世界經(jīng)典數(shù)學(xué)名題

1、雞兔同籠孫子算經(jīng)卷下第31題叫“雞兔同籠”問題，也是一道世界數(shù)學(xué)名題。“有一群野雞和兔子關(guān)在同一個籠子里，頭數(shù)是35，腳數(shù)是94。問野雞和兔子的數(shù)目各是多少？”這個題目編得很有趣，如果35只動物全是雞，就應(yīng)該有70只腳；如果全是兔，就應(yīng)該有140只腳，而題中卻說共有94只腳，給人一種左右為難的印象。其實，解題關(guān)鍵也正在這里，假設(shè)35只動物全是雞，則共有70只腳，與題中“腳數(shù)是94”相比較，還差24只腳，將1只兔看作是雞，腳數(shù)就會相差2，有多少只兔被看作是雞了呢？24 2=12。 算到這里，答案也就呼之欲出了。清朝時，作家李汝珍把這類問題寫進(jìn)了小說鏡花緣中。書中有這樣一個情節(jié)，一座樓閣到處掛滿了

2、五彩繽紛的大小燈球，一種是大燈下綴2個小燈，另一種是大燈下綴4個小燈，大燈共360個，小燈共1200個。一位才女把大燈看作是頭，小燈看作是腳；把一種燈球看作是雞，把另一種看作是兔，運用“腳數(shù)的一半減頭數(shù)得兔數(shù)，頭數(shù)減兔數(shù)得雞數(shù)”的算法，很快就算出了一大二小的燈是120盞，一大四小的燈是240盞，贏得了一片喝彩聲。伴隨古代中外文化交流，雞兔同籠問題很快就漂洋過海流傳到了日本。不過到了日本之后，雞變成了仙鶴，兔變成了烏龜，雞兔同籠變成了赫赫有名的“鶴龜算”。狗跑與兔跳行程問題是中小學(xué)里常見的一類數(shù)學(xué)應(yīng)用題，也是一類很古老的數(shù)學(xué)問題。在我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)里，收集了很多這方面的題目如書中第6章第

3、14題：“狗追兔子。兔子先跑100步，狗只追了250步便停了下來，這時它離兔子只有30步的距離了。問如果狗不停下來，還要跑多少步才能追上兔子？”這道追及問題編得很有趣，它沒有直接告訴狗與兔的“速度差”，反而節(jié)外生枝地讓狗在追及過程中停了下來，數(shù)量關(guān)系顯得撲朔迷離。2000年前，我們的祖先解決這類問題已經(jīng)很有經(jīng)驗了，所以書中只是簡單地說，用（250 30）作除數(shù)，用（100-30）作被除數(shù)，即可算出題目的答案。世界各國人民都很喜愛解答這類問題，一本公元8世紀(jì)時在歐洲很流行的習(xí)題集中，也記載了一個狗與兔的追及問題：“狗追兔子，兔子在狗前面100英尺。兔子跑7英尺的時間狗可以跑9英尺，問狗跑完多少英

4、尺才能追上兔子？”相傳俄國女?dāng)?shù)學(xué)家科瓦列夫斯卡婭還在童年時，就算出了一道有關(guān)兔跳的趣味算題：“一對兔兄弟進(jìn)行跳躍比賽，兔弟弟說：應(yīng)該讓它先跳10次，哥哥才可以起跳。如果兔弟弟跳4次的時間兔哥哥能跳3次，兔哥哥跳5次的距離與兔弟弟跳7次的距離同樣遠(yuǎn)，問兔哥哥要跳多少次才能追上呢？”婆什迦羅的妙算婆什迦羅是12世紀(jì)印度最著名的數(shù)學(xué)家，他編的許多數(shù)學(xué)題被人稱作“印度問題”，在很多國家廣泛流傳，如：“某人對他的朋友說：如果你給我100枚銅幣，我將比你富2倍。朋友回答說：你只要給我10枚銅幣，我就比你富6倍。問兩人各有多少銅幣？”就是其中一道著名的數(shù)學(xué)題。婆什迦羅發(fā)現(xiàn)了一種很巧妙的算法：設(shè)這個人有（2x

5、-100）枚銅幣，他朋友有（x+100）枚銅幣，因為這個人給朋友10枚銅幣后，他的朋友將比他富6倍，于是有6（2x-100）= x+100，解之得x=70即兩人分別有40和170枚銅幣。我國古代數(shù)學(xué)著作張邱建算經(jīng)里有一個類似的題目：“有甲、乙兩人攜錢各不知其數(shù)，若乙給甲十錢，則甲比乙所多的是乙余數(shù)的5倍；若甲給乙十錢，則兩人錢數(shù)相等。問甲、乙各有多少錢？”更早些，希臘文集里已有了著名的“歐幾里得問題”的記載：“驢子和騾子馱著貨物并排走在大路上，驢子不住地抱怨馱的貨物太重，壓得受不了。騾子對它說：你發(fā)什么牢騷?。∥荫W的比你更重。如果你給我1口袋，我馱的貨物就是你的2倍；而我給你1口袋，咱倆才剛好

6、一般多。問驢子和騾子各馱了幾口袋貨物？”棋盤上的麥粒數(shù)印度古代有個國王天性愛玩，對國際象棋這種新發(fā)明的游戲尤其入迷，決定重賞它的發(fā)明人西薩·班。西薩·班指著棋盤對國王說：“陛下，請您在第1格里賞我1粒麥子，在第2格里賞我2粒麥子，在第3格里賞我4粒麥子，依此類推，每增加1格麥粒數(shù)就增加1倍，一直放滿64個格子。”國王哈哈大笑，覺得這點麥子簡直算不了什么。可他不久就發(fā)現(xiàn)，即使把印度的麥子全都扛來，也遠(yuǎn)遠(yuǎn)無法兌現(xiàn)自己許下的諾言。西薩·班要的麥粒是多少呢？這是一個有趣的等比例數(shù)列求和問題。因為每增加1格麥粒數(shù)就增加1倍，所以第1格里是1粒，第2格里是21粒，第三格里是2

7、2粒，最后一格里是263粒。由等比例數(shù)列的求和公式，它們的和是18446744073709551615（粒）。這個數(shù)目大得驚人，如果修建一座高4米、寬10米的倉庫來存放這些麥子，那么，這座倉庫可以從地球修到太陽上，然后再從太陽修回地球來！奇特的墓志銘丟番圖是古希臘最后一個大數(shù)學(xué)家。專家們認(rèn)為，現(xiàn)代解方程的基本步驟，如移項、合并同類項等等，丟番圖基本上都已知道了。他對不定方程的研究尤其受人稱贊，被西方數(shù)學(xué)家譽(yù)為這門數(shù)學(xué)分支的開山鼻祖。遺憾的是，關(guān)于他的生平，后人幾乎一無所知，既不知道他生于何地，也不知道他卒于何時，幸虧他那段奇特的墓志銘，才知道他曾享有84歲的高齡。丟番圖的墓志銘是一道謎語般的數(shù)

8、學(xué)題：“過路人！這里埋著丟番圖的骨灰。他生命的1/6是幸福的童年，生命的1/12是少年時期。又過了生命的1/7他才結(jié)婚，婚后5年有了1個孩子。這孩子活到他父親一半的年紀(jì)便死去了。孩子死后，丟番圖在深深的哀痛中活了4年，也結(jié)束了塵世生涯?！边@段墓志銘寫得太妙了。誰要想知道丟番圖的年紀(jì)，就得解一個一元一次方程；而這正好提醒前來瞻仰的人們，不要忘了丟番圖所獻(xiàn)身的事業(yè)?；瘓A為方問題公元前6世紀(jì)時，有位叫安拉克薩哥拉的古希臘學(xué)者，被他的政敵丟進(jìn)了監(jiān)獄。在牢房里他無事可干，整天思索著這樣一個數(shù)學(xué)問題：“怎樣用直尺和圓規(guī)作一個正方形，使它的面積與某個已知圓的面積相等？”這就是著名的化圓為方問題。當(dāng)然，安拉克

9、薩哥拉沒能解決這個問題。但他也不必為此感到羞愧，因為在他以后的2400多年里，許許多多比他更加優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家，也都未能解決這個問題?；瘓A為方看上去誰都能辦到，實際上卻誰也辦不到，因而具有極大的魅力。15世紀(jì)時，連歐洲最杰出的藝術(shù)大師達(dá)·芬奇也曾拿起直尺圓規(guī)，試圖解決這個問題呢。年復(fù)一年，有關(guān)化圓為方的論文雪片似地飛向各國科學(xué)院，多得叫數(shù)學(xué)家們無法審讀，以致在1775年，巴黎科學(xué)院為了維持正常的工作秩序，不得不宣布不再審讀這方面的論文?；瘓A為方的狂熱終止于1882年，在這一年里，德國數(shù)學(xué)家林德曼證明了是一個超越數(shù)，從而在理論上論證了化圓為方是不可能由尺規(guī)作圖法完成的?，F(xiàn)在仍然有些青少年在

10、嘗試化圓為方，顯然，這只會是白白浪費精力。立方倍積問題公元前5世紀(jì)時，一場大瘟疫憑空降臨到古希臘的第羅斯島上，奪去了許多人的生命，幸存的人們紛紛躲進(jìn)神廟，祈求神靈保佑。神說：“你們想活命，就必須把廟中的祭壇加大1倍，并且不許改變它的形狀?！奔缐莻€正方體，第羅斯人連夜加工，把祭壇的長、寬、高都加大了1倍，以為這樣就滿足了神的要求。豈料瘟疫更加瘋狂地蔓延開來，第羅斯人滿腹狐疑，再次匍匐在神像前。神怒氣沖沖地說：“這個祭壇是原來的8倍！”第羅斯人沒有辦法，派人向當(dāng)時最有名的學(xué)者柏拉圖請教，不料他也解決不了這個問題故事中提到的這個數(shù)學(xué)問題，也是一個舉世聞名的幾何作圖難題，叫立方倍積問題：“做一個立方

11、體，使它的體積等于已知立方體的兩倍?！比绻柚渌ぞ?，解決這個問題是很容易的，古希臘的埃拉托斯芬、攸多克薩斯，英國的牛頓等人都曾發(fā)明過一些巧妙的方法，但是，如果限制用直尺和圓規(guī)去解決，2000年來，無論是初學(xué)幾何的少年，還是天才的數(shù)學(xué)大師，卻無一不束手無策。1837年，又是法國數(shù)學(xué)家聞脫茲爾最先從理論上證明：同三等分角問題一樣，立方倍積問題也是不能由尺規(guī)作圖法解決的，才了結(jié)了這樁數(shù)學(xué)懸案。三等分角問題在2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家苛刻地限制幾何作圖工具，規(guī)定畫幾何圖形時，只準(zhǔn)許使用直尺和圓規(guī)。于是，從一些本來很簡單的作圖題中，產(chǎn)生了一批舉世聞名的數(shù)學(xué)難題。例如三等分角問題：“只使用直尺與圓規(guī)

12、做一個角，使它等于一個已知角的1/3?！贝髷?shù)學(xué)家阿基米德曾試圖解決這個難題。他預(yù)先在直尺上作了一個記號，很輕松地將一個角分成了三等份?？墒?，人們不承認(rèn)他解決了這個難題。因為古希臘人還規(guī)定：作圖時直尺上不能有任何刻度，而且直尺與圓規(guī)都只允許使用有限次。三等分角看上去非常簡單，做起來卻非常難，幾千年來，它激發(fā)了一代又一代的數(shù)學(xué)家。有人說，在西方數(shù)學(xué)史上，幾乎每一個稱得上是數(shù)學(xué)家的人，都曾拿起直尺圓規(guī)，用三等分角測試過自己的智力，但誰也未能取得成功，直到1837年，法國數(shù)學(xué)家聞脫茲爾從理論上予以證明，只使用直尺圓規(guī)是無法三等分一個任意角的，才率先走出了這座困惑了無數(shù)人的數(shù)學(xué)迷宮。數(shù)圖之謎現(xiàn)在世界上所

13、能見到的最古老的數(shù)學(xué)文獻(xiàn)，是古埃及的萊因特紙草書。書中記載了85個數(shù)學(xué)問題，在書寫第79題的位置上，作者畫了一個臺階，臺階旁依次寫著7、49、343、2401和16807這5個數(shù)，書的旁邊依次畫有圖、貓、老鼠、大麥、量器等字樣，除此之外就沒有別的什么東西了。由于這是書中唯一未明確給出答案的題目，后來，這個題目究竟是什么意思，成了一個有趣的謎。數(shù)學(xué)史學(xué)家康托爾猜出了這個謎，他認(rèn)為題目的意思是：“有7個人，每個人養(yǎng)著7只貓，每只貓吃7只老鼠，每只老鼠吃7棵麥穗，每棵麥穗可以長成7個量器的大麥，問各有多少？”經(jīng)他這么一解釋，書中給出的那5個數(shù)就正好成了題目的答案。有趣的是，在萊因特紙草書出土之前60

14、0多年，意大利數(shù)學(xué)家斐波拉契曾遍了一道很相似的數(shù)學(xué)題：“7位老太太一起到羅馬去，每人有7匹騾子，每匹騾子馱7個口袋，每個口袋盛7個面包，每個面包有7把小刀，每把小刀有7個刀鞘。問各有多少？”比斐波拉契還早幾百年，我國古書里也記載了一個相似的數(shù)學(xué)題：“今有出門望有九隄，隄有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色。問各幾何？”在不同的民族、不同的國家、不同的時間里，竟流傳著一個同樣的問題，這也是一個很有趣的謎。百蛋(外國古題)兩個農(nóng)民一共帶了100只蛋到市場上去出賣。他們兩 人所賣得的錢是一樣的。第一個人對第二個人說：“假若我有象你這么多的蛋，我可以賣得15個克

15、利采(一種貨幣名稱)”。第二個人說：“假若我有了你這些蛋，我只能賣得6又三分之二個克利 采。”問他們倆人各有多少只蛋？  和尚吃饅頭(中國古題)大和尚每人吃4個，小和尚4人吃1個。有大小和尚100人，共吃了100個饅頭。大、小和尚各幾人？各吃 多少饅頭？   洗碗(中國古題)有一位婦女在河邊洗碗，過路人問她為什么洗這么多碗？她回答說：家中來了很多客人，他們每兩人合用一只飯 碗，每三人合用一只湯碗，每四人合用一只菜碗，共用了碗65只。你能從她家的用碗情況，算出她家來了多少客人嗎？算法統(tǒng)宗里的問題算法統(tǒng)宗是中國古代數(shù)學(xué)

16、著作之一。書里有 這樣一題：甲牽一只肥 羊走過來問牧羊人：“你趕的這群羊大概有100只 吧”，牧羊人答：“如果這群羊加上一倍，再 加上原來這群羊的一半，又加上原來這群羊的1/4，連你牽著的這只肥羊也算進(jìn)去，才剛好湊滿一百 只?！闭埬闼氵@只牧羊人趕的這群羊共有多少只？張立建算經(jīng)里的問題張立建算經(jīng)是中國古代算書。書中有這樣一題：公雞每只值5元， 母雞每只值3元，小雞每三只值1元?，F(xiàn)在用100元錢買100只雞。問這100只雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？ 九章算術(shù)里的問題九章算術(shù)是我國最古老的數(shù)學(xué)著作之一，全書共分九章，有24

17、6個 題目。其中一道是這樣的：一個人用車裝米，從甲地運往乙地，裝米的車曰行25千米，不裝米的空車曰行35千米，5日往返三次，問二地相距多少千米？ 共有多少個桃子？著名美籍物理學(xué)家李政道教授來華講學(xué)時，訪問了中國科技大學(xué)，會見了少年班的部分同學(xué)。在會見時，給少年班 同學(xué)出了一道題：“有五只猴子，分一堆桃子，可是怎么也平分不了。于是大家同意先去睡覺，明天再 說。夜里一只猴子偷偷起來，把一個桃子扔到山下后，正好可以分成五份，它就把自己的一份藏起來，又睡覺去了。第二只猴子爬起來也扔了一個桃子，剛好分成五 份，也把自己那一份收起來了。第三、第四、第五只猴

18、子都是這樣，扔了一個也剛好可以分成五份，也把自己那一份收起來了。問一共有多少個桃子？注：這道題，小朋友們可能算不出來，如果我給增 加一個條件，最后剩下1020個桃子，看誰能算出來。韓信點兵傳說漢朝大將韓信用一種特殊方法清點士兵的人數(shù)。他的方法是：讓士兵先列成三列縱隊(每行三人)，再列成五 列縱隊(每行五人)，最后列成七列縱隊(每行七人)。他只要知道這隊士兵大約的人數(shù)，就可以根據(jù)這三次列隊排在最后一行的士兵是幾個人，而推算出這隊士兵 的準(zhǔn)確人數(shù)。如果韓信 當(dāng)時看到的三次列隊，最后一行的士兵人數(shù)分別是2人、2人、4人，并知道這隊士兵約在三四百人之間，你能很快

19、推算出這隊士兵的人數(shù)嗎？ 一筆畫問題   在18世紀(jì)的哥尼斯堡城里有七座橋。當(dāng)時 有很多人想要一次走遍七座橋，并且每座橋只能經(jīng)過一次。這就是世界上很有名的哥尼斯堡七橋問題。你能一次走遍這七座橋，而又不重復(fù)嗎？(自己動手畫畫吧)   埃及金字塔世界聞名的金字塔，是古代埃及國王們的墳?zāi)?，建筑雄偉高大，形狀像個“金”字。它的底面是正方形，塔身的四面是傾斜著的等腰三角形。兩千六百多年前，埃及有位國王，請來一位名子叫法 列士的學(xué)者測量金字塔的高度。法列士選擇一個晴朗的天氣，組織測量隊的人來到金字塔前。太陽光給每一個

20、測量隊的人和金字塔都投下了長長的影子。當(dāng)法列士測出自己的 影子等于它自己的身高時，便立即讓助手測出金字塔的陰影長度(cb)。他根據(jù)塔的底邊長度和塔的陰 影長度，很快算出金字塔的高度。你會計算嗎？   數(shù)學(xué)家達(dá)蘭倍爾錯在哪里傳說18世紀(jì)法國有名的數(shù)學(xué)家達(dá)蘭倍爾有一次拿兩個五分硬幣往下扔，會出現(xiàn)幾種情況呢？情況只有三種：可能兩個都是正面；可能一個是正面，一個是背面， 也可能兩個都是背面。因 此，兩個都出現(xiàn)正面的概率是13。你想想，錯在哪里？渦卡諾夫斯基的算術(shù)題一只狗追趕一匹馬，狗跳六次的時間，馬只能跳5次，狗跳4次的距離和馬跳7

21、次的距離相同，馬跑了5.5公里以后，狗開始在后面追 趕，馬跑多長的距離，才被狗追上？托爾斯泰的算術(shù)題俄國偉大的作家托爾斯泰，曾出過這樣一個題：一組割草人要把二塊草地的草割完。大的一塊比小的一塊大一倍， 上午全部人都在大的一塊草地割草。下午一半人仍留在大草地上，到傍晚時把草割完。另一半人去割小草地的草，到傍晚還剩下一塊，這一塊由一個割草人再用一天 時間剛好割完。問這組割草人共有多少人？(每個割草人的割草速度都相同)馬塔尼茨基的算術(shù)題有一個雇主約定每年給工人12元錢和一件短衣，工人 做工到7個月想要離去，只給了他5元錢和一 件短衣。這件短衣值多少錢

22、多少蜜蜂公園里有甲、乙兩種花，有一群蜜蜂飛來，在甲花上落下1/5， 在乙花上落下1/3，如果落在兩種花上的蜜蜂的差的三倍再落在花上，那么只剩下一只蜜蜂上下飛舞欣 賞花香，算算這里聚集了多少蜜蜂？及時梨果元代數(shù)學(xué)家朱世杰于1303年編著的四元玉鑒中有這樣一道題目：九百九十九文錢，及時梨果買一千， 一十一文梨九個，七枚果子四文錢。 問：梨果多少價幾何？  此題的題意是：用999文錢買得梨和果共1000個，梨11文買9個，果4文買7個。問買梨、果各幾個，各付多少錢？兩鼠穿墻我國古代數(shù)學(xué)典籍九章算術(shù)第七章“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題:今有垣

23、厚五尺，兩鼠對穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺。大鼠日自倍，小鼠日自半。問何日相逢，各穿幾何?  今意是:有厚墻5尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻。大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半。問幾天后兩鼠相遇，各穿幾尺? 隔壁分銀    只聞隔壁客分銀，不知人數(shù)不知銀，四兩一份多四兩，半斤一份少半斤。試問各位能算者，多少客人多少銀？（注：舊制1斤16兩，半斤8兩） 李白打酒李白街上走，提壺去打酒遇店加一倍，見花喝一斗；三遇店和花，喝光壺中酒。試問酒壺中，原有多少酒？  這是一道民間算題。題意是：李白在街上走，提著酒壺邊喝邊打酒，每次遇到酒店將壺中酒加一倍，每次遇到花就喝去一斗（斗是古代容量單位，1斗10升），這樣遇店見花各3次，把酒喝完。問壺中原來有酒多少？“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二。問物幾何？”  題目的意思就是：有一些物品，不知道有多少個