(完整word版)小專題橢圓----斜率之積是定值

1、12k|MAkPB第1頁共4頁橢圓一個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用2 2性質(zhì)如圖 1，橢圓冷占1 (aa2b22所以篤a圓上一點(diǎn)對直徑所張成的角為直角在橢圓中的推廣，它充分揭示了橢圓的本質(zhì)、證明直線垂直PA、PB與坐標(biāo)軸不平行，則直線PA、PB的斜率之積kpAkpB為定值b2a證明 設(shè)P(x,y)，A(xi, yi)，則B(Xi,yi)-1 如圖 2,圓于點(diǎn)P.求證:2已知橢圓4MO PB.1,A,B是其左、 右頂點(diǎn), 動(dòng)點(diǎn)AM交橢M (2, y),由性質(zhì)知kPAkPBb 0)上任意一點(diǎn)P與過中心的弦AB的兩端點(diǎn)A、B連線2X1-2a2y1由一得2X122所以y2X2y12X1b22，a所以kPAy %X X2

2、y_2X2y12X1b22為定值.a這條性質(zhì)是圓的性質(zhì)：屬性，因而能簡潔解決問題，下舉例說明.第2頁共4頁由性質(zhì)知kpA,kpA2b22,a即kMkNA,kQA,kQA2b22，a即kMA2kNA,比較與得(X1a)(X2a) (X2a)(x1a),所以a(x2x1)a(x1X2),圖3b2,所以y1y2b22aX1a X2a2ab2,所以y2y1b22aX2aX1a2a所以X|X2.所以 MN 丄 x 軸，即 MN 丄 A1A2.、證明直線定向例 3 如圖 4,已知 A(2, 1), B(-2, - 1)是橢圓 E:上的兩點(diǎn)，C, D 是橢圓 E 上異于 A, B 的兩點(diǎn)，且直線 相交于點(diǎn)

3、M，直線 AD , BC 相交于點(diǎn) N. CA, CB, DA , 率都存在.求證：直線 MN 的斜率為定值.證明 設(shè)M(XM,yM),N (XN,yN)，由性質(zhì)知kCAkCB直線MA,MO的斜率分別為kMAy2ay4 ，kMOa 21所以kMA-kMO2將代入得kMOkpB1,所以MO PB.例 2 如圖 3, PQ 是橢圓不過中心的弦，AiP 與 Q A2相交于 M , P A2與 AiQ 相交于點(diǎn)*AJAi、A2為長軸的兩端點(diǎn),N,貝 U MN 丄 A1A2.即kNA所以-yMXMyN1XN22，%yMyN112(XMXN2XM2XN4)證明設(shè) M (xi, yi), N (X2, y2

4、).12，即kMAkNB第3頁共4頁yM1 YN11,YMYNYMYN11(XMXN2XM2XN4)XM2XN222由一得YMYN(XMXN)所以kMN1即直線MN的斜率為定值1.三、證明點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為定值例 4 如圖 5,已知橢圓 C: X4 + y3 = 1 ,過橢圓 C 的右焦點(diǎn) F 且與 x 軸不重合的直線與橢圓 C 交于 A,B 兩點(diǎn)，點(diǎn) B 關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為P,直線 PA, PB 分別交橢圓C 的右準(zhǔn)線 1 于 M , N 兩點(diǎn)記 M , N 兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為 YM, yN,求證：yMyN為定值.NIa0/yAM圖5證明 當(dāng)直線 AB 的斜率 k 不存在時(shí)，易得 yMyN

5、= 9.當(dāng)直線 AB 的斜率 k 存在時(shí)，由性質(zhì)知kpAk= 3，所以 kpA=弓.44k設(shè)A(xi, yi), B(X2,y2)，則 P( X2, y2),所以直線 PA 的方程為 y+ y2= 4k(x+ X2),因?yàn)橛覝?zhǔn)線 I 的方程為x 4,3_yM= 4k(X2+ 4) y2,因?yàn)?代F , B三點(diǎn)共線，所以直線 AB 的斜率 k=y2-X2 1因?yàn)橹本€ PB 的方程為 y=$,所以yN=爹又因?yàn)榫?y2= 1，所以 4y2= 12 3X2,所以 yMyN= 3XX2+4 X21+4X2= 9,所以 yMyN為定值一 9.所以所以 yM=3 X2+ 4 x2 14y2y2.所以 yMyN= 3XX2+ 4 X2 1X