2022屆高三數(shù)學一輪復(fù)習（原卷版）第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 教案

1、1第五節(jié)第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)列的綜合應(yīng)用核心素養(yǎng)立意下的命題導向核心素養(yǎng)立意下的命題導向1.數(shù)列與傳統(tǒng)數(shù)學文化相結(jié)合數(shù)列與傳統(tǒng)數(shù)學文化相結(jié)合， 考查等差考查等差、 等比數(shù)列的基本運算等比數(shù)列的基本運算， 凸顯數(shù)學建模的核心素養(yǎng)凸顯數(shù)學建模的核心素養(yǎng)2數(shù)列與新定義問題相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化、遷移能力，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)數(shù)列與新定義問題相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化、遷移能力，凸顯數(shù)學抽象的核心素養(yǎng)3數(shù)列與函數(shù)數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合不等式相結(jié)合，考查學生綜合分析解決問題的能力考查學生綜合分析解決問題的能力，凸顯邏輯推理的核心凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)素養(yǎng)題型一題型一等差、等比數(shù)列的綜合問題等差、等比數(shù)列的綜合問題

2、典例典例數(shù)列數(shù)列an的前的前 n 項和記為項和記為 sn，a11，an12sn1(n1)(1)求求an的通項公式；的通項公式；(2)等差數(shù)列等差數(shù)列bn的各項為正的各項為正，其前其前 n 項和為項和為 tn，且且 t315，又又 a1b1，a2b2，a3b3成等成等比數(shù)列，求比數(shù)列，求 tn.解解(1)由由 an12sn1，可得，可得 an2sn11(n2)，兩式相減得兩式相減得 an1an2an，則，則 an13an(n2)當當 n1 時，時，a22s1133a1，滿足上式，滿足上式，故故an是首項為是首項為 1，公比為，公比為 3 的等比數(shù)列，所以的等比數(shù)列，所以 an3n1.(2)設(shè)等差

3、數(shù)列設(shè)等差數(shù)列bn的公差為的公差為 d.由由 t315，即，即 b1b2b315，可得，可得 b25，故故 b15d，b35d.又又 a11，a23，a39，且由，且由 a1b1，a2b2，a3b3成等比數(shù)列可得成等比數(shù)列可得(15d)(95d)(35)2，解得解得 d2 或或 d10.因為等差數(shù)列因為等差數(shù)列bn的各項為正，的各項為正，所以所以 d0.所以所以 d2，b13，所以，所以 tn3nn n1 22n22n.方法技巧方法技巧等差、等比數(shù)列的綜合問題的解題技巧等差、等比數(shù)列的綜合問題的解題技巧(1)將已知條件轉(zhuǎn)化為等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想和通項公式、將已知條件轉(zhuǎn)

4、化為等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想和通項公式、前前n 項和公式求解項和公式求解求解時求解時，應(yīng)應(yīng)“瞄準目標瞄準目標”，靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，簡化運算過程簡化運算過程求求解過程中注意合理選擇有關(guān)公式，正確判斷是否需要分類討論解過程中注意合理選擇有關(guān)公式，正確判斷是否需要分類討論(2)一定條件下，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，即一定條件下，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，即an為等差數(shù)列為等差數(shù)列aan(a0 且且 a1)為等比數(shù)列；為等比數(shù)列；an為正項等比數(shù)列為正項等比數(shù)列l(wèi)ogaan(a0 且且 a1)為等差數(shù)列為等差數(shù)列針對訓練針對

5、訓練已知無窮數(shù)列已知無窮數(shù)列an中，中，a1，a2，am是首項為是首項為 2，公差為，公差為 3 的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，am1，am2，2a2m是首項為是首項為 2，公比為公比為 2 的等比數(shù)列的等比數(shù)列(其中其中 m3，mn n*)，并對任意的并對任意的 nn n*，均有均有 an2man成立成立(1)當當 m14 時，求時，求 a1 000；(2)若若 a52128，試求，試求 m 的值的值解：解：由題設(shè)得由題設(shè)得 an3n1(1nm)，amn2n(1nm)(1)當當 m14 時，數(shù)列的周期為時，數(shù)列的周期為 28.因為因為 1 000283520，而，而 a20是等比數(shù)列中的項，是等比

6、數(shù)列中的項，所以所以 a1 000a20a1462664.(2)顯然，顯然，a52128 不是數(shù)列不是數(shù)列an中等差數(shù)列的項中等差數(shù)列的項設(shè)設(shè) amk是第一個周期中等比數(shù)列中的第是第一個周期中等比數(shù)列中的第 k 項，則項，則 amk2k.因為因為 12827，所以等比數(shù)列中至少有，所以等比數(shù)列中至少有 7 項，即項，即 m7，則一個周期中至少有，則一個周期中至少有 14 項項所以所以 a52最多是第三個周期中的項最多是第三個周期中的項若若 a52是第一個周期中的項，則是第一個周期中的項，則 a52am7128，所以所以 m52745；若若 a52是第二個周期中的項，則是第二個周期中的項，則 a

7、52a3m7128，所以所以 3m45，m15；若若 a52是第三個周期中的項，則是第三個周期中的項，則 a52a5m7128，所以所以 5m45，m9.綜上，綜上，m 的值為的值為 45 或或 15 或或 9.題型二題型二數(shù)列的新定義問題數(shù)列的新定義問題典例典例sn為等差數(shù)列為等差數(shù)列an的前的前 n 項和項和，且且 a11，s728.記記 bnlg an，其中其中x表示不超表示不超過過 x 的最大整數(shù)，如的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求求 b1，b11，b101；(2)求數(shù)列求數(shù)列bn的前的前 1 000 項和項和思路點撥思路點撥關(guān)鍵信息關(guān)鍵信息信息轉(zhuǎn)化信息轉(zhuǎn)化sn為等差數(shù)列

8、為等差數(shù)列an的前的前 n 項和項和，且且 a11，s728可以求得數(shù)列可以求得數(shù)列an的通項公式的通項公式bnlg an，x的定義的定義可以分別求出可以分別求出 b1，b2，b1 000數(shù)列數(shù)列bn的前的前 1 000 項和項和分組求和分組求和解解(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為的公差為 d，由已知得由已知得 721d28，解得，解得 d1.所以數(shù)列所以數(shù)列an的通項公式為的通項公式為 ann.3b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)記記bn的前的前 n 項和為項和為 tn，則則 t1 000b1b2b1 000lg a1lg a2lg a1 000，當當 0lg

9、an1 時，時，n1,2，9；當當 1lg an2 時，時，n10,11，99；當當 2lg an3 時，時，n100,101，999；當當 lg an3 時，時，n1 000.所以所以 bn0，1n10，1，10n100，2，100n0，所以，所以1km1k k1 0.即即 m1k1，所以，所以 m0，且，且 b1b26b3，求，求 q 的值及數(shù)列的值及數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)若若bn為等差數(shù)列，公差為等差數(shù)列，公差 d0，證明：，證明：c1c2c3cn0 得得 bn10，因此因此 c1c2c3cn11d，nn*.方法技巧方法技巧1數(shù)列與函數(shù)的交匯問題數(shù)列與函數(shù)的交匯問題(1)

10、已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，掌握遞推數(shù)列的已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解題時要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，掌握遞推數(shù)列的常見解法常見解法52數(shù)列與不等式的交匯問題數(shù)列與不等式的交匯問題(1)函數(shù)法：函數(shù)法：即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式，通過對關(guān)即構(gòu)造函數(shù)，通過函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實數(shù)的不等式，通過對關(guān)于正實數(shù)的不等式賦特殊值得出數(shù)列中的不等式于正實數(shù)的不等式賦特殊值得出數(shù)列中

11、的不等式(2)放縮法：放縮法：數(shù)列中的不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到數(shù)列中的不等式可以通過對中間過程或者最后的結(jié)果放縮得到(3)比較法：比較法：作差或者作商進行比較作差或者作商進行比較針對訓練針對訓練已知已知an是由正數(shù)組成的數(shù)列是由正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點且點( an，an1)(nn n*)在函數(shù)在函數(shù) yx21 的圖象上的圖象上(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)若數(shù)列若數(shù)列bn滿足滿足 b11，bn1bn2an，求證：，求證：bnbn2b2n1.解：解：(1)由已知，得由已知，得 an1an1，即，即 an1an1.又又 a11，所以數(shù)列，所以數(shù)列an

12、是以是以 1 為首項，為首項，1 為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列故故 an1(n1)1n.(2)證明：由證明：由(1)知，知，ann，從而，從而 bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n22112n122n1.因為因為 bnbn2b2n1(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，所以所以 bnbn2b2n1.課時跟蹤檢測課時跟蹤檢測一、綜合練一、綜合練練思維敏銳度練思維敏銳度1 莊子莊子天下篇中記述了一個著名命題：天下篇中記述了一個著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭一尺之棰，日取其半，萬世不竭”反映這反

13、映這個命題本質(zhì)的式子是個命題本質(zhì)的式子是()a11212212n212nb.1212212n1解析：解析：選選 b該命題說明每天取的長度構(gòu)成了以該命題說明每天取的長度構(gòu)成了以12為首項，為首項，12為公比的等比數(shù)列，因為為公比的等比數(shù)列，因為1212212n112n1，所以能反映命題本質(zhì)的式子是，所以能反映命題本質(zhì)的式子是1212212n105，c 選項錯誤；選項錯誤；a4a13d53162919329，a5a14d54162920929，a3a5a7a2a4a63a53a4a5a4209193，d 選項正確選項正確3(2021濟南模擬濟南模擬)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)xmax 的導函數(shù)的導函數(shù)

14、 f(x)2x1，則數(shù)列，則數(shù)列1f n (nn n*)的的前前n 項和是項和是()a.nn1b.n2n1c.nn1d.n1n解析：解析：選選 af(x)mxm1a2x1，a1，m2，f(x)x(x1)，則，則1f n 1n n1 1n1n1，用裂項法求和得，用裂項法求和得 sn11212131n1n1nn1.4已知集合已知集合 px|x2n，nn n*，qx|x2n1，nn n*，將將 pq 中的所有元素從小中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列an，記，記 sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前 n 項和，則使得項和，則使得 sn1 000 成立的成立的 n的最大值為的最大

15、值為()a9b32c35d617解析：解析：選選 c數(shù)列數(shù)列an的前的前 n 項依次為項依次為 1,2,3,22,5,7，23，.利用列舉法可得：當利用列舉法可得：當 n35 時時，pq 中的所有元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個數(shù)列中的所有元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個數(shù)列an，所以數(shù)列，所以數(shù)列an的前的前 35 項可重新項可重新排列為排列為 1,3,5,7,9,11,13，55,57,59,2,4,8,16,32，則則 s353030 301 222 251 213022629621 000，所以所以 n 的最大值為的最大值為 35.故選故選 c.5已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足 a11，且點

16、且點(an,2an1)(nn n*)在直線在直線 x12y10 上上，若對任意的若對任意的 nn n*，1na11na21na31nan恒成立，則實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為的取值范圍為_解析：解析：由數(shù)列由數(shù)列an滿足滿足 a11，且點，且點(an,2an1)(nn*)在直線在直線 x12y10 上可得上可得 anan110，即，即 an1an1，故，故an是以是以 1 為首項，為首項，1 為公差的等差數(shù)列，故可得為公差的等差數(shù)列，故可得 ann.對任對任意的意的 nn*，1na11na21na31nan恒成立，即恒成立，即1n11n212n的最的最小值小值令令 f(n)1n11n212n

17、，則則 f(n)f(n1)1n112n112n212n212n11 2n1 2n2 0，即即 f(n)f(n1)，可得可得 f(n)遞增遞增，即即 f(1)為最小值為最小值，且為且為12，可得可得12，則實數(shù)則實數(shù)的取值范圍為的取值范圍為，12 .答案答案：，126(2021濟寧模擬濟寧模擬)若數(shù)列若數(shù)列an滿足：只要滿足：只要 apaq(p，qn n*)，必有，必有 ap1aq1，那么就稱數(shù)，那么就稱數(shù)列列an具有性質(zhì)具有性質(zhì) p.已知數(shù)列已知數(shù)列an具有性質(zhì)具有性質(zhì) p，且，且 a11，a22，a33，a52，a6a7a821，則，則 a2 020_.解析：解析：根據(jù)題意，數(shù)列根據(jù)題意，數(shù)

18、列an具有性質(zhì)具有性質(zhì) p，且，且 a2a52，則有則有 a3a63，a4a7，a5a82.由由 a6a7a821，可得，可得 a3a4a521，則則 a4213216，進而分析可得進而分析可得 a3a6a9a3n3，a4a7a10a3n116，a5a8a3n22(n1)，則則 a2 020a3673116.8答案：答案：167 定義各項為正數(shù)的數(shù)列定義各項為正數(shù)的數(shù)列pn的的“美數(shù)美數(shù)”為為np1p2pn(nn n*) 若各項為正數(shù)的數(shù)列若各項為正數(shù)的數(shù)列an的的“美數(shù)美數(shù)”為為12n1，且，且 bnan14，則，則1b1b21b2b31b2 019b2 020_.解析：解析：因為各項為正數(shù)

19、的數(shù)列因為各項為正數(shù)的數(shù)列an的的“美數(shù)美數(shù)”為為12n1，所以所以na1a2an12n1.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前 n 項和為項和為 sn，則，則 snn(2n1)，sn1(n1)2(n1)12n23n1(n2)，所以所以 ansnsn14n1(n2)又又1a113，所以，所以 a13，滿足式子，滿足式子 an4n1，所以所以 an4n1(nn*)又又 bnan14，所以，所以 bnn，所以所以1b1b21b2b31b2 019b2 02011212312 0192 020112121312 01912 020112 0202 0192 020.答案：答案：2 0192 0208(2020天

20、津高考天津高考)已知已知an為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，a1b11，a55(a4a3)，b54(b4b3)(1)求求an和和bn的通項公式；的通項公式；(2)記記an的前的前 n 項和為項和為 sn，求證：，求證：snsn2s2n1(nn n*)；(3)對任意的正整數(shù)對任意的正整數(shù) n，設(shè)，設(shè) cn 3an2 bnanan2，n 為奇數(shù)，為奇數(shù)，an1bn1，n 為偶數(shù)，為偶數(shù)，求數(shù)列求數(shù)列cn的前的前 2n 項和項和解：解：(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為的公差為 d，等比數(shù)列，等比數(shù)列bn的公比為的公比為 q.由由 a11，a55(a4a3)，可，可得得d1，

21、從而，從而an的通項公式為的通項公式為 ann.由由 b11，b54(b4b3)，q0，可得，可得 q24q40，解得解得 q2，從而，從而bn的通項公式為的通項公式為 bn2n1.(2)證明：由證明：由(1)可得可得 snn n1 2，9故故 snsn214n(n1)(n2)(n3)，s2n114(n1)2(n2)2，從而從而 snsn2s2n112(n1)(n2)0，所以所以 snsn2s2n1.(3)當當 n 為奇數(shù)時，為奇數(shù)時，cn 3an2 bnanan2 3n2 2n1n n2 2n1n22n1n；當當 n 為偶數(shù)時，為偶數(shù)時，cnan1bn1n12n.對任意的正整數(shù)對任意的正整數(shù)

22、 n，有有錯誤錯誤!2k1錯誤錯誤!22k2k122k22k1 22n2n11，錯誤錯誤!2k錯誤錯誤!2k14k143425432n14n.由由得得14錯誤錯誤!2k1423432n34n2n14n1.由由得得34錯誤錯誤!2k1424224n2n14n124114n114142n14n1，從而得從而得錯誤錯誤!2k596n594n.因此因此錯誤錯誤!k錯誤錯誤!2k1錯誤錯誤!2k4n2n16n594n49.所以數(shù)列所以數(shù)列cn的前的前 2n 項和為項和為4n2n16n594n49.9近日，某市實施機動車單雙號限行，新能源汽車不在限行范圍內(nèi)，某人為了出行方便近日，某市實施機動車單雙號限行，

23、新能源汽車不在限行范圍內(nèi)，某人為了出行方便，準備購買某新能源汽車假設(shè)購車費用為準備購買某新能源汽車假設(shè)購車費用為 14.4 萬元，每年應(yīng)交付保險費、充電費等其他費萬元，每年應(yīng)交付保險費、充電費等其他費用共用共 0.9 萬元萬元， 汽車的保養(yǎng)維修費為汽車的保養(yǎng)維修費為： 第一年第一年 0.2 萬元萬元， 第二年第二年 0.4 萬元萬元， 第三年第三年 0.6 萬元萬元， ，依等差數(shù)列逐年遞增依等差數(shù)列逐年遞增(1)設(shè)使用設(shè)使用 n 年該車的總費用年該車的總費用(包括購車費用包括購車費用)為為 f(n)，試寫出，試寫出 f(n)的表達式；的表達式；(2)問這種新能源汽車使用多少年報廢最合算問這種新

24、能源汽車使用多少年報廢最合算(即該車使用多少年平均費用最少即該車使用多少年平均費用最少)， 年平均費用年平均費用的最小值是多少？的最小值是多少？解：解：(1)由題意得由題意得 f(n)14.4(0.20.40.60.2n)0.9n14.40.2n n1 20.9n100.1n2n14.4.(2)設(shè)該車的年平均費用為設(shè)該車的年平均費用為 s 萬元，則有萬元，則有s1nf(n)1n(0.1n2n14.4)n1014.4n12 1.4413.4.當且僅當當且僅當n1014.4n，即即 n12 時時，等號成立等號成立，即即 s 取最小值取最小值 3.4 萬元萬元所以這種新能源汽車所以這種新能源汽車使用

25、使用 12 年報廢最合算，年平均費用的最小值是年報廢最合算，年平均費用的最小值是 3.4 萬元萬元10甲、乙兩同學在復(fù)習數(shù)列知識時發(fā)現(xiàn)曾經(jīng)做過的一道數(shù)列問題因紙張被破壞，一個條甲、乙兩同學在復(fù)習數(shù)列知識時發(fā)現(xiàn)曾經(jīng)做過的一道數(shù)列問題因紙張被破壞，一個條件看不清了，具體如下：件看不清了，具體如下：等比數(shù)列等比數(shù)列an的前的前 n 項和為項和為 sn，已知，已知_，(1)判斷判斷 s1，s2，s3的關(guān)系；的關(guān)系；(2)若若 a1a33，設(shè)，設(shè) bnn12|an|，記，記bn的前的前 n 項和為項和為 tn，證明：，證明：tn43.甲同學記得缺少的條件是首項甲同學記得缺少的條件是首項 a1的值，乙同學

26、記得缺少的條件是公比的值，乙同學記得缺少的條件是公比 q 的值，并且他倆都的值，并且他倆都記得第記得第(1)問的答案是問的答案是 s1，s3，s2成等差數(shù)列如果甲、乙兩同學記得的答案是正確的，請成等差數(shù)列如果甲、乙兩同學記得的答案是正確的，請你通過推理把條件補充完整并解答此題你通過推理把條件補充完整并解答此題解：解：設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列an的公比為的公比為 q，則則 s1a1，s2a1a1q，s3a1a1qa1q2.又又 s1，s3，s2成等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，所以 s1s22s3，即即 a1a1a1q2a12a1q2a1q2，整理可得整理可得 a1q(12q)0.由于在等比數(shù)列由于在等比

27、數(shù)列an中中，a10，q0，所以所以 q12，故乙同學記得的缺少的條件是正確的故乙同學記得的缺少的條件是正確的故補充的條件為故補充的條件為 q12.(1)由題意可得由題意可得 s1a1，s2a1a2a112a112a1，s3a1a2a3a112a114a134a1，可得可得 s1s22s3，即，即 s1，s3，s2成等差數(shù)列成等差數(shù)列(2)證明：由證明：由 a1a33，可得，可得 a114a13，解得，解得 a14，則則 bnn12|an|n12|412n1|23n12n，11則則 tn23112214318n12n，12tn231142183116n12n1，上面兩式相減可得，上面兩式相減可

28、得，12tn2312141811612nn12n12312112n112n12n1，化簡可得化簡可得 tn431n22n1，由，由 1n22n11，可得可得 tn43.二、自選練二、自選練練高考區(qū)分度練高考區(qū)分度1在正整數(shù)數(shù)列中，由在正整數(shù)數(shù)列中，由 1 開始依次按如下規(guī)則取它的項：第一次取開始依次按如下規(guī)則取它的項：第一次取 1；第二次??；第二次取 2 個連續(xù)個連續(xù)偶數(shù)偶數(shù) 2,4；第三次取第三次取 3 個連續(xù)奇數(shù)個連續(xù)奇數(shù) 5,7,9；第四次取第四次取 4 個連續(xù)偶數(shù)個連續(xù)偶數(shù) 10,12,14,16；第五次取第五次取 5 個個連續(xù)奇數(shù)連續(xù)奇數(shù) 17,19,21,23,25，按此規(guī)律取下去

29、按此規(guī)律取下去，得到一個子數(shù)列得到一個子數(shù)列 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19，則在這個子數(shù)列中第則在這個子數(shù)列中第 2 020 個數(shù)是個數(shù)是()a3 976b3 974c3 978d3 973解析解析：選選 a由題意可得由題意可得，奇數(shù)次取奇數(shù)個數(shù)奇數(shù)次取奇數(shù)個數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個數(shù)偶數(shù)次取偶數(shù)個數(shù)，前前 n 次共取了次共取了 123nn n1 2個數(shù)，且第個數(shù)，且第 n 次取的最后一個數(shù)為次取的最后一個數(shù)為 n2.當當 n63 時，時，63 631 22 016，故前故前 63 次共取了次共取了 2 016 個數(shù)個數(shù)，第第 63 次取的數(shù)都為奇數(shù)次取的數(shù)都為奇數(shù)，并

30、且最后一個數(shù)為并且最后一個數(shù)為 6323 969，即即第第 2 016 個數(shù)為個數(shù)為 3 969，所以當所以當 n64 時時，依次取依次取 3 970,3 972,3 974,3 976，所以第所以第 2 020個數(shù)是個數(shù)是 3 976.2我國古代數(shù)學典籍我國古代數(shù)學典籍九章算術(shù)九章算術(shù)第七章第七章“盈不足盈不足”章中有一道章中有一道“兩鼠穿墻兩鼠穿墻”問題問題：有厚有厚墻墻 5 尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對分別打洞穿墻，大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半，問幾天后老鼠相遇？小老鼠第一天也

31、進一尺，以后每天減半，問幾天后老鼠相遇？()a2 天天b3 天天c4 天天d5 天天解析：解析：選選 b設(shè)第設(shè)第 n 天老鼠相遇，則依題意得天老鼠相遇，則依題意得12大老鼠打洞：大老鼠打洞：1222232n1(尺尺)；小老鼠打洞：小老鼠打洞：11212212312n1(尺尺)可得方程：可得方程：1222232n111212212312n15.利用等比數(shù)列求和公式得利用等比數(shù)列求和公式得：12n12112n1125，化簡得化簡得 22n42n20，解得解得 2n2 6.因為因為 42 68，所以，所以 2n3，所以兩鼠在第所以兩鼠在第 3 天相遇天相遇3(2021青島模擬青島模擬)已知已知an為

32、等差數(shù)列為等差數(shù)列，a1，a2，a3分別是下表第一分別是下表第一、二二、三行中的某一個三行中的某一個數(shù)，且數(shù)，且 a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)都不在下表的同一列中的任何兩個數(shù)都不在下表的同一列.第一列第一列第二列第二列第三列第三列第一行第一行第二行第二行469第三行第三行1287請從請從a12，a11，a13 的三個條件中選一個填入上表的三個條件中選一個填入上表，使?jié)M足以上條件的數(shù)列使?jié)M足以上條件的數(shù)列an存在；并在此存在的數(shù)列存在；并在此存在的數(shù)列an中，試解答下列兩個問題中，試解答下列兩個問題(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項公式；的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列bn滿足滿足 bn(1)n1a2n，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前 n 項和項和 tn.解：解：(1