全國通用版2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十三單元橢圓雙曲線拋物線學(xué)案文201806133204_20210103224754

1、第十三單元 橢圓、雙曲線、拋物線教材復(fù)習(xí)課“橢圓、雙曲線、拋物線”相關(guān)基礎(chǔ)知識一課過橢圓過雙基1橢圓的定義平面內(nèi)與兩個定點f1，f2的距離的和等于常數(shù)(大于|f1f2|)的點的軌跡叫做橢圓這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)：(1)當2a|f1f2|時，p點的軌跡是橢圓；(2)當2a|f1f2|時，p點的軌跡是線段；(3)當2a|f1f2|時，p點不存在2橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程1(ab0)1(ab0)圖形性質(zhì)范圍byayax，bx，對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：(0,0

2、)頂點a1(a,0)，a2(a,0)，b1(0，b)，b2(0，b)a1(0，a)，a2(0，a)，b1(b,0)，b2(b,0)軸長軸a1a2的長為，短軸b1b2的長為焦距|f1f2|離心率e，e(0,1)a，b，c的關(guān)系c2a2b21(2017·浙江高考)橢圓1的離心率是()a.b.c. d.解析：選b根據(jù)題意知，a3，b2，則c，橢圓的離心率e.2在平面直角坐標系xoy中，abc上的點a，c的坐標分別為(4,0)，(4,0)，若點b在橢圓1上，則()a. b.c. d.解析：選d由橢圓1，得橢圓的半焦距為4，則a(4,0)和c(4,0)為橢圓1的兩個焦點點b在橢圓1上， 作出示

3、意圖如圖所示，.3已知橢圓1(m0)的焦距為8，則m的值為()a3或 b3c. d±3或±解析：選a當m5時，焦點在x軸上，焦距2c8，則c4，由25m216，得m3；當m5時，焦點在y軸上，焦距2c8，則c4，由m22516，得m， 故m的值為3或. 4若焦點在x軸上的橢圓1的離心率為，則m_.解析：因為焦點在x軸上，所以0m2，所以a22，b2m，c2a2b22m.因為橢圓的離心率為e，所以e2，解得m.答案：清易錯1求橢圓的標準方程時易忽視判斷焦點的位置，而直接設(shè)方程為1(ab0)2注意橢圓的范圍，在設(shè)橢圓1(ab0)上點的坐標為p(x，y)時，|x|a，|y|b，這

4、往往在求與點p有關(guān)的最值問題中特別有用，也是容易被忽略而導(dǎo)致求最值錯誤的原因1已知橢圓1的離心率為，則k的值為()a21 b21c或21 d.或21解析：選d當94k0，即5<k<4時，a3，c29(4k)5k，解得k；當94k，即k5時，a，c2k5，解得k21，k的值為或21.2已知橢圓c：1的左、右焦點分別為f1，f2，橢圓c上的點a滿足af2f1f2，若點p是橢圓c上的動點，則·的最大值為()a. b.c. d.解析：選b由橢圓方程知c1，所以f1(1,0)，f2(1,0)因為橢圓c上點a滿足af2f1f2，則可設(shè)a(1，y0)，代入橢圓方程可得y，所以y0

5、77;.設(shè)p(x1，y1)，則(x11，y1)，(0，y0)，所以·y1y0.因為點p是橢圓c上的動點，所以y1，故·的最大值為.雙曲線過雙基1雙曲線的定義平面內(nèi)與兩個定點f1，f2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)(小于|f1f2|)的點的軌跡叫做雙曲線這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當2a<|f1f2|時，p點的軌跡是雙曲線；(2)當2a|f1f2|時，p點的軌跡是兩條射線；(3)當2a>|f1f2|時，p點不存在2標準方程(1)中心在

6、坐標原點，焦點在x軸上的雙曲線的標準方程為1(a>0，b>0)；(2)中心在坐標原點，焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為1(a>0，b>0)3雙曲線的性質(zhì)標準方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yrya或ya，xr對稱性對稱軸：坐標軸，對稱中心：原點頂點a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)a，b，c的關(guān)系c2a2b2實虛軸線段a1a2叫做雙曲線的實軸，它的長|a1a2|；線段b1b2叫做雙曲線的虛軸，它的長|b1b2|；a叫做雙曲線的實

7、半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長1(2017·天津高考)已知雙曲線1(a0，b0)的右焦點為f，點a在雙曲線的漸近線上，oaf是邊長為2的等邊三角形(o為原點)，則雙曲線的方程為()a.1 b.1c.y21 dx21解析：選d由oaf是邊長為2的等邊三角形可知，c2，tan 60°.又c2a2b2，聯(lián)立可得a1，b，雙曲線的方程為x21.2已知雙曲線過點(2,3)，其中一條漸近線方程為yx，則雙曲線的標準方程是()a.1 b.1cx21 d.1解析：選c由雙曲線的一條漸近線方程為yx，可設(shè)其方程為x2(0)又雙曲線過點(2,3), 則22， 解得1，所以雙曲線的方程為x21，

8、即x21.3(2018·張掖一診)如圖，f1，f2分別是雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點，過f1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于點b，a.若abf2為等邊三角形，則雙曲線的離心率為()a. b4c. d.解析：選a依題意得|ab|af2|bf2|，結(jié)合雙曲線的定義可得|bf1|2a，|bf2|4a，|f1f2|2c，因為abf2為等邊三角形，所以f1bf2120°，由余弦定理，可得4a216a22×2a×4a×4c2，整理得，故選a.4已知f為雙曲線c：1的左焦點，p，q為c上的點若pq的長等于虛軸長的2倍，點a(5,0)在線段pq上，則

9、pqf的周長為_解析：由題意得，|fp|pa|6，|fq|qa|6，兩式相加，利用雙曲線的定義得|fp|fq|28，所以pqf的周長為|fp|fq|pq|44.答案：44清易錯1注意區(qū)分雙曲線中的a，b，c大小關(guān)系與橢圓中的a，b，c關(guān)系，在橢圓中a2b2c2，而在雙曲線中c2a2b2.2易忽視漸近線的斜率與雙曲線的焦點位置關(guān)系當焦點在x軸上，漸近線斜率為±，當焦點在y軸上，漸近線斜率為±.1雙曲線1(0m3)的焦距為()a6 b12c36 d2解析：選bc236m2m236，c6，雙曲線的焦距為12.2已知直線l：4x3y200經(jīng)過雙曲線c：1的一個焦點，且與雙曲線c的一

10、條漸近線平行，則雙曲線c的實軸長為()a3 b4c6 d8解析：選c雙曲線c：1的焦點在x軸上，直線l：4x3y200與x軸的交點為(5,0)a2b2c225.直線l：4x3y200與雙曲線c：1的一條漸近線平行，. 由解得a3，雙曲線c的實軸長為2a6.拋物線過雙基1拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點f和一條定直線l(l不經(jīng)過點f)的距離相等的點的軌跡叫做拋物線點f叫做拋物線的焦點，直線l叫做拋物線的準線2拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p>0)x22py(p>0)p的幾何意義：焦點f到準線l的距離圖形頂點o(0,0)對稱軸y0x0焦點

11、ffff離心率e準線方程xxyy范圍x0，yrx0，yry0，xry0，xr開口方向向右向左向上向下焦半徑(其中p(x0，y0)|pf|x0|pf|x0|pf|y0|pf|y01已知拋物線頂點在原點，焦點為雙曲線1的右焦點，則此拋物線的方程為()ay22x by24xcy210x dy220x解析：選d雙曲線1的右焦點為(5,0) ，由題意，設(shè)拋物線方程為y22px(p0) ，拋物線的焦點為雙曲線1的右焦點，5，p10，拋物線方程為y220x.2若拋物線y4x2上的一點m到焦點的距離為1，則點m的縱坐標是()a. b.c. d0解析：選b點m到準線的距離等于點m到焦點的距離，又準線方程為y，設(shè)

12、m(x，y)，則y1，故y.3若點p為拋物線y2x2上的動點，f為拋物線的焦點，則|pf|的最小值為()a2 b.c. d. 解析：選d設(shè)點p到準線的距離為d，則有|pf|d，又拋物線的方程為y2x2，即x2y, 則其準線方程為y， 所以當點p在拋物線的頂點時，d有最小值，即|pf|的最小值為.4已知拋物線y26x上的一點到焦點的距離是到y(tǒng)軸距離的2倍，則該點的橫坐標為_解析：可知拋物線y26x的焦點f，設(shè)p(x，y)，x0.由拋物線的定義，得點p到焦點的距離d1xx，點p到y(tǒng)軸的距離d2x.由x2x，解得x，該點的橫坐標為.答案：清易錯1拋物線的定義中易忽視“定點不在定直線上”這一條件，當定

13、點在定直線上時，動點的軌跡是過定點且與直線垂直的直線2拋物線標準方程中的參數(shù)p，易忽視只有p0才能證明其幾何意義是焦點f到準線l的距離，否則無幾何意義1動圓過點(1,0)，且與直線x1相切，則動圓的圓心的軌跡方程為_解析：設(shè)動圓的圓心坐標為(x，y)，則圓心到點(1,0)的距離與到直線x1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知動圓的圓心的軌跡方程為y24x.答案：y24x2拋物線8x2y0的焦點坐標為_解析：由8x2y0，得x2y.2p，p，焦點為.答案：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系過雙基1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判斷直線l與圓錐曲線c的位置關(guān)系時，通常將直線l的方程axbyc0(a，b不同時為0)代入

14、圓錐曲線c的方程f(x，y)0，消去y(也可以消去x)得到一個關(guān)于變量x(或變量y)的一元方程即消去y，得ax2bxc0.(1)當a0時，設(shè)一元二次方程ax2bxc0的判別式為，則>0直線與圓錐曲線c相交；0直線與圓錐曲線c相切；<0直線與圓錐曲線c相離(2)當a0，b0時，即得到一個一次方程，則直線l與圓錐曲線c相交，且只有一個交點，此時，若c為雙曲線，則直線l與雙曲線的漸近線的位置關(guān)系是平行；若c為拋物線，則直線l與拋物線的對稱軸的位置關(guān)系是平行或重合2圓錐曲線的弦長設(shè)斜率為k(k0)的直線l與圓錐曲線c相交于a，b兩點，a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|ab|x1x2|

15、· ·|y1y2| ·.1直線ykxk1與橢圓1的位置關(guān)系為()a相交b相切c相離 d不確定解析：選a因為直線ykxk1k(x1)1恒過定點(1,1)，又點(1,1)在橢圓內(nèi)部，故直線與橢圓相交2過拋物線x28y的焦點f作直線l交拋物線于a，b兩點，若線段ab中點m的縱坐標為4，則|ab|_.解析：由題意，可得焦點f(0,2)，設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則y1y28，過焦點的弦長|ab|y1y2p8412.答案：123已知雙曲線c：1(a0，b0)的漸近線與圓(x2)2y21相交，則雙曲線c的離心率的取值范圍是_解析：雙曲線的漸近線為bx±a

16、y0，其與圓相交，則圓心(2,0)到漸近線的距離小于半徑，即1，3b2a2，c2a2b2a2，e.又e1，1e.答案：清易錯1直線與雙曲線交于一點時，易誤認為直線與雙曲線相切，事實上不一定相切，當直線與雙曲線的漸近線平行時，直線與雙曲線相交于一點2直線與拋物線交于一點時，除直線與拋物線相切外易忽視直線與拋物線的對稱軸平行時也相交于一點1直線yx3與雙曲線1的交點個數(shù)是()a1 b2c1或2 d0解析：選a因為直線yx3與雙曲線的漸近線yx平行，所以它與雙曲線只有1個交點2過點(0,1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個公共點，這樣的直線有()a1條b2條c3條 d4條解析：選c結(jié)合圖形分析可

17、知，滿足題意的直線共有3條：直線x0，過點(0,1)且平行于x軸的直線以及過點(0,1)且與拋物線相切的直線(非直線x0).一、選擇題1拋物線頂點在原點，焦點在y軸上，若其上一點p(m,1)到焦點的距離為5，則拋物線的標準方程為()ay8x2by16x2cx28y dx216y解析：選d根據(jù)題意知，點p(m,1)在x軸上方，則拋物線開口向上，設(shè)其標準方程為x22py，其準線方程為y，由點p到焦點的距離為5，得15, 解得p8，則拋物線的標準方程為x216y.2橢圓1的焦距為2，則m的值為()a9 b23c9或23 d16或16解析：選c由橢圓1的焦距為2，可得，22或22，解得m9或23. 3

18、過拋物線y24x的焦點的直線l交拋物線于p(x1，y1)，q(x2，y2)兩點，如果x1x26，則|pq|()a9 b8c7 d6解析：選b拋物線y24x的焦點為f(1,0)，準線方程為x1.根據(jù)題意可得，|pq|pf|qf|x11x21x1x228.4若雙曲線c：y21的左、右焦點分別為f1，f2，p為雙曲線c上一點，滿足·0的點p依次記為p1，p2，p3，p4，則四邊形p1p2p3p4的面積為()a. b2c. d2解析：選c設(shè)p(x，y)，由已知得f1(，0)，f2(，0)，則(x，y)·(x，y)x25y20，即x2y25，與雙曲線方程y21聯(lián)立，可得交點分別為，它

19、們構(gòu)成一個長為，寬為的長方形，所以四邊形p1p2p3p4的面積為×.5若雙曲線1(a0，b0)的離心率為，則其漸近線方程為()ay±3x by±xcy±2x dy±x解析：選d因為雙曲線1(a0，b0)的離心率為，所以e，即e2110，所以3.因為雙曲線1的焦點在y軸上，其漸近線方程為y±x，所以該雙曲線的漸近線方程為y±x.6已知橢圓c：1(a>b>0)的左、右焦點為f1，f2，離心率為，過f2的直線l交c于a，b兩點，若af1b的周長為4，則橢圓c的方程為()a.1 b.y21c.1 d.1解析：選a由橢圓的

20、性質(zhì)知|af1|af2|2a，|bf1|bf2|2a，又|af1|af2|bf1|bf2|4，a.又e，c1，b2a2c22，橢圓的方程為1.7已知雙曲線1的右焦點為f，若過點f的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此直線斜率的取值范圍是()a. b.c. d.解析：選c由題意知f(4,0)，雙曲線的兩條漸近線方程為y±x.當過點f的直線與漸近線平行時，滿足與右支只有一個交點，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合可知應(yīng)選c.8已知f1，f2是橢圓和雙曲線的公共焦點，p是它們的一個公共點，且f1pf2，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為()a. b.c1 d.解析：選b如圖，設(shè)橢圓的長半軸長為a1，

21、雙曲線的實半軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可得，|pf1|pf2|2a1，|pf1|pf2|2a2，|pf1|a1a2，|pf2|a1a2.設(shè)|f1f2|2c，又f1pf2，在pf1f2中，由余弦定理得，4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos ，化簡得：(2)a(2)a4c2，即4.又，4，即e1·e2， 橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為. 二、填空題9(2017·北京高考)若雙曲線x21的離心率為，則實數(shù)m_.解析：由雙曲線的標準方程可知a21，b2m，所以a1，c，所以e，解得m2.答案：210(2017·全國卷)雙曲線1(

22、a0)的一條漸近線方程為yx，則a_.解析：雙曲線的標準方程為1(a0)，雙曲線的漸近線方程為y±x.又雙曲線的一條漸近線方程為yx，a5.答案：511與橢圓1有相同的焦點，且離心率為的橢圓的標準方程為_解析：由橢圓1，得a29，b24，c2a2b25，該橢圓的焦點坐標為. 設(shè)所求橢圓方程為1，ab0，則c，又，得a5，b225520.所求橢圓方程為1. 答案：112(2018·西安中學(xué)模擬)如圖，過拋物線yx2的焦點f的直線l與拋物線和圓x2(y1)21交于a，b，c，d四點，則·_.解析：不妨設(shè)直線ab的方程為y1，聯(lián)立解得x±2，則a(2,1)，d

23、(2,1)，因為b(1,1)，c(1,1)，所以(1,0)，(1,0)，所以·1.答案：1三、解答題13已知橢圓c：1(ab0)的短軸長為2，且函數(shù)yx2的圖象與橢圓c僅有兩個公共點，過原點的直線l與橢圓c交于m，n兩點(1)求橢圓c的標準方程；(2)若點p為線段mn的中垂線與橢圓c的一個公共點，求pmn面積的最小值，并求此時直線l的方程解：(1)由題意可得，2b2，所以b1.聯(lián)立y21(a1)與yx2，消去y，整理得x4x20，根據(jù)橢圓c與拋物線yx2的對稱性，可得24×0，a1，解得a2. 橢圓c的標準方程為y21. (2)當直線l的斜率不存在時，spmn×2

24、b×a2；當直線l的斜率為0時，spmn×2a×b2；當直線l的斜率存在且不為0時設(shè)直線l的方程為ykx，由解得x2，y2. |mn|24 .由題意可得，線段mn的中垂線方程為yx，聯(lián)立可得x2，y2.|op|2 .spmn·|mn|·|op|，當且僅當k±1時取等號，此時pmn的面積的最小值為. 2>，pmn的面積的最小值為，直線l的方程為y±x.14.已知點f為拋物線e：y22px(p>0)的焦點，點a(2，m)在拋物線e上，且|af|3.(1)求拋物線e的方程；(2)已知點g(1,0)，延長af交拋物線e于

25、點b，證明：以點f為圓心且與直線ga相切的圓必與直線gb相切解：(1)由拋物線的定義得|af|2.因為|af|3，即23，解得p2，所以拋物線e的方程為y24x.(2)因為點a(2，m)在拋物線e：y24x上，所以m±2.由拋物線的對稱性，不妨設(shè)a(2,2)由a(2,2)，f(1,0)可得直線af的方程為y2(x1)由得2x25x20，解得x2或x，從而b.又g(1,0)，所以kga，kgb，所以kgakgb0，從而agfbgf，這表明點f到直線ga，gb的距離相等，故以f為圓心且與直線ga相切的圓必與直線gb相切高考研究課(一)橢圓命題3角度求方程、研性質(zhì)、用關(guān)系 全國卷5年命題分

26、析考點考查頻度考查角度橢圓的標準方程5年2考求橢圓的標準方程橢圓的幾何性質(zhì)5年5考求離心率，求參數(shù)直線與橢圓的位置關(guān)系5年4考弦長問題、面積最值、斜率范圍橢圓的定義及標準方程典例(1)若橢圓c：1的焦點為f1，f2，點p在橢圓c上，且|pf1|4，則f1pf2()a.b.c. d.(2)(2018·大慶模擬)如圖，已知橢圓c：1(a>b>0)，其中左焦點為f(2，0)，p為c上一點，滿足|op|of|，且|pf|4，則橢圓c的方程為()a.1 b.1c.1 d.1解析(1)由題意得a3，c，則|pf2|2.在f2pf1中，由余弦定理可得cosf2pf1.又f2pf1(0，

27、)，f2pf1.(2)設(shè)橢圓的焦距為2c，右焦點為f1，連接pf1，如圖所示由f(2，0)，得c2.由|op|of|of1|，知pf1pf.在rtpf1f中，由勾股定理，得|pf1| 8.由橢圓定義，得|pf1|pf|2a4812，從而a6，得a236，于是b2a2c236(2)216，所以橢圓c的方程為1.答案(1)c(2)b方法技巧(1)求橢圓標準方程的基本方法是待定系數(shù)法，具體過程是先定形，再定量，即首先確定焦點所在位置，然后再根據(jù)條件建立關(guān)于a，b的方程組如果焦點位置不確定，可把橢圓方程設(shè)為mx2ny21(m>0，n>0，mn)的形式(2)橢圓上的一點與兩焦點所構(gòu)成的三角形

28、稱為焦點三角形解決焦點三角形問題常利用橢圓的定義和正弦定理、余弦定理即時演練1在平面直角坐標系xoy中，p是橢圓1上的一個動點，點a(1,1)，b(0，1)，則|pa|pb|的最大值為()a2b3c4 d5解析：選d橢圓方程為1，焦點坐標為b(0，1)和b(0,1)，連接pb，ab，根據(jù)橢圓的定義，得|pb|pb|2a4，可得|pb|4|pb|，因此|pa|pb|pa|(4|pb|)4(|pa|pb|)|pa|pb|ab|， |pa|pb|4|ab|415. 當且僅當點p在ab延長線上時，等號成立綜上所述，可得|pa|pb|的最大值為5. 2已知f1，f2是橢圓c：1(a>b>0)

29、的兩個焦點，p為橢圓c上的一點，且.若pf1f2的面積為9，則b_.解析：設(shè)|pf1|r1，|pf2|r2，則2r1r2(r1r2)2(rr)4a24c24b2，又spf1f2r1r2b29，b3.答案：3橢圓的幾何性質(zhì)典例(1)(2016·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標系xoy中，f是橢圓1(ab0)的右焦點，直線y與橢圓交于b，c兩點，且bfc90°，則該橢圓的離心率是_(2)如圖，橢圓1(ab0)的左、右焦點分別為f1，f2，過f2的直線交橢圓于p，q兩點，且pqpf1.若|pf1|2，|pf2|2，求橢圓的標準方程；若|pq|pf1|，且，求橢圓離心率e的取值范圍解

30、析(1)將y代入橢圓的標準方程，得1，所以x±a，故b，c.又因為f(c,0)，所以，.因為bfc90°，所以·0，所以20，即c2a2b20，將b2a2c2代入并化簡，得a2c2，所以e2，所以e(負值舍去)答案(2)由橢圓的定義，得2a|pf1|pf2|(2)(2)4，故a2.設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知pf1pf2，因此2c|f1f2|2，即c，從而b1.故所求橢圓的標準方程為y21.如圖，連接f1q，由pf1pq，|pq|pf1|，得|qf1|pf1|.由橢圓的定義，|pf1|pf2|2a，|qf1|qf2|2a，進而|pf1|pq|qf1|4a.于是(1)

31、|pf1|4a，解得|pf1|，故|pf2|2a|pf1|.由勾股定理得|pf1|2|pf2|2|f1f2|2(2c)24c2，從而224c2，兩邊除以4a2，得e2.若記t1，則上式變成e282.由，并注意到t1關(guān)于單調(diào)遞增，得3t4，即.進而e2，即e.所以橢圓離心率e的取值范圍為.方法技巧橢圓幾何性質(zhì)的應(yīng)用技巧(1)與橢圓幾何性質(zhì)有關(guān)的問題要結(jié)合圖形進行分析，即使畫不出圖形，思考時也要聯(lián)想到一個圖形(2)橢圓的范圍或最值問題常常涉及一些不等式例如，axa，byb,0e1，在求橢圓相關(guān)量的范圍時，要注意應(yīng)用這些不等關(guān)系即時演練1已知橢圓e的左、右焦點分別為f1，f2，過f1且斜率為2的直線

32、交橢圓e于p，q兩點，若f1pf2為直角三角形，則橢圓e的離心率為_解析：作出示意圖如圖，由題可知，2，即|pf2|2|pf1|， 又|pf2|pf1|2a，|pf1| a，|pf2|a，(2c)222，即c2a2，e. 答案：2已知橢圓c：1(a>b>0)的左、右焦點分別為 f1，f2，點p為橢圓c與y軸的交點，若以f1，f2，p三點為頂點的等腰三角形一定不可能為鈍角三角形，則橢圓c的離心率的取值范圍是_解析：點p為橢圓c與y軸的交點，以f1，f2，p三點為頂點的等腰三角形一定不可能為鈍角三角形，即f1pf290°，tanopf21，1，cb，c2a2c2，0e.答案：

33、直線與橢圓的位置關(guān)系典例(2017·天津高考)已知橢圓1(ab0)的左焦點為f(c,0)，右頂點為a，點e的坐標為(0，c), efa的面積為.(1)求橢圓的離心率；(2)設(shè)點q在線段ae上，|fq|c，延長線段fq與橢圓交于點p，點m，n在x軸上，pmqn，且直線pm與直線qn間的距離為c，四邊形pqnm的面積為3c.求直線fp的斜率；求橢圓的方程思路點撥(1)由已知可得(ca)c，再結(jié)合b2a2c2，求得離心率；(2)首先設(shè)直線fp的方程為xmyc(m>0)，再寫出直線ae的方程，聯(lián)立方程得到點q的坐標，根據(jù)|fq|c得到m的值，求得直線fp的斜率；聯(lián)立直線fp的方程和橢圓

34、方程，求得點p的坐標，再求|fp|，|pq|，確定直線pm和qn都垂直于直線fp，根據(jù)平面幾何關(guān)系求面積，求c，得出橢圓的方程解(1)設(shè)橢圓的離心率為e.由已知，可得(ca)c.又由b2a2c2，可得2c2aca20，即2e2e10.又因為0e1，解得e.所以橢圓的離心率為.(2)依題意，設(shè)直線fp的方程為xmyc(m0)，則直線fp的斜率為.由(1)知a2c，可得直線ae的方程為1，即x2y2c0，與直線fp的方程聯(lián)立，可解得x，y，即點q的坐標為.由已知|fq|c，有222，整理得3m24m0，所以m，即直線fp的斜率為.由a2c，可得bc，故橢圓方程可以表示為1.由得直線fp的方程為3x

35、4y3c0，聯(lián)立消去y，整理得7x26cx13c20，解得x(舍去)或xc.因此可得點p，進而可得|fp| ，所以|pq|fp|fq|c.由已知，線段pq的長即為pm與qn這兩條平行直線間的距離，故直線pm和qn都垂直于直線fp.因為qnfp，所以|qn|fq|·tanqfn×，所以fqn的面積為|fq|qn|，同理fpm的面積等于，由四邊形pqnm的面積為3c，得3c，整理得c22c.又由c0，得c2.所以橢圓的方程為1.方法技巧(1)解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題涉及弦

36、中點的問題常常用“點差法”解決往往會更簡單(2)設(shè)直線與橢圓的交點坐標為a(x1，y1)，b(x2，y2)，則|ab| (k為直線斜率)提醒利用公式計算直線被橢圓截得的弦長是在方程有解的情況下進行的，不要忽略判別式即時演練1設(shè)橢圓1(a>b>0)的兩焦點為f1，f2，斜率為k的直線過右焦點f2，與橢圓交于a，b，與y軸交于c，b為cf2的中點，若|k|，則橢圓離心率e的取值范圍為_解析：橢圓1(a>b>0)的焦點在x軸上，設(shè)橢圓的右焦點為f2 (c,0)，則直線的方程可設(shè)為yk(xc)，令x0，得ykc，即c(0，kc)由于b為cf2的中點，b，又b為橢圓上的點，1，由

37、b2a2c2，e，可得1，k2.|k|，k2，即0.又0e1, 解得e1. 答案：2(2017·江蘇高考)如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓e：1(a>b>0)的左、右焦點分別為f1，f2，離心率為，兩準線之間的距離為8.點p在橢圓e上，且位于第一象限，過點f1作直線pf1的垂線l1，過點f2作直線pf2的垂線l2.(1)求橢圓e的標準方程；(2)若直線l1，l2的交點q在橢圓e上，求點p的坐標解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c.因為橢圓e的離心率為，兩準線之間的距離為8，所以，8，解得a2，c1，于是b，因此橢圓e的標準方程是1.(2)由(1)知，f1(1,0)，f2(1,

38、0)設(shè)p(x0，y0)，因為p為第一象限的點，故x0>0，y0>0.當x01時，l2與l1相交于f1，與題設(shè)不符當x01時，直線pf1的斜率為，直線pf2的斜率為.因為l1pf1，l2pf2，所以直線l1的斜率為，直線l2的斜率為，從而直線l1的方程為y(x1)，直線l2的方程為y(x1)由解得xx0，y，所以q.因為點q在橢圓上，由對稱性，得±y0，即xy1或xy1.又點p在橢圓e上，故1.聯(lián)立解得x0，y0；聯(lián)立無解因此點p的坐標為.1(2017·全國卷)已知橢圓c：1(a>b>0)的左、右頂點分別為a1，a2，且以線段a1a2為直徑的圓與直線b

39、xay2ab0相切，則c的離心率為()a. b.c. d.解析：選a以線段a1a2為直徑的圓的方程為x2y2a2，由原點到直線bxay2ab0的距離da，得a23b2，所以c的離心率e .2(2017·全國卷)設(shè)a，b是橢圓c：1長軸的兩個端點若c上存在點m滿足amb120°，則m的取值范圍是()a(0,19，) b(0， 9，)c(0,14，) d(0， 4，)解析：選a當0m3時，焦點在x軸上，要使c上存在點m滿足amb120°，則tan 60°，即，解得0m1.當m3時，焦點在y軸上，要使c上存在點m滿足amb120°，則tan 60&#

40、176;，即，解得m9.故m的取值范圍為(0,19，)3(2016·全國卷)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為()a. b.c. d.解析：選b不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點b(0，b)和一個焦點f(c,0)，則直線l的方程為1，即bxcybc0.由題意知×2b，解得，即e.4(2016·全國卷)已知a是橢圓e：1的左頂點，斜率為k(k0)的直線交e于a，m兩點，點n在e上，mana.(1)當|am|an|時，求amn的面積；(2)當2|am|an|時，證明：k2.解：(1)設(shè)m(x1，y1)，則由題意知y10

41、.由已知及橢圓的對稱性知，直線am的傾斜角為.又a(2,0)，因此直線am的方程為yx2.將xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.因此amn的面積samn2×××.(2)證明：設(shè)直線am的方程為yk(x2)(k0)，代入1，得(34k2)x216k2x16k2120.由x1·(2)，得x1，故|am|x12|.由題意，設(shè)直線an的方程為y(x2)，故同理可得|an|.由2|am|an|，得，即4k36k23k80.設(shè)f(t)4t36t23t8，則k是f(t)的零點f(t)12t212t33(2t1)20，所以f(t)在(0，)上單調(diào)遞增又

42、f()15260，f(2)60，因此f(t)在(0，)上有唯一的零點，且零點k在(，2)內(nèi)，所以k2.5(2015·全國卷)已知橢圓c：9x2y2m2(m>0)，直線l不過原點o且不平行于坐標軸，l與c有兩個交點a，b，線段ab的中點為m.(1)證明：直線om的斜率與l的斜率的乘積為定值；(2)若l過點，延長線段om與c交于點p，四邊形oapb能否為平行四邊形？若能，求此時l的斜率；若不能，說明理由解：(1)證明：設(shè)直線l：ykxb(k0，b0)，a(x1，y1)，b(x2，y2)，m(xm，ym)將ykxb代入9x2y2m2，消去y，得(k29)x22kbxb2m20，故xm

43、，ymkxmb.于是直線om的斜率kom，即kom·k9.所以直線om的斜率與l的斜率的乘積為定值(2)四邊形oapb能為平行四邊形因為直線l過點，所以l不過原點且與c有兩個交點的充要條件是k>0，k3.由(1)得om的方程為yx.設(shè)點p的橫坐標為xp.由得x，即xp.將點的坐標代入直線l的方程得b，因此xm.四邊形oapb為平行四邊形，當且僅當線段ab與線段op互相平分，即xp2xm.于是2×，解得k14，k24.因為ki>0，ki3，i1,2，所以當直線l的斜率為4或4時，四邊形oapb為平行四邊形一、選擇題1如果x2ky22表示焦點在y軸上的橢圓，那么實數(shù)

44、k的取值范圍是()a(0,1)b(0,2)c(1，) d(0，)解析：選ax2ky22轉(zhuǎn)化為橢圓的標準方程，得1，x2ky22表示焦點在y軸上的橢圓，2，解得0k1.實數(shù)k的取值范圍是(0,1)2已知直線2kxy10與橢圓1恒有公共點，則實數(shù)m的取值范圍為()a(1,9 b1，) c1,9)(9，) d(9，)解析：選c直線2kxy10恒過定點p(0,1), 直線2kxy10與橢圓1恒有公共點，即點p(0,1)在橢圓內(nèi)或橢圓上，1，即m1, 又m9，1m9或m9. 3橢圓1(a>b>0)的中心在原點，f1，f2分別為左、右焦點，a，b分別是橢圓的上頂點和右頂點，p是橢圓上一點，且p

45、f1x軸，pf2ab，則此橢圓的離心率為()a. b.c. d.解析：選d如圖所示，把xc代入橢圓方程1(a>b>0)，可得p， 又a(0，b)，b(a,0)，f2(c,0)，kab，kpf2，pf2ab，化簡得b2c. 4c2b2a2c2，即a25c2，e .4.如圖，橢圓與雙曲線有公共焦點f1，f2，它們在第一象限的交點為a，且af1af2 ，af1f230°，則橢圓與雙曲線的離心率之積為()a2 b.c. d.解析：選a設(shè)橢圓的長軸長為2a1，雙曲線的實軸長為2a2，焦距為2c, 由橢圓與雙曲線的定義可知，|af1|af2|2a1, |af1|af2|2a2, 在r

46、taf1f2中，af1f230°，則|af2|f1f2|c，|af1|f1f2|c, 所以2a1(1)c,2a2(1)c，即e1，e2，所以e1·e2×2, 即橢圓與雙曲線的離心率之積為2.5已知p(x0，y0)是橢圓c：y21上的一點，f1，f2是c的左、右焦點，若· <0，則x0的取值范圍為()a. b.c. d.解析：選af1(，0)，f2(，0)，·(x0，y0)·(x0，y0)xy3.又y1，·x13<0，解得<x0<.6中心為原點，一個焦點為f(0,5)的橢圓，截直線y3x2所得弦中點的橫

47、坐標為，則該橢圓方程為()a.1 b.1c.1 d.1解析：選c由已知得c5，設(shè)橢圓的方程為1，聯(lián)立得消去y得(10a2450)x212(a250)x4(a250)a2(a250)0，設(shè)直線y3x2與橢圓的交點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由根與系數(shù)關(guān)系得x1x2，由題意知x1x21，即1，解得a275，所以該橢圓方程為1.二、填空題7若f1，f2分別是橢圓e：x21(0<b<1)的左、右焦點，過點f1的直線交橢圓e于a，b兩點若|af1|3|f1b|，af2x軸，則橢圓e的方程為_解析：設(shè)點a在點b上方，f1(c,0)，f2(c,0)，其中c，則可設(shè)a(c，b2)，b

48、(x0，y0)，由|af1|3|f1b|，可得3，故即代入橢圓方程可得b21，解得b2，故橢圓方程為x21.答案：x218已知過點m(1，1)的直線l與橢圓1相交于a，b兩點，若點m是ab的中點，則直線l的方程為_解析：法一：設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2), 由中點坐標公式可知：x1x22，y1y22, 則兩式相減得：0，則，所以直線ab的斜率k，所以直線l的方程y1(x1)，即3x4y70. 法二：由點m是ab的中點，可設(shè)a(1m，1n)，b(1m，1n), 則1， 1，兩式相減得：mn0，即，所以直線ab的斜率k，則直線l的方程y1(x1)，即3x4y70.答案：3x4y709橢圓1的左、右焦點分別為f1，f2，過橢圓的右焦點f2作一條直線l交橢圓于p，q兩點，則f1pq內(nèi)切圓面積的最大值是_解析：因為三角形內(nèi)切圓的半徑與三角形周長的乘積是面積的2倍，且f1pq的周長是定值8，所以只需求f1pq面積的最大值 設(shè)直線l的方程為xmy1，聯(lián)立消去x，得(3m24)y26my90, 設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則y1y2，y1y2，于是sf1pq|f1f2|·|y1y2|12. 設(shè)m21t，則t1，即sf1pq1212.因為g(t)9t在1，)上為單調(diào)遞增函數(shù)，