高三數學人教版A版數學（理）高考一輪復習教案：5.3 等比數列及其前n項和 Word版含答案

1、淘寶店鋪：漫兮教育第三節(jié)等比數列及其前n項和等比數列(1)理解等比數列的概念(2)掌握等比數列的通項公式與前n項和公式(3)能在具體的問題情境中識別數列的等比關系，并能用有關知識解決相應的問題(4)了解等比數列與指數函數的關系知識點一等比數列的相關概念公式相關名詞等比數列an的有關概念及公式定義q(q是常數且q0，nn)或q(q是常數且q0，nn且n2)通項公式ana1qn1(n2，nn)前n項和公式sn等比中項設a，b為任意兩個同號的實數，則a，b的等比中項g±易誤提醒1在等比數列中易忽視每項與公比都不為0.2在運用等比數列的前n項和公式時，必須對q1與q1分類討論，防止因忽略q1

2、這一特殊情形導致解題失誤自測練習1在等比數列an中，若a1<0，a218，a48，則公比q等于()a. b.c d.或解析：由解得或又a1<0，因此q.答案：c2等比數列x,3x3,6x6，的第四項等于()a24 b0c12 d24解析：由題意知(3x3)2x(6x6)，即x24x30，解得x3或x1(舍去)，所以等比數列的前3項是3，6，12，則第四項為24.答案：a知識點二等比數列的性質設數列an是等比數列，sn是其前n項和1若mnpq，則amanapaq，其中m，n，p，qn.特別地，若2spr，則apara，其中p，s，rn.2相隔等距離的項組成的數列仍是等比數列，即ak，

3、akm，ak2m，仍是等比數列，公比為qm(k，mn)3若數列an，bn是兩個項數相同的等比數列，則數列ban，pan·qbn和(其中b，p，q是非零常數)，也是等比數列4smnsnqnsmsmqmsn.5當q1，或q1且k為奇數時，sk，s2ksk，s3ks2k，是等比數列6若a1·a2··antn，則tn，成等比數列7若數列an的項數為2n，則q；若項數為2n1，則q.易誤提醒1在性質中，當q1且k為偶數時，sk，s2ksk，s3ks2k，不是等比數列2在運用等比數列及其前n項和的性質時，要注意字母間的上標、下標的對應關系自測練習3在等比數列an中，

4、若a3a5a73，則a2a8()a3 b.c9 d13解析：由a3a5a73，a3，又a2a8a3.答案：a4(2015·唐山期末)設sn是等比數列an的前n項和，若3，則()a2 b.c. d1或2解析：設s2k，s43k，由數列an為等比數列，得s2，s4s2，s6s4為等比數列，s2k，s4s22k，s6s44k，s67k，s43k，故選b.答案：b考點一等比數列的基本運算|1(2015·高考全國卷)已知等比數列an滿足a13，a1a3a521，則a3a5a7()a21 b42c63 d84解析：由于a1(1q2q4)21，a13，所以q4q260，所以q22(q23

5、舍去)，所以a36，a512，a724，所以a3a5a742.故選b.答案：b2已知等比數列an的前n項和為sn，且s37a1，則數列an的公比q的值為()a2 b3c2或3 d2或3解析：因為s3a1a2a37a1，所以a2a36a1，即a1qa1q26a1，q2q60，解得q2或3，故選c.答案：c3(2016·唐山一模)已知等比數列an的前n項和為sn，且a1a3，a2a4，則()a4n1 b4n1c2n1 d2n1解析：設an的公比為q，由可得2，q，代入得a12，an2×n1，sn4，2n1，選d.答案：d解決等比數列有關問題的常用思想方法(1)方程的思想：等比數

6、列中有五個量a1，n，q，an，sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關鍵量a1和q，問題可迎刃而解(2)分類討論的思想：等比數列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論，當q1時，an的前n項和snna1；當q1時，an的前n項和sn.考點二等比數列的判定與證明|已知數列an的前n項和為sn，數列bn中，b1a1，bnanan1(n2)，且ansnn.(1)設cnan1，求證：cn是等比數列；(2)求數列bn的通項公式解(1)證明：ansnn，an1sn1n1，得an1anan11，即2an1an1，2(an11)an1，即2cn1cn.由a1s11得a1，c1a11，從而cn0，.所以

7、數列cn是以為首項，為公比的等比數列(2)由(1)知cn×n1n，又cnan1，ancn11n，當n2時，bnanan11nn1nn，又b1a1，適合上式，故bnn.等比數列的判定方法(1)定義法：若q(q為非零常數，nn*)，則an是等比數列(2)等比中項法：若數列an中，an0且aan·an2(nn*)，則數列an是等比數列(3)通項公式法：若數列通項公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數，nn*)，則an是等比數列 1已知數列an的前n項和為sn，a11，sn14an2.(1)設bnan12an，證明：數列bn是等比數列；(2)求數列an的通項公式解

8、：(1)證明：sn14an2，s24a12，即a1a24a12，a23a125，b1a22a13.又an1sn1sn4an2(4an12)4an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)，即bn2bn1(n2)，又b13，則bn0，2(n2)從而數列bn是以3為首項，以2為公比的等比數列(2)由(1)知bn3·2n1，即an12an3·2n13且2，數列是首項為2，公差為3的等差數列，2(n1)×33n1，an(3n1)·2n2.考點三等比數列的性質及應用|(1)(2015·衡陽聯考)若函數f(x)log2，在等比數列an中，a2

9、·a5·a88，則f(a1)f(a2)f(a9)()a9b8c7 d10解析因為a2·a5·a88，所以a52，f(a1)f(a2)f(a9)log2log2log2log2log2log2log2299，故選a.答案a(2)設等比數列an中，前n項和為sn，已知s38，s67，則a7a8a9()a. bc. d.解析因為a7a8a9s9s6，在等比數列中s3，s6s3，s9s6也成等比，即8，1，s9s6成等比，所以有8(s9s6)(1)2，s9s6，即a7a8a9.答案a等比數列常見性質的應用等比數列的性質可以分為三類：通項公式的變形，等比中項的變形

10、，前n項和公式的變形根據題目條件，認真分析，發(fā)現具體的變化特征即可找出解決問題的突破口 2(2015·呼和浩特調研)已知等比數列an的公比q>0，且a5·a74a，a21，則a1()a. b.c. d2解析：利用等比數列的性質求出公比，再求解a1.因為an是等比數列，所以a5a7a4a，所以a62a4，q22，又q>0，所以q，a1，故選b.答案：b3等比數列an的首項a11，前n項和為sn，若，則公比q_.解析：由，a11知公比q1，.由等比數列前n項和的性質知s5，s10s5，s15s10成等比數列，且公比為q5，故q5，q.答案：18.分類討論思想在等比數

11、列中的應用【典例】(2015·高考湖南卷)設數列an的前n項和為sn，已知a11，a22，且an23snsn13，nn*.(1)證明：an23an；(2)求sn.思路點撥(1)利用數列遞推關系式，結合an和sn的關系得出結論；(2)利用分類討論思想寫出數列通項，結合等比數列再進行分類求和解(1)證明：由條件，對任意nn*，有an23snsn13，因而對任意nn*，n2，有an13sn1sn3.兩式相減，得an2an13anan1，即an23an，n2.又a11，a22，所以a33s1s233a1(a1a2)33a1.故對一切nn*，an23an.(2)由(1)知，an0，所以3，于是

12、數列a2n1是首項a11，公比為3的等比數列；數列a2n是首項a22，公比為3的等比數列，因此a2n13n1，a2n2×3n1.于是s2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1)，從而s2n1s2na2n2×3n1(5×3n21)綜上所述，sn方法點評分類討論思想在等比數列中應用較多，常見的分類討論有：(1)已知sn與an的關系，要分n1，n2兩種情況(2)等比數列中遇到求和問題要分公比q1，q1討論(3)項數的奇、偶數討論(4)等比數列的單調性的判斷注意與a1，q的取值的討論跟蹤練習已知數列an的前n項和

13、snan1(a0)，則an()a一定是等差數列b一定是等比數列c或者是等差數列，或者是等比數列d既不可能是等差數列，也不可能是等比數列解析：snan1(a0)，an即an當a1時，an0，數列an是一個常數列，也是等差數列；當a1時，數列an是一個等比數列答案：ca組考點能力演練1(2016·太原一模)已知等比數列an單調遞減，若a31，a2a4，則a1()a2 b4c. d2解析：設等比數列an的公比為q，q>0，則aa2a41，又a2a4，且an單調遞減，所以a22，a4，q2，q，所以a14，故選b.答案：b2已知數列an的前n項和為sn，且snan2n(nn*)，則下列

14、數列中一定為等比數列的是()aan ban1can2 dsn解析：由snan2n(nn*)可得sn1an12(n1)(n2，nn*)，得anan11(n2，nn*)，所以an2(an12)(n2，nn*)，且a11，a1210，所以an2一定是等比數列，故選c.答案：c3已知等比數列an的前n項積為tn，且公比q1，若t7128，則()aa42 ba52ca62 da12解析：因為tn為等比數列an的前n項積，所以t7a128，則a42，故選a.答案：a4設sn是等比數列an的前n項和，若2a13a21，a33a4，則2snan()a1 b.c. d2解析：設等比數列an的公比為q，因為2a1

15、3a21，a33a4，所以2a13a1q1，a1q23a1q3，由得q，代入得a1，所以ana1qn1n，sn×，則2snan1.答案：a5(2015·衡水二模)已知sn是等比數列an的前n項和，a1，9s3s6，設tna1a2a3··an，則使tn取最小值的n的值為()a3 b4c5 d6解析：設等比數列an的公比為q，由9s3s6知，q1，故，解得q2，又a1，所以ana1qn1.因為tna1a2a3··an，故當tn取最小值時，an1，且an11，即則n5，故選c.答案：c6若正項數列an滿足a2，a6，且(n2，nn*)，則l

16、og2a4_.解析：由(n2，nn*)可得數列an是等比數列，所以aa2a6，又a4>0，則a4，故log2a4log2 3.答案：37已知在等比數列an中，a5a116，a6a107，則的值是_解析：因為an是等比數列，所以a5a11a6a106，又a6a107，解得或設an的公比為q，則q46或，q2或，所以或.答案：或8等比數列的首項是1，前n項和為sn，如果，則s4的值是_解析：由已知得1q5，故q5，解得q，s4.答案：9(2015·陜西一檢)已知正整數數列an是首項為2的等比數列，且a2a324.(1)求數列an的通項公式；(2)設bn，求數列bn的前n項和tn.解

17、：(1)設正整數數列an的公比為q，則2q2q224，q3，an2×3n1.(2)bn，tn，tn.由，得tn.tn.10已知等比數列an的前n項和是sn，s18s978.(1)求證：s3，s9，s6依次成等差數列；(2)a7與a10的等差中項是否是數列an中的項？如果是，是an中的第幾項？如果不是，請說明理由解：(1)證明：設等比數列an的公比為q，若q1，則s1818a1，s99a1，s18s92178，q1.s18(1q18)，s9(1q9)，s18s91q9.1q9，解得q2.s3×，s6×，s9(1q9)×.s9s3×，s6s9

18、15;，s9s3s6s9.s3，s9，s6依次成等差數列(2)a7與a10的等差中項等于，設a7與a10的等差中項是數列an中的第n項，則a1(2)n1，化簡得(2)(2)4，即4，解得n13.a7與a10的等差中項是數列an中的第13項b組高考題型專練1(2014·高考大綱全國卷)等比數列an中，a42，a55，則數列l(wèi)g an的前8項和等于()a6 b5c4 d3解析：lg a1lg a2lg a8lg(a1·a2··a8)lg(a4·a5)4lg(2×5)44，故選c.答案：c2(2015·高考全國卷)已知等比數列an滿足a1，a3a54(a41)，則a2()a2 b1c. d.解析：設等比數列an的公比為q，a1，a3a54(a41)，由題可知q1，則a1q2×a1q44(a1q31)，×q64，q616q3640，(q38)20，q38，q2.a2，故選c.答案：c3(2015·高考全國卷)在數列an中，