2019初中數(shù)學輔助線專項突破 專題1——中點專題 中點常見輔助線的作法

1、第 一 章中 點 專 題三 角 形 是 初 中 幾 何 的 重 要 內 容 之 一 ， 也 是 歷 年 中 考 命 題 的 熱 點 。 其 中 ， 三 角 形 各 邊 的 中 點 、 中 線 及 中 位 線 的 有 關 性 質 的 應 用 ， 是 中 考 的 必 考 內 容 ， 歷 年 多 以 計 算 和 證 明 題 的 形 式 出 現(xiàn) 。 我 們 預 計 與 中 點 有 關 的 操 作 性 試 題 和 綜 合 性 的 探 究 題 將 是 今 后 幾 年 中 考 數(shù) 學 的 重 點 題 型 。方法技巧提煉與中點有關的輔助線，我們總結下列四種類型：類型一 見中線，可倍長1.倍長中線或類中線（與中

2、點有關的線段）構造全等三角形或平行四邊形2.有些幾何題在利用“倍長中線”證完一次全等三角形后，還需再證一次全等三角形，即“二次 全等”.在證明第二次全等時，難點通常會體現(xiàn)在倒角上.常見的倒角方法有：“8”字型(如圖 1-8) ；平行線；180° (平角；三角形內角和）；360 ° (周角；四邊形內角和）；小旗子（三角形外角）；90° (互余角）類型二 見等腰三角形，想“三線合一”已知等腰三角形底邊的中點，可以考慮與頂點連接，用“三線合一”類型三 見斜邊，想中線已知直角三角形斜邊的中點，可以考慮構造斜邊中線，目的是得到三條等線段和兩對等角. 類型四 見多個中點，想中

3、位線已知三角形的兩邊有中點，可以連接這兩個中點構造中位線；已知一邊中點，可以在另一邊上取 中點，連接構造中位線；已知一邊中點，過中點作平行線可構造相似三角形.1精題精講精練類型一 見中線可倍長例題 1.如圖 1-9，在 ABC 中，AD 是 BC 邊上的中線，E 是 AD 上一點，延長 BE 交 AC 于點 F, AF=EF， 求證：AC=BE.【思路提示】AD 是中線，可考慮倍長中線.變式.如圖 1-10，在 ABC 中，AD 交 BC 于點 D，點 E 是 BC 的中點，EF/AD 交 CA 的延長線于點 F， 交 AB 于點 G，若 AD 為三角形 ABC 的角平分線，求證：BG=CF.

4、例題 2.如目 1-11,在 RtABC 中,BAC=90°,點 D 為 BC 的中點，點 E,F 分別為 AB,AC 上的點,且 EDFD,以線段 BE、EF、FC 為邊能否構成一個三角形？若能，該三角形是銳角三角形、直角三角 形還是鈍角三角形？【思路提示】倍長中線 DF,造全等三角形2變式 1.如圖 1-12，已知點 M 為ABC 中 BC 邊上的中點，AMB, AMC 的平分線分別交 AB, AC 于點 E，F(xiàn),連接 EF.求證：BE+CF>EF.變式 2.如圖 1-13，在ABC 中，點 D 是 BC 的 中 點，DMDN，如果 BM2+CM2=DM2+DN2求證：AD

5、2=14(AB2+AC2).例題 3.(豐臺一模）已知 ABC 和AED 是兩個不全等的等腰直角三角形，其中 BA = BC，DA = DE， 連接 EC，取 EC 的中點 M，連接 BM 和 DM.如圖 1-14（1），如果點 D，E分別在邊 AC，AB 上，那么 BM，DM 的數(shù)量關系與位置關系是 ； 將圖 1-14（1）中的ADE 繞點 A 旋轉到圖 1-14（2）的位置，判斷（1）中的結論是否依然成立， 并說明理由.【思路提示】見到中點可考慮倍長中線證全等，得到線段相等和平行線，再證二次全等即可.3檢測 1：如圖 1-15，在 D ABC 中，若 AB=10，AC = 6，求邊上的中線

6、 AD 的取值范圍.檢測 2：如圖 1-16，在DABC 中，D 是 BC 邊上的中點，DE 丄 DF 于點 D，DE 交 AB 于點 E：，DF 交 AC于點 F，連接 EF.求證：BE + CF>EF.4類型二 見等腰三角形，想“三線合一”例題 4.如圖 1-17，一副三角板如圖放置，等腰直角三角板 ABC 固定不動，另一塊三角板的直角頂 點放在等腰直角三角形的斜邊中點 D 處，且可以繞點 D 旋轉，在旋轉過程中，兩直角邊的交點 G, H 始終在邊 AB,BC 上.（1） 在旋轉過程中線段和 CH 大小有何關系？證明你的結論.（2） 若 AB=BC=4cm，在旋轉過程中四邊形的面積是

7、否改變？若不變，求出它的值；若改變，求出 它的取值范圍.（3） 若交點 G，H 分別在邊 AB，BC 的延長線上，則（1）中的結論仍然成立嗎？請畫出相應的圖 形，直接寫出結論.【思路提示】見到中點 D，而且在等腰直角三角形的底邊上，可以想“三線合一”，再證全等.例題 5.如圖 1-18，點 P 是等腰 Rt DABC 底邊 BC 上一點，過點 P 作 BA，AC 的垂線，垂足分別為點 E，F(xiàn),設點 D 為 BC 的中點.求證： DDEF 是等腰直角三角形.【思路提示】欲證明 DDEF 是等腰直角三角形，需證明 DE=DF, DDEF =90 ° , 故只要證明 DDEF DDAF 即

8、可解決.5檢測 1：如圖 1-19， D ABC 是等腰直角三角形，AB=AC，D 是斜邊 BC 的中點，E, F 分別是 AB, AC 邊上的點，且 DE 丄 DF.（1）請說明：DE=DF；（2）請說明：BE2+ CF2= EF2；（3）若 BE=6，CF=8，求 DDEF 的面積.（直接寫結果）類型三 見斜邊，想中線例題 6.如圖 1-20， DABC 中，若B=2C，AD 丄 BC，E 為 BC 邊的中點.求證：AB=2DE. 【思路提示】取斜邊 AC 或 AB 的中點，利用斜邊中線性質和中位線性質.例題 7.如圖 1-21，在 Rt DABC 中， Ð ACB = 90&#

9、176;,點 D，E 分別是 AB, AC 的中點，點 F 在 BC 的 延長線上，且 Ð CEF= Ð A.求證：DE=CF.【思路提示】點 D，E 分別是直角三角形 ABC 斜邊和直角邊的中點，利用斜邊中線的性質和中位線 解題.6檢測 1：如圖 1-22，在 Rt D ABC 中， Ð ACB = 90°，M 是 AB 的中點，E，F(xiàn) 分別是 AC，BC 延長線上的點，且 CE=CF=12AB，則 ÐEMF 的度數(shù)為多少？檢測 2：如圖 1-23，在 RtDACB 中，C 為直角頂點， Ð ABC=25°，O 為斜邊中點

10、.將 OA 繞著點 O 逆時針旋轉 q (0°< q<180°）至 OP，當 DBCP 恰為軸對稱圖形時，q 的值為多少？7類型四 見多個中點，想中位線例題 8.問題一：如圖 1-24 (1)，在四邊形 ABCD 中，AB=CD，E，F(xiàn) 分別是 BC，AD 的中點，連接 EF 并延長，分別與 BA，CD 的延長線交于點 M，N.求證： Ð BME= Ð CNE.問題二：如圖 1-24 (2)，在四邊形 ADBC 中，AB 與 CD 相交于點 O，AB=CD，E，F(xiàn) 分別是 BC，AD 的中點，連接 EF，分別交 DC，AB 于點 M，N，判斷

11、 DOMN 的形狀，請直接寫出結論.問題三：如圖 1-24 (3)，在 DABC 中，AC>AB，點 D 在 AC 上，AB=CD，E，F(xiàn) 分別是 BC，AD 的中點， 連接 EF 并延長，與 BA 的延長線交于點 G，連接 GD。若 Ð EFC=60°，判斷 DAGD 的形狀并證明. 【思路提示】見到兩個中點，想到中位線;又 AB, CD 相等不共點，想到可以通過平移轉移使它們 共端點，這個可由取中點構造中位線實現(xiàn).例題 9.如圖 1-25，已知 DABC 中，AB=AC，CE 是 AB 邊上的中線，延長 AB 到點 D，使 BD=AB.求證： CD=2CE.【思路提示】點 B，E 都是中點，可以嘗試倍長中線，或構造中位線8檢測 1：如圖 1-26，在 ABC 中，點 O 是重心，BC=10，連接 AO