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文檔簡介
1、淘寶店鋪:漫兮教育第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和等比數(shù)列(1)理解等比數(shù)列的概念(2)掌握等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式(3)能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題(4)了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系知識點一等比數(shù)列的相關(guān)概念公式相關(guān)名詞等比數(shù)列an的有關(guān)概念及公式定義q(q是常數(shù)且q0,nn)或q(q是常數(shù)且q0,nn且n2)通項公式ana1qn1(n2,nn)前n項和公式sn等比中項設(shè)a,b為任意兩個同號的實數(shù),則a,b的等比中項g±易誤提醒1在等比數(shù)列中易忽視每項與公比都不為0.2在運用等比數(shù)列的前n項和公式時,必須對q1與q1分類討論,防止因忽略q1
2、這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤自測練習(xí)1在等比數(shù)列an中,若a1<0,a218,a48,則公比q等于()a. b.c d.或解析:由解得或又a1<0,因此q.答案:c2等比數(shù)列x,3x3,6x6,的第四項等于()a24 b0c12 d24解析:由題意知(3x3)2x(6x6),即x24x30,解得x3或x1(舍去),所以等比數(shù)列的前3項是3,6,12,則第四項為24.答案:a知識點二等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)數(shù)列an是等比數(shù)列,sn是其前n項和1若mnpq,則amanapaq,其中m,n,p,qn.特別地,若2spr,則apara,其中p,s,rn.2相隔等距離的項組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列,即ak,
3、akm,ak2m,仍是等比數(shù)列,公比為qm(k,mn)3若數(shù)列an,bn是兩個項數(shù)相同的等比數(shù)列,則數(shù)列ban,pan·qbn和(其中b,p,q是非零常數(shù)),也是等比數(shù)列4smnsnqnsmsmqmsn.5當q1,或q1且k為奇數(shù)時,sk,s2ksk,s3ks2k,是等比數(shù)列6若a1·a2··antn,則tn,成等比數(shù)列7若數(shù)列an的項數(shù)為2n,則q;若項數(shù)為2n1,則q.易誤提醒1在性質(zhì)中,當q1且k為偶數(shù)時,sk,s2ksk,s3ks2k,不是等比數(shù)列2在運用等比數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)時,要注意字母間的上標、下標的對應(yīng)關(guān)系自測練習(xí)3在等比數(shù)列an中,
4、若a3a5a73,則a2a8()a3 b.c9 d13解析:由a3a5a73,a3,又a2a8a3.答案:a4(2015·唐山期末)設(shè)sn是等比數(shù)列an的前n項和,若3,則()a2 b.c. d1或2解析:設(shè)s2k,s43k,由數(shù)列an為等比數(shù)列,得s2,s4s2,s6s4為等比數(shù)列,s2k,s4s22k,s6s44k,s67k,s43k,故選b.答案:b考點一等比數(shù)列的基本運算|1(2015·高考全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a13,a1a3a521,則a3a5a7()a21 b42c63 d84解析:由于a1(1q2q4)21,a13,所以q4q260,所以q22(q23
5、舍去),所以a36,a512,a724,所以a3a5a742.故選b.答案:b2已知等比數(shù)列an的前n項和為sn,且s37a1,則數(shù)列an的公比q的值為()a2 b3c2或3 d2或3解析:因為s3a1a2a37a1,所以a2a36a1,即a1qa1q26a1,q2q60,解得q2或3,故選c.答案:c3(2016·唐山一模)已知等比數(shù)列an的前n項和為sn,且a1a3,a2a4,則()a4n1 b4n1c2n1 d2n1解析:設(shè)an的公比為q,由可得2,q,代入得a12,an2×n1,sn4,2n1,選d.答案:d解決等比數(shù)列有關(guān)問題的常用思想方法(1)方程的思想:等比數(shù)
6、列中有五個量a1,n,q,an,sn,一般可以“知三求二”,通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q,問題可迎刃而解(2)分類討論的思想:等比數(shù)列的前n項和公式涉及對公比q的分類討論,當q1時,an的前n項和snna1;當q1時,an的前n項和sn.考點二等比數(shù)列的判定與證明|已知數(shù)列an的前n項和為sn,數(shù)列bn中,b1a1,bnanan1(n2),且ansnn.(1)設(shè)cnan1,求證:cn是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列bn的通項公式解(1)證明:ansnn,an1sn1n1,得an1anan11,即2an1an1,2(an11)an1,即2cn1cn.由a1s11得a1,c1a11,從而cn0,.所以
7、數(shù)列cn是以為首項,為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知cn×n1n,又cnan1,ancn11n,當n2時,bnanan11nn1nn,又b1a1,適合上式,故bnn.等比數(shù)列的判定方法(1)定義法:若q(q為非零常數(shù),nn*),則an是等比數(shù)列(2)等比中項法:若數(shù)列an中,an0且aan·an2(nn*),則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項公式法:若數(shù)列通項公式可寫成anc·qn(c,q均是不為0的常數(shù),nn*),則an是等比數(shù)列 1已知數(shù)列an的前n項和為sn,a11,sn14an2.(1)設(shè)bnan12an,證明:數(shù)列bn是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列an的通項公式解
8、:(1)證明:sn14an2,s24a12,即a1a24a12,a23a125,b1a22a13.又an1sn1sn4an2(4an12)4an4an1(n2),an12an2(an2an1)(n2),即bn2bn1(n2),又b13,則bn0,2(n2)從而數(shù)列bn是以3為首項,以2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)知bn3·2n1,即an12an3·2n13且2,數(shù)列是首項為2,公差為3的等差數(shù)列,2(n1)×33n1,an(3n1)·2n2.考點三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用|(1)(2015·衡陽聯(lián)考)若函數(shù)f(x)log2,在等比數(shù)列an中,a2
9、·a5·a88,則f(a1)f(a2)f(a9)()a9b8c7 d10解析因為a2·a5·a88,所以a52,f(a1)f(a2)f(a9)log2log2log2log2log2log2log2299,故選a.答案a(2)設(shè)等比數(shù)列an中,前n項和為sn,已知s38,s67,則a7a8a9()a. bc. d.解析因為a7a8a9s9s6,在等比數(shù)列中s3,s6s3,s9s6也成等比,即8,1,s9s6成等比,所以有8(s9s6)(1)2,s9s6,即a7a8a9.答案a等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類:通項公式的變形,等比中項的變形
10、,前n項和公式的變形根據(jù)題目條件,認真分析,發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口 2(2015·呼和浩特調(diào)研)已知等比數(shù)列an的公比q>0,且a5·a74a,a21,則a1()a. b.c. d2解析:利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比,再求解a1.因為an是等比數(shù)列,所以a5a7a4a,所以a62a4,q22,又q>0,所以q,a1,故選b.答案:b3等比數(shù)列an的首項a11,前n項和為sn,若,則公比q_.解析:由,a11知公比q1,.由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知s5,s10s5,s15s10成等比數(shù)列,且公比為q5,故q5,q.答案:18.分類討論思想在等比數(shù)
11、列中的應(yīng)用【典例】(2015·高考湖南卷)設(shè)數(shù)列an的前n項和為sn,已知a11,a22,且an23snsn13,nn*.(1)證明:an23an;(2)求sn.思路點撥(1)利用數(shù)列遞推關(guān)系式,結(jié)合an和sn的關(guān)系得出結(jié)論;(2)利用分類討論思想寫出數(shù)列通項,結(jié)合等比數(shù)列再進行分類求和解(1)證明:由條件,對任意nn*,有an23snsn13,因而對任意nn*,n2,有an13sn1sn3.兩式相減,得an2an13anan1,即an23an,n2.又a11,a22,所以a33s1s233a1(a1a2)33a1.故對一切nn*,an23an.(2)由(1)知,an0,所以3,于是
12、數(shù)列a2n1是首項a11,公比為3的等比數(shù)列;數(shù)列a2n是首項a22,公比為3的等比數(shù)列,因此a2n13n1,a2n2×3n1.于是s2na1a2a2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)(133n1)2(133n1)3(133n1),從而s2n1s2na2n2×3n1(5×3n21)綜上所述,sn方法點評分類討論思想在等比數(shù)列中應(yīng)用較多,常見的分類討論有:(1)已知sn與an的關(guān)系,要分n1,n2兩種情況(2)等比數(shù)列中遇到求和問題要分公比q1,q1討論(3)項數(shù)的奇、偶數(shù)討論(4)等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1,q的取值的討論跟蹤練習(xí)已知數(shù)列an的前n項和
13、snan1(a0),則an()a一定是等差數(shù)列b一定是等比數(shù)列c或者是等差數(shù)列,或者是等比數(shù)列d既不可能是等差數(shù)列,也不可能是等比數(shù)列解析:snan1(a0),an即an當a1時,an0,數(shù)列an是一個常數(shù)列,也是等差數(shù)列;當a1時,數(shù)列an是一個等比數(shù)列答案:ca組考點能力演練1(2016·太原一模)已知等比數(shù)列an單調(diào)遞減,若a31,a2a4,則a1()a2 b4c. d2解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,q>0,則aa2a41,又a2a4,且an單調(diào)遞減,所以a22,a4,q2,q,所以a14,故選b.答案:b2已知數(shù)列an的前n項和為sn,且snan2n(nn*),則下列
14、數(shù)列中一定為等比數(shù)列的是()aan ban1can2 dsn解析:由snan2n(nn*)可得sn1an12(n1)(n2,nn*),得anan11(n2,nn*),所以an2(an12)(n2,nn*),且a11,a1210,所以an2一定是等比數(shù)列,故選c.答案:c3已知等比數(shù)列an的前n項積為tn,且公比q1,若t7128,則()aa42 ba52ca62 da12解析:因為tn為等比數(shù)列an的前n項積,所以t7a128,則a42,故選a.答案:a4設(shè)sn是等比數(shù)列an的前n項和,若2a13a21,a33a4,則2snan()a1 b.c. d2解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因為2a1
15、3a21,a33a4,所以2a13a1q1,a1q23a1q3,由得q,代入得a1,所以ana1qn1n,sn×,則2snan1.答案:a5(2015·衡水二模)已知sn是等比數(shù)列an的前n項和,a1,9s3s6,設(shè)tna1a2a3··an,則使tn取最小值的n的值為()a3 b4c5 d6解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由9s3s6知,q1,故,解得q2,又a1,所以ana1qn1.因為tna1a2a3··an,故當tn取最小值時,an1,且an11,即則n5,故選c.答案:c6若正項數(shù)列an滿足a2,a6,且(n2,nn*),則l
16、og2a4_.解析:由(n2,nn*)可得數(shù)列an是等比數(shù)列,所以aa2a6,又a4>0,則a4,故log2a4log2 3.答案:37已知在等比數(shù)列an中,a5a116,a6a107,則的值是_解析:因為an是等比數(shù)列,所以a5a11a6a106,又a6a107,解得或設(shè)an的公比為q,則q46或,q2或,所以或.答案:或8等比數(shù)列的首項是1,前n項和為sn,如果,則s4的值是_解析:由已知得1q5,故q5,解得q,s4.答案:9(2015·陜西一檢)已知正整數(shù)數(shù)列an是首項為2的等比數(shù)列,且a2a324.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設(shè)bn,求數(shù)列bn的前n項和tn.解
17、:(1)設(shè)正整數(shù)數(shù)列an的公比為q,則2q2q224,q3,an2×3n1.(2)bn,tn,tn.由,得tn.tn.10已知等比數(shù)列an的前n項和是sn,s18s978.(1)求證:s3,s9,s6依次成等差數(shù)列;(2)a7與a10的等差中項是否是數(shù)列an中的項?如果是,是an中的第幾項?如果不是,請說明理由解:(1)證明:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,若q1,則s1818a1,s99a1,s18s92178,q1.s18(1q18),s9(1q9),s18s91q9.1q9,解得q2.s3×,s6×,s9(1q9)×.s9s3×,s6s9
18、15;,s9s3s6s9.s3,s9,s6依次成等差數(shù)列(2)a7與a10的等差中項等于,設(shè)a7與a10的等差中項是數(shù)列an中的第n項,則a1(2)n1,化簡得(2)(2)4,即4,解得n13.a7與a10的等差中項是數(shù)列an中的第13項b組高考題型專練1(2014·高考大綱全國卷)等比數(shù)列an中,a42,a55,則數(shù)列l(wèi)g an的前8項和等于()a6 b5c4 d3解析:lg a1lg a2lg a8lg(a1·a2··a8)lg(a4·a5)4lg(2×5)44,故選c.答案:c2(2015·高考全國卷)已知等比數(shù)列an滿足a1,a3a54(a41),則a2()a2 b1c. d.解析:設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,a1,a3a54(a41),由題可知q1,則a1q2×a1q44(a1q31),×q64,q616q3640,(q38)20,q38,q2.a2,故選c.答案:c3(2015·高考全國卷)在數(shù)列an中,
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