2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第6節(jié) 指數(shù)與指數(shù)函數(shù) 教案

1、1第六節(jié)第六節(jié)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)指數(shù)與指數(shù)函數(shù)最新考綱1.理解有理指數(shù)冪的含義，了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算.2.了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，理解指數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握指數(shù)函數(shù)圖象通過(guò)的特殊點(diǎn)，會(huì)畫(huà)底數(shù)為 2，3，10，12，13的指數(shù)函數(shù)的圖象.3.體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類(lèi)重要的函數(shù)模型1根式(1)n 次方根的概念若 xna，則 x 叫做 a 的 n 次方根，其中 n1 且 nn*.式子na叫做根式，這里 n 叫做根指數(shù)，a 叫做被開(kāi)方數(shù)a 的 n 次方根的表示xnaxna，當(dāng) n 為奇數(shù)且 nn*，n1 時(shí)，xna，當(dāng) n 為偶數(shù)且 nn*時(shí).(2)根式的性質(zhì)(na)na(nn*，n1

2、)nana，n 為奇數(shù)，|a|a，a0，a，a0，n 為偶數(shù).2有理數(shù)指數(shù)冪(1)冪的有關(guān)概念正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：amnnam(a0，m，nn*，且 n1)；2負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：amn1amn1nam(a0，m，nn*，且 n1)；0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于 0，0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪無(wú)意義(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)arasars(a0，r，sq)；(ar)sars(a0，r，sq)；(ab)rarbr(a0，b0，rq)3指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)yaxa10a1圖象定義域r值域(0，)性質(zhì)過(guò)定點(diǎn)(0，1)當(dāng) x0 時(shí)，y1；當(dāng) x0 時(shí)，0y1當(dāng) x0 時(shí)，0y1；當(dāng) x0 時(shí)，y1在 r 上是增函數(shù)在 r 上

3、是減函數(shù)常用結(jié)論1指數(shù)函數(shù)圖象的畫(huà)法畫(huà)指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，1，1a 2指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax， (2)ybx， (3)ycx， (4)ydx的圖象，底數(shù) a，b，c，d 與 1 之間的大小關(guān)系為 cd1ab0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù) yax(a0，a1)的圖象越高，底數(shù)越大3指數(shù)函數(shù) yax(a0，a1)的圖象和性質(zhì)跟 a 的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分 a1 與 0a1 來(lái)研究3一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)nan(na)na.()(2)(1)24(1)12

4、 1.()(3)函數(shù) yax21(a1)的值域是(0，)()(4)若 aman(a0 且 a1)，則 mn.()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改編1函數(shù) f(x)21x的大致圖象為()abcdaf(x)21x12x1，又 f(0)2，f(1)1，故排除 b，c，d，故選 a.2若函數(shù) f(x)ax(a0，且 a1)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn) p2，12 ，則 f(1)_2由題意知12a2，所以 a22，所以 f(x)22x，所以 f(1)221 2.3化簡(jiǎn)416x8y4(x0，y0)_答案2x2y4已知 a3513，b3514，c3234，則 a，b，c 的大小關(guān)系是_cbay35x是減函數(shù)，3513

5、3514350，則 ab1，又 c32343201，4cba.考點(diǎn) 1指數(shù)冪的運(yùn)算指數(shù)冪運(yùn)算的一般原則(1)有括號(hào)的先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)的先算指數(shù)運(yùn)算(2)先乘除后加減，負(fù)指數(shù)冪化成正指數(shù)冪的倒數(shù)(3)底數(shù)是負(fù)數(shù)，先確定符號(hào)；底數(shù)是小數(shù)，先化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)的，先化成假分?jǐn)?shù)(4)若是根式，應(yīng)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，盡可能用冪的形式表示，運(yùn)用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)來(lái)解答1.化簡(jiǎn)1412（ 4ab1）3（0.1）1 （a3b3）12(a0，b0)_85原式223a32b3210a32b3221310185.2計(jì)算：278230.0021210( 52)10_1679原式3225001210（ 52）（ 52

6、） （ 52）14910 510 52011679.5運(yùn)算結(jié)果不能同時(shí)含有根號(hào)和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又含有負(fù)指數(shù)，形式力求統(tǒng)一考點(diǎn) 2指數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用(1)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)、翻折變換得到其圖象(2)一些指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解(1)函數(shù) f(x)axb的圖象如圖，其中 a，b 為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()aa1，b0ba1，b0c0a1，b0d0a1，b0(2)若曲線 y|3x1|與直線 ym 有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_(1)d(2)(0，1)(1)由 f(x)ax

7、b的圖象可以觀察出，函數(shù) f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以 0a1.函數(shù) f(x)axb的圖象是在 f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以 b0.故選 d.(2)曲線 y|3x1|的圖象是由函數(shù) y3x的圖象向下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度后，再把位于 x 軸下方的圖象沿 x 軸翻折到 x 軸上方得到的，而直線 ym 的圖象是平行于 x 軸的一條直線，它的圖象如圖所示，由圖象可得，如果曲線 y|3x1|與直線 ym 有兩個(gè)公共點(diǎn)，則 m 的取值范圍是(0，1)母題探究1(變條件)若本例(2)條件變?yōu)椋悍匠?3|x|1m 有兩個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是_(0，)作出函數(shù) y3|x|1 與 y

8、m 的圖象如圖所示，數(shù)形結(jié)合可得 m的取值范圍是(0，)62(變條件)若本例(2)的條件變?yōu)椋汉瘮?shù) y|3x1|m 的圖象不經(jīng)過(guò)第二象限，則實(shí)數(shù) m 的取值范圍是_(，1作出函數(shù) y|3x1|m 的圖象如圖所示由圖象知 m1，即 m(，1應(yīng)用指數(shù)函數(shù)圖象的技巧(1)畫(huà)指數(shù)函數(shù) yax(a0，且 a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，1，1a .(2)已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是取特殊點(diǎn)，判斷所給的圖象是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除(3)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖象問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手，通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù) a 與 1 的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意

9、分類(lèi)討論1.函數(shù) f(x)1e|x|的圖象大致是()abcdaf(x)1e|x|是偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，又 e|x|1，f(x)0，符合7條件的圖象只有 a.2函數(shù) yaxb(a0，且 a1)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，則 ab的取值范圍是_(0，1)因?yàn)楹瘮?shù) yaxb 的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限，所以函數(shù) yaxb 單調(diào)遞減且其圖象與 y 軸的交點(diǎn)在 y 軸的負(fù)半軸上令 x0，則 ya0b1b，由題意得0a1，1b0，解得0a1，b1，故 ab(0，1)3已知實(shí)數(shù) a，b 滿足等式 2 019a2 020b，下列五個(gè)關(guān)系式：0ba；ab0；0ab；ba0；ab.其中不可能成立的關(guān)系式

10、有_(填序號(hào))作出 y2 019x及 y2 020 x的圖象如圖所示， 由圖可知 ab0，ab0 或 ab0 時(shí)，有 2 019a2 020b，故不可能成立考點(diǎn) 3指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用主要是利用單調(diào)性解決相關(guān)問(wèn)題，而指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是由底數(shù) a 決定的，因此解題時(shí)通常對(duì)底數(shù) a 按 0a1 和 a1 進(jìn)行分類(lèi)討論比較指數(shù)式的大小(1)已知 a20.2，b0.40.2，c0.40.6，則()aabcbacbccabdbca(2)設(shè)函數(shù) f(x)x2a與 g(x)ax(a1 且 a2)在區(qū)間(0，)上具有不同的單調(diào)性，則 m(a1)0.2與 n1a0.1的大小關(guān)系是()amnbm

11、ncmndmn(1)a(2)d(1)由 0.20.6，0.41，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的圖象可知 0.40.20.40.6，即 bc.因?yàn)?a20.21，b0.40.21，所以 ab.綜上，abc.(2)因?yàn)?f(x)x2a與 g(x)ax(a1 且 a2)在區(qū)間(0，)上具有不同的單8調(diào)性，所以 a2，所以 m(a1)0.21，n1a0.11，所以 mn.故選 d.指數(shù)式的大小比較，依據(jù)的就是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，原則上化為同底的指數(shù)式，并要注意底數(shù)范圍是(0，1)還是(1，)，若不能化為同底，則可化為同指數(shù)，或利用中間變量比較，如本例(1)解簡(jiǎn)單的指數(shù)方程或不等式(1)已知函數(shù) f(x)a14x1的圖

12、象過(guò)點(diǎn)1，310 ，若16f(x)0，則實(shí)數(shù) x 的取值范圍是_(2)方程 4x|12x|11 的解為_(kāi)(1)0，12(2)xlog23(1)f(x)a14x1的圖象過(guò)點(diǎn)1，310 ，a15310，即 a12.f(x)1214x1.16f(x)0，1614x1120，1314x112，24x13，即 14x2，0 x12.(2)當(dāng) x0 時(shí)，原方程化為 4x2x120，即(2x)22x120.(2x3)(2x4)0，2x3，即 xlog23.當(dāng) x0 時(shí)，原方程化為 4x2x100.令 t2x，則 t2t100(0t1)9由求根公式得 t1 1402均不符合題意，故 x0 時(shí)，方程無(wú)解(1)a

13、f(x)ag(x)f(x)g(x) (2)af(x)ag(x)， 當(dāng) a1 時(shí)， 等價(jià)于 f(x)g(x)；當(dāng) 0a1 時(shí)，等價(jià)于 f(x)g(x)(3)有些含參指數(shù)不等式，需要分離變量，轉(zhuǎn)化為求有關(guān)函數(shù)的最值問(wèn)題與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性(1)函數(shù) f(x)12x22x1的單調(diào)減區(qū)間為_(kāi)(2)函數(shù) f(x)4x2x1的單調(diào)增區(qū)間是_(1)(，1(2)0，)(1)設(shè) ux22x1，y12u在 r 上為減函數(shù)，所以函數(shù) f(x)12x22x1的減區(qū)間即為函數(shù) ux22x1 的增區(qū)間又 ux22x1 的增區(qū)間為(，1，所以 f(x)的減區(qū)間為(，1(2)設(shè) t2x(t0)， 則 yt22t

14、的單調(diào)增區(qū)間為1， )， 令 2x1， 得 x0，又 y2x在 r 上單調(diào)遞增，所以函數(shù) f(x)4x2x1的單調(diào)增區(qū)間是0，)逆向問(wèn)題已知函數(shù) f(x)2|2xm|(m 為常數(shù))， 若 f(x)在區(qū)間2， )上單調(diào)遞增，則 m 的取值范圍是_(，4令 t|2xm|，則 t|2xm|在區(qū)間m2，上單調(diào)遞增，在區(qū)間，m2 上單調(diào)遞減而 y2t在 r 上單調(diào)遞增，所以要使函數(shù) f(x)2|2xm|在2， )上單調(diào)遞增， 則有m22， 即 m4， 所以 m 的取值范圍是(， 4 求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問(wèn)題，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、

15、單調(diào)區(qū)間、最值等問(wèn)題時(shí)，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(1)函數(shù) f(x)abex1(a，br)是奇函數(shù)，且圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)ln 3，12 ，10則函數(shù) f(x)的值域?yàn)?)a(1，1)b(2，2)c(3，3)d(4，4)(2)若不等式 12x4xa0 在 x(，1時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_(1)a(2)34，(1)函數(shù) f(x)為奇函數(shù)， 定義域是 r， 則 f(0)ab20， 函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)ln 3，12 ， 則 f(ln 3)ab412.結(jié)合可得 a1， b2，則 f(x)12ex1.因?yàn)?ex0，所以 ex11，所以 02ex12，所以112ex11，即函

16、數(shù) f(x)的值域?yàn)?1，1)(2)從已知不等式中分離出實(shí)數(shù) a， 得 a14x12x.因?yàn)楹瘮?shù) y(14)x和 y(12)x在 r 上都是減函數(shù)，所以當(dāng) x(，1時(shí)，(14)x14，(12)x12，所以(14)x(12)x141234，從而得(14)x(12)x34.故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 a34.指數(shù)函數(shù)的綜合問(wèn)題，主要涉及單調(diào)性、奇偶性、最值問(wèn)題，應(yīng)在有關(guān)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行解決，而指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的重點(diǎn)是單調(diào)性，注意利用單調(diào)性實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化1.函數(shù) y(12)x22x1的值域是()a(，4)b(0，)c(0，4d4，)c設(shè) tx22x1，則 y(12)t.因?yàn)?0121，所以 y(12)t為關(guān)于 t 的減函數(shù)因?yàn)閠(x1)222， 所以0y(12)t(12)24， 故所求函數(shù)的值域?yàn)?0