人教A版2020屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：三角恒等變換

1、三角恒等變換知識(shí)講解一、三角恒等變換1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式1）;2）;3）();變形式2.二倍角公式1）;變形式2）;變形式；3）3.輔助角公式，其中所在的象限由、的符號(hào)確定，角的值由確定4.化簡(jiǎn)中常用1的技巧“1”的代換；，經(jīng)典例題一選擇題（共13小題）1函數(shù)f（x）=asinx+bcosx=asin（x+）(a，br，a0，0，|2)的一個(gè)對(duì)稱中心為(-6，0)，且f'（x）的一條對(duì)稱軸為x=3，當(dāng)取得最小值時(shí)，aba2+b2=（）a1b3c34d32【解答】解：由f（x）=asinx+bcosx=a2+b2sin(x+)=asin（x+），可得a=a2+b2，tan

2、=ba，f（x）的一個(gè)對(duì)稱中心為(-6，0)，-6+=k1，k1z，f（x）=acos（x+），f（x）的一條對(duì)稱軸為x=3，3+=k2，k2z，|2，0，由得，=k1+6，由得，=k2-3，則k1+6=k2-3，可得=2（k2k1），則的最小值為2=3此時(shí)aba2+b2=aa2+b2ba2+b2=sincos=sin3cos3=32×12=34故選：c2已知：sin+cos=32，則cos2+cos2的取值范圍是（）a2，2b32，2c2，32d32，32【解答】解：sin+cos=32，可得：cos=32sin，132sin1可得：12sin1那么：cos2+cos2=12sin

3、2+2cos21=2（cos2sin2）=2（cos+sin）（cossin）=2×32×（322sin）=926sin，sin12，1，則：6sin6，3，cos2+cos2=926sin32，32故選：d3已知關(guān)于x的方程sin(2+x)+cos(2-x)=a在區(qū)間0，2）上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2，且|x1x2|，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）a1，0）b22，1)c0，1）d(1，2)【解答】解：由sin(2+x)+cos(2-x)=a，方程化簡(jiǎn)sin（2+x）+cos（2x）=sinx+cosx=2sin（x+4）=a，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=2sin（x+4）與函數(shù)y=a有兩個(gè)交

4、點(diǎn)，區(qū)間0，2） 上有兩個(gè)實(shí)根 x1，x2，由x0，2）則x+44，94），設(shè) x1x2，由x1x2，可得54x24，當(dāng)34x24時(shí)，結(jié)合正弦函數(shù)可知，不存在a的值；當(dāng)34x254時(shí)，對(duì)應(yīng)的2x194，結(jié)合正弦函數(shù)可知，函數(shù)y=2sin（x+4）與函數(shù)y=a有兩個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)可得：a0，1）故選：c4已知函數(shù)f（x）=2cosx（msinxcosx）（m0）的最大值為2，則f（x）一條對(duì)稱軸方程為（）ax=12bx=4cx=3dx=6【解答】解：函數(shù)f（x）=2cosx（msinxcosx），=m2+1sin(2x+)，由于函數(shù)的最大值為2，則m2+1=2，且m0解得m=3所以f（x）=3sin

5、2xcos2x，=-2sin(2x+6)，當(dāng)x=6時(shí)，函數(shù)取最小值故選：d5已知函數(shù)f（x）=|cosx|（x0）的圖象與過原點(diǎn)的直線恰有四個(gè)交點(diǎn)，設(shè)四個(gè)交點(diǎn)中橫坐標(biāo)最大值為，則(1+2)sin2=（）a2b1c0d2【解答】解：函數(shù)f（x）=|cosx|（x0）的圖象與過原點(diǎn)的直線恰有四個(gè)交點(diǎn)，直線與函數(shù)y=|cosx|（x0）在區(qū)間（32，2）內(nèi)的圖象相切，在區(qū)間（32，2）上，y的解析式為y=cosx，故由題意切點(diǎn)坐標(biāo)為（，cos），切線斜率k=y=sinx|x=sin，由點(diǎn)斜式得切線方程為：ycos=sin（x），即 y=sinx+sin+cos，直線過原點(diǎn)，sin+cos=0，得=1

6、tan，則(1+2)sin2=(1+tan2)2-1tansin2=（tan+1tan）2sincos=（sincos+cossin）2sincos=2（sin2+cos2）=2，故選：a6函數(shù)f(x)=2sin2(x+4)+2sin(4-x)cos(4-x)在區(qū)間2，34上的最小值是（）a1-2b0c1d2【解答】解：數(shù)f(x)=2sin2(x+4)+2sin(4-x)cos(4-x)=1cos（2x+2）+sin（2-2x）=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+4）+1x2，34上，2x+454，74，當(dāng)2x+4=32取得最小值為：12故選：a7若x(0，2），y（0，2）且sin

7、2x=6tan（xy）cos2x，則x+y的取值不可能是（）a6b4c23d34【解答】解：由sin2x=6tan（xy）cos2x，得tan2x=6tan（xy），x(0，2），y（0，2），0x+y設(shè)tan（xy）=u，xy（2，2），則u的值域是r，tan2x=6tan（xy）=6u，tan（x+y）=tan2x（xy）=tan2x-tan(x-y)1+tan2xtan(x-y)=6u-u1+6u2=5u1+6u2，記為w=tan（x+y）=5u1+6u2|w|=5|u|1+6|u|2=51|u|+6|u|526=5612，當(dāng)且僅當(dāng)|u|=66時(shí)，取等號(hào)|tan（x+y）|56123，結(jié)

8、合x+y（0，），可得x+y的取值不可能為23故選：c8若坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）到直線xy+sin2=0的距離等于22，則角的取值集合是（）a|=k±4，kzb|=k±2，kzc|=2k±4，kzd|=2k±2，kz【解答】解：根據(jù)題意，若坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0）到直線xy+sin2=0的距離等于22，則有|sin2|1+1=22，化簡(jiǎn)可得sin2=±1，則2=2k±2，kz，即=k±4，kz，故角的取值集合是x|=k±4，kz；故選：a94sin80°cos10°sin10°等于（）a3b3c

9、2d223【解答】解：4sin80°cos10°sin10°=4cos10°sin10°-cos10°sin10°=2sin20°-cos10°sin10°=2sin20°-cos(30°-20°)sin10°=32sin20°-32cos20°sin10°=3sin(20°-30°)sin10°=3，故選：b10關(guān)于函數(shù)f(x)=sin(4x+73)sin(2x+23)，下列判斷正確的是（）af

10、（x）有最大值和最小值bf（x）的圖象的對(duì)稱中心為(k2-12，0)（kz）cf（x）在(-3，8)上存在單調(diào)遞減區(qū)間df（x）的圖象可由y=2sin2x的圖象向左平移12個(gè)單位而得【解答】解：函數(shù)f(x)=sin(4x+73)sin(2x+23)=sin(4x+3)sin(2x+23)=2sin(2x+6)cos(2x+6)sin(2x+23)=2sin（2x+6）且sin（2x+23）0，對(duì)于a：f（x）=2sin（2x+6）存在最大值和不存在最小值a不對(duì)；對(duì)于b：令2x+6=k，可得x=12k-12，f（x）的圖象的對(duì)稱中心為(k2-12，0)（kz），b對(duì)對(duì)于c：令22x+632，可得

11、6x23，f（x）在(-3，8)上不存在單調(diào)遞減區(qū)間對(duì)于d：y=2sin2x的圖象向左平移12個(gè)單位，可得2sin2（x+12）=2sin（2x+6），但sin（2x+23）0，故選：b11若abc的三個(gè)內(nèi)角a，b，c所對(duì)的邊分別是a，b，c，若sin(c-a)=12sinb，且b=4，則c2a2=（）a10b8c7d4【解答】解：sin(c-a)=12sinb=12sin（a+c），即2sinccosa2coscsina=sinacosc+cosasinc，即sinccosa=3sinacosc，由正弦定理和余弦定理得：cb2+c2-a22bc=3aa2+b2-c22ab，得b2+c2a2=

12、3a2+3b23c2，即4c242=2b2=2×16=32，則c2a2=8，故選：b12若cos+sin=tan(02)，則（）a(0，6)b(6，4)c(4，3)d(3，2)【解答】解：cos+sin=2sin(+4)，當(dāng)02時(shí)，4+434，則2sin(+4)（1，2（1，3），tan（1，3）得（4，3）故選：c13已知函數(shù)f（x）=sinx+acosx（0）的最小正周期為，且函數(shù)f（x）圖象的一條對(duì)稱軸是x=12，則f（x）的最大值為（）a1b2c2d5【解答】解：函數(shù)f（x）=sinx+acosx=1+a2sin(x+)，其中tan=a最小正周期為，即2=2那么f（x）=1+

13、a2sin（2x+）一條對(duì)稱軸是x=122×12+=2+k，kz可得：=k+3則tan（k+3）=a即tan（3）=aa=3f（x）的最大值為1+3=2故選：b二填空題（共8小題）14若2cos2cos(4+)=3sin2，則sin2=23【解答】解：2cos2cos(4+)=3sin2，2(cos2-sin2)22(cos-sin)=2（cos+sin）=3sin2，平方可得：4（1+sin2）=3sin22，整理可得：3sin224sin24=0，解得：sin2=23，或2（舍去）故答案為：2315已知cos（x+6）=13，則sin（x3）=-13【解答】解：sin（x3）=c

14、os（2+x-3）=cos（x+6）=13故答案為：1316若sin（4）=7210，（0，）則tan=34或43【解答】解：由sin（4）=7210，得sincos4cossin4=7210，則sin-cos=75，（2，），由sin（4）=7210，得cos（4）=±1-sin2(-4)=±210若cos（4）=210，則cos=cos（-4）+4=cos（-4）cos4sin（-4）sin4=210×22-7210×22=-35，則sin=45，tan=43；若cos（4）=210，則cos=cos（-4）+4=cos（-4）cos4sin（-4）

15、sin4=-210×22-7210×22=-45，則sin=35，tan=34故答案為：-34或4317設(shè)f（x）=sin4xsinxcosx+cos4x，則f（x）的值域是0，98【解答】解：f（x）=sin4xsinxcosx+cos4x=112sin2x12sin22x 令t=sin2x，則f（x）=g（t）=112t12t2 =9812（t+12）2 ，且1t1故當(dāng)t=12時(shí)，f（x）取得最大值為 98，當(dāng)t=1時(shí)，f（x）取得最小值為 0，故，f（x）0，98，即 f（x）的值域是0，98，故答案為0，9818已知函數(shù)f(x)=cos2x-sin2(x+6)，則f

16、(6)=0，該函數(shù)的最小正周期為【解答】解：f(x)=cos2x-sin2(x+6)=1+cos2x2-1-cos(2x+3)2=cos2x2+cos(2x+3)2=cos2x2+cos2xcos3-sin2xsin32=cos2x2+cos2x4-34sin2x=32cos(2x+6)，f(6)=32cos2=0，該函數(shù)的最小正周期為故答案為：0；19已知cos-sin=13，則sin2cos2的取值范圍是-59，59【解答】解：sin2cos2=1cos2（1sin2）=sin2cos2=（sin+cos）（sincos）=-13(sin+cos)，由cos-sin=13，得cos=13+

17、sin，由于cos1，1，且sin1，1，sin1，23，sin+cos=sin+sin+13=2sin+1353，53，則sin2cos2的取值范圍是59，59故答案為：59，5920已知f（x）=sinxcosx(23)，若函數(shù)f（x）圖象的任何一條對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間（2，3），則的取值范圍是78，1112（結(jié)果用區(qū)間表示）【解答】解：f（x）=sinxcosx=2sin（x4）（23，xr），若f（x）的任何一條對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)都不屬于區(qū)間（2，3），則t2=32=，1，即231，令x4=k+2，kz，可得數(shù)f（x）圖象的對(duì)稱軸為：x=k+34，kz，k+342

18、，且k+343，kz，解得：12k+38，kz，且13k+14，kz，&231&k2+38，kz，且&231&k3+14，kz，解得：78，1，且23，1112， 綜上，可得的取值范圍是：78，1112故答案為：78，111221在abc中，內(nèi)角a，b，c所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若sinbsina-3sinacosb=0，且cos2b+2sinasinc=1，則a2b+c=0【解答】解：在abc中，若sinbsina-3sinacosb=0，則sinb=3cosb，故tanb=3，b=3cos2b+2sinasinc=1，即12sin2b+2sinasinc

19、=1，sinasinc=sin2b=34再根據(jù)cos（a+c）=cos23=12=cosacoscsinasinc=cosacosc34，cosacosc=14，由可得sina=sinc=32，cosa=cosc=12，a=b=3，故a=b=c，則a2b+c=0，故答案為：0三解答題（共6小題）22已知函數(shù)f（x）=sin2x+3sinxcosx（）求f（x）的最小正周期；（）若f（x）在區(qū)間3，m上的最大值為32，求m的最小值【解答】解：（i）函數(shù)f（x）=sin2x+3sinxcosx=1-cos2x2+32sin2x=sin（2x6）+12，f（x）的最小正周期為t=22=；（）若f（x

20、）在區(qū)間3，m上的最大值為32，可得2x656，2m6，即有2m62，解得m3，則m的最小值為323設(shè)常數(shù)ar，函數(shù)f（x）=asin2x+2cos2x（1）若f（x）為偶函數(shù)，求a的值；（2）若f（4）=3+1，求方程f（x）=12在區(qū)間，上的解【解答】解：（1）f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）=asin2x+2cos2x，f（x）為偶函數(shù)，f（x）=f（x），asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，2asin2x=0，a=0；（2）f（4）=3+1，asin2+2cos2（4）=a+1=3+1，a=3，f（x）=3sin2x+2cos2x=3sin2x+cos

21、2x+1=2sin（2x+6）+1，f（x）=12，2sin（2x+6）+1=12，sin（2x+6）=22，2x+6=4+2k，或2x+6=54+2k，kz，x=524+k，或x=1324+k，kz，x，x=1324或x=1924或x=524或x=112424已知，為銳角，tan=43，cos（+）=55（1）求cos2的值；（2）求tan（）的值【解答】解：（1）由&sincos=43&sin2+cos2=1&為銳角，解得&sin=45&cos=35，cos2=cos2-sin2=-725；（2）由（1）得，sin2=2sincos=2425，則tan2=sin2cos2=-247，（0，2），+（0，），sin（+）=1-cos2(+)=255則tan（+）=sin(+)cos(+)=-2tan（）=tan2（+）=tan2-tan(+)1+tan2tan(+)=-21125已知向量a=（3sinx，3cosx），b=（3cosx，cosx），設(shè)函數(shù)f（x）=ab+52（）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最值；（）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間【解答】解：（）a=（3sinx，3cosx），b=（3cosx，cosx），f（x）=ab+52=33