高二數(shù)學選修2-1第三章空間向量與立體幾知識點習題答案

1、1 空間向量與立體幾何1、空間向量的概念：1 在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量2 向量可用一條有向線段來表示有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量的方向3 向量的大小稱為向量的模（或長度） ，記作4 模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量5 與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作a6 方向相同且模相等的向量稱為相等向量2、空間向量的加法和減法：1 求兩個向量和的運算稱為向量的加法，它遵循平行四邊形法則即：在空間以同一點為起點的兩個已知向量a、 b 為鄰邊作平行四邊形c， 則以起點的對角線c 就是a與b 的和，這種求向量和的方法，稱為向量加

2、法的平行四邊形法則2 求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角形法則即：在空間任取一點，作a ，b ，則ab 3、 實數(shù)與空間向量a的乘積a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算 當0時，a與a方向相同；當0時，a與a方向相反；當0時，a為零向量，記為 0a的長度是a的長度的倍4、設(shè)，為實數(shù)，a， b 是空間任意兩個向量，則數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律分配律：abab；結(jié)合律：aa5、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線6、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a，0b b，/ab 的充要條2 件是存在實數(shù)，使 ab 7、平

3、行于同一個平面的向量稱為共面向量8、 向量共面定理： 空間一點位于平面c內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x ，y，使xyc ；或?qū)臻g任一定點，有xyc ；或若四點，c共面，則1xyz c xyz9、 已知兩個非零向量a和 b ， 在空間任取一點， 作a ，b ， 則稱為向量a，b 的夾角，記作,a b 兩個向量夾角的取值范圍是：,0,a b10、 對于兩個非零向量a和 b ，若,2a b， 則向量a，b 互相垂直，記作 ab 11、 已知兩個非零向量a和 b ， 則c o s ,a bab稱為a，b 的數(shù)量積，記作 a b 即c o s ,a ba bab零向量與任何向量的數(shù)量積為012、a b

4、 等于a的長度 a 與b 在a的方向上的投影cos,ba b的乘積13、若a， b 為非零向量，e為單位向量，則有1cos,e aa eaa e ；20aba b； 3a b aba ba bab與 同向與 反向，2a aa， aa a ；4cos,a ba ba b； 5a ba b14、向量數(shù)乘積的運算律：1 a bb a； 2aba bab；3abca cb c15、若i， j ，k 是空間三個兩兩垂直的向量，則對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組, ,x y z ，使得 pxiyjzk，稱xi， yj ， zk 為向量p在i， j ， k 上的分量16、空間向量基本定理：若三個向量a， b

5、 ，c不共面，則對空間任一向量p，存在實數(shù)組, ,x y z ，使得 pxaybzc 17、若三個向量a， b ，c不共面，則所有空間向量組成的集合是3 , , ,p pxaybzc x y zr 這個集合可看作是由向量a，b ，c生成的，, ,a b c稱為空間的一個基底，a，b ，c稱為基向量空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個基底18、設(shè)1e，2e，3e為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽换祝?e ，2e ，3e 的公共起點為原點，分別以1e ，2e ，3e 的方向為 x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系xyz 則對于空間任意一個向量p，一定可以把它

6、平移，使它的起點與原點重合，得到向量p 存在有序?qū)崝?shù)組, ,x y z ，使得123pxeyeze 把 x ，y， z 稱作向量p在單位正交基底1e ，2e ，3e 下的坐標，記作, ,px y z 此時，向量p的坐標是點在空間直角坐標系xyz中的坐標, ,x y z 19、設(shè)111,ax y z，222,bxy z，則 1121212,abxxyyzz2121212,abxxyyzz3111,axyz4121212a bx xy yz z 5 若a、 b 為非零向量，則12121200aba bx xy yz z6 若0b，則121212/,ababxxyyzz 7222111aa axyz

7、8121212222222111222cos,x xy yz za ba ba bxyzxyz9111,xy z，222,xyz， 則222212121dxxyyzz20、在空間中，取一定點作為基點，那么空間中任意一點的位置可以用向量來表示向量稱為點的位置向量21、 空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點以及一個定方向確定 點是直線l上一點，向量a表示直線l的方向向量， 則對于直線l上的任意一點，有ta ，這樣點和向量a不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出直4 線l上的任意一點22、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定 設(shè)這兩條相交直線相交于點，它們的方向向量分別為a， b

8、 為平面上任意一點，存在有序?qū)崝?shù)對, x y ， 使得xayb ， 這樣點與向量a，b 就確定了平面的位置23、直線l垂直，取直線l的方向向量a，則向量a稱為平面的法向量24、若空間不重合兩條直線a ，b的方向向量分別為a， b ，則/abababr ，0ababa b25、若直線 a的方向向量為a，平面的法向量為n，且 a，則/aa0ana n，/aaanan26、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為a，b ，則/abab ，0aba b27、設(shè)異面直線 a，b的夾角為，方向向量為a， b ，其夾角為，則有coscosa ba b28、設(shè)直線l的方向向量為 l ，平面的法向量為n，l與所成

9、的角為，l 與n的夾角為，則有 sincoslnln29、設(shè)1n ，2n 是二面角l的兩個面，的法向量，則向量1n ，2n 的夾角（或其補角）就是二面角的平面角的大小若二面角l的平面角為，則1212cosn nn n30、點與點之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點對應(yīng)向量的模計算31、在直線l上找一點，過定點且垂直于直線l的向量為n，則定點到直線l的距離為cos,ndnn32、點是平面外一點，是平面內(nèi)的一定點，n為平面的一個法向量，則點到平面的距離為cos,ndnn5 空間向量與立體幾何練習題1 一、選擇題（每小題5 分，共 50 分）1. 如圖， 在平行六面體 abcd a1b1c1d1中， m為 ac

10、與 bd的交點 . 若11ba=a，11da=b，aa1=c，則下列向量中與mb1相等的向量是a.21a+21b+c b.21a+21b+cc.21a21b+c d.21a21b+c2. 下列等式中，使點 m與點 a、b、c一定共面的是a.ocoboaom23 b.ocoboaom513121c.0ocoboaom d.0mcmbma3. 已知空間四邊形 abcd 的每條邊和對角線的長都等于1，點 e、f分別是 ab 、ad的中點，則dcef等于a.41 b.41 c.43 d.434. 若)2, 1(a，)1 , 1,2(b，a 與b的夾角為060，則的值為a.17 或-1 b.-17或 1

11、 c.-1 d.1 5. 設(shè)) 2, 1 , 1(oa，)8 ,2, 3(ob，)0, 1 ,0(oc，則線段ab的中點p到點c的距離為a.213 b.253 c.453 d.4536. 下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個視圖相同的是a b c d7. 右圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是正方體圓錐三棱臺正四棱錐6 a.9b.10c.11d.128. 如圖， abcd - a1b1c1d1為正方體，下面結(jié)論錯誤的是a.bd 平面 cb1d1 b.ac1bdc.ac1平面 cb1d1 d.異面直線 ad與 cb1所成的角為 609. 如圖，在長方體abcd - a1

12、b1c1d1中，ab =bc =2,aa1=1,則 bc1與平面 bb1d1d所成角的正弦值為a.63 b.552 c.155 d.10510. abc 的三個頂點分別是)2, 1, 1(a，)2 ,6,5(b，)1,3 , 1(c，則 ac邊上的高 bd長為a.5 b.41 c.4 d.52二、填空題（每小題5 分，共 20 分）11. 設(shè))3 ,4 ,(xa，),2, 3(yb，且ba/，則xy . 12. 已知向量)1 , 1,0(a，)0, 1 , 4(b，29ba且0，則=_. 13. 在直角坐標系xoy中，設(shè) a（-2，3） ，b（3，-2 ） ，沿 x 軸把直角坐標平面折成大小為

13、的二面角后，這時112ab，則的大小為14. 如圖， pabcd 是正四棱錐，1111abcdabc d 是正方體，其中2,6abpa，則1b 到平面 pad 的距離為 . 三、解答題（共80分）俯視圖正(主)視圖側(cè)(左)視圖2 3 2 2 7 15.（本小題滿分 12 分）如圖，在四棱錐 p-abcd 中，底面 abcd 是邊長為 1 的正方形，側(cè)棱 pa的長為 2，且 pa與 ab 、ad的夾角都等于 600，m是 pc的中點，設(shè)cbaapadab,（1）試用cba,表示出向量 bm ；（2）求bm的長16.（本小題滿分 14 分）如下的三個圖中， 上面的是一個長方體截去一個角所得多面體的

14、直觀圖，它的正視圖和側(cè)視圖在下面畫出（單位：cm ）.（1）在正視圖下面，按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖；（2）按照給出的尺寸，求該多面體的體積；（3）在所給直觀圖中連結(jié)bc，證明：bc面 efg. 17.（本小題滿分 12 分） 如圖，在四面體abcd中，cbcdadbd， 點ef，224側(cè)視圖正視圖624gefcbdcabdmpdcba8 分別是abbd，的中點求證：（1）直線/ef面acd；（2）平面efc面bcd18.（本小題滿分 14 分） 如圖， 已知點 p在正方體dcbaabcd的對角線bd上， pda=60 . （1）求 dp與cc所成角的大?。唬?）求 dp與平面dd

15、aa所成角的大小 . 19. （本小題滿分 14 分）已知一四棱錐pabcd 的三視圖如下， e 是側(cè)棱 pc上的動點（1）求四棱錐 pabcd 的體積；（2）是否不論點 e在何位置，都有 bd ae ？證明你的結(jié)論 ;dcbapdcba9 俯視圖側(cè)視圖正視圖121121edcbap（3）若點 e為 pc的中點，求二面角d ae b的大小20. （本小題滿分 14 分）如圖，已知四棱錐pabcd，底面abcd為菱形，pa平面abcd，60abc，ef，分別是bcpc，的中點（1）證明：aepd；（2）若h為pd上的動點，eh與平面pad所成最大角的正切值為62，求二面角eafc的余弦值參考答案

16、一、選擇題p b e c d f a 10 1.)(21111bcbaaabmbbmb=c+21( a+b)=21a+21b+c，故選 a. 2.1),(zyxrzyxoczobyoaxomcbam且四點共面、由于mcmbmamcmbmacba0由于都不正確、選項.)()()(共面使所以存在mcmbmamcymbxmayx, 1, 1四點共面，、為公共點由于cbamm故選 d. 3. 的中點分別是adabfe,bdefbdefbdef21,21/且, 41120cos1121,cos21210dcbddcbddcbddcef故選 b. 4.b 5.b 6.d 7.d 8.d 9.d 10. 由

17、于4,cosacacabacababad， 所以522adabbd, 故選 a 二、填空題11.9 12.3 13. 作 ac x 軸于 c，bd x 軸于 d，則dbcdacabcos6)180cos(,0, 0, 2, 5, 30dbacdbacdbcdcdacdbcdac000222222222120,1800.21cos),cos600(2253)112()(2)(由于acdbdbcdcdacdbcdacdbcdacab14. 以11ba為 x軸，11da為y軸，aa1為 z軸建立空間直角坐標系設(shè)平面 pad的法向量是( , , )mx y z ，(0,2,0),(1 ,1,2)ada

18、p，02,0zyxy，取1z得( 2,0,1)m，1( 2,0,2)b a，1b 到平面 pad的距離1655b a mdm. 三、解答題15. 解： （1）m是 pc的中點，)(21)(21abapadbpbcbm11 cbaacb212121)(21（2）2, 1,2, 1cbapaadab由于160cos12,0,60,00cbcabapadpabadab由于),(21cbabm由于23)110(221141)(241)(4122222222cbcabacbacbabm2626的長為，bmbm. 16. 解： （1）如圖（2） 所求多面體體積 vvv長方體正三棱錐114462223222

19、84(cm )3（3）證明： 在長方體abcda b c d中，連結(jié)ad，則adbc因為eg，分別為aa，a d中點，所以adeg，從而egbc又bc平面efg，所以bc 面efg17. 證明： （1）e,f 分別是abbd，的中點，ef是abd的中位線， ef ad ，ad 面 acd ，ef面 acd ，直線 ef面 acd ；（2）ad bd ，ef ad ，ef bd ，cb=cd ，f是的中點， cf bd 又 ef cf=f, bd 面 efc ，bd 面 bcd ，面efc面bcd. 18. 解：如圖，以d為原點，da為單位長建立空間直角坐標系dxyz則(10 0)da， ， ，

20、(0 01)cc， ， 連結(jié)bd，b da b c d e f g abcd12 zxedp在平面bb d d中，延長dp交b d于h設(shè)(1)(0)dhmmm， ，由已知60dh da，由cosda dhda dhda dh，可得2221mm解得22m，所以22122dh，（1）因為22001 1222cos212dh cc，所以45dh cc，即dp與cc所成的角為45（2）平面aa d d的一個法向量是(01 0)dc， ， 因為2201 1 0122cos212dh dc，所以60dh dc，可得dp與平面aa d d所成的角為3019. 解： （1）由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐pa

21、bcd 的底面是邊長為 1 的正方形，側(cè)棱 pc 底面 abcd ，且 pc=2.1233pabcdabcdvspc(2) 不論點 e在何位置，都有 bd ae 證明如下：連結(jié) ac ，abcd 是正方形， bd ac pc 底面 abcd 且bd平面abcdbd pc 又acpccbd 平面 pac 不論點 e在何位置，都有 ae平面 pac 不論點 e在何位置，都有 bd ae (3) 解法 1：在平面 dae內(nèi)過點 d作 dg ae于 g ，連結(jié) bg cd=cb,ec=ec，rt ecdrtecb，ed=eb ad=ab ， eda eba ，bg ea dgb為二面角 dea b的平

22、面角bc de ，ad bc ，ad de 在 rade中ad dedgae=23=bg 在dgb 中，由余弦定理得212cos222bgdgbdbgdgdgbdgb=23，二面角 dae b的大小為23. 解法 2：以點 c為坐標原點， cd所在的直線為軸建立空間直角坐標系如圖示：a b c d p abcdx y z h 13 則(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)dabe, 從而( 1,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0, 1,1)dedababe設(shè)平面 ade 和平面 abe的法向量分別為( , , ),( , , )ma b c na b c由法

23、向量的性質(zhì)可得：0,0acb，0,0abc令1, 1cc，則1, 1ab，(1 ,0,1),(0, 1, 1)mn設(shè)二面角 dae b的平面角為，則1cos2| |m nmn23，二面角 d ae b的大小為23. 20.（1）證明：由四邊形abcd為菱形，60abc，可得abc為正三角形因為e為bc的中點，所以aebc又bcad，因此aead因為pa平面abcd，ae平面abcd，所以paae而pa平面pad，ad平面pad且paada，所以ae平面pad又pd平面pad，所以aepd（2）解：設(shè)2ab，h為pd上任意一點，連接aheh，由（1）知ae平面pad，則eha為eh與平面pad所

24、成的角在rteah中，3ae，所以當ah最短時，eha最大，即當ahpd時，eha最大此時36tan2aeehaahah，因此2ah又2ad，所以45adh，所以2pa解法一： 因為pa平面abcd，pa平面pac，所以平面pac平面abcd過e作eoac于o，則eo平面pac，過o作osaf于s，連接es，則eso為二面角eafc的平面角，14 在rtaoe中，3sin 302eoae，3cos302aoae，又f是pc的中點，在rtaso中，3 2sin454soao，又223930484seeoso，在rteso中，3 2154cos5304soesose，即所求二面角的余弦值為155解

25、法二： 由（1）知aeadap，兩兩垂直，以a為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，又ef，分別為bcpc，的中點，所以(0 0 0)( 310)( 310)(0 2 0)abcd， ， ， ， ，3 1(0 0 2)( 3 0 0)122pef， ，所以3 1(30 0)122aeaf， ，設(shè)平面aef的一法向量為111()xyz， ，m，則00aeaf，mm因此11113031022xxyz，取11z，則(0 21)，m，因為bdac，bdpa，paaca，所以bd平面afc，故bd為平面afc的一法向量又(33 0)bd， ， ，所以2315cos5512bdbdbd，mmm因為二面

26、角eafc為銳角，所以所求二面角的余弦值為155空間向量與立體幾何2 p b e c d f a y z x 15 一、選擇題（每小題5 分，共 60 分）1下列各組向量中不平行的是（）a)4,4, 2(),2, 2, 1(ba b)0 ,0 ,3(),0,0 , 1(dcc)0,0 ,0(),0, 3 ,2(fe d)40,24,16(),5 , 3, 2(hg2已知點( 3,1, 4)a，則點a關(guān)于 x軸對稱的點的坐標為（）a)4, 1, 3( b )4, 1,3( c )4 ,1 ,3( d )4, 1,3(3若向量)2, 1, 2(),2, 1 (ba，且a與b 的夾角余弦為98，則等

27、于（）a2 b2 c2或552 d2或5524若 a) 1 ,2, 1(，b)3 ,2,4(，c)4, 1,6(，則 abc的形狀是（）a不等邊銳角三角形 b 直角三角形 c鈍角三角形 d等邊三角形5若 a)12,5,(xxx，b)2,2,1 (xx，當ba取最小值時， x的值等于（）a19 b78 c78 d14196空間四邊形oabc中，oboc，3aobaoc，則 cos的值是（）a21 b22 c21 d07設(shè)nm、表示直線，、表示平面，則下列命題中不正確的是（） am,m，則/bm/n,，則 m/n c m,/m, 則dn/m,m, 則n8在棱長均為 2 的正四面體bcda中，若以三

28、角形abc為視角正面的三視圖中，其左視圖的面積是（） a3 b362 c2 d229、如圖，將無蓋正方體紙盒展開，直線ab,cd 在原正方體中的位置關(guān)系是（）a平行 b相交且垂直a b c d dcab16 c 異面 d相交成 6010、點 p在平面 abc外，若 pa=pb=pc，則點 p在平面 abc 上的射影是abc 的（）a外心 b.重心 c.內(nèi)心 d.垂心11、如果一個水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個底角為45，腰和上底均為的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（）（a）22（b）122（c）222（d ） 1212、已知 pd 矩形 abcd 所在的平面，圖中相互垂直的平面有（）（a

29、）2 對（b）3 對（c）4 對（d）5對二、填空題（每小題4 分，共 24 分）13 若向量)2, 3,6(),4,2, 4(ba， 則(23 ) (2 )abab_ 。14 若 向 量,94,2kjibkjia， 則 這 兩 個 向 量 的 位 置 關(guān) 系 是_。15已知向量), 2, 4(),3, 1, 2(xba，若ab ，則 x_；若/ab 則x_。16 已 知 向 量,3,5krjibkjima若/ab 則 實 數(shù) m_，r_。17 若 (3 )ab)57(ba， 且 (4 )ab)57(ba， 則a與 b 的 夾 角 為_ 。18 已 知 空 間 四 邊 形oabc， 點,m n

30、分 別 為,oa bc的 中 點 ， 且ccobboaao,，用a，b ，c表示nm，則nm=_ 。三、解答題（每小題12 分，共 36 分）19（08 海南寧夏卷理 18）如圖，已知點 p在正方體 abcd a1b1c1d1的對角線 bd1上， pda=60 . （1）求 dp與 cc1所成角的大??；p a b c d a c d p abcdy z h 17 （2）求 dp與平面 aa1d1d所成角的大小 . 20.(08陜西卷理20）三棱錐被平行于底面abc的平面所截得的幾何體如圖所示， 截面為111abc ，90bac，1a a平面abc，13a a，2ab，2ac，111ac，12b

31、ddc（）證明：平面1a ad平面11bcc b ；（）求二面角1accb的大小 （只求余弦值的大?。゛1 a c1 b1 b d c 18 21如圖所示的多面體是由底面為abcd的長方體被截面1aec f 所截面而得到的，其中14,2,3,1abbcccbe. （）求bf的長；（）求點c到平面1aec f 的距離 . 19 答案一、選擇題1d 2/ ;3/ ;baab dcdc而零向量與任何向量都平行2a 關(guān)于某軸對稱，則某坐標不變，其余全部改變3c 2682cos,2,95535a ba ba b或4a (3,4,2),(5,1,3),(2, 3,1)abacbc，0ab ac，得a為銳角

32、；0ca cb，得c為銳角；0ba bc，得b為銳角；所以為銳角三角形5c 222(1,23, 33),(1)(23)( 33)abxxxabxxx2143219xx，當87x時，ba取最小值6d coscos()33cos,0oa ocoa oboa bcoa ocoboa bcoa bcoa bcoa bc7.b 8.c 9.d 10.a 11.a 12.d 二、填空題1321223( 10,13, 14)ab，2(16, 4,0)ab14垂直(2, 1,1),(4,9,1),0aba bab15 10, 63若ab，則108230,3xx；若/ab，則2 :( 4)( 1):23:,6x

33、 x16115,5511(,5,1),(3,1, ),15,315mambrmrr170222222716150,733200,4935,4935aa bbaa bba bbaa b得223535353549,cos,1494949baba ba bba bba ba ba181()2bca11()22mnonombca三、解答題19（08 海南寧夏卷理 18）如圖，已知點 p在正方體 abcd a1b1c1d1的對角線 bd1上， pda=60 . 20 （1）求 dp與 cc1所成角的大小；（2）求 dp與平面 aa1d1d所成角的大小 . 解：如圖，以d為原點，da為單位長建立空間直角坐

34、標系dxyz則(10 0)da，(0 01)cc， ，連結(jié)bd，b d在平面bb d d中，延長dp交b d于h設(shè)(1)(0)dhmmm，由已知60dh da，由cosda dhda dhda dh，可得2221mm解得22m，所以22122dh， （）因為22001 1222cos212dh cc，所以45dh cc，即dp與cc所成的角為45（）平面aa d d的一個法向量是(01 0)dc， ，因為22011 0122cos212dh dc， 所以60dh dc，可得dp與平面aa d d所成的角為3020.(08陜西卷理20）三棱錐被平行于底面abc的平面所截得的幾何體如圖所示， 截面為111abc ，90bac，1a a平面abc，13a a，2ab，2ac，111ac，12bddc（）證明：平面1a ad平面11bcc b ；（）求二面角1accb的大小解：解法一：（）1a a平面abcbc，平面abc，1a abc 在rtabc中，226abacbc，:1: 2bddc，63bd，又33bdababbc，a b c d p abcdx y z h a1 a c1 b1 b d c 21 dbaabc，90adbbac，即adbc又1a aada，bc平面