（新高考）2021屆高三第二次模擬考試卷 數(shù)學（四） 教師版

1、此卷只裝訂不密封班級 姓名 準考證號 考場號 座位號 （新高考）2021屆高三第二次模擬考試卷數(shù) 學（四）注意事項：1答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置。2選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4考試結束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。第卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的

2、1已知集合，則中元素的個數(shù)為（ ）A2B3C4D5【答案】B【解析】依題意，其中滿足的有，所以，有個元素，故選B2（ ）ABCD【答案】B【解析】，故選B3已知直線，平面，那么“”是“”的（ ）A充分不必要條件B必要不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若，過直線作平面，交平面于直線，又，又，；若，過直線作平面，交平面于直線，又，故“”是“”的充要條件，故選C4設約束條件，則的最大值為（ ）ABCD【答案】D【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，如圖所示，設目標函數(shù)，則表示平面區(qū)域內(nèi)一動點到定點連線的斜率，結合圖象可得，取點時，能使得取得最大值，又由，解得，所以的最大

3、值為，故選D5從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（ ）A300種B240種C144種D96種【答案】B【解析】分兩步：首先從4人中選1人去巴黎游覽，共有種，其次從剩余5人中選3人到其它三個城市游覽，共有種，共有種，故選B6已知函數(shù)的定義域為，且，當時，若，則實數(shù)的取值范圍為（ ）ABCD【答案】B【解析】令，則，因為，所以，即當時，取，則，當時，此時無解；當時，此時無解；當時，若，則，解得，故，即，解得，實數(shù)的取值范圍為，故選B7在中，點是的中點，線段與交于點，動點在內(nèi)部

4、活動（不含邊界），且，其中、，則的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】如下圖所示，連接并延長交于點，設，則，又，則，即，即，因此，的取值范圍是，故選D8我國古代數(shù)學名著孫子算經(jīng)載有一道數(shù)學問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩二，七七數(shù)之剩二，問物幾何?”根據(jù)這一數(shù)學思想，所有被3除余2的正整數(shù)從小到大組成數(shù)列，所有被5除余2的正整數(shù)從小到大組成數(shù)列，把數(shù)與的公共項從小到大得到數(shù)列，則下列說法正確的是（ ）ABCD【答案】C【解析】根據(jù)題意數(shù)列是首項為2，公差為3的等差數(shù)列，；數(shù)列是首項為2，公差為5的等差數(shù)列，；數(shù)列與的公共項從小到大得到數(shù)列，故數(shù)列是首項為2，公差為15的等

5、差數(shù)列，對于A，錯誤；對于B，錯誤；對于C，正確；對于D，錯誤，故選C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分9以下四個命題表述正確的是（ ）A直線恒過定點B圓上有且僅有3個點到直線的距離都等于1C曲線與曲線恰有三條公切線，則D已知圓，點為直線上一動點，過點向圓引兩條切線、，、為切點，則直線經(jīng)過定點【答案】BCD【解析】對于選項A：由可得，由，可得，所以直線恒過定點，故選項A不正確；對于選項B：圓心到直線的距離等于，圓的半徑，平行于且距離為1的兩直線分別過圓心以及和圓相切，故圓上有且僅有3個點到

6、直線的距離等于，故選項B正確；對于選項C：由，可得，圓心，由，可得，圓心，由題意可得兩圓相外切，所以，即，解得，故選項C正確；對于選項D：設點坐標為，所以，即，因為、分別為過點所作的圓的兩條切線，所以，所以點在以為直徑的圓上，以為直徑的圓的方程為，整理可得，與已知圓相減可得，消去，可得，即，由，可得，所以直線經(jīng)過定點，故選項D正確，故選BCD10在中，下列說法正確的是（ ）A若，則B存在滿足C若，則為鈍角三角形D若，則【答案】ACD【解析】對于A選項，若，則，則，即，故A選項正確；對于B選項，由，則，且，在上遞減，于是，即，故B選項錯誤；對于C選項，由，得，在上遞減，此時：若，則，則，于是；若

7、，則，則，于是，故C選項正確；對于D選項，由，則，則，在遞增，于是，即，同理，此時，所以D選項正確，故選ACD11在發(fā)生公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構認為該事件在一段時間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”過去10日，A、B、C、D四地新增疑似病例數(shù)據(jù)信息如下，一定符合沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染標志的是（ ）AA地：中位數(shù)為2，極差為5BB地：總體平均數(shù)為2，眾數(shù)為2CC地：總體平均數(shù)為1，總體方差大于0DD地：總體平均數(shù)為2，總體方差為3【答案】AD【解析】對A，因為A地中位數(shù)為2，極差為5，故最大值不會大于故A正確；對B，若B地過去10日分別為，則滿足總體平

8、均數(shù)為2，眾數(shù)為2，但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，故B錯誤；對C，若C地過去10日分別為，則滿足總體平均數(shù)為1，總體方差大于0，但不滿足每天新增疑似病例不超過7人，故C錯誤；對D，利用反證法，若至少有一天疑似病例超過7人，則方差大于，與題設矛盾，故連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人，故D正確，故選AD12已知函數(shù)，若，且，則下列結論正確的是（ ）ABCD【答案】BCD【解析】由函數(shù)解析式可得圖象如下：由圖知：，而當時，有，即或2，而，知：，故選BCD第卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分13已知雙曲線的左、右焦點分別為，點，則的角平分線所在直線的斜率為_【答案】1【解析】由題意知

9、，的半焦距，故，設的角平分線與軸交于，由角平分線定理可知，故，解得，即，故的角平分線所在直線的斜率，故答案為114對于三次函數(shù)，給出定義：設是函數(shù)的導數(shù)，是的導數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”某同學經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心若，則函數(shù)的對稱中心為_，_【答案】，2018【解析】因為，所以，由，即，解得，由題中給出的結論，所以函數(shù)的對稱中心為所以，即故，所以，故答案為，201815函數(shù)，有下列命題：的表達式可改寫為；直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸；函數(shù)的圖象可以由函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到；滿足的的取值范圍是其中正

10、確的命題序號是_（注：把你認為正確的命題序號都填上）【答案】【解析】，故正確；當時，故錯誤；因為函數(shù)的圖象向右平移個單位長度得到，而，故錯誤；由可得，解得，所以，解得，故正確，故答案為16在棱長為的正四面體中，點分別為直線上的動點，點為中點，為正四面體中心（滿足），若，則長度為_【答案】【解析】將正四面體放在棱長為4的正方體中，則，為正方體的中心，設分別是的中點，則是的中點，連接，設的中點為，連接，因為是的中位線，所以，同理，因為，所以，所以，即，則，所以，因為，所以，因為，所以平面，所以，在中，故答案為四、解答題：本大題共6個大題，共70分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17（10分

11、）的內(nèi)角的對邊分別為已知（1）求；（2）若，當?shù)闹荛L最大時，求它的面積【答案】（1）；（2）【解析】（1）由正弦定理得，（2）由余弦定理得，（當且僅當時取等號），當時，取得最大值，此時18（12分）如圖，三棱柱中，側面，已知，點E是棱的中點（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）證明：，由余弦定理可知，側面，且面，又，平面，平面（2）由（1）知，以B為坐標原點，BC為x軸，為y軸，BA為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的法向量為，由，得；同理，設平面的法向量為，由，得，故，由題意二面角是銳二面角，故二面角的余弦值為19（12分）魔方，

12、又叫魯比克方塊，最早是由匈牙利布達佩斯建筑學院厄爾諾·魯比克教授于1974年發(fā)明的魔方與華容道、獨立鉆石棋一起被國外智力專家并稱為智力游戲界的三大不可思議，而魔方受歡迎的程度更是智力游戲界的奇跡通常意義下的魔方，即指三階魔方，為的正方體結構，由個色塊組成常規(guī)競速玩法是將魔方打亂，然后在最短的時間內(nèi)復原截至2020年，三階魔方還原官方世界紀錄是由中國的杜宇生在2018年11月24日于蕪湖賽打破的紀錄，單次秒（1）某魔方愛好者進行一段時間的魔方還原訓練，每天魔方還原的平均速度(秒)與訓練天數(shù)(天)有關，經(jīng)統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù)：（天）（秒）現(xiàn)用作為回歸方程類型，請利用表中數(shù)據(jù)，求出該回歸方程，

13、并預測該魔方愛好者經(jīng)過長期訓練后最終每天魔方還原的平均速度約為多少秒(精確到) ?參考數(shù)據(jù)（其中）參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，（2）現(xiàn)有一個復原好的三階魔方，白面朝上，只可以扭動最外側的六個表面某人按規(guī)定將魔方隨機扭動兩次，每次均順時針轉動，記頂面白色色塊的個數(shù)為，求的分布列及數(shù)學期望【答案】（1），每天魔方還原的平均速度約為秒；（2）分布列見解析，【解析】（1）由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，可得，所以，因此關于的回歸方程為，所以最終每天魔方還原的平均速度約為秒（2）由題意，可得隨機變量的取值為，可得，所以的分布列為：所以20（12分）已知橢圓的

14、上、下頂點分別為，為直線上的動點，當點位于點時，的面積，橢圓上任意一點到橢圓的左焦點的最短距離為（1）求橢圓的方程；（2）連接，直線分別交橢圓于（異于點）兩點，證明：直線過定點【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）因為橢圓的上、下頂點分別為，點，的面積，所以，基底，又因為橢圓上任意一點到橢圓的左焦點的最短距離為，設是橢圓上任意一點，則，對稱軸，所以在區(qū)間上遞增，則時，即，又，解得，所以橢圓方程為（2）設，由題意得，直線PA，PB的斜率存在，設，由，得；由，得，所以，化簡得，所以直線過定點21（12分）已知正三角形，某同學從點開始，用擦骰子的方法移動棋子，規(guī)定：每擲一次骰子，把一枚棋子從三角形的一個頂點移動到另一個頂點；棋子移動的方向由擲骰子決定，若擲出骰子的點數(shù)大于3，則按逆時針方向移動：若擲出骰子的點數(shù)不大于3，則按順時針方向移動設擲骰子次時，棋子移動到，處的概率分別為：，例如：擲骰子一次時，棋子移動到，處的概率分別為，（1）擲骰子三次時，求棋子分別移動到，處的概率，；（2）記，其中，求【答案】（1），；（2）【解析】（1）；，所以；，所以；，所以（2），即，又，時，又，可得，由，可得數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)