集合a,b 把它們所有的元素并在一起所組成的集合,叫做 a,b 的并b a a,b (圖 1) 或b a (圖 2) ab ab 集記作ab（讀作 a 并 b） ，即 ab=x| x a，或 xb （ 3）若 a

4、 是全集 u 的子集，由u 中不屬于a 的元素構(gòu)成的集合，叫做 a 在 u 中的補(bǔ)集，記作acu, a,u|acuxxx且注：討論集合的情況時(shí)，不要發(fā)遺忘了a的情況。8、映射觀點(diǎn)下的函數(shù)概念如果 a，b都是非空的數(shù)集，那么 a到 b的映射 f ：a b就叫做 a到 b的函數(shù)， 記作 y=f(x)，其中 xa，yb.原象的集合a叫做函數(shù)y=f(x)的定義域， 象的集合c （cb）叫做函數(shù)y=f(x)的值域 .函數(shù)符號(hào)y=f(x)表示“ y 是 x 的函數(shù)”，有時(shí)簡(jiǎn)記作函數(shù)f(x). 9、分段函數(shù)：在定義域的不同部分，有不同的對(duì)應(yīng)法則的函數(shù)。如3122xxy00 xx10、求函數(shù)的定義域的原則：（

5、解決任何函數(shù)問(wèn)題，必須要考慮其定義域）分式的分母不為零；01,11:xxy則如偶次方根的被開(kāi)方數(shù)大于或等于零；05,5:xxy則如對(duì)數(shù)的底數(shù)大于且不等于；10),2(log:aaxya且則如對(duì)數(shù)的真數(shù)大于；02),2(log:xxya則如指數(shù)為的底不能為零；xmy)1(:如, 則01m11、函數(shù)的奇偶性（在整個(gè)定義域內(nèi)考慮）（1）奇函數(shù)滿足)()(xfxf， 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；（2）偶函數(shù)滿足)()(xfxf，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y 軸對(duì)稱；注：具有奇偶性的函數(shù),其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;若奇函數(shù)在原點(diǎn)有定義,則0)0(f根據(jù)奇偶性可將函數(shù)分為四類：奇函數(shù)、 偶函數(shù)、 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非

6、奇非偶函數(shù)。12、函數(shù)的單調(diào)性（在定義域的某個(gè)區(qū)間內(nèi)考慮）當(dāng)21xx時(shí)，都有)()(21xfxf，則)(xf在該區(qū)間上是增函數(shù)，圖象從左到右上升；當(dāng)21xx時(shí)，都有)()(21xfxf，則)(xf在該區(qū)間上是減函數(shù)，圖象從左到右下降。函數(shù))(xf在某區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說(shuō))(xf在該區(qū)間具有單調(diào)性，該區(qū)間叫做單調(diào)（增 /減）區(qū)間13、一元二次方程20axbxc(0)a（1）求根公式 :aacbbx2422, 1（2）判別式：acb42（3）0時(shí)方程有兩個(gè)不等實(shí)根；0時(shí)方程有一個(gè)實(shí)根；0時(shí)方程無(wú)實(shí)根。（4）根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理:abxx21，acxx2114、二次函數(shù)：一般式cbxax

7、y2(0)a；兩根式)(21xxxxay(0)a（ 1）頂點(diǎn)坐標(biāo)為24(,)24bacbaa； （ 2）對(duì)稱軸方程為：x=ab2；acua x y 0 （ 3）當(dāng)0a時(shí)，圖象是開(kāi)口向上的拋物線，在x=ab2處取得最小值abac442當(dāng)0a時(shí)，圖象是開(kāi)口向下的拋物線，在x=ab2處取得最大值abac442（ 4）二次函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)和判別式的關(guān)系：0時(shí)，有兩個(gè)交點(diǎn)；0時(shí)，有一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)）；0時(shí)，無(wú)交點(diǎn)。15、函數(shù)的零點(diǎn)使0)(xf的實(shí)數(shù)0 x叫做函數(shù)的零點(diǎn)。例如10 x是函數(shù)1)(2xxf的一個(gè)零點(diǎn)。注：函數(shù)xfy有零點(diǎn)函數(shù)xfy的圖象與x 軸有交點(diǎn)方程0 xf有實(shí)根16、函數(shù)零點(diǎn)的

8、判定：如果函數(shù)xfy在區(qū)間ba,上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有0)()(bfaf。那么，函數(shù)xfy在區(qū)間ba,內(nèi)有零點(diǎn)，即存在0,cfbac使得。17、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪（0,am nn，且1n）（ 1）nmnmaa. 如233xx；(2)nmnmnmaaa11. 如2331xx； （3）()nnaa；（ 4）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nnaa；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，,0|,0nna aaaa a. 18、有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)（qsra, 0）（1）srsraaa；（2）rssraa )(；（3）rrrbaab)(19、指數(shù)函數(shù)xay（0a且1a） ，其中x是自變量，a叫做底數(shù)，定義域是r 20、若nab，則叫做以

9、為底n的對(duì)數(shù)。記作：bnalog（1,0 aa，0n）1a10a圖象性質(zhì)（1）定義域： r （2）值域：（0， +）（3）過(guò)定點(diǎn)（ 0，1） ，即 x=0 時(shí)， y=1 （4）在 r 上是增函數(shù)（4）在 r 上是減函數(shù)x y 0 1 x y 0 1 其中，a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，n叫做對(duì)數(shù)的真數(shù)。注：指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化公式：logbanban(0,1,0)aan21、對(duì)數(shù)的性質(zhì)（ 1）零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，即nalog中0n；（ 2）1 的對(duì)數(shù)等于0，即01loga；底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1，即1log aa22、常用對(duì)數(shù)nlg：以 10 為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，記為：nnlglog10自然對(duì)數(shù)nln：以 e

10、(e=2.71828 ) 為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，記為：nnelnlog23、對(duì)數(shù)恒等式：nanalog24、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)（a0，a1，m 0，n0）(1)log ()loglogaaamnmn; (2) logloglogaaammnn; (3)loglog()naamnm nr（注意公式的逆用）25、對(duì)數(shù)的換底公式logloglogmamnna (0a, 且1a,0m,且1m,0n). 推論或1loglogabba；loglogmnaanbbm. 26、 對(duì)數(shù)函數(shù)xyalog（0a，且1a） ：其中，x是自變量，a叫做底數(shù)， 定義域是),0(1a10a圖像性質(zhì)定義域： (0, ) 值域：

11、 r 過(guò)定點(diǎn)（ 1，0）增函數(shù)減函數(shù)取值范圍0 x1 時(shí)， y1 時(shí)， y0 0 x0 x1 時(shí)， y 0時(shí)，有22xaxaaxa. 小于取中間 22xaxaxa或xa. 大于取兩邊 (2)、解一元二次不等式)0( ,02acbxax的步驟：求判別式acb42000求一元二次方程的解：兩相異實(shí)根一個(gè)實(shí)根沒(méi)有實(shí)根畫(huà)二次函數(shù)cbxaxy2的圖象結(jié)合圖象寫(xiě)出解集02cbxax解集12xxxxx或abxx2r 02cbxax解集21xxxx注：02cbxax)0(a解集為 r 02cbxax對(duì)rx恒成立0（ 3）高次不等式：數(shù)軸標(biāo)根法(奇穿偶回，大于取上，小于取下) （ 4）分式不等式：先移項(xiàng)通分，化

12、一邊為0，再將除變乘，化為整式不等式，求解。如解分式不等式11xx：先移項(xiàng);011xx通分; 0)1(xxx再除變乘0)12(xx，解出。87、線性規(guī)劃：（ 1）一條直線將平面分為三部分（如圖）：（ 2）不等式0cbyax表示直線0cbyax某一側(cè)的平面區(qū)域，驗(yàn)證方法：取原點(diǎn)（0，0）代入不等式，若不等式成立，則平面區(qū)域在原點(diǎn)所在的一側(cè)。假如直線恰好經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則取其它點(diǎn)來(lái)驗(yàn)證，例如取點(diǎn)（1， 0） 。（ 3）線性規(guī)劃求最值問(wèn)題：一般情況可以求出平面區(qū)域各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)z，最大的為最大值。選修 1-1 88、充要條件0cbyax直線0cbyax0cbyax（1）若pq，則p是q充分條

13、件，q是p必要條件 . （2）若pq，且qp，則p是q充要條件 . 注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然. 89、邏輯聯(lián)結(jié)詞。 “p 或 q” 記作： pq; “p 且 q” 記作： pq; 非 p 記作： p 90、四種命題：原命題：若p，則 q 逆命題：若q，則 p 否命題：若p，則 q 逆否命題：若q，則 p 注意：（1）原命題與逆否命題同真同假，但逆命題的真假與否命題之間沒(méi)有關(guān)系；（2） p 是指命題p 的否定，注意區(qū)別“否命題”。例如命題p： “若0a，則0b” ，那么 p的“否命題”是： “若0a，則0b” ，而 p 是： “若0a，則0b” 。91、全稱命題：

14、含有“任意”、 “所有” 等全稱量詞 （記為）的命題， 如 p：0)1( ,2xrx特稱命題：含有“存在”、 “有些”等存在量詞（記為）的命題，如q：1,2xrx注：全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題，如上述命題p 和 q 的否定： p：0) 1( ,2mrm，q：1,2xrx92、橢圓定義：若f1， f2是兩定點(diǎn)， p為動(dòng)點(diǎn)，且apfpf221(a為常數(shù) )則 p 點(diǎn)的軌跡是橢圓。標(biāo)準(zhǔn)方程： 焦點(diǎn)在 x 軸:12222byax)0(ba；焦點(diǎn)在 y 軸:12222bxay)0(ba；長(zhǎng)軸長(zhǎng) =a2，短軸長(zhǎng) =2b 焦距： 2c 恒等式：a2-b2=c2離心率：ace93、雙曲

15、線定義：若f1， f2是兩定點(diǎn)，apfpf221（a為常數(shù)），則動(dòng)點(diǎn)p 的軌跡是雙曲線。圖形：如圖標(biāo)準(zhǔn)方程：焦點(diǎn)在 x 軸:12222byax)0,0(ba焦點(diǎn)在 y 軸:12222bxay)0,0(ba實(shí)軸長(zhǎng) =a2，虛軸長(zhǎng) =2b，焦距： 2c 恒等式：a2+b2=c2離心率：ace漸近線方程： 當(dāng)焦點(diǎn)在x 軸時(shí)， 漸近線方程為xaby；當(dāng)焦點(diǎn)在y 軸時(shí)， 漸近線方程為xbay等軸雙曲線：當(dāng)ba時(shí)，雙曲線稱為等軸雙曲線，可設(shè)為22yx。94、拋物線定義：到定點(diǎn)f 距離與到定直線l的距離相等的點(diǎn)m 的軌跡是拋物線（如左下圖mf=mh ） 。圖形：方程)0( ,22ppxy22, (0 )yp

16、 xp22, (0 )xp yp22, (0 )xp yp焦點(diǎn)：f)0,2(pf(,0)2pf(0,)2pf(0,)2p準(zhǔn)線方程：2px2px2py2py注意：幾何特征：焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離=2p；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離=p；95導(dǎo)數(shù)的幾何意義：)(0/xf表示曲線)(xf在0 xx處的切線的斜率k；導(dǎo)數(shù)的物理意義：)(0/xf表示運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻0 x處的瞬時(shí)速度。96、幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1) 0c（c為常數(shù)） . (2) )()(1qnnxxnn. (3) xxcos)(sin. (4) xxsin)(cos. (5)xx1)(ln；aaaxxln)(. (6) xxee )(;. （7）21)1(

17、xx97、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則（1）()uvuv. （2）()uvuvuv. （3）2()(0)uu vuvvvv. 98函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)的關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間（ a , b）內(nèi)，如果0)( xf，那么函數(shù))(xfy在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果0)( xf，那么函數(shù))(xfy在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。注：若函數(shù))(xfy在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則0)( xf若函數(shù))(xfy在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，則0)( xf99、判別)(0 xf是極大（?。┲档姆椒?1) 求導(dǎo))(xf；f)0,2(p準(zhǔn)線f m h 極大值（2）令)(xf=0，解方程，求出所有實(shí)根0 x（ 3）列表，判斷每一個(gè)根0 x左右兩側(cè))(

18、xf的正負(fù)情況：如果在0 x附近的左側(cè)0)(xf，右側(cè)0)(xf，則)(0 xf是極大值；如果在0 x附近的左側(cè)0)(xf，右側(cè)0)(xf，則)(0 xf是極小值 . 100、求函數(shù)在閉區(qū)間a , b上的最值的步驟：（1）求函數(shù))(xf的所有極值；（2）求閉區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值)(),(bfaf；（3）將各極值與)(),(bfaf比較，其中最大的為最大值，最小的為最小值。注意：（1）無(wú)論是極值還是最值，都是函數(shù)值，即)(0 xf，千萬(wàn)不能寫(xiě)成導(dǎo)數(shù)值)(0/xf。（2）若在某區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值，則不用與端點(diǎn)比較也知道這個(gè)極值就是函數(shù)的最值。選修 1-2 101、復(fù)數(shù)zabi，其中a叫做實(shí)部，b叫做虛部

19、(1) 復(fù)數(shù)的相等,abicdiac bd. （, , ,a b c dr）(2) 當(dāng) a=0,b 0 時(shí),z=bi為純虛數(shù) ; (3) 當(dāng) b=0 時(shí),z=a 為實(shí)數(shù) ; (4) 復(fù)數(shù) z 的共軛復(fù)數(shù)是biaz(5) 復(fù)數(shù)zabi的模|z=22ab. (6)i2 =-1, （ -i ）2 =-1. (7) 復(fù)數(shù)zabi對(duì)應(yīng)復(fù)平面上的點(diǎn)( , )a b，102、復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則(1) 加：()()()()abicdiacbd i; (2) 減：()()()()abicdiacbd i; (3) 乘：()()()()abicdiacbdbcad i; 類似多項(xiàng)式相乘(4) 除：)()(dicd

20、icdicbiadicbia（分子、分母乘分母共軛復(fù)數(shù)，此法稱為“分母實(shí)數(shù)化”）103、常用不等式：（ 1）重要不等式 : 若,a br，則222abab( 當(dāng)且僅當(dāng)a b 時(shí)取“ =”號(hào)) （ 2）基本不等式 : 若0,0 ba，則abba2 ( 當(dāng)且僅當(dāng)ab 時(shí)取“ =”號(hào) ) 基本不等式的適用原則可口訣表示為：一正、二定、三相等當(dāng)ab為定值時(shí)，ba有最小值，簡(jiǎn)稱“積定和最小”當(dāng)ba為定值時(shí)，ab有最大值，簡(jiǎn)稱“和定積最大”104、推理：（ 1）合情推理：包含歸納推理（從特殊到一般）和類比推理（從特殊到特殊）（ 2）演繹推理：從一般到特殊。三段論是演繹推理的一般模式，包括：大前提（已知的一

21、般原極小值理） 、小前提（所研究的特殊情況）、結(jié)論（根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷）105、證明：（ 1）直接證明：包括綜合法（又叫由因?qū)Чǎ┖头治龇ǎㄓ纸袌?zhí)果索因法）（ 2）間接證明：又叫反證法，通常假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立。坐標(biāo)系與參數(shù)方程106、極坐標(biāo)系：其中| om（1）如圖，點(diǎn)m的極坐標(biāo)為),(（2）極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式：sin,cosyx; 222yx，xytan107、參數(shù)方程形如)( ,)()(為參數(shù)ttgytfx（ *）參數(shù)方程是借助參數(shù)t，間接給出yx,之間的關(guān)系 , 而普通方程是直接給出x與y的關(guān)系，

22、如01yx（1）圓222ryx的參數(shù)方程是)( ,sincos為參數(shù)ryrx（2）橢圓12222byax的參數(shù)方程)0,( ,sincosbabyax為參數(shù)（3）參數(shù)方程與普通方程的互化：消去參數(shù)方程的參數(shù)，得到普通方程。消去參數(shù)的方法有：公式法：用公式1cossin22等代入法： 方程（*）中，由)(tfx解出)(xht， 代入)(tgy加減消元法：方程（*）中，兩式相加（減）消去參數(shù)t請(qǐng) 同 學(xué) 們 試 著 將 圓 的 參 數(shù) 方 程)( ,si nc o s為 參 數(shù)rbyrax， 化 為 圓 的 標(biāo) 準(zhǔn) 方 程_，說(shuō)說(shuō)你用的是什么方法？提示：解參數(shù)方程問(wèn)題，通常先將參數(shù)方程化為普通方程，再求解。幾何證明選講108平行線等分線段定理：如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等。極點(diǎn) o 極徑點(diǎn) m),(yx)極角極軸xy x 推論 1：經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊推論 2：經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分國(guó)一腰109平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例推論： 平行于三角形的一邊的直線截其他兩邊（或