2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第五節(jié) 數(shù)列的綜合應(yīng)用 教案

1、1第五節(jié)第五節(jié)數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)列的綜合應(yīng)用核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向核心素養(yǎng)立意下的命題導(dǎo)向1.數(shù)列與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化相結(jié)合數(shù)列與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)文化相結(jié)合， 考查等差考查等差、 等比數(shù)列的基本運(yùn)算等比數(shù)列的基本運(yùn)算， 凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)凸顯數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)2數(shù)列與新定義問(wèn)題相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化、遷移能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)數(shù)列與新定義問(wèn)題相結(jié)合，考查轉(zhuǎn)化、遷移能力，凸顯數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)3數(shù)列與函數(shù)數(shù)列與函數(shù)、不等式相結(jié)合不等式相結(jié)合，考查學(xué)生綜合分析解決問(wèn)題的能力考查學(xué)生綜合分析解決問(wèn)題的能力，凸顯邏輯推理的核心凸顯邏輯推理的核心素養(yǎng)素養(yǎng)題型一題型一等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題

2、典例典例數(shù)列數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和記為項(xiàng)和記為 sn，a11，an12sn1(n1)(1)求求an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)等差數(shù)列等差數(shù)列bn的各項(xiàng)為正的各項(xiàng)為正，其前其前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 tn，且且 t315，又又 a1b1，a2b2，a3b3成等成等比數(shù)列，求比數(shù)列，求 tn.解解(1)由由 an12sn1，可得，可得 an2sn11(n2)，兩式相減得兩式相減得 an1an2an，則，則 an13an(n2)當(dāng)當(dāng) n1 時(shí)，時(shí)，a22s1133a1，滿足上式，滿足上式，故故an是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 1，公比為，公比為 3 的等比數(shù)列，所以的等比數(shù)列，所以 an3n1.(2)設(shè)等差

3、數(shù)列設(shè)等差數(shù)列bn的公差為的公差為 d.由由 t315，即，即 b1b2b315，可得，可得 b25，故故 b15d，b35d.又又 a11，a23，a39，且由，且由 a1b1，a2b2，a3b3成等比數(shù)列可得成等比數(shù)列可得(15d)(95d)(35)2，解得解得 d2 或或 d10.因?yàn)榈炔顢?shù)列因?yàn)榈炔顢?shù)列bn的各項(xiàng)為正，的各項(xiàng)為正，所以所以 d0.所以所以 d2，b13，所以，所以 tn3nn n1 22n22n.方法技巧方法技巧等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的解題技巧等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題的解題技巧(1)將已知條件轉(zhuǎn)化為等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想和通項(xiàng)公式、將已知條件轉(zhuǎn)

4、化為等差與等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想和通項(xiàng)公式、前前n 項(xiàng)和公式求解項(xiàng)和公式求解求解時(shí)求解時(shí)，應(yīng)應(yīng)“瞄準(zhǔn)目標(biāo)瞄準(zhǔn)目標(biāo)”，靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程求求解過(guò)程中注意合理選擇有關(guān)公式，正確判斷是否需要分類討論解過(guò)程中注意合理選擇有關(guān)公式，正確判斷是否需要分類討論(2)一定條件下，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，即一定條件下，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，即an為等差數(shù)列為等差數(shù)列aan(a0 且且 a1)為等比數(shù)列；為等比數(shù)列；an為正項(xiàng)等比數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列l(wèi)ogaan(a0 且且 a1)為等差數(shù)列為等差數(shù)列針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)

5、訓(xùn)練已知無(wú)窮數(shù)列已知無(wú)窮數(shù)列an中，中，a1，a2，am是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 2，公差為，公差為 3 的等差數(shù)列，的等差數(shù)列，am1，am2，2a2m是首項(xiàng)為是首項(xiàng)為 2，公比為公比為 2 的等比數(shù)列的等比數(shù)列(其中其中 m3，mn n*)，并對(duì)任意的并對(duì)任意的 nn n*，均有均有 an2man成立成立(1)當(dāng)當(dāng) m14 時(shí)，求時(shí)，求 a1 000；(2)若若 a52128，試求，試求 m 的值的值解：解：由題設(shè)得由題設(shè)得 an3n1(1nm)，amn2n(1nm)(1)當(dāng)當(dāng) m14 時(shí)，數(shù)列的周期為時(shí)，數(shù)列的周期為 28.因?yàn)橐驗(yàn)?1 000283520，而，而 a20是等比數(shù)列中的項(xiàng)，是等比

6、數(shù)列中的項(xiàng)，所以所以 a1 000a20a1462664.(2)顯然，顯然，a52128 不是數(shù)列不是數(shù)列an中等差數(shù)列的項(xiàng)中等差數(shù)列的項(xiàng)設(shè)設(shè) amk是第一個(gè)周期中等比數(shù)列中的第是第一個(gè)周期中等比數(shù)列中的第 k 項(xiàng)，則項(xiàng)，則 amk2k.因?yàn)橐驗(yàn)?12827，所以等比數(shù)列中至少有，所以等比數(shù)列中至少有 7 項(xiàng)，即項(xiàng)，即 m7，則一個(gè)周期中至少有，則一個(gè)周期中至少有 14 項(xiàng)項(xiàng)所以所以 a52最多是第三個(gè)周期中的項(xiàng)最多是第三個(gè)周期中的項(xiàng)若若 a52是第一個(gè)周期中的項(xiàng)，則是第一個(gè)周期中的項(xiàng)，則 a52am7128，所以所以 m52745；若若 a52是第二個(gè)周期中的項(xiàng)，則是第二個(gè)周期中的項(xiàng)，則 a

7、52a3m7128，所以所以 3m45，m15；若若 a52是第三個(gè)周期中的項(xiàng)，則是第三個(gè)周期中的項(xiàng)，則 a52a5m7128，所以所以 5m45，m9.綜上，綜上，m 的值為的值為 45 或或 15 或或 9.題型二題型二數(shù)列的新定義問(wèn)題數(shù)列的新定義問(wèn)題典例典例sn為等差數(shù)列為等差數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和，且且 a11，s728.記記 bnlg an，其中其中x表示不超表示不超過(guò)過(guò) x 的最大整數(shù)，如的最大整數(shù)，如0.90，lg 991.(1)求求 b1，b11，b101；(2)求數(shù)列求數(shù)列bn的前的前 1 000 項(xiàng)和項(xiàng)和思路點(diǎn)撥思路點(diǎn)撥關(guān)鍵信息關(guān)鍵信息信息轉(zhuǎn)化信息轉(zhuǎn)化sn為等差數(shù)列

8、為等差數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和，且且 a11，s728可以求得數(shù)列可以求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式的通項(xiàng)公式bnlg an，x的定義的定義可以分別求出可以分別求出 b1，b2，b1 000數(shù)列數(shù)列bn的前的前 1 000 項(xiàng)和項(xiàng)和分組求和分組求和解解(1)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為的公差為 d，由已知得由已知得 721d28，解得，解得 d1.所以數(shù)列所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 ann.3b1lg 10，b11lg 111，b101lg 1012.(2)記記bn的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 tn，則則 t1 000b1b2b1 000lg a1lg a2lg a1 000，當(dāng)當(dāng) 0lg

9、an1 時(shí)，時(shí)，n1,2，9；當(dāng)當(dāng) 1lg an2 時(shí)，時(shí)，n10,11，99；當(dāng)當(dāng) 2lg an3 時(shí)，時(shí)，n100,101，999；當(dāng)當(dāng) lg an3 時(shí)，時(shí)，n1 000.所以所以 bn0，1n10，1，10n100，2，100n0，所以，所以1km1k k1 0.即即 m1k1，所以，所以 m0，且，且 b1b26b3，求，求 q 的值及數(shù)列的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)若若bn為等差數(shù)列，公差為等差數(shù)列，公差 d0，證明：，證明：c1c2c3cn0 得得 bn10，因此因此 c1c2c3cn11d，nn*.方法技巧方法技巧1數(shù)列與函數(shù)的交匯問(wèn)題數(shù)列與函數(shù)的交匯問(wèn)題(1)

10、已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問(wèn)題，此類問(wèn)題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問(wèn)題(2)已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，掌握遞推數(shù)列的已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問(wèn)題，解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，掌握遞推數(shù)列的常見(jiàn)解法常見(jiàn)解法52數(shù)列與不等式的交匯問(wèn)題數(shù)列與不等式的交匯問(wèn)題(1)函數(shù)法：函數(shù)法：即構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式，通過(guò)對(duì)關(guān)即構(gòu)造函數(shù)，通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值等得出關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式，通過(guò)對(duì)關(guān)于正實(shí)數(shù)的不等式賦特殊值得出數(shù)列中的不等式于正實(shí)數(shù)的不等式賦特殊值得出數(shù)列中

11、的不等式(2)放縮法：放縮法：數(shù)列中的不等式可以通過(guò)對(duì)中間過(guò)程或者最后的結(jié)果放縮得到數(shù)列中的不等式可以通過(guò)對(duì)中間過(guò)程或者最后的結(jié)果放縮得到(3)比較法：比較法：作差或者作商進(jìn)行比較作差或者作商進(jìn)行比較針對(duì)訓(xùn)練針對(duì)訓(xùn)練已知已知an是由正數(shù)組成的數(shù)列是由正數(shù)組成的數(shù)列，a11，且點(diǎn)且點(diǎn)( an，an1)(nn n*)在函數(shù)在函數(shù) yx21 的圖象上的圖象上(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列若數(shù)列bn滿足滿足 b11，bn1bn2an，求證：，求證：bnbn2b2n1.解：解：(1)由已知，得由已知，得 an1an1，即，即 an1an1.又又 a11，所以數(shù)列，所以數(shù)列an

12、是以是以 1 為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列為公差的等差數(shù)列故故 an1(n1)1n.(2)證明：由證明：由(1)知，知，ann，從而，從而 bn1bn2n.bn(bnbn1)(bn1bn2)(b2b1)b12n12n22112n122n1.因?yàn)橐驗(yàn)?bnbn2b2n1(2n1)(2n21)(2n11)2(22n22n22n1)(22n222n11)2n0，所以所以 bnbn2b2n1.課時(shí)跟蹤檢測(cè)課時(shí)跟蹤檢測(cè)一、綜合練一、綜合練練思維敏銳度練思維敏銳度1 莊子莊子天下篇中記述了一個(gè)著名命題：天下篇中記述了一個(gè)著名命題：“一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭”反映這反

13、映這個(gè)命題本質(zhì)的式子是個(gè)命題本質(zhì)的式子是()a11212212n212nb.1212212n1解析：解析：選選 b該命題說(shuō)明每天取的長(zhǎng)度構(gòu)成了以該命題說(shuō)明每天取的長(zhǎng)度構(gòu)成了以12為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，12為公比的等比數(shù)列，因?yàn)闉楣鹊牡缺葦?shù)列，因?yàn)?212212n112n1，所以能反映命題本質(zhì)的式子是，所以能反映命題本質(zhì)的式子是1212212n105，c 選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)錯(cuò)誤；a4a13d53162919329，a5a14d54162920929，a3a5a7a2a4a63a53a4a5a4209193，d 選項(xiàng)正確選項(xiàng)正確3(2021濟(jì)南模擬濟(jì)南模擬)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f(x)xmax 的導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)

14、 f(x)2x1，則數(shù)列，則數(shù)列1f n (nn n*)的的前前n 項(xiàng)和是項(xiàng)和是()a.nn1b.n2n1c.nn1d.n1n解析：解析：選選 af(x)mxm1a2x1，a1，m2，f(x)x(x1)，則，則1f n 1n n1 1n1n1，用裂項(xiàng)法求和得，用裂項(xiàng)法求和得 sn11212131n1n1nn1.4已知集合已知集合 px|x2n，nn n*，qx|x2n1，nn n*，將將 pq 中的所有元素從小中的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列到大依次排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，記，記 sn為數(shù)列為數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和，則使得項(xiàng)和，則使得 sn1 000 成立的成立的 n的最大值為的最大

15、值為()a9b32c35d617解析：解析：選選 c數(shù)列數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)依次為項(xiàng)依次為 1,2,3,22,5,7，23，.利用列舉法可得：當(dāng)利用列舉法可得：當(dāng) n35 時(shí)時(shí)，pq 中的所有元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列中的所有元素從小到大依次排列，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an，所以數(shù)列，所以數(shù)列an的前的前 35 項(xiàng)可重新項(xiàng)可重新排列為排列為 1,3,5,7,9,11,13，55,57,59,2,4,8,16,32，則則 s353030 301 222 251 213022629621 000，所以所以 n 的最大值為的最大值為 35.故選故選 c.5已知數(shù)列已知數(shù)列an滿足滿足 a11，且點(diǎn)

16、且點(diǎn)(an,2an1)(nn n*)在直線在直線 x12y10 上上，若對(duì)任意的若對(duì)任意的 nn n*，1na11na21na31nan恒成立，則實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為的取值范圍為_(kāi)解析：解析：由數(shù)列由數(shù)列an滿足滿足 a11，且點(diǎn)，且點(diǎn)(an,2an1)(nn*)在直線在直線 x12y10 上可得上可得 anan110，即，即 an1an1，故，故an是以是以 1 為首項(xiàng)，為首項(xiàng)，1 為公差的等差數(shù)列，故可得為公差的等差數(shù)列，故可得 ann.對(duì)任對(duì)任意的意的 nn*，1na11na21na31nan恒成立，即恒成立，即1n11n212n的最的最小值小值令令 f(n)1n11n212n

17、，則則 f(n)f(n1)1n112n112n212n212n11 2n1 2n2 0，即即 f(n)f(n1)，可得可得 f(n)遞增遞增，即即 f(1)為最小值為最小值，且為且為12，可得可得12，則實(shí)數(shù)則實(shí)數(shù)的取值范圍為的取值范圍為，12 .答案答案：，126(2021濟(jì)寧模擬濟(jì)寧模擬)若數(shù)列若數(shù)列an滿足：只要滿足：只要 apaq(p，qn n*)，必有，必有 ap1aq1，那么就稱數(shù)，那么就稱數(shù)列列an具有性質(zhì)具有性質(zhì) p.已知數(shù)列已知數(shù)列an具有性質(zhì)具有性質(zhì) p，且，且 a11，a22，a33，a52，a6a7a821，則，則 a2 020_.解析：解析：根據(jù)題意，數(shù)列根據(jù)題意，數(shù)

18、列an具有性質(zhì)具有性質(zhì) p，且，且 a2a52，則有則有 a3a63，a4a7，a5a82.由由 a6a7a821，可得，可得 a3a4a521，則則 a4213216，進(jìn)而分析可得進(jìn)而分析可得 a3a6a9a3n3，a4a7a10a3n116，a5a8a3n22(n1)，則則 a2 020a3673116.8答案：答案：167 定義各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列定義各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列pn的的“美數(shù)美數(shù)”為為np1p2pn(nn n*) 若各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列若各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列an的的“美數(shù)美數(shù)”為為12n1，且，且 bnan14，則，則1b1b21b2b31b2 019b2 020_.解析：解析：因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)

19、的數(shù)列因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)的數(shù)列an的的“美數(shù)美數(shù)”為為12n1，所以所以na1a2an12n1.設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 sn，則，則 snn(2n1)，sn1(n1)2(n1)12n23n1(n2)，所以所以 ansnsn14n1(n2)又又1a113，所以，所以 a13，滿足式子，滿足式子 an4n1，所以所以 an4n1(nn*)又又 bnan14，所以，所以 bnn，所以所以1b1b21b2b31b2 019b2 02011212312 0192 020112121312 01912 020112 0202 0192 020.答案：答案：2 0192 0208(2020天

20、津高考天津高考)已知已知an為等差數(shù)列，為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，a1b11，a55(a4a3)，b54(b4b3)(1)求求an和和bn的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)記記an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 sn，求證：，求證：snsn2s2n1(nn n*)；(3)對(duì)任意的正整數(shù)對(duì)任意的正整數(shù) n，設(shè)，設(shè) cn 3an2 bnanan2，n 為奇數(shù)，為奇數(shù)，an1bn1，n 為偶數(shù)，為偶數(shù)，求數(shù)列求數(shù)列cn的前的前 2n 項(xiàng)和項(xiàng)和解：解：(1)設(shè)等差數(shù)列設(shè)等差數(shù)列an的公差為的公差為 d，等比數(shù)列，等比數(shù)列bn的公比為的公比為 q.由由 a11，a55(a4a3)，可，可得得d1，

21、從而，從而an的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 ann.由由 b11，b54(b4b3)，q0，可得，可得 q24q40，解得解得 q2，從而，從而bn的通項(xiàng)公式為的通項(xiàng)公式為 bn2n1.(2)證明：由證明：由(1)可得可得 snn n1 2，9故故 snsn214n(n1)(n2)(n3)，s2n114(n1)2(n2)2，從而從而 snsn2s2n112(n1)(n2)0，所以所以 snsn2s2n1.(3)當(dāng)當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)，cn 3an2 bnanan2 3n2 2n1n n2 2n1n22n1n；當(dāng)當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，cnan1bn1n12n.對(duì)任意的正整數(shù)對(duì)任意的正整數(shù)

22、 n，有有錯(cuò)誤錯(cuò)誤!2k1錯(cuò)誤錯(cuò)誤!22k2k122k22k1 22n2n11，錯(cuò)誤錯(cuò)誤!2k錯(cuò)誤錯(cuò)誤!2k14k143425432n14n.由由得得14錯(cuò)誤錯(cuò)誤!2k1423432n34n2n14n1.由由得得34錯(cuò)誤錯(cuò)誤!2k1424224n2n14n124114n114142n14n1，從而得從而得錯(cuò)誤錯(cuò)誤!2k596n594n.因此因此錯(cuò)誤錯(cuò)誤!k錯(cuò)誤錯(cuò)誤!2k1錯(cuò)誤錯(cuò)誤!2k4n2n16n594n49.所以數(shù)列所以數(shù)列cn的前的前 2n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為4n2n16n594n49.9近日，某市實(shí)施機(jī)動(dòng)車單雙號(hào)限行，新能源汽車不在限行范圍內(nèi)，某人為了出行方便近日，某市實(shí)施機(jī)動(dòng)車單雙號(hào)限行，

23、新能源汽車不在限行范圍內(nèi)，某人為了出行方便，準(zhǔn)備購(gòu)買某新能源汽車假設(shè)購(gòu)車費(fèi)用為準(zhǔn)備購(gòu)買某新能源汽車假設(shè)購(gòu)車費(fèi)用為 14.4 萬(wàn)元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、充電費(fèi)等其他費(fèi)萬(wàn)元，每年應(yīng)交付保險(xiǎn)費(fèi)、充電費(fèi)等其他費(fèi)用共用共 0.9 萬(wàn)元萬(wàn)元， 汽車的保養(yǎng)維修費(fèi)為汽車的保養(yǎng)維修費(fèi)為： 第一年第一年 0.2 萬(wàn)元萬(wàn)元， 第二年第二年 0.4 萬(wàn)元萬(wàn)元， 第三年第三年 0.6 萬(wàn)元萬(wàn)元， ，依等差數(shù)列逐年遞增依等差數(shù)列逐年遞增(1)設(shè)使用設(shè)使用 n 年該車的總費(fèi)用年該車的總費(fèi)用(包括購(gòu)車費(fèi)用包括購(gòu)車費(fèi)用)為為 f(n)，試寫出，試寫出 f(n)的表達(dá)式；的表達(dá)式；(2)問(wèn)這種新能源汽車使用多少年報(bào)廢最合算問(wèn)這種新

24、能源汽車使用多少年報(bào)廢最合算(即該車使用多少年平均費(fèi)用最少即該車使用多少年平均費(fèi)用最少)， 年平均費(fèi)用年平均費(fèi)用的最小值是多少？的最小值是多少？解：解：(1)由題意得由題意得 f(n)14.4(0.20.40.60.2n)0.9n14.40.2n n1 20.9n100.1n2n14.4.(2)設(shè)該車的年平均費(fèi)用為設(shè)該車的年平均費(fèi)用為 s 萬(wàn)元，則有萬(wàn)元，則有s1nf(n)1n(0.1n2n14.4)n1014.4n12 1.4413.4.當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)n1014.4n，即即 n12 時(shí)時(shí)，等號(hào)成立等號(hào)成立，即即 s 取最小值取最小值 3.4 萬(wàn)元萬(wàn)元所以這種新能源汽車所以這種新能源汽車使用

25、使用 12 年報(bào)廢最合算，年平均費(fèi)用的最小值是年報(bào)廢最合算，年平均費(fèi)用的最小值是 3.4 萬(wàn)元萬(wàn)元10甲、乙兩同學(xué)在復(fù)習(xí)數(shù)列知識(shí)時(shí)發(fā)現(xiàn)曾經(jīng)做過(guò)的一道數(shù)列問(wèn)題因紙張被破壞，一個(gè)條甲、乙兩同學(xué)在復(fù)習(xí)數(shù)列知識(shí)時(shí)發(fā)現(xiàn)曾經(jīng)做過(guò)的一道數(shù)列問(wèn)題因紙張被破壞，一個(gè)條件看不清了，具體如下：件看不清了，具體如下：等比數(shù)列等比數(shù)列an的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 sn，已知，已知_，(1)判斷判斷 s1，s2，s3的關(guān)系；的關(guān)系；(2)若若 a1a33，設(shè)，設(shè) bnn12|an|，記，記bn的前的前 n 項(xiàng)和為項(xiàng)和為 tn，證明：，證明：tn43.甲同學(xué)記得缺少的條件是首項(xiàng)甲同學(xué)記得缺少的條件是首項(xiàng) a1的值，乙同學(xué)

26、記得缺少的條件是公比的值，乙同學(xué)記得缺少的條件是公比 q 的值，并且他倆都的值，并且他倆都記得第記得第(1)問(wèn)的答案是問(wèn)的答案是 s1，s3，s2成等差數(shù)列如果甲、乙兩同學(xué)記得的答案是正確的，請(qǐng)成等差數(shù)列如果甲、乙兩同學(xué)記得的答案是正確的，請(qǐng)你通過(guò)推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題你通過(guò)推理把條件補(bǔ)充完整并解答此題解：解：設(shè)等比數(shù)列設(shè)等比數(shù)列an的公比為的公比為 q，則則 s1a1，s2a1a1q，s3a1a1qa1q2.又又 s1，s3，s2成等差數(shù)列，所以成等差數(shù)列，所以 s1s22s3，即即 a1a1a1q2a12a1q2a1q2，整理可得整理可得 a1q(12q)0.由于在等比數(shù)列由于在等比

27、數(shù)列an中中，a10，q0，所以所以 q12，故乙同學(xué)記得的缺少的條件是正確的故乙同學(xué)記得的缺少的條件是正確的故補(bǔ)充的條件為故補(bǔ)充的條件為 q12.(1)由題意可得由題意可得 s1a1，s2a1a2a112a112a1，s3a1a2a3a112a114a134a1，可得可得 s1s22s3，即，即 s1，s3，s2成等差數(shù)列成等差數(shù)列(2)證明：由證明：由 a1a33，可得，可得 a114a13，解得，解得 a14，則則 bnn12|an|n12|412n1|23n12n，11則則 tn23112214318n12n，12tn231142183116n12n1，上面兩式相減可得，上面兩式相減可

28、得，12tn2312141811612nn12n12312112n112n12n1，化簡(jiǎn)可得化簡(jiǎn)可得 tn431n22n1，由，由 1n22n11，可得可得 tn43.二、自選練二、自選練練高考區(qū)分度練高考區(qū)分度1在正整數(shù)數(shù)列中，由在正整數(shù)數(shù)列中，由 1 開(kāi)始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng)：第一次取開(kāi)始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng)：第一次取 1；第二次??；第二次取 2 個(gè)連續(xù)個(gè)連續(xù)偶數(shù)偶數(shù) 2,4；第三次取第三次取 3 個(gè)連續(xù)奇數(shù)個(gè)連續(xù)奇數(shù) 5,7,9；第四次取第四次取 4 個(gè)連續(xù)偶數(shù)個(gè)連續(xù)偶數(shù) 10,12,14,16；第五次取第五次取 5 個(gè)個(gè)連續(xù)奇數(shù)連續(xù)奇數(shù) 17,19,21,23,25，按此規(guī)律取下去

29、按此規(guī)律取下去，得到一個(gè)子數(shù)列得到一個(gè)子數(shù)列 1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19，則在這個(gè)子數(shù)列中第則在這個(gè)子數(shù)列中第 2 020 個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是()a3 976b3 974c3 978d3 973解析解析：選選 a由題意可得由題意可得，奇數(shù)次取奇數(shù)個(gè)數(shù)奇數(shù)次取奇數(shù)個(gè)數(shù)，偶數(shù)次取偶數(shù)個(gè)數(shù)偶數(shù)次取偶數(shù)個(gè)數(shù)，前前 n 次共取了次共取了 123nn n1 2個(gè)數(shù)，且第個(gè)數(shù)，且第 n 次取的最后一個(gè)數(shù)為次取的最后一個(gè)數(shù)為 n2.當(dāng)當(dāng) n63 時(shí)，時(shí)，63 631 22 016，故前故前 63 次共取了次共取了 2 016 個(gè)數(shù)個(gè)數(shù)，第第 63 次取的數(shù)都為奇數(shù)次取的數(shù)都為奇數(shù)，并

30、且最后一個(gè)數(shù)為并且最后一個(gè)數(shù)為 6323 969，即即第第 2 016 個(gè)數(shù)為個(gè)數(shù)為 3 969，所以當(dāng)所以當(dāng) n64 時(shí)時(shí)，依次取依次取 3 970,3 972,3 974,3 976，所以第所以第 2 020個(gè)數(shù)是個(gè)數(shù)是 3 976.2我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍我國(guó)古代數(shù)學(xué)典籍九章算術(shù)九章算術(shù)第七章第七章“盈不足盈不足”章中有一道章中有一道“兩鼠穿墻兩鼠穿墻”問(wèn)題問(wèn)題：有厚有厚墻墻 5 尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；尺，兩只老鼠從墻的兩邊相對(duì)分別打洞穿墻，大老鼠第一天進(jìn)一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進(jìn)一尺，以后每天減半，問(wèn)幾天后老鼠相遇？小老鼠第一天也

31、進(jìn)一尺，以后每天減半，問(wèn)幾天后老鼠相遇？()a2 天天b3 天天c4 天天d5 天天解析：解析：選選 b設(shè)第設(shè)第 n 天老鼠相遇，則依題意得天老鼠相遇，則依題意得12大老鼠打洞：大老鼠打洞：1222232n1(尺尺)；小老鼠打洞：小老鼠打洞：11212212312n1(尺尺)可得方程：可得方程：1222232n111212212312n15.利用等比數(shù)列求和公式得利用等比數(shù)列求和公式得：12n12112n1125，化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得 22n42n20，解得解得 2n2 6.因?yàn)橐驗(yàn)?42 68，所以，所以 2n3，所以兩鼠在第所以兩鼠在第 3 天相遇天相遇3(2021青島模擬青島模擬)已知已知an為

32、等差數(shù)列為等差數(shù)列，a1，a2，a3分別是下表第一分別是下表第一、二二、三行中的某一個(gè)三行中的某一個(gè)數(shù)，且數(shù)，且 a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)都不在下表的同一列中的任何兩個(gè)數(shù)都不在下表的同一列.第一列第一列第二列第二列第三列第三列第一行第一行第二行第二行469第三行第三行1287請(qǐng)從請(qǐng)從a12，a11，a13 的三個(gè)條件中選一個(gè)填入上表的三個(gè)條件中選一個(gè)填入上表，使?jié)M足以上條件的數(shù)列使?jié)M足以上條件的數(shù)列an存在；并在此存在的數(shù)列存在；并在此存在的數(shù)列an中，試解答下列兩個(gè)問(wèn)題中，試解答下列兩個(gè)問(wèn)題(1)求數(shù)列求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)數(shù)列設(shè)數(shù)列bn滿足滿足 bn(1)n1a2n，求數(shù)列，求數(shù)列bn的前的前 n 項(xiàng)和項(xiàng)和 tn.解：解：(1