六自由度運動平臺的仿真研究

1、六自由度運動平臺的仿真研究天津工程機械研究院楊永立摘要：本文分析了六自由度運動平臺分別采用球錢鏈和萬向節(jié)鐵鏈進行連接 時的自由度，運用歐拉角、旋轉(zhuǎn)變換的方法推導(dǎo)出位置反解方程，介紹了數(shù)值迭 代法進行位置正解的過程。關(guān)鍵詞：并聯(lián)，局部自由度，位置反解，位置正解。1. 簡介運動平臺按結(jié)構(gòu)形式可分為串聯(lián)和并聯(lián)兩大類。與串聯(lián)形式相比，并聯(lián)形式 具有剛度大、承載能力強、結(jié)構(gòu)簡單、運動負荷小、能實現(xiàn)包括橫移、縱移、升 沉等多個口由度運動等特點。同時，串聯(lián)形式的優(yōu)點也很明顯，其具有運動空間 大，測量精度高，運動、受力分析相對簡單、控制、測量的實現(xiàn)相對容易，且每 個自由度都能獨立運動等特點。六自由度運動平臺（

2、如圖1所示）是由六條油缸通過萬向節(jié)較鏈（或球較鏈）將上、下兩個平臺連接而成，下平臺固定在基礎(chǔ)上，借助六條油缸的伸縮運動， 完成上平臺在三維空間六個口由度（x, y, z, a, b, y ）的運動，從而可以 模擬出各種空間運動姿態(tài)。2. 自由度的確定若在三維空間有n個完全不受約朿 的物體，任選其中一個作為固定參照物， 因每個物體相對參照物都有6個運動門 由度，則n個物體相對參照物共有6（n-l） 個運動自由度。若在所有物體之間用運 動副聯(lián)接起來組成機構(gòu)，設(shè)第i個運動副 的約束為w （1到5之間的整數(shù)），如果 運動副的總數(shù)為g,則機構(gòu)的自由度m為:m = 6(n 一 1)也/=!利用上述公式計算

3、一下如圖1所示運動平臺（采用球較鏈）的口由度數(shù)。將油 缸分解為缸筒和活塞桿，則總的構(gòu)件數(shù)n=14,油缸與上下平臺z間的連接為12 個球較鏈（約束為3）,缸筒和活塞桿構(gòu)成6個既可以相對移動，又可以相對轉(zhuǎn) 動的運動副（約束為4）,則平臺的自由度m為：m = 6(/? 一 i)-弘 =6 (14-1)-(3 x 12+4x6)=18/=i計算結(jié)果岀人意料，平臺似乎無法只通過六條油缸進行驅(qū)動。但是，如果保持上 平臺和缸筒固雄不動，曲球較鏈的特性可知，活塞桿仍然可以相對其軸線轉(zhuǎn)動；同理，缸筒也具有同樣的效應(yīng)。實踐證明，這種轉(zhuǎn)動并不影響上平臺的空間運動姿態(tài)，因此屬于局部自由度。在六口由度運動平臺的實際設(shè)計

4、中，由于球較鏈 的剛度差，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定，所以一般采用萬向節(jié)餃鏈（如 圖2所示，約束為4）來代替圖1中的球較鏈，則口出 度m為：8m = 6（ n 一 1）也 =6 （14 1） （4 x 12+4 x 6）=63. 六自由度運動平臺空間姿態(tài)的解算要實現(xiàn)對平臺空間姿態(tài)的控制和測量，必須掌握它兩個方向上的解算方法, 即位置反解和位置正解。3.1位置反解（逆向解）:已知輸岀件的位置和姿態(tài)，求解輸入件的位置稱為機構(gòu)的位置反解。在運動 平臺的實際應(yīng)用當(dāng)中，用戶所給定的一般都是平臺的六個空間姿態(tài)參數(shù)x, y,乙q, 0, y,然而要實現(xiàn)對平臺的控制，需要的是六條油缸的長度li、l2 l6,這正好是已知輸出求

5、輸入，屬于位置反解。也就是說，要實現(xiàn)對平臺空間姿 態(tài)的控制，就必需推導(dǎo)出平臺的位置反解方程。如圖1所示，在上平臺建立動坐標(biāo)系o-xyz,在下平臺建立靜坐標(biāo)系oxy乙那么，上平臺的運動可分解為隨o-xyz坐標(biāo)原點o沿oxyz三個坐標(biāo)軸方向上 的平移(x、y、z),以及繞他標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)(a, b, y ) o為了避免發(fā)生角度 間的“耦合”，一般采用歐拉角來描述剛體的旋轉(zhuǎn)狀態(tài)，而歐拉幷的定義乂隨旋 轉(zhuǎn)次序的不同而不同。本文將歐拉角定義為依次繞z軸旋轉(zhuǎn)丫，繞y軸旋轉(zhuǎn)b, 繞x軸旋轉(zhuǎn)a o下平臺各餃點al、a2、-a6的坐標(biāo)(xai,yai,zai)、(xa2,ya2,za2)(xa6,ya6,za6)和

6、上平臺各較點al、a2、a6的動坐標(biāo) (xal,yal,zai ) >(xa2,ya2,za2)(xa6,ya6,za6)為已知,只要求出對應(yīng)姿態(tài)參數(shù) x,y, z, a , b, y的上平臺各較點的靜坐標(biāo)(xai,yai,zal)、(xa2,ya2,za2)(xa6,ya6,za6),運用兩點間距離公式便可以求出li、l2-l6o以al和al為例來計算與其相連的油缸的長度llo在如上所述對運動進行 分解的情況下，靜坐標(biāo)(xai,yai,zai)和動坐標(biāo)(xal,yal,zal)有如下變換公式：具中t是關(guān)丁“ a、b、y的旋轉(zhuǎn)變換矩陣,公式中只有矩陣t未知，下面就來 = txki+y_&

7、#171;i _z求該旋轉(zhuǎn)變換炬陣。圖3歐拉角坐標(biāo)系根據(jù)木文定義的歐拉角，建立如圖3所示的四個坐標(biāo)系。-廠乂、。'-巧'、o"-巧"、of w 首先繞z軸旋轉(zhuǎn)y,其變換關(guān)系如下:x=x'cos y y'sin yy= xr sin y + y'cos yz=z'寫成矩陣形式為:xcos/-sin/ysin/cos/z00o- 廠x 廠x0x9y=cxy1fz_z_繞)，'軸旋轉(zhuǎn)b,其變換關(guān)系為:0sin 0xx10xny=bxy"0cos/?z"繞*軸旋轉(zhuǎn)q,其變換關(guān)系為:xn100mxxr=0co

8、s <7-sin axttf y=axy,f,ff_0sin acos afffz_zm _將上述三個變換公式合并，得:xxy= cxbxaxttf yrtf由上述變換過程可知，在只有旋轉(zhuǎn)，沒有平移的情況下，(x“i,y“i,z汨)等 同于(x,y,z),同為靜坐標(biāo),而(xab yal,zal)等同于(/,*/)，同為動坐標(biāo),所以，旋轉(zhuǎn)變換矩陣t=cxbxa=sin crsin/ + cos a sin 0 cos y一 sin a cos y + cos a sin 0 sin ycos a cos cos 0 cos y 一 cos crsin/ + sin a sin 0 cos

9、/ cos i sin / cos a cos y + sina sin /3 sin y-sin 0sin a cos 0將矩陣t代入前面的變換公式，即可求出al的靜坐標(biāo)(xal, yalzal),從而可以求出油缸的長度li為:厶二 j(x如-x+(打一匕)2 +(z 創(chuàng) _zj2同理可得:a2-xa2)2+(ya2-ya2)2(za2-za2)2s = j(x“6 一乂狀尸 +(打6 一乙6)2 +(z“6 乙處尸3.2位置正解(順向解)：已知機構(gòu)輸入件的位置，求解機構(gòu)輸出件的位置和姿態(tài)稱為機構(gòu)的位置正 解。由于六自由度運動平臺是并聯(lián)機構(gòu)，直接測量平臺的六個自由度的空間姿態(tài) 相當(dāng)困難，但可

10、以通過位移傳感器測出每條油缸的長度，再經(jīng)過位置正解間接求 出平臺的空間姿態(tài)。到目前為止，述沒有直接的正解方程式，只能采用數(shù)值迭代 的方法，利用計算機快速運算的特點來逼近求解平臺姿態(tài)。日前所提出的迭代求 解的方法很多，本文所采用的是牛頓法，其基本原理就是將非線性方程組變成線 性方程組，求出近似解，然后在此近似解基礎(chǔ)上進一步迭代，逐步逼近非線性方 程組真解。由位置反解方程組可得：fi(x, y, z, a, b, y )=li2- ( xal-xai)2+( yai-yai)2+( zal-zai)2=0 f2(x, y, z, a, b, y )=l22 - ( xa2-xa2)2+( ya2-

11、ya2)2+( za2-za2)2=o f6(x, y, z, ci, 0, y )=l62 - ( xa6-xa6)24-( ya6-ya6)2+( za6-za6)2=0 此時，六條油缸長度l】、l2 -l6已知，需耍求解平臺的空間姿態(tài)x, y,乙a , b, y。設(shè) x=(x, y, z, a , b , y)' , f(x)=(f】()，f2(), f?(),仃()，f5()，f6()， 則位置正解的迭帶公式為：xk+i二xk-f (xk)一】f (xq移項，得到六個方程六個未知數(shù)的線性方程組：f (x/ 池+1 - xk)+ f (xao求解方程組便可以得到xk+。選擇適當(dāng)?shù)某跏键cx()(如：x()= (0,0,0,0,0,0)和終 止條件(如：ixk+】xklve,其中e為所求解的精度),經(jīng)過多次迭代便可求出滿 足精度要求的x, y, z, a, b, 丫值。4.結(jié)論本文運用solidworks軟件建立了六自由度運動平臺的三維模型(如圖4所 示)，并構(gòu)造了與圖3對應(yīng)的歐拉角坐標(biāo)系(如圖5所示)，分別輸入油缸的長 度和平臺的空間姿態(tài)參數(shù)，經(jīng)驗證，本文所