淺談逆矩陣的求法及其應用論文

1、本科生畢業(yè)論文（設計）冊論文（設計）題甘：談逆矩陣的求法及其應用畢業(yè)設計（論文）原創(chuàng)性聲明和使用授權說明原創(chuàng)性聲明本人鄭重承諾：所呈交的畢業(yè)設計（論文）,是我個人在指導教 師的指導下進行的硏究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加 以標注和致謝的地方外,不包含其他人或組織已經(jīng)發(fā)表或公布過的硏 究成果，也不包含我為獲得及其它教育機構的學位或學歷而使用過的材料。對本研究提供過幫助和做出過貢獻的個人或集體, 均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。作者簽名：日期：指導教師簽名：日期：使用授權說明本人完全了解大學關于收集、保存、使用畢業(yè)設計（論 文）的規(guī)定，即：按照學校要求提交畢業(yè)設計（論文）的印刷本

2、和電 子版本;學校有權保存畢業(yè)設計（論文）的印刷本和電子版,并提供 目錄檢索與閱覽服務；學?？梢圆捎糜坝?、縮e卩、數(shù)字化或其它復制 手段保存論文；在不以贏利為目的前提下，學?？梢怨颊撐牡牟糠?或全部內容。作者簽名： 日 期：學位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的論文是本人在導師的指導下獨立進行硏 究所取得的硏究成果。除了文中特別加以標注弓i用的內容外，本論文 不包含任1可其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫的成果作品。對本文的硏 究做出重要貢獻的個人和集體,均已在文中以明確方式標明。本人完 全意識到本聲明的法律后果由本人承擔。作者簽名：日期：年月日學位論文版權使用授權書本學位論文作者完全了解學校有

3、關保留、使用學位論文的規(guī)定， 同意學校保留并向國家有關部門或機構送交論文的復印件和電子版， 允許論文被查閱和借閱。本人授權大學可以將本學位 論文的全部或部分內容編入有關數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮 印或掃描等復制手段保存和匯編本學位論文。涉密論文按學校規(guī)定處理。作者簽名：日期：年月日導師簽名:日期： 年 月 口注意事項1. 設計（論文）的內容包括：1）封面（按教務處制定的標準封面格式制作）2）原創(chuàng)性聲明3 ）中文摘要（300字左右）、關鍵詞4 ）外文摘要、關鍵詞5）目次頁（附件不統(tǒng)一編入）6）論文主體部分：引言（或緒論）、正文、結論7）參考文獻8）致謝9）附錄（對論文支持必要時）2. 論文

4、字數(shù)要求：理工類設計（論文）正文字數(shù)不少于1萬字（不包括圖紙、程序清單等）z文科類論文正文字數(shù)不少于1. 2萬字。3附件包括：任務書、開題報告、夕卜文譯文、譯文原文（復印件）。4. 文字、圖表要求：1 ）文字通順，語言流暢，書寫字跡工整，打印字體及大小符合要求，無錯 別字”不準請他人代寫2）工程設計類題目的圖紙，要求部分用尺規(guī)繪制，部分用計算機繪制，所有圖紙應符合國家技術標準規(guī)范。圖表整潔，布局合理，文字注釋必須使用工程 字書寫,不準用徒手畫3 ）畢業(yè)論文須用a4單面打印，論文50頁以上的雙面打印4）圖表應繪制于無格子的頁面上5）軟件工程類課題應有程序清單”并提供電子文檔5. 裝訂順序1 ）設

5、計（論文）2 ）附件：按照任務書、開題報告、夕卜文譯文、譯文原文（復印件）次序裝指導教師評閱書指導教師評價:一、撰寫（設計）過程1、學生在論文（設計）過程中的治學態(tài)度、工作精神 優(yōu) 良 中 口及格 不及格2、學生掌握專業(yè)知識、技能的扎實程度優(yōu)良中口及格口不及格3、學生綜合運用所學知識和專業(yè)技能分析和解決問題的能力優(yōu)良中口及格口不及格4、硏究方法的科學性；技術線路的可行性；設計方案的合理性優(yōu)良中口及格不及格5、完成畢業(yè)論文（設計）期間的岀勤情況優(yōu)良中口及格口不及格二、論文（設計）質量1、論文（設計）的整體結構是否符合撰寫規(guī)范?優(yōu)良中口及格口不及格2、是否完成指定的論文（設計）任務（包括裝訂及附件

6、）?優(yōu)良中口及格口不及格三、論文（設計）水平1、論文（設計）的理論意義或對解決實際問題的指導意義 優(yōu) 良 中 口及格 不及格2、論文的觀念是否有親斤意?設計是否有創(chuàng)意？優(yōu)良中口及格口不及格3、論文（設計說明書）所體現(xiàn)的整體水平優(yōu)良中口及格口不及格建議成績：口優(yōu)rs 口及格 口不及格（在所選等級前的內畫）評閱教師評閱書評閱教師評價:一、論文（設計）質量1、論文（設計）的整體結構是否符合撰寫規(guī)范?優(yōu)良中口及格口不及格2、是否完成指定的論文（設計）任務（包括裝訂及附件）?優(yōu)良中口及格口不及格二. 論文（設計）水平1、論文（設計）的理論意義或對解決實際問題的指導意義優(yōu) 良 中 口及格 口不及格2、論文

7、的觀念是否有新意?設計是否有創(chuàng)意？優(yōu)良中口及格不及格3、論文（設計說明書）所體現(xiàn)的整體水平優(yōu)良中口及格口不及格建議成績：優(yōu)良 中 及格 不及格（在所選等級前的內畫）教研室（或答辯小組）及教學系意見教研室（或答辯小組）評價: -答辯過程1、畢業(yè)論文（設計）的基本要點和見解的敘述情況優(yōu) 良 中 口及格 不及格2、對答辯問題的反應、理解、表達情況優(yōu)良中口及格不及格3、學生答辯過程中的精神狀態(tài)優(yōu)良中口及格不及格 二.論文（設計）質量1、論文（設計）的整體結構是否符合撰寫規(guī)范?優(yōu) 良 中 口及格 口不及格2、是否完成指定的論文（設計）任務（包括裝訂及附件）? 優(yōu) 良 中 口及格 不及格三. 論文（設計）

8、水平1、論文（設計）的理論意義或對解決實際問題的指導意義 優(yōu) 良 中 口及格 口不及格2、論文的觀念是否有新意?設計是否有創(chuàng)意？優(yōu) 良 中 口及格不及格不及格（簽名）月 日3、論文（設計說明書）所體現(xiàn)的整體水平優(yōu) 良 中 口及格 不及格評定成績：優(yōu)良 中 口及格教研室主任（或答辯小組組長）:教學系意見:大學本科畢業(yè)論文（設計）任務書論文（設計）題目：淺談逆矩陣的求法及其應用1、論文（設計）研究目標及主要任務研究幾種可逆矩陣求逆的求法，進一步了解逆矩陣的一些在實際屮的應用.2、論文（設計）的主要內容先介紹矩陣和逆矩陣的基礎知識知識，然后是求逆矩陣的方法,最后是逆矩陣的兒個應用.3、論文（設計）的

9、基礎條件及研究路線矩陣是數(shù)學中的一個重要工具，矩陣及逆矩陣的相關基礎知識，矩陣可逆的條件，可逆矩 陣求逆的方法，逆矩陣的應用.4、主要參考文獻【1】葛紅軍、陽軍著.矩陣方法，浙江大學出版社.2 邱森編著.高等代數(shù)，武漢大學出版社.【3】閆慧臻編著.線性代數(shù)及其應用，科學出版社.4 邱森、朱林生編著.高等代數(shù)探究性課題集，武漢大學出版社.5、計劃進度階段起止日期1論文任務書，開題報告2013. 12. 2-2013. 12. 272畢業(yè)論文初稿寫作2014. 12. 30-2014. 3. 283論文二稿寫作，中期檢查2014. 3.31-2014. 4. 154進一步修改，并定稿2014. 4

10、. 20-2014. 5.85論文答辯2014. 5. 10-2014. 5. 16指導教師: 年月口教研室主任: 年月r河北師范大學本科生畢業(yè)論文（設計）開題報告書數(shù)學與信息科學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 2014屆學d姓名秦艷敏論文（設 計）題目淺談逆矩陣的求法及其應用指導教師麻常利專業(yè)職稱教授所屬教 研室數(shù)學教研室研究 方向代數(shù)組合與編 碼課題論證：見附頁方案設計：首先介紹矩陣以及逆矩陣的相關的基礎知識，再詳細介紹幾種求逆矩陣的 方法，最后探究幾個逆矩陣在數(shù)學以及實際屮的應用.進度計劃：1、論文任務書，開題報告2013. 12.2-2013. 12.272、畢業(yè)論文初稿寫作2014. 12.

11、 30-2014. 3. 283、論文二稿寫作，中期檢查 2014. 3.31-2014. 4. 154、進一步修改，并定稿2014.4.20-2014. 5.85、論文答辯.2014.5. 10-2014.5. 16指導教師意見：指導教師簽名：年月 日教研室意見：教研室主任簽名：年 刀 日課題論證（附頁）矩陣是數(shù)學中的一個重要的基本概念，是代數(shù)學的一個主要研究對象，也是數(shù)學 研究和應用的一個重要工具?！熬仃嚒边@個詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了 將數(shù)字的矩陣列區(qū)別丁行列式而發(fā)現(xiàn)了這個術語。而實際上，矩陣這個課題在誕生z 前就已經(jīng)發(fā)展的很好了。從行列式的大量工作中明顯的表現(xiàn)出來，為了很多廿

12、的，不 管行列式的值是否與問題有關，方陣木身都可以研究和使用，矩陣的許多基木性質也 是在行列式的發(fā)展屮建立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應先丁行列式的概念，然而 在歷史上次序止好相反。根據(jù)世界數(shù)學發(fā)展記載，矩陣概念產(chǎn)生于19世紀50年代，是為了解線性方程組 的需要而產(chǎn)生的。然而，在公元前我國就已經(jīng)有了矩陣的萌芽。在我國的九章算術 一書屮已經(jīng)有所描述，只是沒有將它作為一個獨立的概念加以研究，而僅用它解決實 際問題，所以沒能形成獨立的矩陣理論。1850年，英國數(shù)學家西爾維斯特(sylvester, 18141897)在研究方程的個數(shù)與 未知數(shù)的個數(shù)不相同的線性方程組是，由于無法使用行列式，所以引入了

13、矩陣的概念。 1855年，英國數(shù)學家凱萊(caylag, 18211895)在研究線性變換下的不變量時，為 了簡潔、方便，引入了矩陣的概念。1858年，凱萊在矩陣論的研究報告屮定義了兩個矩陣相等、相加以及數(shù)與矩 陣的數(shù)乘等運算和算律，同時，定義了零矩陣、單位矩陣等特殊矩陣，更重要的是在 該文屮他給出了矩陣相乘、矩陣可逆等概念，以及利用伴隨矩陣求逆矩陣的方法，證 明了有關的算律，如矩陣乘法有結合律，沒有交換律。兩個非零矩陣乘積可以為零矩 陣等結論，定義了轉置陣、對稱陣、反對稱陣等概念。1878年，德國數(shù)學家弗洛伯紐斯(frobeniws, 18491917)在他的論文中引入了 入矩陣的行列式因子

14、、不變因子和初等因子，同時給出了正交矩陣的定義，1879年， 他又在自己的論文中引進矩陣秩的概念。矩陣的理論發(fā)展非常迅速，到19世紀末，矩陣理論體系已基木形成。到20世紀, 矩陣理論得到了進一步的發(fā)展。目前，它已經(jīng)發(fā)展稱為在物理、控制論、機器人學、 生物學、經(jīng)濟學等學科有大量應用的數(shù)學分支。矩陣是從許多實際問題的計算中抽象出來的一個極其重要的數(shù)學概念，在討論線 性方程組的解的存在性與解的結構時，這些解及其結構與系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質 密切相關。矩陣不僅是解方程組的強冇力工具，也是線性空間中線性變換的最直接表 現(xiàn)形式，甚至在數(shù)學的其他分支、物理學、工程科學領域、經(jīng)濟學及其他社會科學領 域有著廣

15、泛的應用。例如在解析幾何中考慮坐標變換時，如果只考慮坐標系的轉軸（逆 時針旋轉），將坐標xoy逆時針旋轉某角度得到新坐標，我們可以利用坐標變換公式 可以用矩陣表示該坐標進行了怎樣的變換，即坐標變換的矩陣。二次曲線的一般方程 形式的左邊可以簡單地寫作矩陣的形式。再冇在討論國民經(jīng)濟的數(shù)學問題中也常常用 到矩陣，關于企業(yè)內部各部門之間的生產(chǎn)與分配之間的數(shù)量關系，往往可以利用矩陣 進行分析。河北師范大學本科生畢業(yè)論文（設計）文獻綜述矩陣是數(shù)學屮的一個重要的基本概念，是代數(shù)學的一個主要研究對象，也是數(shù)學研究 和應用的一個重要工具。“矩陣”這個詞是由西爾維斯特首先使用的，他是為了將數(shù)字的 矩陣列區(qū)別于行列

16、式而發(fā)現(xiàn)了這個術語。而實際上，矩陣這個課題在誕生之前就已經(jīng)發(fā)展 的很好了。從行列式的大量工作屮明顯的表現(xiàn)出來，為了很多目的，不管行列式的值是否 與問題有關，方陣本身都可以研究和使用，矩陣的許多基本性質也是在行列式的發(fā)展中建 立起來的。在邏輯上，矩陣的概念應先于行列式的概念，然而在歷史上次序正好相反。先把矩陣作為一個獨立的數(shù)學概念提出來，并發(fā)表了關于這個題目的一系列文章。凱 萊同研究線性變換下的不變量相結合，首先引進矩陣以簡化記號。1858年，他發(fā)表了關 于這一課題的第一篇論文矩陣論的研究報告，系統(tǒng)地闡述了關于矩陣的理論。文中他 定義了矩陣的相等、矩陣的運算法則、矩陣的轉置以及矩陣的逆等一系列基

17、本概念，指出 了矩陣加法的可交換性與可交換性。另外，凱萊述給出了方陣的特征方程個特征根（特征 值）以及有關矩陣的一些基本結果。矩陣是從許多實際問題的計算中抽象出來的一個極其重要的數(shù)學概念,在討論線性方 程組的解的存在性與解的結構時，這些解及其結構與系數(shù)矩陣和增廣矩陣的性質密切相 關。矩陣不僅是解方程組的強冇力工具，也是線性空間中線性變換的最直接表現(xiàn)形式，m 至在數(shù)學的其他分支、物理學、工程科學領域、經(jīng)濟學及其他社會科學領域有著廣泛的應 用。例如在解析幾何中考慮坐標變換時，如果只考慮坐標系的轉軸（逆時針旋轉），將坐 標xoy逆時針旋轉某角度得到新處標，我們可以利用處標變換公式可以用矩陣表示該處標

18、 進行了怎樣的變換，即坐標變換的矩陣。二次曲線的一般方程形式的左邊可以簡單地寫作 矩陣的形式。再有在討論國民經(jīng)濟的數(shù)學問題屮也常常用到矩陣，關于企業(yè)內部各部門z 間的生產(chǎn)與分配之間的數(shù)量關系，往往可以利用矩陣進行分析。求解可逆矩陣的逆矩陣有多種方法，陳東升的線性代數(shù)與空間解析兒何及其應用 屮詳細介紹了用初等變換法求解可逆矩陣的逆矩陣。逆矩陣的應用也是多方面的，在矩 陣方法一書中，作者列舉了逆矩陣在實際中的幾個應用，比如有逆矩陣在解矩陣方陣中 的應用、逆矩陣在解線性方程組屮的應用、逆矩陣在信息傳輸屮的應用等等。河北師范大學本科生畢業(yè)論文（設計）翻譯文章摘自張文博.線性代數(shù)（第7版）求解線性方程組

19、或許是數(shù)學問題中最重要的問題。超過75%的科學研究和工程應用中 的數(shù)學問題，在某個階段都涉及求解線性方程組。利用新的數(shù)學方法，通?？梢詫⑤^為復 雜的問題化為線性方程組。線性方程組廣泛應用于商業(yè)、經(jīng)濟學、社會學、生態(tài)學、人口 統(tǒng)計學、遺傳學、屯子學、工程學以及物理學等領域。一般地，如果的線性方程組可以化簡為嚴格三角形式，則它將有一個唯一解， 并可通過三角形方程組的回代法得到。我們可將化簡的過程看成是一個n-1步的算法。第 一步，從矩陣的第一列所有非零元中選擇一個主元。包含主元的行稱為主行（pivotal row） o交換行（若需要）使得主行稱為第一行。然后其余葉1行減去主行的某個倍數(shù)， 使得從第

20、二到第n行中的第一個元為0.第二步，從矩陣的第二行到第n行屮選擇第二列 的一個非零元作為主元，將包含主元的行作為主行，消去第二列屮主元下而的所有元。從 第三列到第n-l列重復相同的過程。注意，在第二步中，第一行和第一列的元素并不發(fā)生 變化；進行第三步時，前兩行以及前兩列的元素保持不變，以此類推。在每一個步驟中, 方程組的維數(shù)實際上有效減少lo如果能像上述方式進行消元過程，曠1步之后，即口j得到一個等價的嚴格三角形方程 組。然而，上述過程中，如果在任何一步所有可能選擇的主元均為0,此時該過程就將在 這一步停止。當這種情況發(fā)生時，可以考慮將方程化為某種特殊的梯形或者階梯形。階梯 形的方程組將在下一

21、節(jié)進行討論。他們還可用于nx加的方程組，其中給定一線性方程組x = b,可以在其兩端同乘一系列特殊矩陣，以得到一個等價的行 階梯形方程組。我們將使用的這些特殊矩陣稱為初等矩陣（elementary matrices）。它 們將用來觀察如何計算非奇異矩陣的逆矩陣，以及得到一個重要的矩陣分解。下面從考慮 線性方程組兩端同乘一個非奇界矩陣的作用開始。給定一個x m線性方程組kx = b,可以通過再其兩端同乘一個非奇異的n x m矩陣m, 得到它的一個等價方程組ax = bmax = mb顯然，任何（1）的解也將為（2）的解。另一方面，如兀果為（2）的解，則ax = h因此，這兩個方程組是等價的。為了

22、獲得一個容易求解的等價方程組，我們可以將一系列非奇異矩e.-e,陣應用到 方程的 w 兩端，從而得到一個較為簡單的方程組：ux = c其中u=eea,且c=e&e0。由于e為非奇異的，因此新的方程組和 原有的方程組是等價的。然而，因為m為非奇異矩陣的乘積，故它也是非奇異的。下面將說明三個初等行運算可以用a左乘一個非奇異矩陣來實現(xiàn)。如果從單位矩陣i開始，只進行一次初等行運算，得到的矩陣稱為初等(elementary) 矩陣。分別對應于三類初等行運算，冇三類初等矩陣。類型1第1類初等矩陣由交換矩陣i的兩行得到。類型2第2類初等矩陣由單位矩陣1的某一行乘以一個非零常數(shù)得到。類型3第3類初等矩

23、陣出矩陣i的某一行的倍數(shù)加到另一行得到。一般地，假設e為一斤的初等矩陣，我們可以認為e是由i經(jīng)過一個行運算或一 個列運算得到的。若a為一刃x廠的矩陣，a左乘e的作用就是對a進行相應的運算，若b 為一個加"的矩陣，b右乘e等價于對b進行相應的運算。數(shù)學和統(tǒng)計建模中的一個基木方法是，根據(jù)最小二乘(least squares)擬合平面上 的點集。最小二乘曲線的圖形通常是基本類型的函數(shù)，例如線性函數(shù)、多項式或三角多項 式。出于數(shù)據(jù)可能會有測量誤差或實驗誤差，我們不要求曲線通過所有數(shù)據(jù)點。事實上, 我們需要在所有數(shù)據(jù)點處的y值和逼近曲線相應點處的y值之間誤差的平方和最小意義下 的最佳曲線。最小

24、二乘技術是由勒讓德(a. m. legendre)和高斯(carl friedrich gauss)獨立 地提出的。盡管冇明確的證據(jù)表明，在高斯還是一個學生的時候，早于勒讓德的文章九年 就已經(jīng)提岀這種方法并使用它進行了天文計算，然而有關這個主題的笫一篇文章是勒讓徳 在1806年發(fā)表的。seven j. leon. linear algebra with application ( seventh edition )probably the most important in mathematics is that of solving a system of linear equations

25、-well over 75 percent of all mathematical problems encountered in scientific or industrial applications involve solving a linear system at some stage. by using the methods of modem mathematics ,it is often possible to take a sophisticated problem and reduce it to a single system of linear equations.

26、 linear system arise in applications to such areas as business, economics, sociology, ecology, demography, genetics, electronics, engineering, and physicsin general, if an nxn linear system can be reduced to strictly triangular form, then it will have a unique solution that can be obtained by perfor

27、ming back substitution on the triangular systcm. wc can think of the reduction process as an algorithm involving n-1 step. at the first step, a pivot element is chosen from among the nonzero entries in the first column of the matrix. the row containing the pivot element is called the pivotal row. we

28、 interchange rows (if necessary) so that the pivotal row is the new first row. multiples of the pivotal row are then subtracted from each of the remaining nl rows so as to obtain os in the first entries of 2 through n. at the second step, a pivot element is chosen from the nonzero entries in column

29、2, rows 2 through n, of the matrix. the row containing the pivot is then interchanged with the second row of the matrix and is used as the new pivotal row. multiples of the pivotal row are then subtracted from the remaining n-2 rows so as to eliminate all entries below the pivot in the second column

30、. the same procedure is repeated for columns 3 through n-1. note that at the second step row 1 and column 1 remain unchanged, at the third step the first two rows and first two columns remain unchanged, and so on. at each step, the overall dimensions of the system are effectively reduced by 1 (see f

31、igure li.2).if the elimination process can be carried out as described, we will arrive at an equivalent strictly triangular system after n-1 step. however, the procedure will break down if; at any step, all possible choices for a pivot element are equal to 0. when this happens, the alternative is to

32、 reduce the system to certain special echelon, or staircase-shaped, forms. these echelon forms will be studied in the next section. they will also be used for m x n systems, where mn .given a linear system ax = h, we can multiply both sides by a sequence of special matrices to obtain an equivalent s

33、ystem in row echelon form. the special matrices we will use are called elementary matrices. we will use them to see how to compute the inverse of a nonsingular matrix and also to obtain an important matrix factorization. we begin by considering the effects of multiplying both sides of a linear syste

34、m by a nonsingular matrixgiven an m x n linear system ax = b , we can obtain an equivalent system by multiplying both sides of the equation by a nonsingular m x n matrix m:ax = bmaa = mbclearly, any solution of (1) will also be a solution of (2). on the other hand, if xis a solution of (2), thenm4(m

35、ax)=m4 (mz?)ax = band it follows that the two systems are equivalent.to transform the system ax = b to a simpler form that is easier to solve, we can apply a sequence of nonsingular matrices e - e；, to both sides of the equation. the new system will then be the formux = cwhere u=eea and c=e«eq

36、the transformed system will be equivalent to the original, provided that m=ere】 is nonsingular. however, m is nonsingular, since it is a product of nonsingular matrix.wc will show next that any of the three elementary row operations can be accomplished by multiplying a on the left by a nonsingular m

37、atrix.if we start with the identity matrix i and then perform exactly one elementary row operation, the resulting matrix is called an elementary matrix.there are three types of elementary matrices corresponding to the three types of elementary row operations.type 1 an elementary matrix of type i is

38、a matrix obtained by interchanging two rows of i.type 2 an elementary matrix of type 2 is a matrix obtained by multiplying a row of i by a nonzero constant.type 3 an elementary matrix of type 3 is a matrix obtained from i by adding a multiple of one row to another row.in general, suppose that e is a

39、n n x n elementary matrix. we can think of e as being obtained from i by either a row operation or a column operation. if a is an nxr matrix, pre-multiplying a by e has the effect of performing that same row operation on a. if b is an m x n matrix, post-multiplying b by e is equivalent to performing

40、 that same column operation on b.a standard technique in mathematical and statistical modeling is to find a least squares fit to a set of date points in the plane the least squares curve is usually the graph of a standardtype of function, such as a linear function, a polynomial, or a trigonometric p

41、olynomial. since the data may include errors in measurement or experiment-related inaccuracies, we do not require the curve to pass through all the data points. instead, we require the curve to provide an optimal approximation in the sense that the sum of squares of errors between the y values of th

42、e data points and the corresponding y values of the approximating curve are minimized.the technique of least squares was developed independently by adrien-marie legendre and carl friedrich gauss. the first paper on the subject was published by legendre in 1806, although there is clear evidence that

43、gauss had discovered it as a student nine years prior to legendre's paper and used the method to do astronomical calculations.本科生畢業(yè)論文設計淺談逆矩陣的求法及其應用作者姓名：秦艷敏指導教師:麻常利所在學院：數(shù)學與信息科學學院專業(yè)（系）：數(shù)學與應用數(shù)學班級（屆）：2014屆數(shù)學a班二o四年四月十六日中文摘要、關鍵字11基礎知識21.1矩陣的定義及性質21.2逆矩陣的定義及性質41.3矩陣可逆的充分必要條件川52求逆矩陣的方法52. 1定義法62.2伴隨矩陣法6

44、2.3初等變換法92.4分塊矩陣法102.5解方程組法143逆矩陣的應用163. 1在解線性方程組中的應用163.2在解矩陣方程中的應用183.3 在加密傳輸中的應用 203.4用逆矩陣求不定積分 223.5在投入產(chǎn)出分析中的應用253.6在調配問題中的應用26參考文獻29英文摘要、關鍵字30淺談逆矩陣的求法及其應用數(shù)學與信息科學學院數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)指導教師麻常利作者秦艷敏摘要：本論文主要討論的是可逆矩陣的求法及其簡單的應用。本論文總共分為三個章 節(jié)，第一章簡單的介紹了一些相關的基礎知識，包括矩陣的定義及其性質、逆矩陣的定義 及其性質；第二章介紹了幾種求逆矩陣的方法，詳細介紹了五種求逆矩陣的

45、方法，包括定 義法、伴隨矩陣法、初等變換法、分塊矩陣法、解方程組法，并且分別舉例進行進一步解 釋，并且研究了適用范圍，指出了針對不同的矩陣采用不同的求逆方法；第三章介紹了逆 矩陣的幾個應用，分兩個部分進行舉例，一是在數(shù)學中的應用，二是在實際生活中的應用, 具體包括在解線性方程組中的應用、在解矩陣方程中的應用、在解不定積分中的應用、在 加密傳輸屮的應用、在投入產(chǎn)出分析屮的應用、在調配問題屮的應用。關鍵詞：矩陣逆矩陣伴隨矩陣分塊矩陣初等變換1基礎知識1.1矩陣的定義及性質1.1.1矩陣的定義定義1曲 m x n 個數(shù) a»( i = 1,2,，m； j = l,2,，n）排成的皿行!列的

46、數(shù)表:an ai2 a./a =a21 a22 a2n_amlam2amn .叫做m行口列矩陣，簡稱為mxn矩陣，其中知表示位于第滋亍第j列的數(shù)，又稱矩陣 的元.矩陣常用大寫黑體字母a , b, c,-誡者（）,（切），（）,”表示. 如果題目中需要指明矩陣的行數(shù)和列數(shù)，我們經(jīng)常寫坐人皿“或a = （aij）mxn（i = 1,2,，m； j = l,2,，n）,這里下標i指明行序數(shù)，下標j指明列序數(shù).元是實數(shù)的矩陣為實矩陣，元是復數(shù)的矩陣是復矩陣一般的矩陣除特別說明z外， 都是指實矩陣.如果m = n,我們就稱a為n階矩陣或稱為n階方陣，n階矩陣也可以記作只有一行的矩陣a = （a,a2.a

47、n）稱為行矩陣，為了避免元素z間的混淆，一般行矩陣也可記為:bia = （ap j,，an）,同理，只有一列的矩陣8=稱為列矩陣. 如果兩個矩陣的行數(shù)和列數(shù)都相等，那么稱這兩個矩陣為同型矩陣如果a = （a/和 b =（m）是同型矩陣并且這兩個矩陣相對應的元素也相等，也就是aq = bij（i = l,2,，m； j = l,2,，ii）,那么我們就稱這兩個矩陣相等，記作a二b.稱只有一個元素a的矩陣為一階矩陣，簡記為（a）,稱所有元素都為數(shù)0的矩陣為零 矩陣，簡記作0。注意不同型的零矩陣是不同的.n階方陣1 0 00 1 0 e“ = _0 0 1叫做n階單位矩陣，簡記作e或i,容易看出，該

48、方陣的特點是：從矩陣的左上角到右下角的直線(主對角線)上的元素為1,其余的元素全部是數(shù)0,即e = ( 8jj )其中"(人 j = l,2,，n).j ojj1.1.2矩陣的性質性質1矩陣的加法運算具有以下運算規(guī)律：(1) 加法交換律：a + b = b + a；(2) 加法的結合律：(a + b)+ c = a +(b + c)；(3) a + 0 = 0 + a = a；其中a、b、c都是mxn階矩陣.性質2矩陣的數(shù)乘運算具冇以下運算規(guī)律：(1) (kl)a = k(la)= l(ka)；(2) k(a + b)= ka + kb；(3) (k + l)a二ka + la；其中

49、a、b、c都是mxn階矩陣，k、1為任意實數(shù).性質3矩陣乘法運算滿足的運算規(guī)律和性質：(1) 結合律:a(bc)=(ab)c；(2) 分配律：a(b + c) = ab + ac,(a + b)c = ac + bc ；(3) 數(shù)與乘法的結合律:(ka)b = a(kb)= k(ab)；(4) 當a、b皆為n階方陣時，有|ab| = |a|b|；(5) (ab)t = btat；(6) r(ab)< min(r(a), r(b)；性質4矩陣乘法不滿足交換律.例1 已知a =,求ab和b*.'1 0_00_00'_0 0'10_0 0_ab =0 01000,ba

50、=1 000=1 0解:1.2逆矩陣的定義及性質1.2. 1逆矩陣的定義定義2設三為二階矩陣，若存在二階矩陣三，使得ab = m = e，則稱矩陣2是可逆的, 并且稱三為丄的逆矩陣，簡稱為丄的逆陣或丄的逆，記為a-; =b.例 2：設a二 2° , b= 21 1 120-1-022 01 0_1 -1丄-10 12ab =e10ba-12 0'1 0_1 -10 1mb=e所以 ab = ba = e ,因而說2是可逆矩陣，hb是a的逆矩陣顯然定義中矩陣a與b的地位是相同的，所以也可以說矩陣b可逆，而a是b的逆 矩陣，并且從定義可知，可逆陣及其逆矩陣都是方陣容易驗證：單位矩

51、陣e是可逆矩陣,且逆矩陣就是其本身，即e"=e 設矩陣c = ° °我們可以看出，對任何二階矩陣二 乘積的第一行元素必全為零，故總有cdze,因而c可不能有逆矩陣，這說明，不是任何方陣都有逆矩陣.1.2.2逆矩陣的性質性質5如果矩陣占是可逆的，那么占的逆矩陣是唯一的.證明：設b和c都是方陣a的逆矩陣，則依定義有：ab = ba = e, ac = ca = e從而，b = be = b（ac）=（ba）c = ec = c即b = c,這說明2的逆矩陣只有一個.性質6若a是可逆矩陣，則a"也是可逆矩陣，且（a"）j=a；性質7若a是可逆矩陣，k

52、是不為零的數(shù)，則ka也是可逆矩陣，且（ka）"二半ask性質8若a是可逆矩陣，則人丁也是可逆矩陣，k（at）_，=（a-,）t;性質9若a與b均是n階可逆矩陣，則ab也是n階可逆矩陣，且（ab）_，= ba1 ； 證明：因為（ab）b_,a_, =a（bb_,）a, =aea_, = aa_, = e ；（ba-1） ab = b"1（a_1a）b = b_,eb = b"'b = e ；所以 ab 是可逆矩陣，且 （ab）-11.3矩陣可逆的充分必要條件卩】木節(jié)給出判定矩陣可逆的一些充分必要條件（1）n階方陣a可逆的充分必要條件是|a|ho （也即r（a

53、）= n）；（2）n階方陣a可逆的充分必耍條件是a可以通過初等變換（特別是只通過初等行 （列）變換）化為n階單位陣；（3）n階方陣a可逆的充分必要條件是a可以寫成一些初等矩陣的乘積；（4）對于n階方陣a,若存在n階方陣b使得ab = e （或ba = e）,則a可逆，且 a'1 = b；（5）n階方陣a可逆的充分必要條件是a的n個特征值不為零；例3設人=311312 ,求a可逆的條件，在a可逆的條件下，求a*&21 &22解：a <>|a| = aha22 -a12a210 ,或,當|a|ho 時,312 a22 a21 a22a"aiia22 _

54、 ai2a21a 22a21-a12311 j2求逆矩陣的方法2. 1定義法此法要求我們對矩陣乘法運算比較熟練，對于元素比較特殊的矩陣，可以直接看出滿 足條件的矩陣b ,只需要驗證ab = e和ba = e中的一個成立即可.例4 設n階矩陣a滿足a?-3a-4e = 0,求證a, a-3e可逆，并求其逆矩陣.< a _ a p、解：由 a2-3a-4e = 0, pjwa(a-3e)= 4e,即 a=e,故 a 可逆，且 a"=£(a-3e)； a-3e 也可逆，且(a 3e)"=a,對于元素沒有具體給出的抽象矩陣a ,判斷該矩陣可逆以及求其逆矩陣常用如下結 論結論：設a是n階方陣，若存在n階方陣b,使得ab = e (或ba = e)，則a可逆, 其a"=b注：對于需要證明a可逆且要求出a"的題口，利用上述結論可以將兩個問題一并解 決.例5設方陣a滿足a'-a?+2a-e = 0 ,證明a及e-a均可逆，并求和 (e-a)-'.解：設(e-a)(-a2+aa + be)= ce ,展開得 a3-(a + l)a2+(a-b)a +